【TS】2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(【编辑版本】)

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2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分)1．(4分)(2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．考点：二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2(2x)=﹣[2cos2(2x)﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为:点评：本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题．2．（4分)（2014•上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位，则(z+）•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解:复数z=1+2i，其中i是虚数单位,则（z+)•==（1+2i)（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评:本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查．3．(4分)（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是（2,0），又y2=2px(p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为:x=﹣2点评:本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）（2014•上海)设f（x)=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点: 分段函数的应用；真题集萃．专题: 分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解:当a＞2时，f(2)=2≠4,不合题意;当a=2时，f(2)=22=4，符合题意;当a＜2时,f（2）=22=4,符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞,2]．点评：本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．(4分)（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点: 基本不等式．专题: 不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1,∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）(2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．考点: 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,∴==3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示:则cosθ==,∴θ=arccos,故答案为：arccos点评:本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．(4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析:由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n｝的公比为q,a1=（a3+a4+…a n）=(﹣a1﹣a1q）=,∴q2+q﹣1=0,解得q=或q=（舍）．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用．9．（4分）（2014•上海）若f（x)=﹣,则满足f(x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解:f（x）=﹣,若满足f（x)＜0,即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0,1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用,考查计算能力．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1,2，3)，（2，3，4），（3，4,5）,（4，5，6)，（5,6，7），（6，7，8），（7，8,9），（8,9，10)，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为：．点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）（2014•上海)已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2｝，则a+b=﹣1．考点: 集合的相等．专题: 集合．分析：根据集合相等的条件,得到元素关系，即可得到结论．解答：解:根据集合相等的条件可知,若｛a，b｝=｛a2，b2}，则①或②，由①得,∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合｛1，1}不满足条件．若b=a2,a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．(4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π］上恰有三个解x1,x2，x3,则x1+x2+x3=．考点: 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题: 三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin(x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π］上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0,x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为:点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）(2014•上海)某游戏的得分为1，2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4。

14年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载

4
6．若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结果用反三角函数表示）。
7．已知曲线 C 的极坐标方程为 3cos 4sin 1 ，则 C 与极轴的交点到极点的
距离为___________。
8．设无穷等比数列 an 的公比为
q ________。
2014 年高考真题理科数学（解析版）卷
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科）一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．函数 y 1 2 cos2 2x 的最小正周期是______________。
2．若复数
z

1

2i
，其中
i
是虚数单位，则
3．若抛物线 y2 2 px 的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方 95
程为_______________。
4．设
f
x
x

x
2
x a
，若
x a
f
2
5．若实数 x, y 满足 xy 1，则 x2 2 y2 的最小值为______________。

z
lim
n
x

1 z

z

______________。
的取值范围是_______________。
a3

a4

的取值范围为________________。
an
，则
Hale Waihona Puke 上海2014 年高考真题理科数学（解析版）卷

2014高考真题理科数学(上海卷)

2014高考真题理科数学（上海卷）函数【答案解析】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.【答案解析】 6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案解析】x=-2设若，则a的取值范围为_____________.【答案解析】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.【答案解析】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

【答案解析】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是。

【答案解析】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。

【答案解析】【答案解析】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）。

【答案解析】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b= 。

【答案解析】-1设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则。

【答案解析】某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。

若=4.2，则小白得5分的概率至少为。

【答案解析】已知曲线C：，直线l：x=6。

若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q 使得，则m的取值范围为。

【答案解析】设,则“”是“”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【答案解析】 B如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案解析】 A已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解【答案解析】 B若是的最小值，则的取值范围为（）。

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)0，2]【答案解析】 D底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案解析】4,4,4；设常数，函数（1）若=4，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案解析】(1)(1)(2)如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【答案解析】(1) (2)(1)(2)在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0，则称点被直线分隔。

