随机误差概率密度的正态分布 28页PPT文档

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§1—2随机误差的正态分布

b.
-
0
+
x
X -
2.正态分布曲线的讨论
特点:
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布

(u )du 1
同理，由标准正态分布曲线方程还可求得在无限多次测量中，某一范围内测量值或随机误差出现的机会（概率）的最终趋势是多少. 2 u 即 u2 1
P
u1
2
e 2 du
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向总体平均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性:
1 y 2π
x =时,y值最大,表现为一个峰形.
σ决定正态分布曲线的形状；
σ越小，数据越集中，测定值落在
附近的概率越大。
当 σ ，µ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定，
P=95.5% ½ a
=0.47%
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
α=4.5%
P 置信度
a 显著性水平
P+ a = 1
-3
-2
-1
0

68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3

随机误差的正态分布.

u=±1 u=±1.96 u=±2 u=±2.58 u=±3
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5

0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5

0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率为 0.5000 ，故阴影部分以外的概率为 0.5000 － 0.4938=0.62% ，即分析结果大于 2.00% 的概率为 0.62%。
概率P为： p

(u) du

1
eu2 / 2du

2
大多数测量值集中在算术平均值的附近；小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小；绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率

正态分布ppt课件

1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P(X 0) P(X 3) 11 ，则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称，所以 P(X 0) P(X 2) ，又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2

1002随机误差

14 3.08
0.07
2
0.0133
频率密度 fi / x
11 8 8 7 5 3 1
x 3.01
fivi 0
n=150 fi 0.9999
10
2、统计直方图根据表1-1的数据可按下列步骤作出统计直方图。
以xi为横坐标，以fi 或 fi /x为纵坐标建立坐标系。
2 i

vi2

n
2 x

2
x
vi
vi2

n
2 x
i1
i1
i1
i1
n
n
i
vi

n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n

n
2
i
n
i2
n
2 i j
2 x

i 1
n

i1 n2
1
2
单峰性
A、对称性 f ( ) 0 f ( ) f ( )
B、抵偿性 C、单峰性 D、有界性
n
随着测量次数的增加， lim
i
i 1
0
n n
δ=0时, fmax ( ) f (0) f ( ) f (0)
随机误差δ出现在一个有限的区间
内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。
1879.64
li
vi
-0.01
0
+0.04
+0.05
-0.05
-0.04
+0.04

误差理论PPT课件

图1-1 对正态分布的影响示意图
图1-2 对正态分布的影响示意图
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在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中，当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概率密度函数为
f (x)
( x )2
物理量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均值为L’,基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’L0’，看作是测量仪器对该物理量测量时的误差。
第12页/共42页
三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号：绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
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置测信量区值间取与为真值的X若（0 干或倍数，学即期：望）偏差 x 的
望的估计值，不是真值。既然是估计值，就
一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。那么，如何评价算术平均值的随机误差(离散度)的大小？和其它随机变量一样，算术平均值也是用其方差或标准差来评价。我们先分析算术平均值的方差：
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2
X
X
2
1 n
n i 1
2
X
i
1 n2
估计值 ˆ X 与ˆ 2 X 来代替上两式中的 X 2 X
第30页/共42页
(4)（正态分布时）测量结果的置信度由上述可知，可用测量值 Xi 的算术平均值 X
作为数学期望的估计值，即真值 X0 的近似值。其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复
性标准差 ˆ x（标准偏差的估计值）来表征

正态分布及抽样误差

03
样本统计量与总体参数之间存在一定的关系，通常是通过抽样分布来描述。
样本统计量的性质
样本统计量是随机变量，其取值依赖于样本数据。
样本统计量具有可加性、可乘性和线性变换等性质，这些性质有助于简化计算和推导。
样本统计量的分布通常服从正态分布或t分布等，这些分布具有一些重要的数学性质，例如中心极限定理和独立同分布定理。
直观解释
虽然数学证明比较复杂，但我们可以通过直观的方式来理解中心极限定理。当样本量足够大时，每个样本点对样本均值的影响较小，样本均值的变化趋近于正态分布。
Part
05
大样本近似
大样本近似的概念
定义
大样本近似是指当样本量足够大时，样本统计量（如样本均值、样本比例
等）的分布接近于正态分布。
样本统计量与总体参数的估计
01
样本统计量可以作为总体参数的估计量，通过样本数
据来估计总体参数的数值。
02
估计量的准确性取决于样本的代表性、样本量的大小
和抽样方法等因素。
03
常用的估计量包括样本均值、样本方差、样本比例等
，这些估计量在统计学中有广泛的应用。
Paห้องสมุดไป่ตู้t
04
中心极限定理
中心极限定理的表述
抽样误差的来源
随机抽样
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本都有可能产生不同的统计量。
样本量大小
样本量越大，抽样误差越小；样本量越小，抽样误差越大。
总体变异程度
总体变异程度越高，抽样误差越大；总体变异程度越低，抽样误差越小。
抽样误差的控制
STEP 02
STEP 03
多次重复抽样
通过多次重复抽样可以计算出抽样误差的估计值，从而更好地了解样本的代表性。

