14深圳2016年高考模拟试题命题比赛参赛试题理科数学

2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．．在三棱柱﹣111中，，侧面11是边长为的正方形，点，分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或．故选：C ．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B ．9．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A ．2B ．C ．D ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k•，令=x4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为+1．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2cosα，由正弦定理可得sinβ=，∴BD2=3+4﹣2cosα﹣2×××cos（90°+β）=7﹣2cosα+2sinα=7+2sin（α﹣45°），∴α=135°时，BD取得最大值+1．故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1，又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， ∴T n =1+（n ﹣1）•2n ．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数”概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人． ①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．22∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC 中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2016年8月24日。

2016年深圳市高三年级一模数学(理科)试题

（13）已知 f ( x) ， g ( x) 分别是定义域为 R 的奇函数和偶函数，且 f ( x) g ( x) 3 ，则
x
f (1) 的值为______．
（14）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 .（参考数据：
第2页共7页
（11）过点 (0, 2b) 的直线 l 与双曲线 C :
x2 y 2 1(a, b 0) 的一条斜率为正值的渐近线 a 2 b2
平行，若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（A） (1,2] （B） (2, +¥) （C） (1,2) （D） (1, 2)
sin15 0.2588 ， sin 7.5 0.1305 ）
深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学（理科）试题
第3页共7页
开始
n6
1 360 S n sin 2 n
n 2 n
S 3.10
是输出i n k 结束
否
（15）过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点 F ，且倾斜角为
（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲如图，在直角 ABC 中， AB BC ， D 为 BC 边上异于 B 、 C 的一点，以 AB 为直径作⊙ O ，并分别交 AC ， AD 于点 E ， F ．（Ⅰ）证明： C ， E ， F ， D 四点共圆；（Ⅱ）若 D 为 BC 的中点，且 AF 3 ， FD 1 ，求 AE 的长．

2016年深圳市高三年级二模理科数学参考答案(考试时间：20160425)

第Ⅰ卷
一．选择题（1） D；（2）B；（3）C；（4）C；（5）A；（6）A；（7）C；（8）B；（9）D；（10）C；（11）B （12）D 二．填空题：（13） 6 π ; 三．解答题：（17）（本小题满分 12 分）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， an 是 S n 和 1 的等差中项． (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式； (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn ．解：(Ⅰ)由已知得 Sn 1 2an ，当 n 2 时, Sn1 2 an1 1 ， ① ② （14）
C1
………8 分
B1 z N F A1
1 1 C (1, 0 , 0) , E (0 , 1, ) , F (0 , , 2) , A(0 , 1, 0) , C1 (1, 0 , 2) . 2 4
设平面 CEF 的法向量为 n ( x , y , z ) ，则 n CE , n EF ，即
15 15
x
5 y
3
根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 90% 的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？男生优秀非优秀总计女生总计
(Ⅱ)以(Ⅰ)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取 3 人．（ⅰ）求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率；（ⅱ）记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求 X 的数学期望．
n 1
；
n 1
„„„„„„„6 分得
(Ⅱ)由 an bn n 2

2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．．在三棱柱﹣111中，，侧面11是边长为的正方形，点，分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或．故选：C ．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B ．9．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A ．2B ．C ．D ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k•，令=x4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为+1．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2cosα，由正弦定理可得sinβ=，∴BD2=3+4﹣2cosα﹣2×××cos（90°+β）=7﹣2cosα+2sinα=7+2sin（α﹣45°），∴α=135°时，BD取得最大值+1．故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1，又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， ∴T n =1+（n ﹣1）•2n ．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数”概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人． ①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．22∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC 中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2016年8月24日。

2016年全国统一高考数学模拟试卷(理科)