2014年高考上海理科数学试题及答案（解析版）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x 的最小正周期是．【答案】2【解析】原式＝cos4x ，242T．（2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z ，其中i 是虚数单位，则1zzz．【答案】6【解析】原式＝211516z z z．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22ypx 的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．【答案】2x 【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)x x a f x xx a ，若(2)4f ，则a 的取值范围为．【答案】2a 【解析】根据题意，2[,)a ，∴2a ．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy ，则222xy 的最小值为．【答案】22【解析】2222222xyx y．（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S 侧底，∴23r R r ，即3Rr ，∴1cos3，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1，则C 与极轴的交点到极点的距离是．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341xy，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列n a 的公比为q ，若134lim n n a a a a L ，则q ．【答案】512【解析】223111510112a a qa qq qqq，∵01q，∴512q．P2P5P 6P7P 8P4P3P1B A（9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x，则满足()0f x 的x 的取值范围是．【答案】(0,1)【解析】2132()f x x x，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)．（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115PC．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab，集合22,,a ba b，则a b ．【答案】1【解析】第一种情况：22,a a b b ，∵0ab ，∴1a b ，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,ab ba ，∴431a a a ，∴210a a ，即1ab ．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a 使方程sin 3cos xxa 在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ．【答案】73【解析】化简得2sin()3x a ，根据下图，当且仅当3a 时，恰有三个交点，即12370233x x x ．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若()4.2E ，则小白得5分的概率至少为．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ，且123451p p p p p ，∴12345444444p p p p p ，与前式相减得：1235320.2p p p p ，∵0ip ，∴1235532p p p p p ，即50.2p ．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线2:4C xy ，直线:6l x ．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ u u u r u uu r r，则m 的取值范围为．【答案】1615【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622PQP x x x m，∵20P x ，∴[2,3]m ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，理15，5分】设,a b R ，则“4a b ”是“2a 且2b ”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a ，1b ；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2,, 8)i AB AP i uu u r u u u rK 的不同值的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】AACBD【解析】根据向量数量积的几何意义，i ABAP u uu ru uu r 等于AB uu u r 乘以i AP u u u r 在AB u uu r 方向上的投影，而i AP uu u r 在AB uu u r方向上的投影是定值，AB u u u r 也是定值，∴i AB AP u uu ru u u r 为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1ykx （k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a xb y的解的情况是（）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解（B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解（D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解【答案】B 【解析】由已知条件111b ka ，221b ka ，11122122a b D a b a b a b 122112(1)(1)0a ka a ka a a ，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.xa xf x xa xx若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[1,2]（B ）[1,0]（C ）[1,2]（D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x 的情况，是一个对称轴为xa 的二次函数，当0a 时，min()()(0)f x f a f ，不符合题意，排除AB 选项；当0a 时，根据图像min ()(0)f x f ，即0a符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ，60ABC，∴11260ABP BAP CBP ，∴160P ，同理2360P P ，∴123PP P 是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以123PP P 边长为4；∴3222123VAB．（20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a，函数2()2x xa f x a ．（1）若4a，求函数()yf x 的反函数1()yfx ；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()yf x 的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a，∴24()24x xf x y ，∴4421xyy ，∴244log 1y x y，∴1244()log 1xyfx x ，(,1)(1,)xU ．……６分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxa a aa ，整理得(22)0xxa ，∴0a ，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxaaa a，整理得210a，∵0a，∴1a，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数．……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为和．（1）设计中CD 是铅垂方向．若要求2，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．BA CP 3P 1P 2解：（1）设CD 的长为x 米，则tan,tan3580x x ，∵202，∴tantan 2，∴22tan tan1tan，∴2221608035640016400x x x xx，解得020228.28x ，∴CD 的长至多为28.28米．……６分（2）设,,DBa DAb DCm ，180123.43ADB，则sinsina AB ADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a∴2280160cos18.4526.93maa ∴CD 的长为26.93米．……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c ．若0，则称点12,P P 被直线l 分割．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线．（1）求证：点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割；（2）若直线ykx 是曲线2241x y 的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B 分别代入1x y ，得(121)(11)40，∴点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割．……3分（2）联立2241xy ykx，得22(14)1k x，依题意，方程无解∴2140k，∴12k或12k．……8分（3）设(,)M x y ，则22(2)1x y x，∴曲线E 的方程为222[(2)]1xy x①当斜率不存在时，直线0x ，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P 为E 上两点，且代入0x ，有10，∴0x 是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx ，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，令2432()(1)441f x kxkx x，则(0)1f ，22(1)143(2)f kkk，22(1)143(2)f kkk，当2k 时，(1)0f ，∴(0)(1)0f f ，即()0f x 在(0,1)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点当2k时，(0)(1)0f f ，即()0f x 在(1,0)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点，∴直线ykx 与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x 是E 的分割线．……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列n a 满足1133nnn a a a ，*n N ，11a ．（1）若2342,,9a a x a ，求x 的取值范围；（2）设n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a L ．若1133nnn S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000ka a a L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ，∴263x ，又343133a a a ，∴327x ，综上可得36x ．……3分（2）由已知得1n na q ，又121133a a a ，∴133q ，当1q 时，n S n ，1133n nn S S S ，即133n nn ，成立；当13q时，11nnq S q ，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qqq q q ，∴111331n nqq ，此不等式即1132032n n n nq q qq，∵1q ，∴132(31)2220n nnnqqq q q ，对于不等式1320n nq q，令1n ，得2320qq ，解得12q ，又当12q 时，30q ，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n nnq qq q q qq q 成立，∴12q ，当113q 时，11nnqS q，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qq q q q，即11320320n n n nq q qq ，310,30q q，∵132(31)2220n nnnq qq q q，132(3)2(3)2(1)(2)n nnqqq q q q q q∴113q 时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q．……10分（3）设公差为d ，显然，当1000,0kd 时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3kdk dkd ，∴(21)2(25)2k d kd，当1000k 时，不等式即22,2125d dk k，∴221dk，12(1) (10002)kk kd a a a k，∴1000k时，200022(1)21k dk kk ，解得10009990001000999000k ，∴1999k ，∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdk k ．……18分。

