2019_2020学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念课件新人教A版必修1

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高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数的概念学生用书湘教版必修第一册

4．3　对数函数最新课程标准学科核心素养1.理解对数的概念．2．理解对数的性质． 1.理解对数的概念．(数学抽象)2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运算)4.3.1　对数的概念教材要点要点一　对数的概念1．定义：如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b ＝log a N .2．相关概念底数与真数其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．状元随笔　log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．要点二　对数与指数间的关系当a ＞0，且a ≠1时，a b ＝N ⇔b ＝log a N .前者叫指数式，后者叫对数式．状元随笔　要点三　对数的性质性质1________没有对数性质21的对数是________，即log a 1＝__(a ＞0，且a ≠1)性质3底的对数是______，即log a a＝______(a＞0，且a≠1)要点四　对数的基本恒等式a log a N＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；b＝log a a b(b∈R，a>0且a≠1)．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．( )(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.( )(3)因为3x＝81，所以log813＝x.( )(4)log32＝log23.( )2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )A．log2M＝a B．log a M＝2C．log a2＝M D．log2a＝M3．若log8x＝－23，则x的值为( )A．14 B．4C．2D．1 24．3log32＋log21＝________．　对数的概念例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( ) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，+∞)C．(4，＋∞) D．(3，4)(2)将下列指数式、对数式互化．①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log√5125＝6.方法归纳指数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是( ) A．30＝1与log31＝0B．log39＝2与912＝3C.8−13＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．　对数的计算例2　求下列各式中x的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(3)log x27＝32.方法归纳(1)log a N＝x与a x＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．跟踪训练2　求下列各式中x的值：(1)log2x＝12；(2)log216＝x；(3)log x27＝3.　对数的性质及对数恒等式的应用例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；(2)计算：51+log53＋102＋lg2＋e ln3.方法归纳1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log\”后再求解．2．利用对数恒等式求解的方法首先利用指数运算性质变形，变形为a log a b 的形式，再利用对数恒等式计算求值．跟踪训练3　(1)2－1＋log 2√2＝( )A ．√22B ．√2C ．12+√2D ．2√2(2)计算：log 3[log 3(log 28)]＝________．易错辨析　忽视对数的底数致误例4　使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．(12，1)∪(1，+∞)B.(0，12)C ．(0，1)∪(1，+∞)D.(−∞，−12)解析：使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足{a ＞0，a ≠1，−2a +1＞0，解得0＜a ＜12.答案：B 易错警示易错原因纠错心得忽视了底数a 的范围致误，易错选D.对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．课堂十分钟1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( )　A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b2．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( )A ．3B ．±3C ．9D ．23．在log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)4．式子2log25＋log321的值为________．5．求下列各式中x的值：(1)若log31+2x3＝1，求x的值；(2)若log2021(x2－1)＝0，求x的值．4．3　对数函数4．3.1　对数的概念新知初探·课前预习要点一1．b　a　(正)数N2．a　N要点三零和负数　0　0　1　1　[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：由对数的定义可知log a M＝2.答案：B3．解析：由对数与指数的互化可得：x＝8−23＝23×(−23)＝1 4 .答案：A4．解析：原式＝2＋0＝2.答案：2题型探究·课堂解透例1　解析：(1)由对数的定义可知解得x>3且x≠4.故选B.(2)①由54＝625得log5625＝4.②由log216＝4得24＝16.③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.④由log√5125＝6得()6＝125.跟踪训练1　解析：(1)对于A，30＝1可化为0＝log31，所以A中互化正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，8－＝可化为log8＝－，所以C中互化正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.(2)由题意得解得∴x>1且x≠2.答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)例2　解析：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴＝5，∴x＝log435.(2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.(3)∵log x27＝，∴x 32＝27，∴x＝2723＝32＝9.跟踪训练2　解析：(1)∵log2x＝，∴x＝212，∴x＝.(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.(3)∵log x27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.例3　解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21，∴log4(log3x)＝1.又log4(log3x)＝log44＝1，∴log3x＝4，∴x＝34＝81.(2)原式＝5·5log53＋102·10lg 2＋e ln 3＝5×3＋102×2＋3＝218.答案：(1)81　(2)见解析跟踪训练3　解析：(1)2−1+log2√2＝2－1·2log2√2＝×＝.(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.答案：(1)A　(2)0[课堂十分钟]1．解析：由对数的定义直接可得log a c＝b.答案：B2．解析：∵log2(log x9)＝1，∴log x9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.答案：A3．解析：由m－1>0得m>1.答案：D1＝0，故原式＝5. 4．解析：由对数性质知，2log25＝5，log32答案：55．解析：(1)∵log3＝1，∴＝3，∴1＋2x＝9，∴x＝4.(2)∵log2 021(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.。

