数学的三次危机——第三次数学危机

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数学三大危机简介

数学三大危机

第一次数学危机

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、

学

术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可

表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯

建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的

正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只

能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。小小

根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的

数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯

学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论

性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不

但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言

也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根

号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情

根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们

认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的，史称“第一次数学危机”。

数学史上的三次危机

数学史上的三次危机
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而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
数学史上的三次危机
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因此，进入19世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。
数学史上的三次危机
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柯西
波尔查诺
数学史上的三次危机
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3）严格的实数理论的建立
① 对以往理论的再认识
后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。
有公式 S(t) 1 gt，2 其中 g 是固定的重力加速度。我
2
们要求物体在 t 0
的瞬时速度，先求
S t
。
SS(t1)S(t0)12gt12 12gt02 12g[(t0 t)2 t02]12g[2t0t(t)2]
∴
S
1
t
gt0
g(t) 2
（*）
数学史上的三次危机

数学史三次危机简介

数学史上的三次危机，简要概括如下：

1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。这次危机通过实数理论的建立得到解决。

2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。

3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。

数学史上的三次危机

1 无理数的发现——第一次数学危机

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算数、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不可能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释和现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

第一次数学危机对古希腊的数学家观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理和算数无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

2 无穷小量是零吗？——第二次数学危机

18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

(完整版)简述数学史上的三大危机

简述数学史上的三大危机

世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。

在古希腊，哲学家都是格外重视数学。像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。这还得从一个有趣的故事说起。有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。

但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。如今发现边长为1的正方形的

对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。

第三次数学危机

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
事件背景
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。
第三次数学危机就此解决。
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数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。
例如，在策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZF公理系统（也称ZFC公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等），这样无法定义出悖论中的集合。
罗素悖论的精确表述：
如果存在一个集合A={X| X∉ A }，那么X∈A是否成立？如果它成立，那么X∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

三次数学危机的产生与解决

第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
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发展过程和规律，从而更好地推动数学的进步和应用。也呼吁广大读者要数学学习的重要性，不断深化对数学的认识和理解，为推动人类文明的发展做出积极的贡献。
参考内容
数学作为一门学科，经历了多次重大变革和发展。在数学史上，曾出现过三次严重的危机，它们分别发生在不同的时期，对数学的发展产生了深远的影响。本次演示将依次介绍这三次数学危机的时间、背景、主要特征和原因，并探讨它们对数学发展的影响。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。Байду номын сангаас场危机的根本原因是，当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
这场危机持续了近两百年，直到数学家们逐渐接受了无理数的概念才得以解决。从这次危机中，数学家们意识到了数学的局限性，并开始寻求更深层次的数学原理和证明方法，为后来的数学发展奠定了基础。

历史上的三次数学危机

成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是
0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家
提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
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3）实践是检验真理的唯一标准
应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
其中 a 是奇数，b (0,1) ，
使 ab 1 3 。
2
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另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann， 1826—1866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。
时的极限，即
S
物体在 t0
时刻的瞬时速度=
lim
t 0
t
。 36
下边我们对（*）式的等号两边同时取
极限 t 0 ，根据“两个相等的函数取极
限后仍相等”，得lim ( 瞬时速度= t0
gt0

1 2
g(t))
再根据“两个函数和的极限等于极限的
和”lti m，0(g得t0

1 2
所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。

数学三次危机的内容

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。

让我们来了解一下庞加莱猜想。庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。

让我们来看看康托尔难题。康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、

集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。

让我们来谈谈哈尔定理。哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。

史上数学三大危机简介

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史上数学三大危机简介

数学三大危机数学三大危机简述：

第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：

S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：

我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。

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然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：

数学史上的三次危机3篇

数学史上的三次危机

第一次危机：希腊数学危机

希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许

多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。

这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的

概念。然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。

在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。一条是

传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。

这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但

也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。

第二次危机：19世纪末的非欧几何危机

19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。在欧几

里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。

这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。在这种文化和学术背景下，非欧几何

的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。

第三次危机：20世纪初的集合论危机

20世纪初，集合论成为了数学的新话题。然而，当时对

于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。

数学的三次危机

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。

数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机

从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。

整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

数学历史上的三次危机

经济上有危机，历史上数学也有三次危机。第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。第二次数学危机的解决使微积分更完善。第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。参考资料丁尔升主编《中学百科全书·数学卷》有关条目，北京师大出版社等1994年。

数学三大危机简介

数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!

数学三大危机

第一次数学危机

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学

术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

数学的三次危机

从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机

从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

数学三次危机的内容

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

数学三次危机，是指19世纪末20世纪初数学领域内的三次危机，分别是克里斯托弗·沃尔夫（Christopher Wolfe）在美国《数学评论》上提到的第一次危机、大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提到的第二次危机以及数学家布朗在1960年代关于数学逻辑基础的研究中提出的第三次危机。

第一次危机是指19世纪末20世纪初，数学家们对欧几里得几何学的基础进行重新审视的过程。欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里

得创立的一种几何学体系，至今被广泛运用。19世纪末出现了一些疑问，比如平行公设、非欧几何学等问题，这些问题对欧几里得几何学

的基础提出了挑战。数学家们面临的困境是如何从最基础的公设出发

重新建立几何学的基础。数学家们开始重新思考几何学的基础，试图

通过推导出新的公设来建立一个更加完善的几何学体系。

第二次危机是在1900年，当时大卫·希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个重要的数学问题，其中有一些问题一直未能得到解决。这些问题涉及到了数学领域的各个方面，如代数、几何、数

论等。这些问题的存在引发了数学家们对数学的基础是否牢固的疑问，希尔伯特提出的这些问题为后来20世纪的数学家们提供了方向。

第三次危机是在1960年代，数学家布朗在研究数学逻辑基础时提出了关于数学的第三次危机。他指出，数学家们面临的一个重要问题

是如何确立数学的基础，并且确定数学体系的完备性。这些问题涉及

到了尤里·奈斯特林和阿尔弗雷德·特斯克勒等数学家们提出的不完全定理。这些定理表明，数学体系内部存在无法证明的命题，这对数学的