2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=8．（4分）设无穷等比数列{a．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a=（a3+a4+…a n）1=（﹣a﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求求出S n分别代入不等式S n≤S n+1出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n≤3S n，即，+1∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，≤3S n，即，，S n≤S n+1∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k 的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。

2014年上海春季高考数学试卷【修正】(含答案解析)

已知椭圆 C : 【解：（1）由题意知： F ( a 2 1,0) ， B(0,1) ，即： FB ( a 2 1,1) 直线 FB 的一个方向向量为 (1, 解得： a 2
3 3 ) ，所以 ( a 2 1,1) / /(1, ) 3 3
x2 （2） a 2 时，椭圆方程是 y 2 1。 2 M ( x , y ) N ( x , y ) 设点 1 1 ，点 2 2
18．
cos sin
sin cos
（
）
1
2； (C) 1 ； ( A) cos 2 ； ( B) s i n ( D ) 1 。 x 19．设 x0 为函数 f ( x) 2 x 2 的零点，则 x0 （）； ) (C) ( 0 , 1 ) ) ( A) (2, 1) ； ( B) ( 1, 0； ( D) ( 1, 2。 20．若 a b ， c R ，则下列不等式中恒成立的是（） 1 1 a b ；。 2 ( A) ； ( B) a2 b2 ； (C) a c b c ( D) 2 a b c 1 c 1 21．若两个球的体积之比为 8: 27 ，则它们的表面积之比为（） ( A) 2 : 3 ( B) 4 : 9 (C) 8: 27 ( D) 2 2 : 3 3 22．已知数列 an 是以 q 为公比的等比数列。若 bn 2an ，则数列 bn 是（） ( A) 以 q 为公比的等比数列； ( B) 以 q 为公比的等比数列； (C) 以 2q 为公比的等比数列； ( D) 以 2q 为公比的等比数列。 23．若点 P 的坐标为 (a, b) ，曲线 C 的方程为 F ( x, y) 0 ，则“ F (a, b) 0 ”是“点 P 在曲线 C 上”的（） ( A) 充分非必要条件； ( B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； ( D) 既非充分又

2014年高考文科数学上海卷-答案

x2 y2 1的右焦点重合，故 p 2 得 p 4 ，∴抛物线的准线方程为 x p 2 .故答案为： x 2 .
95
2
2
【提示】由题设中的条件 y2 2 px (p 0)的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右 95
焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程.
即可. 【考点】一次函数的性质与图象. 三、解答题 19.【答案】 2 2
3 【解析】依题意：△P1P2P3 是边长为 4 的正三角形，折叠后是棱长为 2 的正四面体 y f (x) （如图）.
设顶点 A、B 在底面 C 内的投影为 CD ，连接 D ，
则 B 为△ABC 的重心，和底面 CD . BO 3 , AB 2 3 ,
【提示】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案.
【考点】平面向量数量积的运算.
18.【答案】B
【解析】解：P(a1,b1) 与 P2 (a1,b1) 是直线 y kx 1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y kx 1 的斜率存在，
∴
k
b2 a2
b1 a1
，即
a1
a2
a b
a2 b2
①或
a b
b2 a2
②，由①得
a b
0或a 0或b
1 ，
1
∵ ab 0 ，∴ a 0 且 b 0 ，即 a 1， b 1，此时集合{1,1}不满足条件. 由②得，若 b a2 ， a b2 ，则两式相减得 a2 b2 b a ，即 (a b)(a b) (a b) ， ∵互异的复数 a，b，∴ a b 0 ，即 a b 1 ，故选：D. 【提示】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论. 【考点】集合的相等. 17.【答案】C 【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0) ，B(0,2) ，P1(0,1) ，P2 (1,0) ，P3 (1,1) ，P4 (1,2) ，P5 (2,0) ，

【文】2014上海高考数学试卷及答案

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2、本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是．2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3、设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 5、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．6、若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为．7、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．8、在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于． 9、设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为． 10、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = ．11、若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是．12、方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有的解的和等于．13、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．14、已知曲线:C x =:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1-17、如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点，则(1, 2, , 7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（） (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解(C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记 1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）参考答案一、填空题（第1题至第14题）1．2π 2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6． 7．1arcsin 38．24 9．(],2-∞ 10 11．(0,1) 12．73π 13．115 14．[2,3]二、选择题（第15题至第18题）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（第19题至第23题）19、[解]：在123PP P ∆中，13PA P A =，23PC PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==．同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4．设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =，PQ ==．从而，133ABC V S PQ ∆=⋅=． 20、[解]：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-．因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞．（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21、[解]：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米．（2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD AB ααβ=+ ，解得85.064BD ≈．在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．22、[证]：（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．[解]：（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx ⎧-=⎨=⎩有解，即12k <．因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥．当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<，即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞． [证]：（3）设M的坐标为(,)x y ，则曲线E 1x =，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线． 23、[解]：（1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m=时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =． ① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤． ② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件． ③ 当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<．综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。