2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算

4．3.2 对数的运算1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝nlog a M(n ∈R )．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c>0，且c≠1，则log a b ＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)log an b n＝log a b. (2)log an b m＝m n log a b.(3)log a b·log b a ＝1.(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．我们知道am ＋n＝a m ·a n，那么log a (M·N)＝log a M·log a N 正确吗？举例说明．[答案] 不正确，例如log 24＝log 2(2×2)＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2 2．你能推出log a (MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令a m＝M ，a n＝N ，∴MN ＝am ＋n，由对数定义知，log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a (MN)＝m ＋n ， ∴log a (MN)＝log a M ＋log a N3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy)＝log a x·log a y.( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一对数运算性质的应用【典例1】求下列各式的值： (1)log 345－log 35； (2)log 24·log 28；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应． [解] (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 24·log 28＝log 222·log 223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[针对训练] 1．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)log 2748＋log 212－12log 242－1； (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [解] (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：原式＝lg 427－lg4＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.题型二对数换底公式的应用【典例2】 (1)计算：①log 29·log 34； ②log 52×log 79log 513×log 734.(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)； ②log an b n＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明． [解] (1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349＝lg 2lg 13·lg9lg 34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①log a b·log b a ＝lgb lga ·lgalgb＝1. ②log an b n＝lgb nlga n ＝nlgb nlga ＝lgblga＝log a b.[变式] (1)若本例(2)①改为“log a b·log b c·log c d ＝log a d”如何证明？ (2)若本例(2)②改为“log an b m＝m n log a b”如何证明？[证明] (1)log a b·log b c·log c d ＝lgb lga ·lgc lgb ·lgd lgc ＝lgdlga＝log a d. (2)log an bm＝lgb mlga n ＝mlgb nlga ＝mn log a b.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．[针对训练]2.·()log 227等于( )A.23B.32 C ．6 D ．－6[解析][答案] D3．log 2125·log 318·log 519＝________.[解析] 原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2lg3lg5＝－12.[答案] －12 题型三对数的综合应用【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log 189＝a,18b＝5，用a 、b 表示log 3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．[解] (1)设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则：经过1年，剩余量是y ＝0.75；经过2年，剩余量是y ＝0.752；…经过x 年，剩余量是y ＝0.75x；由题意得0.75x＝13，∴x＝log 0.7513＝lg 13lg 34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13.(2)解法一：由18b＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b2－a. 解法二：设log 3645＝x ，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x ＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189，又18b＝5，所以b ＝log 185. 所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a .解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．[针对训练]4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于________． [解析] log 512＝lg12lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝b ＋2a1－a.[答案]b ＋2a1－a5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足e v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)[解] 由e v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000及M ＝2m ，得e v ＝32000，两边取以e 为底的对数，v ＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．∴火箭的最大速度为2198 m/s.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x·log a y ＝log a (x ＋y) B ．(log a x)n＝nlog a x C.log a x n＝log a nx D.log a xlog a y＝log a x －log a y [解析] 根据对数的运算性质知，C 正确． [答案] C2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12[解析] 12log 612－2log 62＝log 623－log 62＝log 6232＝log 6 3.故选C.[答案] C3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式可表示为( ) A ．a －b B.ab C ．abD ．a ＋b[解析] log 32＝ln2ln3＝ab .[答案] B4．计算log 916·log 881的值为________．[解析] log 916·log 881＝lg24lg32·lg34lg23＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.[答案] 835．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .[证明] 设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)， ∴x＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y.课后作业(三十)复习巩固一、选择题 1.log 29log 23＝( ) A.12B ．2 C.32 D.92[解析] 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.[答案] B2．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. [答案] C3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2[解析] 在A 中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M≠N，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．[答案] B4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a)2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1[解析] ∵a＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. [答案] A5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.[答案] D 二、填空题6．lg 5＋lg 20的值是________． [解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1. [答案] 17．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．[解析] log a b·log 3a ＝lgb lga ·lga lg3＝lgb lg3＝4，所以lgb ＝4lg3＝lg34，所以b ＝34＝81.[答案] 818．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lgE 2－lgE 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． [答案] 1000 三、解答题9．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.[解] (1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5) ＝12lg10＝12. (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2 ＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 10．(1)若lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)，求xy 的值；(2)设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y 的值(x>0，y>0)．[解] (1)因为lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)，所以{ x>0，y>0，x －2y>0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y)2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y.又x>0，y>0且x －2y>0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. (2)解法一：∵3x ＝36,4y ＝36，∴x＝log 336，y ＝log 436.∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1. 解法二：对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636，即xlog 63＝ylog 64＝2.∴2x ＝log 63，1y＝log 62. ∴2x ＋1y＝log 63＋log 62＝log 66＝1，即2x ＋1y＝1. 综合运用11．若ab>0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga ＋lgb; ②lg a b＝lga －lgb ； ③12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab)＝1log ab 10. 其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③ [解析] ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab>0，∴a b>0，12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b，∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab)＝0，但log ab 10无意义，∴④中等式不成立．故选D.[答案] D12．若2.5x ＝1000,0.25y ＝1000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3[解析] ∵x＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，∴1x ＝1log 2.51000＝log 10002.5，同理1y＝log 10000.25， ∴1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝lg10lg1000＝13. [答案] A13．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝________.[解析] log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b. [答案] a ＋b b 14．计算log 225·log 3116·log 519·ln e ＝________. [解析] 原式＝2lg5lg2×－4lg2lg3×－2lg3lg5×12＝8. [答案] 815．设a ，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，求 lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx ＋1＝0.设t ＝lgx ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lga ，t 2＝lgb ，即lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12. ∴lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)·⎝ ⎛⎭⎪⎫lgb lga ＋lga lgb ＝(lga ＋lgb)·(lgb )2＋(lga )2lga·lgb＝(lga ＋lgb)·(lga ＋lgb )2－2lga·lgb lga·lgb＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.。