随机误差分布符合正态分布因此PPT课件

（2）环境方面的因素，如温度的微小波动、温度与气压的微量变化、光照强度的变化、灰尘以及电磁场的变化等。
（3）人员方面的因素，如瞄准、读数的不稳定、情绪的波动等。
这些误差表面上看来是毫无规律的，但从整体上观察是服从统计规律的，
这种统计规律往往可以通过试验的方法得到。
.
2.6 方差
1
在第1章中给出了一个实际测量结果的例子，以误差作为横坐标，以频率数 f 作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图2.1所示。
1
Z
标准正态分布示意图
. 9
（ b ）关于 F (a k 1 xa k2 )的计算：可以证明：若 x~N (a , 2)， k 1 、 k 2 ＞ 0 ，则： F (a k 1 xa k2 ) (k 1) (k2) 1 还可以证明：若 x ～ N （ a , 2 ）， k 1 、 k 2 ＞ 0 ，则 F (a k1 xak2 ) (k2) ( k1)
利用Excel进行计算
. 12
（ d ）在数据处理中，如果 x为被测物理量的算术平均值 x ，其正态分布可以表示为
x～ N （ a ,( )2），其中为算术平均值 x 的标准误差。
n
n
F （ x－≤ x ≤ x＋）＝ 6 8 .2 7 %
?表2-1 转速实测数据表
4753.1
4749.2
4750.3
4748.4 4752.3 4751.6
4757.5
4750.6
4753.3
4752.5 4751.8 4747.9
4752.7

概率论随机变量的分布函数ppt课件

因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。

随机误差的正态分布PPT课件

3、根据随机误差的标准正态分布，可求得随机误差出现在某一区间
的概率，根据u的定义，也可求出x出现在某一区间的概率。
第25页/共54页
例4-2、测定某试样中SiO2质量分数得s = 0.05%。若测定的精密度保持不变，当P= 0.95时，欲使置信区间的置信限，问至少应对试样平行测定多少次？
解： x tP, f
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5.平均值的标准偏差 n个容量相同的样本的平均值的偏差
x n
sx s n
(n )
6.极差：R＝xmax－xmin
第5页/共54页
三、准确度与精密度
准确度与精密度的关系
例：甲、乙、丙、丁四个分析工作者对同一铁标样
（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较
68.3 95.0 95.5 99.0 99.7
例题4-3：
某土壤样品，总体平均值为2.64%，测得 = 0.10,% 求结果落在（1）2.640.2% 概率是多少？
（1）解：
u x 0.2% 2.0
0.10%
查表：u=2 时，概率为：2 0.4773 = 0.955 = 95.5%
测定次数较少时，测x定值或随机误差也不
呈正态分布，这就给少量测定数据的统计
处理带来了困难。此时若用s代替σ从而对μ
作出估计必然会引起偏离，而且测定次数
越少，偏离就越大。
t
x
s
n
x ta，f
s n
第24页/共54页
（三）区间概率的概念
25.0
0.40
20.0
0.30
• 定量分析：准确获取试样中物质的含量
分析方法仪器和试剂工作环境分析者等

随机误差的正态分布

34
2 有效数4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有不是0的任何数皆入
例下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851
0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9
它是由某些无法控制和避免的偶然因素造成的。如：测定时环境温度、湿度、气压的微小波动，仪器性能的微小变化，或个人一时的辨别的差异而使读数不一致等。如：天平和滴定管最后一位读数的不确定性。
它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量或校正。
10
除这两种误差外，往往可能由于工作上粗枝大叶不遵守操作规程等而造成的“过失误差”。过失
对数关系
若 R=mlgA, 则
ER

0.434m
EA A
分析结果的相对误差是测量值的相对误差的指数倍。
28
（二）偶然误差 1、加减法若 R=A+B-C, 则 SR2=SA2+SB2+SC2 若 R=aA+bB-cC+…, 则 SR2=a2SA2+b2SB2+c2SC2+…
分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤标准偏差的平方总和。
64若以样本平均值来估计总体平均值可能存在的区间可按下式进行估算对于少量测量数据必须根据t分布进行统计处理按t的定义可得出65它表示在一定置信度下以平均值为中心包括总体平均值的范围即平均值的置信区间
§3.1 分析化学中的误差
一、基本概念
1．真值某一物理量本身具有的客观存在的真实数值，即为该量的真值。一般说来，真值是未知的，但下列情况的真值可以认为是知道的： a.理论真值如某化合物的理论组成

