第28讲数列概念及等差数列

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艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

考点二十八等差数列

知识梳理

1．数列的定义

按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．

2．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．

3．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．数列的分类

5．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．

6．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列.

7．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则

S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2

d . 说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项.

8．等差中项

如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．

9．等差数列的常用性质

高考数学第28讲数列求和作业手册理 (1)

课时作业(二十八)A [第28讲数列求和]

(时间：45分钟分值：100分)

1．等比数列{a n }的公比q ＝1

，a 7＝1，则S 7＝( )

A ．125

B ．127

C ．128

D ．130

2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2

－10n ，则数列{a n }的前10项中正数项的和为( ) A ．206 B ．208 C ．216 D ．218

3．[2013·浙江五校一联] 已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )

A ．85

B ．135

C ．95

D ．23

4．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10＝________． 5．数列9，99，999，9999，…的前n 项和等于( )

A ．10n

－1 B.10（10n

－1）

－n

C.109(10n

－1) D.10（10n

－1）9

＋n 6．[2013·福州质检] 在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为

( )

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

7．[2013·安徽江南十校联考] 已知幂函数f (x )＝x a

的图像过点(4，2)，a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）

，n ∈N *

，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )

A.2012－1

B.2013－1

C.2014－1

D.2015－1

8．[2013·太原一模] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

等差数列的概念课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

是
（4）, , , …
是

（5）, , , , , …

不是
（6）, , , , …
不是
说明：判断数列是不是等
差数列,主要用定义：
看+ − 是否为同一
个常数.
二、合作探究
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
( n 2)
所以等差数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
a1 、an、n、d知三求
一
新知2.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d
①4个量an、a1、n、d，可“知三求一”．
②d≠0时，an=dn+(a1－d)可看成an关于n的一次函数(形式: an=kn+b)．
第22届冬奥会2014年
第23届冬奥会2018年
第24届冬奥会2022年
猜想第25届冬
奥会时间 ?
得到数列 : 1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022，
2026
引例二
北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的
天心石，从内到外各圈的石板数依次为：
d>0时，{an}是递增数列；

+奥数——等差数列(课件)-2024-2025学年四年级上册数学人教版

在这一讲中，我们认识了等差数列，知道了几个通用公式，在使
用这些公式时，要清楚首项、末项、项数、公差的意义，从而选择合
适的公式进行计算。这些公式用文字表述为：
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
【例题1】
有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】
这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】
容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它
们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成
了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这
两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

【高考复习方案】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第28讲数列的概念

an＋1≤an ，n∈N* ___________
an＋1＝an ，n∈N* ___________
|an|≤M ，存在正数 M，使___________ n∈N*
从第二项起，有些项 ______ 大于它的前一项，有些项______ 小于它的前一项
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第28讲
数列的概念
• 双 3．数列的两种常用表示方法向固序号 n 之间 (1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与________ 基的关系可以用一个公式________ an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫作础
0（n＝1）， 2n－1（n≥2）.
(3)由数列的递推公式的定义知命题正确． (4)有些数列是没有通项公式的，如 2 的不足近似值构成的数列1.4，1.41，1.414，„就没有通项公式． (5)易知数列的通项公式为an＝2n－1.
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第28讲
数列的概念
► 探究点一
根据数列的前几项求数列的通项公式
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第28讲
数列的概念
• 双向固基础
[答案] (1)×
(2)×
(3)√
(4)×
(5)×
[解析] (1)数列1，0，1，0，1，0，„的通项公式可以 1＋（－1）n＋1 nπ 是an＝，也可以是 a . n＝sin 2 2 (2)要考虑n＝1的情况，该数列的通项公式为an＝

数列全部ppt课件

3.数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作数列的通项公式，
可以记为 an＝f(n)(n∈N*).
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第27讲数列的概念与简单表示法
课前双基巩固
4.数列的通项公式与前 n 项和的关系
考例
2014·新课标全国卷 Ⅱ16
考查热度 ★☆☆ ★★☆ ★☆☆
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真题再现
——[2015－2011]课标全国真题在线
[2014·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足 an＋1＝1－1an，a8＝2，则 a1＝________．
[答案]
1 2
[解析]由题易知百度文库a8＝1－1a7＝2，得 a7＝12；a7＝1－1a6＝12，得 a6＝－1；a6＝1－1a5＝－1，得 a5＝2，于是可知数列{an}
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第27讲数列的概念与简单表示法
课前
► 通性通法
双
基
6.求解数列通项公式的两种方法：待定系数法；递推
巩固
法. （1）已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－10n＋17，
则数列{an}中使 an<0 的 n 构成的集合为
.
（2）已知数列{an}中，a1＝1，an＋an－1＝1（n≥2），