=cos（﹣ x+m） =cos（x﹣ m﹣）的图象．又 h（ x）=cos（ x+）的图象， g（ x）与 h（ x）图象的零点重合，
故 g（ x）=cos（ x﹣ m﹣）和 h（ x） =cos（ x+）的图象相差半个周期， ∴=k π﹣﹣ m，即 m=k π﹣， k∈ Z ，故 m 的值不会是，故选： B．
颗芝麻，则落在区域 Γ中芝麻数约为（
）
A ． 114 B． 10 C． 150 D． 50 【考点】几何概型；简单线性规划．
【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域
Γ的概率．
【解答】解：作出平面区域 Ω如图：则区域 Ω的面积为 S△ABC== ．区域 Γ表示以 D（）为圆心，以为半径的圆，
4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派
5 名教师对数学卷的选择题、填空
题和解答题这 3 种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为
（）
A ． 150 B． 180 C． 200 D． 280 【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即
1，2，2 与 1，1，3，分别计算两种
情况下的情况数目，相加可得答案．
【解答】解：人数分配上有两种方式即若是 1， 1， 3，则有 C53× A 33=60 种，若是 1， 2， 2，则有× A 33=90 种
所以共有 150 种不同的方法．
1， 2， 2 与 1， 1，3．
故选： A ．
5．已知函数 g（ x）是定义在区间 [ ﹣ 3﹣m ，m2﹣m] 上的偶函数（ m＞ 0），且 f （ x） =，则
【考点】简单随机抽样．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于 20 的编号依次为 08， 02，14， 07，02， 10，．其中第二个和第四个都是 02，重复．可知对应的数值为 08， 02， 14， 07， 10，则第 5 个个体的编号为 10．故答案为： 10

【高考模拟试题及答案】2016深圳二模理科数学试题及答案解析

【高考模拟试题及答案】2016深圳二模理科数学试题及答案解析
2016年深圳市高三年级第二次调研考试(深圳二模)于4月25日-26日考试，深圳二模紧扣2016高考大纲，是检测考生们复习的重点考试，以同学们一定要认真考试，从中找出自己的不足，查缺补漏，以更好的姿态去面对高考。以下是高考网小编整理的2016深圳二模试题及答案解析，供同学们参考学习。
高考英语历年真题
高考理综历年真题
高考文综历年真题
高考备考辅导；高考食谱大全；高考前必须做的事
2016深圳二模理科数学试题及答案解析正在整理中，请等待。
高考语文考点
高考数学考点
高考英语考点
高考理综考点
高考文综考点
高考语文复习资料
高考数学复习资料
高考英语复习资料
高考理综复习资料
高考文综复习资料
高考语文模拟试题
高考数学模拟试题
高考英语模拟试题
高考理综模拟试题
高考文综模拟试题
高考语பைடு நூலகம்历年真题
高考数学历年真题

深圳市2016届高三年级第二次调研考试(理数)试卷及答案

深圳市2016届高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共8页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（）AB．2C ．2D ．1 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（） A．9- B．9C ． 79-D ．794．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（）A ．14B ．23C ．32D ．25．在如图所示的流程图中,若输入的,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（）A ．1B ．2C ．lg 2D ．106．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 7．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为为（） A ．2 BC ．2D8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A ．310B ．35C ．25D ．159．如图，正方形ABCD 中，M 、N 是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（）A ．2B ．83C ．65D ．85NA DC MB否否是输出x结束是x=l g a +l g cx=l g b l g ax=l g a ∙l g b b>ca>b 且a>c开始a,b,c输入10．已知ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22- D ．(2,0)(0,2)-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A ．48B ．16C ．32 D．12．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

广东省深圳市高考数学一模试卷理(含解析)

