第28讲 数列概念及等差数列
《等差数列的概念》课件
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
数列与等差数列的概念与性质
数列与等差数列的概念与性质数列是数学中的一个重要概念，它是由一串按照特定规律排列的数所组成的序列。
而等差数列则是数列中的一种特殊形式，它的相邻两项之差都相等。
本文将介绍数列与等差数列的概念以及它们的性质。
一、数列的概念数列是指按照一定的顺序排列的一列数，用字母a、b、c和整数n来表示。
其中，n表示数列的位置，也称为项数。
例如，a1表示数列的第一项，a2表示数列的第二项，以此类推。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列是指数列只有有限个项的情况，例如数列{1，2，3，4，5}就是一个有限数列。
而无限数列是指数列的项数是无穷的，例如数列{1，2，3，4，...}就是一个无限数列。
二、等差数列的概念等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的特殊数列。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的一般形式可以表示为{a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，...}。
在等差数列中，公差d的值决定了相邻两项之间的差额。
如果d大于0，则数列是递增的；如果d小于0，则数列是递减的。
当公差d等于0时，数列中的所有项都相等。
三、等差数列的性质1. 通项公式等差数列可以通过通项公式来表示第n项的表达式。
通项公式通常用字母an表示，其表示形式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
通过通项公式，我们可以方便地计算等差数列中任意一项的值。
2. 求和公式等差数列的前n项和可以通过求和公式来表示。
求和公式通常用字母Sn表示，其表示形式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的第n项。
求和公式的使用，可以快速计算等差数列的前n项和，方便了数列求和运算。
3. 通项和数列之间的关系等差数列的通项和数列之间有着紧密的关系。
通过分析等差数列的特点，可以发现通项和数列的公差是常数项1，首项是等差数列的首项，首项和末项之间的序列是等差数列。
等差数列的概念及通项公式PPT优秀课件
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
等差数列的概念 及通项公式
• 学习目标： 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关
系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 表a 1示，
第2项用
a表2 示，
…，第n项用
a
表示，
n
数列的一般形式可以写成：
…，
a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , …，
a 简记作： n
复习数列的有关概念2
如果数列 a n的 第n项 与a nn之间的关系可
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第28讲 数列的概念
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第28讲
数列的概念
• 双 向 2．求数列通项公式的方法 固 基 (1)数列1，0，1，0，1，0，„的通项公式只能是an＝ 础 1＋（－1）n＋1
.( ) 2 (2)[2012· 全国卷改编] 数列{an}的前n项和为Sn＝n2－ 1，则其通项公式为an＝Sn－Sn－1＝2n－1.( ) 1 (3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝ ，且a2 2an－1 ＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．( ) (4)所有的数列都有通项公式．( ) (5)数列1，3，5，„，2n＋5，„的通项公式为an＝2n ＋5.( )
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第28讲
数列的概念
• 双 向 固 基 础
[答案] (1)×
(2)×
(3)√
(4)×
(5)×
[解析] (1)数列1，0，1，0，1，0，„的通项公式可以 1＋（－1）n＋1 nπ 是an＝ ，也可以是 a . n＝sin 2 2 (2)要考虑n＝1的情况，该数列的通项公式为an＝
1．数列的概念 (1)数列的定义：按照__________ 一定顺序 排列着的一列数称为 项 数列，数列中的每一个数叫作这个数列的________ ． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成 定义域 的 函 数 以 正 整 数 集 N*( 或 它 的 有 限 子 集 ) 为 ________ an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所 ________ 对应的一列函数值． 列表法 、 ________ 图像法 和 (3) 数 列 的 三 种 表 示 法 ： ________ ______________ 通项公式法 ．
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第28讲
数列的概念
等差数列的概念及性质
等差数列一、等差数列的概念如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。
⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差例1、判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1和公差d ，如果不是，说明理由。
1，3，5，7，…… 9，6，3，0，-3，…… 0，0，0，0，0，0，…… 1，2，3，2，3，4，…… 1，0，1，0，1，…… 5，3，1，-1，-2例2、填空，使得下列数列为等差数列。
（1）-2，（ ），6 （2）1，（ ），（ ），13 （3）2，（ ），（ ），2 （4）5，（ ），（ ），-4 二、等差数列的通项公式 公式及推导过程：例1、（1）求等差数列，12，8，4，0，…的第10项；20项；第30项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？例2、在等差数列｛a n ｝中，已知a 4=7，a 9 =22，求首项a 1与公差d 。
例3、 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20例4、在等差数列{}n a 中，若24113=+a a ,43a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =_____例5、已知等差数列{}n a ，其中113a =，254a a +=，33m a =，则m =________ 例6、若一个等差数列的一系列项为1,4,7,29，则此数列有多少项？例7、在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2？例8、已知等差数列{}n a ，n a n 417-=，求公差d 。
例9、在等差数列{}n a 中，1110a =，从第五项开始大于1，则公差d 的范围是________例10、已知数列{n a }的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？,若是，公差是多少？若不是，说明理由。
2024年高三培优讲义28---数列求和技巧进阶篇：并项简化计算,裂项求和进阶,奇偶项数列的处理