4.3.1对数的概念

所以 x 2 x 2 .
巩固练习
练习1 求下列各式中的 x 的范围．
①log2(x－10)；
②log(x－1)(x＋2)．
解：①由题意有 x－10>0，即 x>10，
∴x 的取值范围是{x|x>10}．
x＋2>0，
x>－2，
②由题意有 x－1>0 且 x－1≠1，即 x>1 且 x≠2，
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
例如，由于 2 1.11x，所以 x 就是以1.11为底2的对数，记作 x log1.11 2; 再如，由于 42 16，所以以4为底16的对数是2，记作 log4 16 2.
2．常用对数与自然对数通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，log10N 可简记为 lg N. 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 e＝2.71828…
为底数的对数.
以 e 为底的对数称为自然对数，logeN 简记为 ln N.
知识梳理
3．对数与指数的关系
当 a>0，且 a≠1，则 ax＝N⇔x=logaN.
设 log a N t at N ，则有 aloga N at N 结论：log a a x x，aloga N N.
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54 625
（2）26 1 64
（3）
1 m
3
5.73
（4）log 1 16 4 （5）lg 0.01 2 （6）ln10 2.303
课堂小结

2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册

解析
答案
金版点睛 1.判断关于 n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.
[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )
答案
解析
3.若 6 4a2－4a＋1＝3 1－2a，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2) C.12，＋∞
B.12，＋∞ D.－∞，12
答案 D
解析 ∵6 4a2－4a＋1＝ 6 2a－12＝ 6 1－2a2＝3 1－2a，∴1－ 2a≥0，即 a≤12.
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4 ③(a2b－ab2) 4
2
④(a2－b2) 4
(3)x≥1
答案
核心素养形成
题型一根式的概念利用根式的性质化简例 1 (1)①16 的平方根为________，－27 的 5 次方根为________； ②已知 x7＝6，则 x＝________；
D．±10 2
(3)化简下列各式： ①3 －27；②(3 －9)3；③ a－b2.
答案 (1)B (2)D (3)见解析解析 (1)①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，③④正确． (2)∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数，∴2 的 10 次方根有两个，且互为相反数，
解析
当 n 为奇数时， n x－πn＝x－π. 综上， n x－πn＝πx－－πx，，nn为为偶奇数数，，nn∈ ∈NN**， . ②∵a≤12，∴1－2a≥0， ∴ 4a2－4a＋1＝ 2a－12＝|2a－1|＝1－2a.