2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．4．已知双曲线C1：﹣=1（m＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10 B．20 C．10D．405．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．6．变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y的最大值为2时，则a=（）A．B．﹣1 C．或﹣1 D．07．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种8．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．9．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7 B．7 C．7 D．811．函数f（x）=|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1] B．a∈[﹣1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[﹣，e]12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．15．已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2= ．（用n表示）16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n=4，5，…）则S2n= ．（n∈N+）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB 的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】复数的基本概念．【分析】当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．【解答】解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数．当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．【考点】交集及其运算．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出B中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量符合正态分布，得到正态曲线关于x=μ对称，根据P（ξ＜0）+P （ξ＜1）=1，和P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1，得到小于零的概率与大于1的概率相等，得到这两个数字关于对称轴对称，得到结果，【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），正态曲线关于x=μ对称，∵P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，又P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞1）∴0和1关于对称轴对称，∴μ=，故选D4．已知双曲线C1：﹣=1（m＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10 B．20 C．10D．40【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出两个双曲线的渐近线方程，根据渐近线方程相等求出m的值，然后求出对应的焦点坐标进行求解就．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±，双曲线C2：﹣=1的渐近线为y=±2x，∵两个双曲线有相同的渐近线，∴=2，即=4，得m=1，则双曲线C1：﹣x2=1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣），双曲线C2：﹣=1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×=20，故选：B5．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．【考点】函数的周期性；函数单调性的性质．【分析】由题意设出函数的表达式，求出函数的周期，确定ω的值，利用对称性，结合在上是增函数确定选项即可．【解答】解：由选项可知函数的解析式设为y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）；①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；周期为π，ω=2；排除A；②图象关于直线x=对称；所以B不正确，D、C正确；③函数在上是增函数所以D正确；f（x）=cos（2x+）是减函数，C不正确；故选：D．6．变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y的最大值为2时，则a=（）A．B．﹣1 C．或﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【分析】化简不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域，则圆心C（a，a），设z=2x+y则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z与圆相切时，截距最大，此时z最大，为2，此时2x+y=2，由d=，得|3a﹣2|=5，则3a﹣2=5或3a﹣2=﹣5，得a=或a=﹣1此时C（a，a）在直线2x+y=2的下方，即满足2a+a＜2，即a＜，此时a=不满足条件．故a=﹣1故选：B7．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，再利用组合知识，即可得到结论．【解答】解：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生，为，故有=3×2×2=12种．第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况），这时共有=3×2×2=12种因此共有24种不同的乘车方式故选B．8．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x∈（0，1）时，函数f（x）的图象的位置，利用排除法可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln|﹣x|=﹣sinx•ln|x|=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，故排除CD，当x∈（0，1）时，sinx＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，故排除B，故选：A9．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n【考点】数列递推式．【分析】由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．【解答】解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7 B．7 C．7 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣××12×2﹣××1×2×2=7．故选：A．11．函数f（x）=|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1] B．a∈[﹣1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[﹣，e]【考点】函数单调性的性质．【分析】为去绝对值，先将f（x）变成f（x）=，所以a≥﹣1时，可去掉绝对值，f（x）=，f′（x）=，所以﹣1≤a≤1时便有f′（x）≥0，即此时f （x）在[0，1]上单调递增，所以a的取值范围便是[﹣1，1]．【解答】解：f（x）=；∵x∈[0，1]；∴a≥﹣1时，f（x）=，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴•=||•||cos120°=2×=﹣3，∵=λ+，且⊥，∴•=（λ+）•=（λ+）•（）=0，即﹣λ2+﹣•=0，∴﹣3λ﹣4λ+9+3=0，解得，故答案为：14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为 5 ．【考点】程序框图；茎叶图．【分析】算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，利用方差公式计算可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，∵==81，∴v= [（78﹣81）2+（80﹣81）2+（82﹣81）2+（84﹣81）2]= =5．故答案为：5．15．已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2= C．（用n表示）【考点】二项式定理的应用．【分析】x≠﹣1，利用等比数列的求和公式可得：1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n==，可得1﹣[1﹣（x+1）]n+1=a（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n≥2．于是﹣=（1+x）3=，即可得出．【解答】解：∵x≠﹣1，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n==，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，∴1﹣[1﹣（x+1）]n+1=a0（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n≥2．∴﹣=（1+x）3=，∴a2=．故答案为：C．16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n=4，5，…）则S2n= 8n2﹣3n ．（n∈N+）【考点】数列的求和．【分析】由已知a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3，分别分n为奇数和偶数得到通项公式，进一步等差数列求和即可．【解答】解：由已知a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3，所以n为偶数时a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3=…=a2﹣a1=3，a n=a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1=+1=4n﹣4，n为奇数时a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3=…=a3﹣a2=5，a n=a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1=+1=4n﹣3，所以S2n==8n2﹣3n故答案为：8n2﹣3n．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=318．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．故X的分布列为：X 152 156 160 166 172P∴E（X）==162．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB 的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB即可证明BC⊥AD；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程解方程即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC…..…．又由图甲知BC⊥BA，PA∩BA=A，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD．…..…．（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．则，，，，，若存在点E，设，（0≤λ≤1），则，…..…．设平面ADE的法向量为，则，即令z=λ，则，故平面ABC的法向量=（0，0，1），…..…，，解得．∴存在点E，且点E为棱PC的中点．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．②设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．焦点为，∴b=2…e==，a2﹣b2=c2，∴解得a2=16，b2=12∴椭圆C的标准方程．…（2）①直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，…设A （x1，y1），B（ x2，y2），直线AB的方程为，与联立，得 x2+mx+m2﹣12=0，由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣m，，…由A，B两点位于直线x=﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0解得﹣2＜m＜4，…∴S=•|PQ|•|x1﹣x2|=•|PQ|•=3，∴当m=0时，S最大值为．…②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）…与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0∴；同理∴…y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]直线AB斜率为…当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【考点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过求导得到单调区间找到极值点代入即可，（Ⅱ）由k≥0时不合题意．当k＜0时令g'（x）=0通过讨论得出k的值，（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞﹣1，引进新函数找到其单调区间，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）=0，得x1=0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）=0．即，得证．故原不等式恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OC，OE，由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，利用AF＞BF，求BF；（Ⅱ）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．【解答】（Ⅰ）解：由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，即（11﹣FB）•FB=6×4，解得BF=3或BF=8，因为AF＞BF，所以BF=3．（Ⅱ）证明：连接OC，OE．因为弧AE等于弧AC，所以，所以∠POC=∠PDF，又∠P=∠P，所以△POC∽△PDF，所以，即PO•PF=PC•PD，又因为PA•PB=PC•PD，所以PF•PO=PA•PB．（[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D （，），可得，解得即可得到圆C2的极坐标方程．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入曲线C1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x ＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。