专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +.2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = .重点题型·归类精讲3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．5．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n n a n b b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .11．22n n a n =⨯，求n S .12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式. 对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+ 一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和21．已知12nn a +=，记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+.23．已知n a n =，设14122n n n a n n n a b a a a ++++=⋅⋅⋅，证明：1214nb b b ++⋅⋅⋅+<.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．已知1n n a n =+，证明：.题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.3121234n n a a a n a a a ++++<+题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T ;（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T ;（3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n nn n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +. 【解析】()2π2πcos 21cos 33n n n n b a n ==−， 【法一】并项求和()()()()()3133162π62π6π63cos 61cos 61cos333n n n n n n b b b n n n −+−+++=−+−++ ()()()22π63cosπ61cos 2π61cos33n n n −=−+−++ 化简得()()3133111636161022n n n b b b n n n −+++=−−+−−+=，故()()()311234567313311102n n n n T b b b b b b b b b b b +−+=++++++++++=+=−【法二】分组求和重点题型·归类精讲311233231331n n n n n T b b b b b b b +−−+=+++++++()()()311111135165636112222n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++−⨯−+−⨯−+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1612n ⎛⎫++⨯− ⎪⎝⎭()()()()165363561111161222222n n n n n n n +−+−+−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++⨯− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233113232222n n n n n n =−+−++−−=−，所以，数列{}n b 的前31n +项和3112n T +=−2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = . 【答案】366【分析】设12n n n n b a a a ++=++，易得()9118n b n n =+−⨯=+，再由4012538S a b b b =++++求解.【详解】解：设12n n n n b a a a ++=++，由题意知{}n b 是公差为1的等差数列， 则11239b a a a =++=，故()9118n b n n =+−⨯=+，则21110b b =+=， 故()()()()25381323828583881383642b b b ⨯++++=++++++=⨯+=.于是()()()401234567383940S a a a a a a a a a a =+++++++++，125382364366a b b b =++++=+=.3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．【答案】22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时 【详解】解：()141242n n a a n n −+=−+=−，*n ∈N ，2n ≥． 当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a −+−=++++++=2n n =+； 当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a −−+−=+++++++=+22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．【答案】36【解析】由题意可得n 为奇数时，12121,21n n n n a a n a a n +++−=−+=+， 两式相减得22n n a a ++=；n 为偶数时，12121,21n n n n a a n a a n ++++=−−=+，两式相加得24n n a a n ++=，故()()()()8135724682282436S a a a a a a a a =+++++++=+++=. 故答案为：365．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .【答案】12−【解析】当43,n k k =+∈N 时，则()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++为偶数，可得()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++−==++，()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++−+==+，两式相加可得：4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，故()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=，解得1212a a +=−.6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .【解析】2(121)2n n n S n +−==， 所以2(1)(1)=−−=⋅n n n n b n S ， 所以2222223012342930T =−+−++−+()()()()()()2112433430292930=−⋅++−⋅+++−⋅+12342930=++++++30(130)4652⨯+==.7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．【解析】()()()21log 11n nn n b a n =−=−+，212212(1)2(1)(21)1n nn n b b n n −−+=−⋅+−+=，当k 为偶数时，12341()()()2k k k k T b b b b b b −=++++++=，令202k kT ==，得40k =；当k 为奇数时，1113(2)22k k k k k T T b k ++++=−=−+=−，令3202k k T +==，得37k =， 所以40k =或37.8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．【解析】()2222π2π12π1cos 11cos cos33393n n n n n n b a n ⎛⎫=+=−+= ⎪⎝⎭. 因为当N k *∈时，2223231324π12π5cos 2πcos 2πcos 2π333318k k k b b b k k k k k k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=−−+−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()18123345161718T b b b b b b b b b =+++++++++．