2016年新课标名师导学一轮复习文科数学课件第28讲数列的概念与通项公式

*
又由 a5＋2a4＝a2a4 得 a3q2＋2a3q＝a2 3，即 q2＋2q＝a3， ∴a3＝8. － ∴an＝a3qn 3＝2n. (2)∵{bn}是递增数列， ∴bn＋1>bn 对 n∈N*恒成立，且 n∈N*时，(n＋＋ 1－λ)2n 1>(n－λ)2n 恒成立，得 λ<n＋2 对 n∈N*恒成立，即 λ<3.
3．数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关来自百度文库 (1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝
a
i 1
n
i
ai.
a1 , n 1, (2)an＝ S n S n 1 , n 2.
4．数列的两个性质 (1)单调性——若 an＋1>an，则{an}为递增数列；若 an＋1<an，则{an}为递减数列． (2)周期性——若 an＋k＝an(n∈N*，k 为非零常数)，则{an}为周期数列，k 为{an}的一个周期．
7．设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 * Sn，满足 4Sn＝a2 n＋1－4n－1，n∈N ，且 a2，a5， a14 构成等比数列． (1)证明：a2＝ 4a1＋5； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 (3)证明：对一切正整数 n，有＋＋… a1a2 a2a3 1 1 ＋ < . anan＋1 2
【解析】由题意可知，n，an，bn 的对应情况如下表：

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第5单元-数列(理科)

► 问题 2 若数列{an}的通项公式为 an＝f(n)，则数列{an}的 )
单调性与函数 y＝f(x)的单调性一致．(
[答案]对
[解析] 数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})为定义域的函数 an＝f(n)，当自变量从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其图象为函数 y＝f(x) 图象上的孤立点，故数列{an}的单调性与函数 y＝f(x)的单调性一致．
第27讲 │ 要点探究
[解答] 3 5 7 9 (1)将数列统一为，，，，…，分子 2 5 10 17
3,5,7,9，…，是等差数列，通项公式为bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1， 2n＋1 ∴数列的一个通项公式为an＝ 2 . n ＋1
第27讲 │ 问题思考
► 问题 3 1 若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝，且 2an－1 )
a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(
[答案]对
[解析] 由数列的递推公式的定义知命题正确．
第27讲 │ 问题思考
► 问题 4 数列的性质 ) )
(1)数列的项数是有限的．(
(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(
第五单元 │ 网络解读
(3)运用递推关系求数列通项公式时，需要结合数列中某一项的值．某两项间与某三项间的递推关系的不同处理方法是重点，项数的计算是易错点；

2015届高考数学(理)一轮讲义：第28讲数列经典回顾课后练习

第28讲数列经典回顾

主讲教师：丁益祥北京陈经纶中学数学特级教师

题一：已知等比数列{}n a 中，n a ＜0，1n a +＞n a ，则公比q 的取值范围( )． A ．01q << B ．1q > C ．0q < D ．1q <

题二：设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

题三：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1188,S =则378a a a ++= 。

题四：已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为多少？

题五：设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；

(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．

题六：已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋1

2n -a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．

题七：在等差数列{}n a 中，前12项的和为354，前12项中奇数的和与偶数项的和的比为27∶32，求公差d.

题八：设某个等差数列共有12项，其中奇数项的和为78，偶数项的和为96，求这个数列的后五项的和.

课时作业(二十八) 第28讲等差数列及其前n项和

课时作业(二十八)第28讲等差数列及其前n项和

时间/ 45分钟分值/ 100分

基础热身

1.[2017·乌鲁木齐三诊]在等差数列{a n}中,已知a1=2,a3+a5=10,则a7=()

A. 5

B. 6

C. 8

D. 10

2.[2017·太原一模]在等差数列{a n}中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6=()

A. 8

B. 6

C. 4

D. 3

3.[2017·深圳二调]在等差数列{a n}中,若前10项的和S10=60,且a7=7,则a4=()

A. 4

B. -4

C. 5

D. -5

4.已知在等差数列{a n}中,a2=2,a12=-2,则{a n}的前10项和为.

5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2015,-=6,则S2017=.

能力提升

6.[2017·永州五中三模]在等差数列{a n}中,若a6+a8+a10=72,则2a10-a12的值为()

A. 20

B. 22

C. 24

D. 28

7.《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作,其中一个问题大意为:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).二十四节气及晷长变化如图K28-1所示,若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为()

图K28-1

A. 五寸

B. 二尺五寸

C. 三尺五寸

D. 一丈二尺五寸

8.[2017·哈尔滨六中四模]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则S n取得最小值时n的值为()

等差数列知识点总结与题型归纳讲义

10.1等差数列

知识梳理.等差数列

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝

n (a 1＋a n )

――→

a n ＝a 1＋(n －1)d

S n ＝na 1＋n (n －1)2

d ＝d 2n 2＋a 1－

2n ⇒当d ≠0

时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．

2.常用结论：

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .

(2)若{a n }是等差数列，则S n

n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12

.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n

等差数列讲义

趣味数学

短

期

班

讲

义

学员姓名：

所在年级：

讲义课题：趣味数学之等差数列

第一讲等差数列初步

例1、某等差数列，首项是8，第15项是50，求公差？

练习1、某等差数列，首项是50，第9项是98，求公差？

例2、一个等差数列共有12项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？练习2、某等差数列第3项是10，每一项都比前一项大2，求第14项？

例3、某等差数列，首项是16，每一项比前一项大3，求第几项是49？

练习3、某等差数列，第4项是16，每一项比前一项大4，求第几项是68？

例题4、等差数列应用

1、数列1,4,7,10,13,16，…，88中一共有多少个数字？

2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数？

3、数列组（1、2、3），（3、

4、5），（

5、

6、7），…，（81、82、83）中一共有多少个数字？

4、98+95-92-89+86+83-80-77+…-5+2

5、123-119-115+111+107-103-99+95+…-9+3

大显身手

（1）一个等差数列：1,2,3,4，…，第100项是多少？

（2）一个等差数列：98,94，90，86，…，第26项是多少？

（3）一个等差数列共12项，每一项都比前一项大3，并且末项是88，请问首项是多少？（4）某等差数列，首项是11，第112项是566，求公差？

（5）一个等差数列共有26项，并且每一项都比前一项大3，且第4项是12，求末项？（6）有一个等差数列首项是5，末项是89，公差是4，求一共有多少项？

等差数列讲解

得最小值，最小值为－10.
5．(2020·沧州七校联考)《九章算术》是我国最重要的数学
典籍，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一．其
中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的
容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节
共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是( A )
状元笔记
等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法．
思考题1 (1)(2021·长春市质检二)在等差数列{an}中，
（n＋1）
n－1
(3)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝____2___a中，S偶＝___2___a中，
∴S奇－S偶＝_a_中___．
(4)n为偶数时，S偶－S奇＝n2d. (5)若公差为d，依次k项和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列，则新公差d′＝_k_2_d__． (6)Snn为等差数列．
3．(1)设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b 分别是等差数列，则yx42－－yx31＝____35____．
(2)(2021·浙江金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＝5，则S6＝___1_5____．

等差数列及其前n项和讲义解析

等差数列及其前n 项和讲义解析

【课前双基巩固】知识聚焦 1.a n -a n-1=d

a+b 2

a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n-m )d (n ,m ∈N *

)

n(a 1+a n )

na 1+

n(n -1)2

2.a p +a q 2a k 等差

3.dn+a 1-d 一次函数孤立递增递减常数列

n 2

+(a 1-d

2)n 二次函数孤立大小对点演练

1.-3 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则由条件得{a 1+4d =9,2(a 1+2d)=(a 1+d)+6,解得

{d =3,a 1=−3.

2.-21 [解析] ∵在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,∴S 7=7

2(a 1+a 7)=7

2(a 2+a 6)=7

2×(-6)=-21. 3.24 [解析] 由等差数列的性质可知S 4,S 8-S 4,S 12-S 8 成等差数列,所以2×(12-4)=4+(S 12-12),解得S 12=24.

4.8 [解析] a 3+a 6+a 10+a 13=32,即(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=32,根据等差数列的性质得2a 8+2a 8=32,则a 8=8,故m=8.

5.7或8 [解析] a n =a 1+(n-1)d=-28+4(n-1)=4n-32.由a n ≤0,得4n-32≤0,即n ≤8,则a 8=0,当n<7时,a n <0,所以前n 项和S n 取得最小值时n=7或8.

6.(209,5

高考数学(理科)复习第五单元第28讲等差数列及其前n项和

×2018=1009×(a1009+a1010)
=1009×4=4036.
课堂考点探究
例 2 (1)[2018·南昌模拟] 已知等差数列
{an},{bn}的前
n
项和分别为
Sn,Tn
且��
��
=��2+��1,
则��5= (
)
��5
课前双基巩固
2.[教材改编] 在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则
a10=
.
[答案] 18
[解析] 等差数列{an}的公差
d=a3-a2=4-2=2,∴
a10=a2+8d=2+8×2=18.
课前双基巩固
3.[教材改编] 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则
它的前 10 项和 S10=
项和为 Sn,若 a1010=3,S2017=2017,则 S2018= ( ) A.2018 B.-2018 C.-4036 D.4036
[思路点拨] (1)根据等差数列求和公式将�� 化为两项和的比值, 再根据等差数列性质将所求比值化为对应项的比值;(2)由题意首先求得 a1009=1,然后结合等差数列前 n 项和公式求解前 n 项和即可求得最终结果.

第28讲等比数列及其前n项和(练)解析版

第28讲等比数列及其前n 项和

【练基础】

1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( ) A ．4 B.5

2 C ．2 D.12

【答案】C

【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－1，

q ＝－2

(舍去)，故选C.

2．已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－

a 27

2＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )

A ．25

B ．16

C ．8

D ．4

【答案】B

【解析】由a 3－a 27

2＋a 11＝0，得2a 7－a 2

＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

【答案】C

【解析】由题意得，2a 5a 6＝18，∴a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10.

4．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 21<a 22”是“数列{a n

}为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】设公比为q ，若a 21<a 22，则a 21<a 21

q 2，即q 2>1，则q >1或q <－1，当q <－1时，数列为摆动数列，则“数列{a n }为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列{a n }为递增数列”，则a 1<a 2，∵a 1>0，∴

第28讲 数列概念及等差数列