2016年广东省深圳市宝安中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a＝1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）已知M＝{y∈R|y＝x2}，N＝{x∈R|x2+y2＝2}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P （ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（m＞0）与双曲线C2：﹣＝1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10B．20C．10D．405．（5分）同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．6．（5分）变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y 的最大值为2时，则a＝（）A．B．﹣1C．或﹣1D．07．（5分）某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种8．（5分）函数f（x）＝sin x•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝n+2D．a n＝（n+2）3n 10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7B．7C．7D．811．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e] 12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．14．（5分）在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．15．（5分）已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n （x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2＝．（用n表示）16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n＝4，5，…）则S2n＝．（n∈N+）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD＝﹣，sin∠CBA＝，求BC的长．18．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40 单）的部分每单抽成4元，超出40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．（12分）如图甲，在平面四边形P ABC中，P A＝AC＝2，P A＝AC＝2，∠P ＝45°，∠B＝90°，∠PCB＝105°，现将四边形P ABC沿AC折起，使平面P AC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x＝﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ＝∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB＝11，EF＝6，FD＝4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO＝P A⋅PB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a＝1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：当a＝1时，复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i＝﹣i，是一个纯虚数．当复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i＝﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1＝0 且a﹣2≠0，a ＝±1，故不能推出a＝1．故选：A．2．（5分）已知M＝{y∈R|y＝x2}，N＝{x∈R|x2+y2＝2}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：由M中y＝x2≥0，得到M＝[0，+∞），由N中x2+y2＝2，得到﹣≤x≤，即N＝[﹣，]，则M∩N＝[0，]，故选：D．3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P （ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），正态曲线关于x＝μ对称，∵P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，又P（ξ＞1）+P（ξ＜1）＝1，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞1）∴0和1关于对称轴对称，∴μ＝，故选：D．4．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（m＞0）与双曲线C2：﹣＝1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10B．20C．10D．40【解答】解：双曲线C1：﹣＝1（m＞0）的渐近线为y＝±，双曲线C2：﹣＝1的渐近线为y＝±2x，∵两个双曲线有相同的渐近线，∴＝2，即＝4，得m＝1，则双曲线C1：﹣x2＝1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣），双曲线C2：﹣＝1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），＝2×＝则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S＝2S△GHE20，故选：B．5．（5分）同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由选项可知函数的解析式设为y＝sin（ωx+φ）或y＝cos（ωx+φ）；①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；周期为π，ω＝2；排除A；②图象关于直线x＝对称；所以B不正确，D、C正确；③函数在上是增函数所以D正确；f（x）＝cos（2x+）是减函数，C不正确；故选：D．6．（5分）变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y 的最大值为2时，则a＝（）A．B．﹣1C．或﹣1D．0【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域，则圆心C（a，a），设z＝2x+y则y＝﹣2x+z，当直线y＝﹣2x+z与圆相切时，截距最大，此时z最大，为2，此时2x+y＝2，由d＝，得|3a﹣2|＝5，则3a﹣2＝5或3a﹣2＝﹣5，得a＝或a＝﹣1此时C（a，a）在直线2x+y＝2的下方，即满足2a+a＜2，即a＜，此时a＝不满足条件．故a＝﹣1故选：B．7．（5分）某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【解答】解：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生，为，故有＝3×2×2＝12种．第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况），这时共有＝3×2×2＝12种因此共有24种不同的乘车方式故选：B．8．（5分）函数f（x）＝sin x•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln|﹣x|＝﹣sin x•ln|x|＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，故排除CD，当x∈（0，1）时，sin x＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，故排除B，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝n+2D．a n＝（n+2）3n【解答】解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n＝b1+（n﹣1）×1＝3+n﹣1＝n+2，所以，故选：B．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7B．7C．7D．8【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V＝V 正方体﹣﹣＝23﹣××12×2﹣××1×2×2＝7．故选：A．11．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e]【解答】解：f（x）＝；∵x∈[0，1]；∴a≥﹣1时，f（x）＝，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos120°＝a2+b2+ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤＝，即的最大值为．