2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版

m
[微思考] 在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，
为什么必须规定 a>0?
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝a n
＝0，无研究价值．
m
3
②若 a<0，a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝2 －23无意
义，故为了避免上述情况规定了 a>0.
第四章指数函数、对数函数与幂函数 4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算新课程标准 1．理解 n 次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数指数幂之间的相互转化．
m
2．通过对有理数指数幂 a n (a>0 且 a≠1；m，n 为整数且 n>0) 含义的认识，了解指数幂的拓展过程．掌握分数指数幂的运算性质．
m2－2mn＋n2等于 A．2m
B．2n
()
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二分数指数幂的运算
[学透用活]
[典例 2] 计算下列各式(式子中字母都是正数)：
2
(1)(0.027)
3
＋12275
[解]
(1)
3
a·4
1
a＝a 3
1
·a 4
＝a
7 12
.
1 11
7
(2)原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
(4)原式＝(a
1 3
)2·a
1 2
·b

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第四章指数函数与对数函数对数-4.3.1 对数的概念

1.为什么log ( > 0,且 ≠ 1)中 > 0时才能有意义？
提示依据对数的定义,若 = ( > 0,且 ≠ 1),则 = log ,对于 > 0,且 ≠ 1,不论
取何实数总有 > 0,故需 > 0.
2.对数式log 3 2与log 2 3的意义一样吗？
log = .
变式训练2求下列各式中的值:
（1）log 2 =
解 ∵ log 2 =
1
;
2
1
,
2
1
2
∴ = 2 ,∴ = 2.
（2）log 2 16 = ;
解 ∵ log 2 16 = ,∴ 2 = 16,∴ 2 = 24 ,∴ = 4.
（3）log 27 = 3；
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地，如果 = ( > 0，且 ≠ 1)，那么数叫做以为底的对数，
记作 = log ，（对数运算是指数运算的逆运算）其中叫
.
.
做对数的底数，叫做真数.
2.两种特殊的对数:
名称
常用对数
自然对数
定义
10
lg
将以____为底的对数叫做常用对数，并把log
∴
4
3
= 5,∴
4
( ) =
3
5,∴ = log 4 5.
（2）log 7 ( + 2) = 2;
3
解 ∵ log 7 ( + 2) = 2,∴ + 2 = 72 = 49,∴ = 47.
（3）ln e2 = ;
解 ∵ ln e2 = ,∴ e = e2 ,∴ = 2.
− ≠ ,

高中数学第四章指数函数与对数函数4-3对数4-3-1对数的概念新人教A版必修第一册

又因为 x>0,所以 x=
=4,故选 B.
答案:B
4.已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m-n=
.
解析:因为 loga2=m,loga3=n,所以 am=2,an=3,所以
a2m-n=
= = .
探索点三利用对数的性质或对数恒等式求值
【例 3】 (1)求下列各式中的 x 的值.
①lg(ln x)=0;
1.对数与指数间的关系
当 a>0,且 a≠1 时,ax=N⇔x= logaN .
2.对数的性质
(1)负数和 0 没有对数;
(2)loga1= 0 ;
(3)logaa= 1 .
3.对数恒等式
= N (a>0,且 a≠1,N>0).
【思考】
能将(-2)3=-8 化为对数式吗?
提示:不能.底数要求是不等于1的正数.
> -,
解析:由题意可得 - > , 即 > ,
≠ ,
- ≠ ,
解得 x>1,且 x≠2.
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式.
①2-7=
②lo
;
③lg 1 000=3;
32=-5;
④ln x=2.

= ,得

解:①由 2
log2 =-7.

-5
2.将下列指数式与对数式进行互化.

-
(1) =

;(2)lo

-
解:(1)由 =
(2)由 lo
4=4;(3)lg

,得

0.001=-3.

log5 =- .