2014年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2014 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分。

2（2x）的最小正周期是．1．（ 4 分）（ 2014?上海）函数 y=1﹣ 2cos考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．剖析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．22=﹣ [2cos （ 2x ）﹣ 1]∴函数的最小正周期为T==故答案为：评论：此题观察二倍角的余弦公式，波及三角函数的周期，属基础题．2．（ 4 分）（ 2014?上海）若复数z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（z+）?= 6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．剖析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混淆运算化简求解即可．解答：解：复数 z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（ z+）?==（ 1+2i ）（ 1﹣2i ）+12=1 ﹣ 4i +1=2+4=6 ．故答案为： 6评论：此题观察复数代数形式的混淆运算，基本知识的观察．23．（ 4 分）（ 2014?上海）设常数a∈R，函数 f（ x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f（ 2）=1，则 f（ 1）=3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．2剖析：利用 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|， f（ 2）=1，求出 a，而后求解 f （ 1）即可．2解答：解：常数 a∈R，函数 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f （ 2） =1 ，∴ 1=|2﹣ 1|+|22﹣a|，∴ a=4，函数 f （ x ）=|x ﹣ 1|+|x 2﹣ 4|，∴ f （ 1） =|1﹣1|+|12﹣ 4|=3，故答案为： 3．评论：此题观察函数值的求法，基本知识的观察．2+=1 的右焦点重合，则该抛物4．（ 4 分）（ 2014?上海）若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆线的准线方程为x=﹣ 2 ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由题设中的条件 y 2=2px （ p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故能够先求出椭圆的右焦点坐标，依据两曲线的关系求出 p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+ =1，故它的右焦点坐标是（ 2， 0），又 y 2=2px （p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故得 p=4 ，∴抛物线的准线方程为x= ﹣ =﹣2．故答案为： x= ﹣ 2评论：此题观察圆锥曲线的共同特点，解答此类题，重点是娴熟掌握圆锥曲线的性质及几何特点，娴熟运用这些性质与几何特点解答问题．5．（ 4 分）（ 2014?上海）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名．为认识该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．剖析：依据分层抽样的定义，成立比率关系，即可获得结论．解答：解：∵高一、高二、高三分别有学生1600 名， 1200 名， 800 名，∴若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x ，则，解得x=90 ，则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣ 20=70 ，故答案为： 70．评论：此题主要观察分层抽样的应用，比较基础．6．（ 4 分）（ 2014?上海）若实数 22的最小值为 2．x ， y 知足 xy=1 ，则 x +2y 考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．剖析：由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵ xy=1 ，∴ y=∴ x 2+2y 2 =x 2+ ≥2=2 ，2当且仅当 x =，即 x= ± 时取等号，故答案为： 2评论：此题观察基本不等式，属基础题．7．（ 4 分）（ 2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin （结果用反三角函数值表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间地点关系与距离．剖析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，从而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，∴= =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，故圆锥的轴截面以下列图所示：则 sin θ= = ，∴ θ=arcsin ，故答案为： arcsin评论：此题观察的知识点是旋转体，此中依据已知获得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的重点．8．（ 4 分）（ 2014?上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图以下图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3， 4， 5，故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为 3 的柱体，其底面面积为 4×5﹣ 2×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣ 36=24，故答案为： 24评论：此题观察的知识点是由三视图求体积，此中依据已知中的三视图剖析出几何体的形状是解答的重点．9．（ 4 分）（ 2014?上海）设f（ x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．剖析：分别由 f （ 0） =a， x≥2，a≤x+综合得出a 的取值范围．解答：解：当 x=0 时， f（ 0）=a，由题意得： a≤x+，又∵ x+ ≥2=2，∴a≤2，故答案：（∞， 2]．点：本观察了分段函数的用，基本不等式的性，是一道基．10．（ 4 分）（ 2014?上海）无等比数列{a n} 的公比q，若 a1=（a3+a4+⋯a n），q=．考点：极限及其运算．：等差数列与等比数列．剖析：由已知条件推出a1=，由此能求出q 的．解答：解：∵无等比数列{a n} 的公比q，a1=（a3+a4+⋯a n）=（a1a1q）=，∴q 2+q 1=0，解得 q=或q=（舍）．故答案：．点：本考等比数列的公比的求法，是中档，解要真，注意极限知的合理运用．11．（ 4 分）（ 2014?上海）若 f（ x）=，足f（x）＜0的x的取范是（0，1）．考点：指、数不等式的解法；其余不等式的解法．：不等式的解法及用．剖析：直接利用已知条件化不等式求解即可．