故选：A．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，∴•＝||•||cos120°＝2×＝﹣3，∵＝λ+，且⊥，∴•＝（λ+）•＝（λ+）•（）＝0，即﹣λ2+﹣•＝0，∴﹣3λ﹣4λ+9+3＝0，解得，故答案为：14．（5分）在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为5．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，∵＝＝81，∴v＝[（78﹣81）2+（80﹣81）2+（82﹣81）2+（84﹣81）2]＝＝5．故答案为：5．15．（5分）已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n （x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2＝C．（用n表示）【解答】解：∵x≠﹣1，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝＝，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，∴1﹣[1﹣（x+1）]n+1＝a0（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n ≥2．∴﹣＝（1+x）3＝，∴a2＝．故答案为：C．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n＝4，5，…）则S2n＝8n2﹣3n．（n∈N+）【解答】解：由已知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3，所以n为偶数时a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3＝…＝a2﹣a1＝3，a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝+1＝4n﹣4，n为奇数时a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3＝…＝a3﹣a2＝5，a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝+1＝4n﹣3，所以S2n＝＝8n2﹣3n故答案为：8n2﹣3n．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD＝﹣，sin∠CBA＝，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD＝＝＝．（Ⅱ）∵cos∠BAD＝﹣，∴sin∠BAD＝＝，∵cos∠CAD＝，∴sin∠CAD＝＝∴sin∠BAC＝sin（∠BAD﹣∠CAD）＝sin∠BAD cos∠CAD﹣cos∠BAD sin∠CAD ＝×+×＝，∴由正弦定理知＝，∴BC＝•sin∠BAC＝×＝318．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40 单）的部分每单抽成4元，超出40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）＝＝．（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152，当a＝39时，X＝39×4＝156，当a＝40时，X＝40×4＝160，当a＝41时，X＝40×4+1×6＝166，当a＝42时，X＝40×4+2×6＝172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．（6分）故X的分布列为：（8分）∴E（X）＝＝162．（9分）（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1＝39.5．（10分）所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5＝149元．（11分）由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．（12分）19．（12分）如图甲，在平面四边形P ABC中，P A＝AC＝2，P A＝AC＝2，∠P ＝45°，∠B＝90°，∠PCB＝105°，现将四边形P ABC沿AC折起，使平面P AC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC…..…．（3分）又由图甲知BC⊥BA，P A∩BA＝A，∴BC⊥平面P AB，又AD⊂平面P AB，∴BC⊥AD．…..…．（6分）（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．则，，，，，若存在点E，设，（0≤λ≤1），则，…..…．（8分）设平面ADE的法向量为，则，即令z＝λ，则，故平面ABC的法向量＝（0，0，1），…..…（10分），，解得．∴存在点E，且点E为棱PC的中点．（12分）20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x＝﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ＝∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．焦点为，∴b＝2…（1分）e＝＝，a2﹣b2＝c2，∴解得a2＝16，b2＝12∴椭圆C的标准方程．…（3分）（2）①直线x＝﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|＝6，…（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12＝0，由△＝m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，由韦达定理得x1+x2＝﹣m，，…（6分）由A，B两点位于直线x＝﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0解得﹣2＜m＜4，…（7分）∴S＝•|PQ|•|x1﹣x2|＝•|PQ|•＝3，∴当m＝0时，S最大值为．…（8分）②当∠APQ＝∠BPQ时直线P A，PB斜率之和为0．设P A斜率为k，则PB斜率为﹣k．当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，P A的直线方程为y﹣3＝k（x+2）…（9分）与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48＝0∴；同理∴…（10分）y1﹣y2＝k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]直线AB斜率为…（11分）当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）＝0，得x＝1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x＝1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）＝﹣1+a＝0，解得a＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x＝1得，f（1）＝ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）＝f（x）﹣kx2＝ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）＝0，得x1＝0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）＝0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）＝f（x）+x＝ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0．即，得证．故原不等式恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB＝11，EF＝6，FD＝4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO＝P A⋅PB．【解答】（Ⅰ）解：由相交弦定理，得F A•FB＝FE•FD，（1分）即（11﹣FB）•FB＝6×4，（2分）解得BF＝3或BF＝8，（3分）因为AF＞BF，所以BF＝3．（4分）（Ⅱ）证明：连接OC，OE．因为弧AE等于弧AC，所以，（5分）所以∠POC＝∠PDF，（6分）又∠P＝∠P，所以△POC∽△PDF，（7分）所以，即PO•PF＝PC•PD，（8分）又因为P A•PB＝PC•PD，（9分）所以PF•PO＝P A•PB．（（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R＝1．∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+＝＝+＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x ﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）＝3，∴m+n+p＝f（2）＝3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。