4.3.1 对数的概念(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

3
m；
（3）
102 100 ；
（2）ln m 3．
（3）lg100 2
．
1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（4）log39＝2；
（5）lg n＝2.3；
1
log 3 4 ．
（6）
81
答案：
（4）32＝9．
（5）102.3＝n．
1
（6）3
．
81
4
2.求下列各式中的值。
2
10
2
0.01
e
2.303
10
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
若a 0且a 1，则a x N log a N x
a log a N N
由指数和对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和0没有对数；（真数一定为正数）
log a 1 0，
【答案】3 [由 log2(logx9)＝1 可知 logx9＝2，即 x2＝9，∴x＝3(x＝－3 舍去)．]
4． log33＋3log 2＝________.
3
【答案】3 [log33＋3log 2＝1＋2＝3.]
3
5．求下列各式中的 x 值：
3
(1)logx27＝2；
2
(2)log2 x＝－3；
3
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
9
2
9
2
③∵2 4 = ，∴(3) = 4 = (3)−2 , = −2.
3
1

19_20学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第3课时不同函数增长的差异教师用书

第3课时不同函数增长的差异问题导学预习教材P136－P138，并思考以下问题：1．函数y ＝kx (k >0)、y ＝a x(a >1)和y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？ 2．函数y ＝kx (k >0)、y ＝a x (a >1)和y ＝log a x (a >1)的增长速度有什么不同？三种函数模型的性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( ) (2)函数y ＝x 2比y ＝2x增长的速度更快些．( )(3)当a >1，k >0时，对∀x ∈(0，＋∞)，总有log a x <kx <a x. ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝2xD ．y ＝e －x答案：A已知y1＝2x，y 2＝2x ，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 3>y 2 D ．y 2>y 3>y 1答案：A某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．y ＝a ·e x＋bD ．y ＝a ln x ＋b解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c .函数模型的增长差异四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：【解析】从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．故填y 2.【答案】 y 2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x >1)的函数关系是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝2xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.函数模型的选取某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y 与年份x 的关系？【解】建立生产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次函数模型f (x )＝x 2＋7x 能更好地反映该公司生产量y 与年份x 的关系．不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：现有如下4①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.答案：④4．已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)，当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)，当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．[A 基础达标]1．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，正确的是( )解析：选D.函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝a x的图象不符，排除A，B，故选D.2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：)A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x ＝4，经检验易知选D. 4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y (万人) 关于月数x 的函数关系式近似是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C.对于A ，当x ＝3时，y ＝0.6，与0.76差距较大，故排除A ；对于B ，当x ＝3时，y ＝1.5，与0.76差距较大，故排除B ；对于D ，当x ＝3时，y ＝0.2＋log 163≈0.6，与0.76差距较大，故排除D ，故选C.5．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B.由函数性质可知，在(4，＋∞)内，指数函数g (x )＝2x增长速度最快，对数函数h (x )＝log 2x 增长速度最慢，所以g (x )>f (x )>h (x )．6．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．解析：把x ＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．答案：甲7．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，所以x 2要比x ln x 增长得要快．答案：y ＝x 28．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与③对应，D 容器慢，与②对应．答案：④ ① ③ ②9．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f (x )与g (x )的图象如图所示：根据图象易得：当0≤x ＜4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解：方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好．[B 能力提升]11．以下四种说法中，正确的是( )A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的x >0，x n>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．不一定存在x 0，当x >x 0时，总有a x>x n>log a x解析：选D.对于A ，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B 、C ，当0<a <1时，显然不成立．当a >1，n >0时，一定存在x 0，使得当x >x 0时，总有a x >x n >log a x ，但若去掉限制条件“a >1，n >0”，则结论不成立．12．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t(t ≥0，a >0且a ≠1)的图象．有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③当剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确说法的序号是________．解析：由于函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，49，故函数的关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t. 当t ＝4时，y ＝1681<15，故①正确；当t ＝1时，y ＝23，减少13，当t ＝2时，y ＝49，减少29，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y ＝12，14，18，解得t 1＝log 2312，t 2＝log 2314，t 3＝log 2318，t 1＋t 2＝t 3，故③正确．答案：①③13．某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．解：(1)画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx ＋b(k≠0)．把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.所以函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2030年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6(万亿元)，即预测2030年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．14．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x＋a.若f(x)x＋a，f(x)＝log12(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2024年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N . (2)2024年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13， 2024年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1，故2024年的年产量为9.1万件．。