解答：解： f（ x）=，若足f（ x）＜ 0，即＜，∴，∵ y=是增函数，∴的解集为：（0， 1）．故答案为：（ 0， 1）．评论：此题观察指数不等式的解法，函数的单一性的应用，观察计算能力．12．（ 4 分）（ 2014?上海）方程 sinx+cosx=1 在闭区间 [0，2π]上的全部解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．剖析：由三角函数公式可得 sin（ x+）= ，可知 x+=2k π+ ，或 x+ =2kπ+，k∈Z，联合 x∈[0，2π]，可得 x 值，乞降即可．解答：解：∵ sinx+cosx=1，∴sinx+cosx= ，即 sin（ x+ ） = ，可知 x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵ x∈[0，2π]，∴ x=，或x=，∴+=故答案为：．评论：此题观察两角和与差的三角函数公式，属基础题．13．（ 4 分）（ 2014?上海）为加强安全意识，某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．剖析：要求在将来的连续10 天中随机选择3天进行紧迫分散操练，选择的 3 天恰巧为连续 3天的概率，须先求在10 天中随机选择 3 天的状况，再求选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况，即可获得答案．解答：解：在将来的连续10 天中随机选择3天共有种状况，此中选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况有8 种，分别是（ 1， 2， 3），（ 2，3，4），（ 3，4， 5），（4， 5， 6），（ 5， 6，7），（ 6，7， 8），（7， 8， 9），（ 8， 9，10），∴选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是，故答案为：．评论：此题观察古典概型以及概率计算公式，属基础题．14．（ 4 分）（ 2014?上海）已知曲线C： x= ﹣，直线l： x=6，若对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，则m 的取值范围为[2， 3]．考点：直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：+ = ，说明 A 是 PQ 的中点，联合 x 的范围，经过曲线方程判断曲线特点，经过求出 m 的范围即可．解答：，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，而且 x P∈[﹣ 2， 0]，解：曲线 C： x=﹣对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，说明 A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6 ，∴ m=∈[2，3]．故答案为： [2， 3]．评论：此题观察直线与圆的地点关系，函数思想的应用，观察计算能力以及转变思想．二、选择题（共 4 题，满分零分15．（ 5 分）（ 2014?上海）设A ．充分非必需条件C．充要条件20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得a，b∈R，则“a+b＞ 4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的（B．必需非充足条件D．既非充足又非必需条件5 分，不然一律得）考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：简略逻辑．剖析：依据不等式的性质，利用充足条件和必需条件的定义进行判断．解答：解：当 a=5， b=0 时，知足a+b＞ 4，但 a＞ 2 且 b＞2 不可立，即充足性不可立，若 a＞ 2 且 b＞ 2，则必有a+b＞4，即必需性成立，故“a+b＞4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的必需不充足条件，应选： B．评论：此题主要观察充足条件和必需条件的判断，依据不等式的性质是解决此题的重点，较基础．比16．（ 5 分）（ 2014?上海）已知互异的复数a， b 足 ab≠0，会合 {a ， b}={a2，b2} ， a+b=（）A ． 2B． 1C． 0D． 1考点：集合的相等．：集合．剖析：依据会合相等的条件，获得元素关系，即可获得．解答：解：依据会合相等的条件可知，若22，{a ， b}={a ， b }① 或② ，由① 得，∵ ab≠0，∴ a≠0 且 b≠0，即 a=1， b=1 ，此会合 {1 ， 1} 不足条件．由②得，若 b=a 2，a=b2，两式相减得a2b2=b a，即（ a b）（ a+b）=（ a b），∵互异的复数a， b，∴a b≠0，即 a+b= 1，故： D．点：本主要考会合相等的用，依据会合相等获得元素同样是解决本的关，注意要行分．17．（ 5 分）（ 2014?上海）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条， P i（ i=1 ，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不一样的个数（）A ．7B． 5C．3D．1考点：平面向量数目的运算．：算；平面向量及用．剖析：成立适合的平面直角坐系，利用坐分求出数目，由果可得答案．解答：解：如成立平面直角坐系，A （ 0， 0），B （ 0， 2）， P1（0， 1），P2（ 1， 0）， P3（ 1， 1）， P4（1， 2），P5（ 2，0）， P6（2，1），P7（ 2， 2），∴，=（ 0， 1），=（ 1， 0），=（1， 1），=（ 1， 2），=（ 2， 0），=（ 2， 1），=（2， 2），∴=2 ，=0，=2，=4，=0，=2，=4，∴? （ i=1 ， 2，⋯， 7）的不一样的个数 3，故 C．点：本考平面向量的数目运算，属基．18．（ 5 分）（ 2014?上海）已知P1（ a1， b1）与 P2（a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，对于x 和 y 的方程的解的状况是（）A．无 k， P1， P2怎样，是无解B．无 k， P1， P2怎样，有独一解C．存在 k， P1， P2，使之恰有两解D ．存在 k， P1， P2，使之有无多解考点：一次函数的性与象．：函数的性及用；直与．剖析：判断直的斜率存在，通点在直上，推出a1， b1， P2， a2， b2的关系，而后求解方程的解即可．解答：解： P1（a1， b1）与 P2（ a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，直y=kx+1 的斜率存在，∴ k=，即a1≠a2，而且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴ a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2 a1=a2a1，①× b2②×b1得：（a1b2a2b1） x=b 2b1，即（ a1a2）x=b 2b1．∴方程有独一解．应选： B．评论：此题观察一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面睁开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：利用侧面睁开图三点共线，判断△ P1P2P3是等边三角形，而后求出边长，利用正四周体的体积求出几何体的体积．