广东省深圳市六校联盟2016届高三高考模拟数学(理)试题(A卷) 含答案

绝密★启用前2016届“六校联盟”高考模拟理科数学试题（A卷)命题学校：深圳实验本试卷共6页,21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=．一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数,则a 的值等于( ）A ． 1-B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（ ) A ．00,0x xR e ∃∈≤ B ．2,2xx R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1a b=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件 3．（东莞中学第6题）在等比数列{}na 中，首项11a=，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}na 的前n 项之积为nT ，则10T 的值为( ) A 。

广东省六校联盟2016届高考数学模拟试题(A卷)理

2016届“六校联盟”高考模拟理科数学试题 (A 卷)本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、某某和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=．一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（）A ．00,0xx R e ∃∈≤B ．2,2xx R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件3．(某某中学第6题)在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为（）A.921-B.362C.1021-D.4524．在平面直角坐标系中,不等式组22x y x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域的面积是（）A ．82B ．8C ．42D ．45．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数3cos ()1 sin xf x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（）A ．32πB ．3πC ．8πD ．π65 6.已知边长为23的菱形错误!未找到引用源。

广东省深圳市2016届高三数学下学期第一次调研考试试题理(含解析)

2021年深圳市高三年级第一次调研考试数学〔理科〕一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求．1．集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，那么A B =〔〕 A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤D ．{2}x x ≤【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，那么z 在复平面内对应点在〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】，应选D ．3．平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 夹角为120，且()(2)λ+⊥-a b a b ，那么实数λ值为〔〕A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，4．假设变量,x y 满足约束条件那么z x y =-最小值为〔〕 A ．3- B ．1 C ．2- D ．2 【答案】C5．公差为1等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，那么{}n a 前10项与为〔〕A ．65B ．80C ．85D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．6．假设函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<图像过点，那么该函数图像一条对称轴方程是〔〕A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴．∵，应选D ．7．展开式中常数项为〔〕A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B 【解析】通项662166(1)(1)r r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =． ∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出是某几何体三视图，那么在该几何体中，最长棱长度是〔〕A． B． C ．6 D．【答案】D【解析】该几何体为边长为4正方体局部，如图，最长边为4PC =9．4名同学参加3项不同课外活动，假设每名同学可自由选择参加其中一项，那么每项活动至少有一名同学参加概率为〔〕A ．49B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵．10．点S 、A 、B 、C 同一球面上，点S 到平面ABC 距离为12，AB BC CA ===那么点S 与ABC ∆中心距离为〔〕A B C ．1 D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径，依题意，1OO ⊥平面ABC ，作21SO OO ⊥，垂足为2O ，那么，∴2O 为1OO 中点，∴1SO SO R ===11．过点(0,2)b 直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条斜率为正值渐进线平行，假设双曲线C 右支上点到直线l 距离恒大于b ，那么双曲线C 离心率为取值范围是〔〕A ．(1,2]B ．(2,)+∞C ．(1,2)D ．【答案】AC D A B P【解析】直线l方程为，∵双曲线C右支上点到直线l距离恒大于b，直线l与直线之间距离，12．函数2f x x ax x=-+有两个零点，那么实数a取值范围是〔〕()lnA．(0,1)B．(,1)-∞C．D．【答案】A【解析】2=-+=，()ln0f x x ax x得，令，那么令()12ln=--，那么，h x x x∴()12ln+∞上为单调减函数，=--在(0,)h x x x∵(1)0h x<，h=，∴(0,1)x∈+∞时，()0h x>，(1,)x∈时，()0∴(0,1)x∈+∞时，()0g x'<，g x'>，(1,)x∈时，()0∴()g x在1x=处取得极大值，也是最大值，∵时，2g x e e=-+<，()0x→+∞时，()0g x>，∴0a>，综上，(0,1)a∈．二、填空题：本大题4小题，每题5分，总分值20分13．(),()f xg x分别是定义域为R奇函数与偶函数，且()()3x+=，f xg x那么(1)f值为______．【答案】43【解析】∵()(),()()-=--=，f x f xg x g x14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术〞，利用“割圆术〞刘徽得到了圆周率准确到小数点后两位近似值3.14，这就是著名“徽率〞．如图是利用刘徽“割圆术〞思想设计一个程序框图，那么输出n值为______．〔参考数据：sin150.2588=〕=，sin7.50.1305【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，且倾斜角为4π直线与抛物线交于,A B 两点，假设弦AB 垂直平分线经过点(0,2)，那么p 等于______．【答案】45【解析】直线AB 方程为，由，得2220y py p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)x y ，那么，，∴弦AB 垂直平分线方程为， ∵弦AB 垂直平分线经过点(0,2)，16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，假设{}n a 为等比数列，那么1a 取值范围是______．【答案】【解析】当212a <时，2224a ==，假设{}n a 为等比数列，那么2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==，假设{}n a 为等比数列，那么2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，假设{}n a 为等比数列，那么2213a a a =，即211(2)9a a =，与14a >矛盾，故． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =． ∴1a 取值范围是．三、解答题：本大题共8小题，总分值70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．〔本小题总分值12分〕如图，在ABC ∆中，60C =，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．〔1〕求cos B 值；〔2〕求sin BAC ∠值与边BC 长．【解析】〔1〕在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有〔2〕∵0B π<<，∴sin 31B ==．在ABC ∆中，根据正弦定理，有,18．〔本小题总分值12分〕根据某水文观测点历史统计数据，得到某河流水位X 〔单位：米〕频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段频率作为相应段概率，并假设每年河流水位互不影响〔1〕求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈概率〔结果用分数表示〕；〔2〕该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米水位，需要工程费用2000元；DB CA方案三：不采取措施；试比拟哪种方案较好，并请说理由．【解析】〔1〕由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈概率为：∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈概率为2732．〔2〕由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3损失，由题意知13800X =，2X 分布列如下：3X 分布列如下：因为采取方案2平均损失最小，所以采取方案2较好．19．〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2菱形，60ABC ∠=，PA PB ⊥，2PC =．〔1〕求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；〔2〕假设PA PB =，求二面角A PC D --余弦值. 【解析】〔1〕取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=，∴ABC ∆是等边三角形． ∵AB PO O =，∴CO ⊥平面PAB ．PADCB∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．〔2〕∵22222211OP OA PA +=+==，由〔1〕知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，那么(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．设平面APC 法向量为(,,)x y z =m ，由，得，取1x =，得(1,=m ，设平面PCD 法向量为(,,)x y z =n ，由，得，取1x =，得=n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角，∴二面角A PC D --余弦值． 20．〔本小题总分值12分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点〔1〕求椭圆E 方程；〔2〕直线l 被圆22:3O x y +=截得弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积最大值．【解析】〔1〕∵c e a ===∴222a b =．∴故E 方程可化为，由，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =．∴椭圆E 方程为．〔2〕记O 到直线l 距离为d ，由垂径定理可得，解得．当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l 方程为．由，解得，∴．∴128ABO S AB d ∆=⋅=．当直线l 与y 轴不平行，设直线l 方程为y kx m =+，∴，∴．由，得2221()2102k x kmx m +++-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，那么2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．令，那么．当且仅当32t =时，等号成立，∵，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵，∴1k =±时，． 21．〔本小题总分值12分〕函数()(1)x f x x e =+与函数2()()(1)x g x e a x =--〔e 为自然对数底数〕．〔1〕求函数()f x 单调区间；〔2〕判断函数()g x 极值点个数，并说明理由；〔3〕假设函数()g x 存在极值为22a ，求a 值.【解析】〔1〕()(2)x f x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-． ∴()f x 单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．〔2〕()(1)[(1)2)(1)[()2)x g x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0x f x x e =+≤．①当0a e <<时，由〔1〕知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->，∴∃唯一0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题计分，作答时写清题号22．〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．〔1〕证明：,,,C E F D 四点共圆；〔2〕假设D 为BC 中点，且3AF =，1FD =，求AE 长．【解析】〔1〕连结EF 、BE ，那么ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 直径，∴AE BE ⊥． ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=， ∴,,,C E F D 四点共圆．〔2〕∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 直径， ∴BC 是O 切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∵D 为BC 中点，∴4BC =，22(23)427AC =+= ∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC AF AD ⋅=⋅． ∴2712AE =,即．23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，直线l 参数方程为为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为．〔1〕写出直线l 极坐标方程与曲线C 直角坐标方程；〔2〕假设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求值．【解析】〔1〕由，得当时，直线为0x =，其极坐标方程为与；当时，消去参数t 得tan y x α=⋅，CO E FFE OCD第 11 页又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α直线，∴直线l 极坐标方程为θα=与θαπ=+综上所述，直线l 极坐标方程为θα=与(0)θαπαπ=+<<．由，得cos p ρρθ-=，整理得．〔2〕设1122(,),(,)A B ρθρθ，由，，即,由，，即,24．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数()3()f x x a x a R =++-∈．〔1〕当1a =时，求不等式()8f x x ≥+解集；〔2〕假设函数()f x 最小值为5，求a 值．【解析】〔1〕当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴，或，或，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式解集为(,2][10,)-∞-+∞．〔2〕∵()3f x x a x =++- 令35a +=，解得2a =，或8a =-．。