高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念教学案第一册数学教学案

4.3.1 对数的概念(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.【知识导学】知识点一对数的概念(1)对数的概念：如果□01a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数□02x 叫做以□03a 为底□04N 的对数，记作□05x ＝log a N ，其中□06a 叫做对数的底数，□07N 叫做真数． (2)两种特殊的对数①常用对数：通常□08以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数log 10N 简记为□09lg_N ； ②自然对数：□10以e 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数log e N 简记为□11ln_N (其中e ＝2.71828…)．知识点二对数与指数的关系 (1)对数的基本性质①□01零和负数没有对数，即真数N >0； ②1的对数为□020，即log a 1＝□030(a >0，且a ≠1)；③底数的对数等于□041，即log a a＝□051(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝□06N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝□07N(a>0，且a≠1)．【新知拓展】在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( )(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x＝2019，则x ＝________. (2)lg 10＝________；ln e ＝________. (3)将log 3a ＝2化为指数式为________．答案 (1)log 52019 (2)1 1 (3)32＝a 题型一对数的概念例 1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12(2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4[解析] (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x <12，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，故选C.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.[答案] (1)C (2)C 金版点睛对数有意义的条件对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．[跟踪训练1] (1)函数f (x )＝lgx ＋1x －1中x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)若log (2x －1)(x ＋2)有意义，求x 的取值范围．答案 (1)C (2)见解析解析(1)要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12，且x ≠1. 题型二指数式与对数式的互化例 2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a ＝b ；lg 1000＝3.[解] (1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；e b ＝a ；103＝1000.金版点睛由指数式a b＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：[跟踪训练2] (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)103(2)见解析解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3. 题型三对数性质的应用例3 (1)给出下列各式：①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)； (2)求下列各式中x 的值：①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1)(2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.[解析] (1)∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝25 12 ＝5，④错误．故填①②.(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log (2－1) (2－1)＝x ，∴(2－1)x＝2－1， ∴x ＝1.④∵x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. [答案] (1)①② (2)见解析金版点睛对数性质在计算中的应用(1)对数的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[跟踪训练3] (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值；(2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0，所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0，解得x ＝4或x ＝3.(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.同理求得y ＝16.所以x ＋y ＝80.题型四对数恒等式的应用例4 求下列各式的值：(1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.[解] (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 金版点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．[跟踪训练4] 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b 答案 B解析由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B．4 C ．256 D ．2 答案 B解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.3．若log 3181＝x ，则x ＝________.答案－4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.4．式子2log 25＋log 32 1的值为________．答案 5解析由对数性质知，2log 25＝5，log 32 1＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值：(1)若log 3 1＋2x3＝1，求x 的值；(2)若log 2019(x 2－1)＝0，求x 的值．解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2019(x 2－1)＝0，∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.。

高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册

答案 C
解析
log512＝llgg152＝2l1g－2＋lgl2g
3 2a＋b ＝ 1－a ，故选
C.
10．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10 ＝2，∴m2＝10.又 m>0，∴m＝ 10，选 A.
解析由对数的运算性质知 A，B 错误，C 正确；D 中－2 不能作底数， ∴D 错误，故选 C.
2．若 lg x－lg y＝a，则 lg 2x3－lg 2y3＝(
)
A．3a
3 B.2a
C．a
a D.2
答案 A
解析由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
解法二：原式＝lg
4 7
2－lg
4＋lg
7
5＝lg
4
2×7 7×4
5＝lg (
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
12．方程 log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．答案 4 解析由换底公式得 log9(x＋5)＝12log3(x＋5)． ∴原方程可化为 2log3(x－1)＝log3(x＋5)，即 log3(x－1)2＝log3(x＋5)， ∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得 x＝4 或 x＝－1.