解答：解：依据题意可得：P1， B， P2共线，∵∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠ CBP2，∠ ABC=60 °，∴∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠CBP2=60 °，∴∠ P1=60°，同理∠ P2=∠ P3=60°，∴△ P1P2P3是等边三角形， P﹣ ABC 是正四周体，∴△P1 2 3的边长为4，P PV P﹣ABC ==评论：此题观察空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面睁开图和体积的求法．20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （ x）的反函数 y=f ﹣ 1（ x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数y=f （ x）的奇偶性，并说明原因．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据反函数的定义，即可求出，（ 2）利用分类议论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决．解答：解：（ 1）∵ a=4，∴∴，∴，∴调动 x， y 的地点可得， x∈（﹣∞，﹣ 1）∪（ 1， +∞）．（ 2）若 f （ x）为偶函数，则 f （ x） =f （﹣ x）对随意 x 均成立，∴=，整理可得a（2x﹣ x） =0．﹣ 2x﹣ x∵2 ﹣2 不恒为 0，∴ a=0，此时 f（ x） =1， x∈R，知足条件；若 f（ x）为奇函数，则 f （ x） =﹣ f （﹣ x）对随意x 均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴ a=1，此时 f（ x）=，知足条件；综上所述， a=0 时， f （x）是偶函数，a=1 时， f（ x）是奇函数．评论：此题主要观察了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类议论的思想，属于中档题．21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在 A 、B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD ，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD 的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后， CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12°，β=18.45 °，求 CD 的长（结果精准到 0.01 米）．考点：解三角形的实质应用．专题：解三角形．剖析：（ 1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式成立不等式关系即可获得结论．（ 2）利用正弦定理，成立方程关系，即可获得结论．解答：解：（ 1）设 CD 的长为 x 米，则 tanα=， tanβ=，∵ 0，∴tanα≥tan2β＞0，∴ tan，即=，解得 0≈28.28，即 CD 的长至多为 28.28 米．（2）设 DB=a ， DA=b ， CD=m ，则∠ADB=180 °﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即 a=，∴ m=≈26.93，答： CD 的长为 26.93 米．评论：此题主要观察解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的重点．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l ：ax+by+c=0 和点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2），记η=（ax1+by 1+c）（ ax2+by2 +c），若η＜ 0，则称点 P1，P2被直线 l 分开，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分开，则称直线 l 为曲线 C的一条分开线．（1）求证：点 A （ 1， 2）， B （﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开；（2）若直线22k 的取值范围；y=kx 是曲线 x ﹣4y=1 的分开线，务实数（3）动点 M 到点 Q（ 0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明y 轴为曲线 E 的分开线．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．剖析：（ 1）把 A 、B 两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再依据η＜0，得出结论．（ 2）联立222≤0，可得（ 1﹣4k ） x =1，依据此方程无解，可得1﹣4k从而求得 k 的范围．222（ 3）设点M （ x， y），与条件求得曲线① ．因为 yE 的方程为 [x +（ y﹣ 2） ]x =1轴为 x=0，明显与方程①联立无解．把 P1、P2的坐标代入 x=0 ，由η=1×（﹣ 1）=﹣ 1＜ 0，可得 x=0 是一条分开线．解答：解：（ 1）把点（ 1， 2）、（﹣ 1， 0）分别代入x+y ﹣ 1 可得η=（ 1+2 ﹣ 1）（﹣ 1﹣ 1）=﹣4＜ 0，∴点（ 1，2）、（﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开．（ 2）联立22可得（ 1﹣4k ） x =1，依据题意，此方程无解，故有1﹣24k ≤0，∴ |k|≥ ．当 |k|≥ ，于直y=kx ，曲 x 24y 2=1 上的点（ 1， 0）和（ 1， 0）2足 η=k ＜ 0，即点（ 1， 0）和（ 1， 0）被 y=kx 分开．（ 3）点 M （ x ， y ），?|x|=1，故曲 E 的方程 [x2+（ y 2）2 2]x =1 ① ．随意的 y 0，（ 0， y 0）不是上述方程的解，即 y 与曲 E 没有公共点．又曲 E 上的点（ 1，2）、（ 1， 2）于 y（ x=0 ）足 η=1×（ 1） = 1＜ 0，即点（ 1，2）和（ 1， 2）被 y 分开，所以y 曲 E 的分开．点：本主要考新定，直的一般式方程，求点的迹方程，属于中档．23．（ 18 分）（ 2014?上海）已知数列{a n } 足a n ≤a n+1≤3a n ， n ∈N *， a 1=1．（1）若 a 2=2， a 3=x ， a 4=9，求 x 的取范；（2）若 {a n } 是等比数列，且a m = ，求正整数 m 的最小，以及 m 取最小相{a n }的公比；（3）若 a 1， a 2 ，⋯a 100 成等差数列，求数列 a 1， a 2，⋯a 100 的公差的取范．考点：数列的乞降；数列推式．：等差数列与等比数列．剖析：（ 1）由意可得：，，代入解出即可；（ 2）公比 q ，由已知可得，，因为，可得．而，可得，再利用数的运算法和性即可得出．（ 3）公差 d ，由已知可得3[1+（ n 2）d]，其中 2≤n ≤100，即，解出即可．解答：解；（ 1）由意可得：，∴；又，∴ 3≤x ≤27．上可得： 3≤x ≤6．（ 2）公比 q ，由已知可得，，又，∴．所以，∴，∴ m=1﹣ log q1000==1 ﹣=≈7.28．∴ m 的最小值是7，8，所以 q =∴=．（ 3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]即，令 n=1 ，得．当 2≤n≤99 时，不等式即，．∴．综上可得：公差 d 的取值范围是．评论：此题综合观察了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法例等基础知识与基本技术方法，观察了推理能力和计算能力，属于难题．。