2016届深圳一模理科数学(逐题详解)

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A = x y = A． x -3 £ x £ 1
{
(1 - x )( x + 3 )
} , B = { x log x £ 1} ,则 A I B = (
1 3 3 1 ´ 6sin 60° = < 3.10 ；第二次: n = 12 , S = ´ 12 sin 30 ° = 6 ´ 2 2 2 1 1 = 3 < 3.10 ；第三次: n = 24 , S = ´ 24 sin15° = 12 ´ 0.2588 = 3.1056 > 3.10 ,输出 n = 24 . 2 2 y A 2 p 2 15.过抛物线 y = 2 px ( p > 0 )的焦点 F ,且倾斜角为的直线与抛物线交于 4
2
)
D．170
2 【解析】C；依题意得 a3 = a1a6 ,即 ( a1 + 2 ) = a1 ( a1 + 5 ) ,解得 a1 = 4 ,所以 S10 = 40 +
10 ´ 9 ´ 1 = 85 . 2
)
6．若函数 f ( x ) = 2 sin ( 2 x + j ) ( j < A． x =
O
1 2
1 2
2 1 O 1 S 1 2 H
【解析】B；设 DABC 的中心为 O 1 ,球心为 O ,则 O1 A =
1 3 × = 1 (即 DABC 外接圆 2 sin 60°
半径 r ), OO1 = R 2 - r 2 = 1 ,作 SH ^ 面 ABC ,画出示意图如图所示,显然 SO1 = 11.过点 ( 0, 2b ) 的直线 l 与双曲线 C :