高中数学第四章指数函数与对数函数4-3对数4-3-1对数的概念课件新人教A版必修第一册

4.3.1 对数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解对数的概念、掌握对数的性质．(2)掌握指数式与对数式的互
化，能应用对数的定义和性质解方程．
教材要点
要点一对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作x＝logaN❶，其中a叫做对数的________，N叫做________．
1
3．方程log2x＝的解为(
)
2
1
1
2
A．
B．
C．
2
4
2
D． 2
答案：D
1
1
解析：方程log2x＝，化为：x＝22 ＝
2
2.
1 －1
2
4．( ) ＋log31的值是________．
2
解析：
1 −1
＋log31＝(2－1)－1＋0＝2.
2
题型探究·课堂解透
题型 1 指数式与对数式的互化
真数
底数
要点二常用对数与自然对数
10
e
要点三对数的基本性质
(1)负数和零________对数．
没有
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．
0
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
1
❷
(4)对数恒等式log ＝________(a>0且a≠1，N>0)．
2
3
9
2
2
2
3
3
3
解析：(1)由logx27＝，可得x 2 ＝27，∴x＝273 ＝ 3 3 ＝32＝9.

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数函数的图象与性质1学生用书湘教版必修第一册

4．3.3　对数函数的图象与性质最新课程标准1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0且a ≠1)．学科核心素养1.了解对数函数的概念．(数学抽象)2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )第1课时　对数函数的图象与性质(1)教材要点要点一　对数函数的概念对数运算y ＝____________________确定了一个函数，叫作(以a 为底的)对数函数．状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a ＞0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．要点二　反函数一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．要点三　对数函数的图象与性质表达式y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝log2x2是对数函数．( )(2)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．( )(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )(4)函数y＝a x与函数y＝log a x的图象关于直线y＝x对称．( )2．(多选)若函数y＝log a x的图象如图所示，则a的值可能是( )A．0.3B．1 5C．32 D．π3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( ) A．[12，+∞)B．(12，1) C．(12，+∞)D．[12，1]4．函数y＝log a(x－3)－2的图象过的定点是________．　对数函数的图象问题角度1　图象过定点问题例1　已知函数y＝log a(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有log a1＝0，例如，解答函数y＝m＋log a f(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．角度2　对数函数的底与图象变化的关系例2　如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.方法归纳当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．角度3　图象的识别问题例3　函数y＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的( )(2)图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取√3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A．√3，43，35，110B．√3，43，110，35C．43，√3，35，110D．43，√3，110，35(3)函数y＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．题型2　对数型函数的定义域例4　求下列函数的定义域：(1)y＝logx2−2(x−2)；(2)f(x)＝0√||lg (x＋2)．方法归纳求函数的定义域，首先要分析自变量x 的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．跟踪训练2　(1)函数y ＝√log 2(2x −1)的定义域为( )A ．(12，+∞) B ．[1，＋∞)C ．(12，1]D ．(－∞，1)(2)函数y ＝log a (x －1)＋log a (1＋x )的定义域为________．　对数型函数的值域与最值问题例5　求函数f (x )＝log 2(4x )log 14x 2，x ∈[12，4]的值域．方法归纳(1)利用对数运算性质化为关于log 2x 的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．(2)求形如y ＝log a f (x )(a ＞0且a ≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y ＝log a u (a ＞0，且a ≠1)，u ＝f (x )两个函数；③由定义域求u 的取值范围；④利用函数y ＝log a u (a ＞0且a ≠1)的单调性求值域．跟踪训练3　已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．易错辨析　忽视对底数的讨论致误例6　若函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a＞1时，函数y＝log a x在[2，4]上是增函数，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在[2，4]上是减函数，所以log a2－log a4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1底数的范围不同决定了对数函数的单调性不的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．课堂十分钟1．(多选)函数f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝√1−log2(x+2)的定义域为( )A．[－2，0] B．(－2，0)C．(－2，0] D．(－2，＋∞)3．函数f(x)＝x|x|log a x(0＜a＜1)的图象大致为( )4．若函数y＝(a2＋a－5)log a x为对数函数，则f(1)＝________．5．设a＞1，函数f(x)＝log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．4．3.3　对数函数的图象与性质第1课时　对数函数的图象与性质(1)新知初探·课前预习要点一log a x(x>0，a>0且a≠1)要点三(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．解析：由图象可知函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a<1.答案：AB3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.答案：C4．解析：因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝log a(x－3)－2过定点(4，－2).答案：(4，－2)题型探究·课堂解透例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.答案：例2　解析：由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.答案：b>a>1>d>c例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.答案：A跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A 错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．(2)已知图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.答案：(1)C　(2)A　(3)例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).跟踪训练2　解析：(1)由题意得{x−1>olog(2x−1)≥0即{x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋2∞).(2)由题意知{x−1>01+x>0　解得x>1，∴函数y＝log a(x－1)＋log a(1＋x)的定义域为(1，＋∞).答案：(1)B　(2)(1，＋∞)例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log\f(1,4＝(log2x＋2)·＝－.设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－，∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，∴当t＝－时，y有最大值，且y max＝；当t＝2时，y有最小值，且y min＝－2.∴f(x)的值域为.跟踪训练3　解析：(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)因为f(x)＝log a[(1＋x)(3－x)]＝log a(－x2＋2x＋3)＝log a[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值log a4，所以log a4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值．综上可知，a＝.[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示．所以必过第二、三、四象限．答案：BCD2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].答案：C3．解析：在log a x中x>0，∴y＝x|x|log a x＝log a x(0<a<1)，故选B.答案：B4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.答案：05．解析：∵a>1，∴f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).∴f(2a)－f(a)＝log a2a－log a a＝，即log a2＝.∴a＝4.11。