2014年上海高考文科数学试题含答案(Word版)

23. 本题满分 18 分本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分已知数列{an}满足
1 an≤3an+1≤3an，n ∈ N*，a1=1 3 1 ，求整数 m 的最小值，以及 m 取最小值时相 {an} 1000
3
1 若 a1=2，a2=x，a3=9，求 x 的取值范围 2 若{an}是等比数列，且 am=
2x + a 2x − a
−1
1 若 a =4，求函数 y = f ( x) 的反函数 y = f 2 根据 a 的
( x)
同取值，讨论函数 y = f ( x) 的奇偶性，并说明理由.
1
21. 本题满分 14 分
本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图，某公司要在 A
．解答题本大题共 5 题，满分 74 分 19 本题满分 12 分棱锥 P −
面边长为 2 的各边长及
ABC ,其表面展开图是角形 p1 p2 p3 ，如图，求△ p1 p2 p3 的
棱锥的体
V.
20. 本题满分 14 分
本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分
设常数 a ≥ 0 ，函数 f ( x ) =
B 两地连线的定点 C 处建造广告牌 CD ，其中 D 为顶端，AC B 在同一水平面，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 α和β .
结果精确到
长 35 米， CB 长 80 米，设 A
1 设计中 CD 是铅垂方向，若要求 α ≥ 2 β ，问 CD 的长至多为多少 0.01 米？ 2 施工完成后 . CD

2014年全国高考上海市数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年上海市高考数学试卷（理科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解18. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.zxxk20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

2014年上海卷高考数学试题详解

2014年上海卷高考数学试题详解一、填空题【1】（A ，上海，理1）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是______. 考点名称：三角恒等变形【1】（A ，上海，理1）2π解析：因212cos (2)1(1cos 4)y x x =-=-+=cos4x -，所以2T π=.【2】（A ，上海，理2）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=________. 考点名称：复数【2】（A ，上海，理2）6 解析：11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.【3】（A ，上海，理3）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.考点名称：圆锥曲线及其标准方程【3】（A ，上海，理3）2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-.【4】（A ，上海，理4）设2,(,),(),[,.x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为_____.考点名称：函数的概念及其性质【4】（A ，上海，理4）2a ≤解析：因2(2)42f ==，所以2[,)a ∈+∞，即2a ≤.【5】（A ，上海，理5）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_____. 考点名称：不等式及其性质【5】（A ，上海，理5）解析：2222122x y y y+=+≥【6】（A ，上海，理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为_______（结果用反三角函数值表示）. 考点名称：空间几何体【6】（A ，上海，理6）1arccos3解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成的角为θ，由已知得21232r l r ππ⋅⋅=，1cos 3r l θ==，1arccos 3θ=.【7】（A ，上海，理6）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos ρθ-4sin )1θ=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_____.考点名称：极坐标系与参数方程【7】（A ，上海，理6）13解析：法1把极坐标方程化成直角坐标方程得341x y -=，令0y =得13x =，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13. 法2 令0θ=得13ρ=，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13.【8】（B ，上海，理8）设无穷数列{}n a 的公比是q .若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q =______.考点名称：数列极限【8】（B ，上海，理8解析：2334(1)lim()lim 1n n n n a q a a a q -→∞→∞-+++=-221111lim .11n n a q a q a q a q q →∞-===--解得q =.【9】（B ，上海，理9）若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_________。

2014年高考理科数学上海卷及答案

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z += .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围；（Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷第5页（共14页）数学试卷第6页（共14页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出。

2014年上海高考数学及答案

(C) 存在 k
，使之恰有两解. ,P 1 ,P 2
(D) 存在 k
，使之有无穷多解. ,P 1 ,P 2 ）
⎧( x − a) 2 , x ≤ 0, ⎪ 18. 设 f ( x) = ⎨ 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围为 [答（ ] 1 ⎪ x + + a, x > 0. x ⎩
x2 y 2 + = 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 9 5
x ∈ (−∞ , a),
2
⎩ x , x ∈ [a , + ∞).
若 f (2) = 4 ，则 a 的取值范围为____________.
5. 若实数 x , y 满足 xy = 1，则 x
+ 2 y 2 的最小值为____________.