误差分析ppt

5
4.真值任何测量都存在误差，真值不可能得到，只能尽
量接近 (1) 约定真值由国际计量大会定义的单位（国际
单位）及我国法定的计量单位七个基本单位：
长度、质量、时间、电流强度、热力学温度发光强度、物质的量例如：1米是光在真空中在 1/299792458 秒的时间间隔内行程的长度.
6
(2)标准值（相对真值）通过高精密度测量到获得的更接近真值的值。获得标准值的试样为标准试样（标准参考物质）经有权威机构认定并提供
(2) 产生的原因偶然因素、不确定因素
13
3. 过失
分析过程中的过失造成的误差不同于前两类误差。它是由于分析工作者粗心大意或违反操作规程所产生的错误，
如溶液溅失、沉淀穿滤、读数记错等，都会使结果有较大的 “误差”。在处理所得数据时，如发现由于过失引起的“误差”，
应该把该次测定结果弃去不用。
14
(1) 准确度──分析结果与真实值的接近程度 (2) 精密度──几次平行测定结果相互接近程度 (3) 两者的关系
精密度是保证准确度的先决条件；精密度高准确度不一定高；准确度高精密度一定高。
9
精密度好，准确度不好
精密度、准确度都很好
精密度、准确度都不好 10
二、系统误差和偶然误差
1. 系统误差（可定误差）
滴定管，容量瓶未校正。
c.试剂误差——所用试剂有杂质
例：去离子水不合格；
试剂纯度不够
（含待测组份或干扰离子）。
d.操作误差——操作人员主观因素造成
例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅；
滴定管读数不准。
12
2. 偶然误差（随机误差，不可定误差）：
由不确定原因引起
(1) 特点 a.不恒定不具单向性（大小、正负不定） b.难以校正,不可消除（原因不定） c.服从统计规律 (正态分布)

正态分布及抽样误差PPT课件

例
➢20 ～ 29岁正常成年男子尿酸浓度
➢求双侧95%的参考值范围：
x 350.24(mol / L), s 32.97
➢下限
➢上限
x 1.96s 350.24 32.97 285.62(mol / L)
x 1.96s 350.24 32.97 414.86(mol / L)
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3 1 2
第9页/共73页
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
第10页/共73页
正态分布的特征
➢ 正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和变异度参数(标准差)。 ➢ 高峰在均数处； ➢ 均数两侧完全对称。 ➢ 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
第11页/共73页
正态曲线下的面积规律
➢X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ➢对称区域面积相等。
S(-, -X)
S( +X,)＝S(-, -X)
X
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正态曲线下的面积规律
➢ 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
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正态曲线下的面积规律
1
第1页/共73页
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
为什么如此摆放奖品？平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。
高尔顿钉板试验
2
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正态分布的背景－高尔顿钉板试验
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。 3 第3页/共73页

随机误差的处理方法PPT资料优秀版

当在同一条件下对某个量进行多次重复测量时，粗大误差可以剔除；
该连续曲正线态为随分机布误差曲正线态分越布尖曲线锐,测量精密度越高.
介于
之间的随机误差出现的概率为：
该连续曲线为随不机误同差标正态准分误布曲差线下的正态分布曲线如下:
不同标准误差下的正态分布曲线如下:
150次测量，11个区间误差分布直方图
《传感器应用技术》课程
必然事件概率为1。
概率密度曲线对称于纵轴。
概率密度在横轴原点（随机误差为0）值最大。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（四）粗大误差的判别与坏值的剔除
谢谢大家!
电气教自学动资化源技库术专主业讲：教师姓名
概率密度曲线左右面积相等。
2
2 2 无限次测量，无限个区间
不介可于能事式件概中率之的为间0标的。随准机误误差差出现（的标概率准为误：差是无限次测量的均方根误差）
不可能事件概率为0。
1 必然事件概率为1。
n 2
lim (x x ) （一）概率与统计的几个概念
i
0
n *标准误差概念在分析正态分n布的随机误差i时1,对曲线的特征具有重要影响,理论计算表明:
抵偿性测量次数无限多时，全体结果代数和为0。概率密度曲线左右面积相等。
有界性误差绝对值不会超出一定范围。概率密度曲线在两侧呈接近于0的降落。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算该连续曲线为随机误差正态分布曲线
以多次等精度测量的平均值作为真值使用：
不不可同能标事准1件误、概差率下理为的论正0。态依分布据曲线如下:
3
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算