数学人教A版(2019)必修第一册4-3-1对数的概念

1.对数的概念
其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.
注意：①读法：以 a 为底 N 的对数 ②书写的规范性
loga N
二、探究新知
loga N
“log”是拉丁文 logarithm（对数）
的缩写
注意
log是对数的符号，类似除法运算的 “÷”，表示一种运算，用它连接运算的对象； loga N 即已知底数 a和它的幂N求指数的运算，这种运算叫做对数运算，只不过对数运算的符号写在数的前面，其运算结果仍是一个数。
1.111,1.11 2,1.11 3,1.11 x
一、问题引入
反之要想求经过多少年以后游客人次是2001
年游客人次的2倍3倍4倍…y倍，那么应如何
解决这个问题。
上述问题实际上就是从2 1.11x ,3 1.11x ,4 1.11x
中分别求出x
即已知底数和幂的值,求指数.
引进对数
二、探究新知
注意 : 对数是一个数！
二、探究新知
. 2.两个重要的对数
名称
名称
定义
常用对数
自然对数
以10为底的对数叫做常用对数即
记法
二、探究新知
科普知识 e在数学中是代表一个数的符号，其实还不限于数学领域。在大自然中，建构，呈现的形状，利率或者双曲线面积及微积分教科书、伯努利家族等都离不开e的身影。 e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10 为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。由于我们的数系是十进制，因此常用对数在数值计算上具有优越性。
跟踪练习：将下列指数式写成对数式对数式写成指数式:
23=8 e3=m
例2:求下列各式中x的值：

2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念【课件】

5
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为 43＝64，所以 log4 64＝3. (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a.
第四章指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
01
预习案自主学习
02
探究案讲练互动
03
自测案当堂达标
04
应用案巩固提升
学习指导
核心素养
1.数学抽象：理解对数的概念，掌握对数的基 1.会用对数的定义进行对
本性质，理解常用对数和自然对数的定义形式数式与指数式的互化．
以及在科学实践中的应用． 2.理解和掌握对数的性质，
1
假设 log－42 存在，设 log－42＝x，则(－4)x＝2，我们知道 42＝ 4＝2，但是－4 的任何次幂都不可能等于 2，所以这样的 x 是不存在的．
(2)若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，log00有无数个，不能确定．为此，规定a≠0，N≠0. (3)若a＝1，且N≠1，则logaN不存在；若a＝1，N＝1，logaN有无数个值, 不能确定．为此，规定a≠1.因此，为了避免对数logaN不存在或不唯一确定的情况，规定a>0，且a≠1. 2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？提示：不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
(2)对数恒等式 alogaN＝N 的应用 ①能直接应用对数恒等式的直接应用即可． ②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．

高中数学第四章指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算第一册数学教案

4.3.2 对数的运算知识点一对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确．答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________．解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22 ＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算．教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝m nlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( )A.18B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简． (2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22 一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。