3
,所以 P 3 AC P 1 AB

3
;
又因为 P ABC 是正三棱锥, 所以 P 3 AC 为等边三角形,所以 P 3 A AC 2 ; 3A P 3C ,所以 △P 同理可得 P 1 A 2 ,所以 P 1P 3 4, 因为 P ABC 是正三棱锥,所以 △P 1P 2P 3 是正三角形, 所以 △P 1P 2 P 1P 3 P 2P 3 4. 1P 2P 3 各边长为 P (2) 过 P 作正三棱锥高 PH ,则 H 为 △ABC 的中心. 易求得高 PH 所以体积为 V
A
P3
C
P1
B
P2
20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 设常数 a ≥ 0 ，函数 f ( x) =

2014年上海春季高考数学试卷(word文档良心出品)

注：2014年上海春季高考数学试卷由学考试卷（120分）+春考试卷（30分）组成2014年上海市普通高中学业水平考试数学试卷一、填空题（本大题满分36分） 1．若416x=，则___x =2．计算：(1)______i i +=（i 为虚数单位）3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是 4．若函数3()f x x a =+为奇函数，则实数___a = 5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是6．函数11y x =+的反函数为 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和___n S =8．已知1cos 3α=，则cos 2___α= 9．已知a 、b R +∈。

若1a b +=，则ab 的最大值是10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是（结果用数值表示） 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为海里。

12．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。

若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为二、选择题（本大题满分36分）13．两条异面直线所成的角的范围是（）()A (0,)2π； ()B (0,]2π； ()C [0,)2π； ()D [0,]2π。

14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（）()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +。

15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（） ()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =。

16．在4(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（）()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 1。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题(文科)解析版

2 0 1 4年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=1【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.2【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-。

若(2)1f =,则(1)f =___________. 3【答案】 3 【解析】3.3|4-1|0)1(∴4,1|-4|1)2(∴|-||1-|)(2所以，是解得=+===+=+=f a a f a x x x f Θ4.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。

为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。

若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 5【答案】 70【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n 个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=706.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 6【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

2014年上海卷高考数学计算题真题解析

2014年上海卷高考数学计算题真题解析2014年上海卷高考数学试题中包含了一系列的计算题，涉及到了数学的各个方面。

在这篇文章中，我们将对这些计算题进行解析，帮助同学们更好地理解题目，掌握解题方法。

第一题：已知集合A={1,2,3,4}, 集合B={x | x=2n, n∈Z}，求集合A∩B的元素个数。

解析：集合A={1,2,3,4}，集合B中的元素满足条件x=2n，其中n∈Z，即集合B中的元素是偶数。

因此，A∩B表示集合A和集合B中共有的元素。

根据题目给出的集合A和集合B的定义，我们可以得出集合A∩B的元素为{2,4}，所以集合A∩B的元素个数为2。

第二题：已知函数y=2^x的图像经过点P(1, 2)，求函数y=2^x的解析式。

解析：已知函数的图像经过点P(1,2)，我们可以将点P的坐标代入函数的解析式中，得到2=2^1，因此函数的解析式为y=2^x。

第三题：已知正方形ABCD，边长为3cm，点E是边BC的中点，连接AE并延长交边AD于点F，若AF=9cm，则镜像ABCD关于直线AF的镜像图形为⬜MNKL，求MN的长度。

解析：已知正方形ABCD的边长为3cm，点E是边BC的中点，连接AE并延长交边AD于点F，且AF=9cm。

根据题目中的描述，我们可以得知点A和点F是正方形ABCD关于直线AF的对称点。

因此，镜像图形⬜MNKL与原图形ABCD的边长相等。

由于原图形ABCD的边长为3cm，所以镜像图形⬜MNKL的MN边长也为3cm。

第四题：已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(2)的值。

解析：已知函数f(x)=3x^2-2x+1，要求f(2)的值，我们只需要将x=2代入函数中即可计算出f(2)的值。

将x=2代入函数f(x)=3x^2-2x+1中，得到f(2)=3(2)^2-2(2)+1=11。

因此，f(2)的值为11。

通过以上的解析，我们可以看到在2014年上海卷的高考数学试题中，涉及到了集合的交集、函数的解析式求解、镜像图形的性质等。

2014年高考理科数学上海卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围；（Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷第5页（共14页）数学试卷第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷第7页（共14页）数学试卷第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，∴4(1)5 4.2x x -+=，解得0.2x =.，又因为0AP AQ +=，数学试卷第9页（共14页）数学试卷第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷第11页（共14页）数学试卷第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷第13页（共14页）数学试卷第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。