555555123456181818181818=−+−+−+−+−+− 558(123456)6183=+++++−⨯= 所以数列{}n b 的前18项和为583.9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n na nb b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【详解】当n 为奇数时，2112n n n b a −+==； 则当n 为偶数时，1n n b b n ++=. 2122n n S b b b =+++()()()()1223452221n n n b b b b b b b b −−=+++++++()2112422n a n −=+++++−()()43432222112212n n n n n n −−+−−=++=+−+.题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .【答案】()()()()125212222n n n nn a n n n n λμλμλλμ+=−⨯=⎡++⎤⨯−+⨯=++⨯⎣⎦，22259λλλμμ==⎧⎧⇒⎨⎨+=−=−⎩⎩()()12192292n n n a n n +=⎡+−⎤⨯−−⨯⎣⎦，()()1121921427214n n n S n n ++=⎡+−⎤⨯+=−⨯+⎣⎦.213n nn a +=，求n S . 【答案】()11212233333n n n n nn n n n a λμλμλμλ−−++++−==−=， 112312λλμλμ==⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩，()112233n n n n n a −−++=−，223n nn S +=−.11．22n n a n =⨯，求n S .【答案】()()2121122n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()24222n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦， 令114042206t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=−⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()()21214162462n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=+−++⨯−−+⨯⎣⎦⎣⎦ ()()()21211416262326n n n S n n n n ++⎡⎤=+−++⨯−=−+⨯−⎣⎦.12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【答案】()()2121133n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()22623323n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦24262141332132t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， ()()21221123223n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦， ()()()21212112315255315n n n S n n n n ++⎡⎤=++++⨯−=++⨯−⎣⎦.【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式.对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n nn a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T【答案】11(1)1421n n T n +⎡⎤−=+⎢⎥+⎣⎦. 【详解】由题可得1111(1)(1)(1)11(21)(21)42121n n n n n n n n b a a n n n n ++++−−−⎛⎫===+ ⎪−+−+⎝⎭，所以1111111(1)111(1)114343542121421n n n T n n n ++⎡⎤−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．【答案】()()21142n n T n −=−+ 【分析】()()()2211112nn b n n ⎛⎫=−+⎪ ⎪++⎝⎭，分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下，利用裂项相消法和11n n n T T b ++=−求得结果，综合两种情况可得n T .【详解】()()()()()()()()()22222233221212651265111log log 132231nnnn n n n n n n n n n n b ++⎛⎫−⋅++−⋅++∴===−+ ⎪ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n为偶数时，()22222222111111112334451n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+++−−+⋅⋅⋅+−−+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()()()22211114122n n n ⎛⎫+=− ⎪ ⎪+++⎝⎭；当n 为奇数时，()()()()112222111111443232n n n T T b n n n n ++=−=−−−=−−++++； 综上所述：()()21142n n T n −=−+.15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.【详解】12121111(1)(1)(1),(1)(1)4(1)41nn n n n n n n c b b n n n n +++⎛⎫=−=−=−+ ⎪++++⎝⎭所以211111111111....1,41223212221421n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=−−++−−−+=− ⎪⎪−++⎝⎭⎝⎭由于2111(11)421n T n t n ⎛⎫=−≤≤−⎪+⎝⎭是递减的，所以211111.4216n T T ⎛⎫≤=−⎪⎭=− +⎝16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】1111111122211(1)()(1)()(1)()n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++++−−⋅=−=−+，所以()()()11111223111111111111121n n n n n nn n T a a a a a a a ++++++−−⎛⎫⎛⎫=+−+++−+=+=+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭． 17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【详解】()()()2316112n n n n b n a n n ⎛⎫=+−=−+ ⎪++⎝⎭， 所以()1211111166********n n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=−+++++−+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()6312nn =−+−+. 【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T【答案】21(461)3n T n n n =+−.【分析】对n b 裂项，利用裂项相消法计算作答.【详解】当2n ≥时，()121112116n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++−+++−+−=−=6n b =，因此，12111()6n n n n n n n b a a a a a a ++−+=−，1212312211()(15)66nk n n n n n n k b a a a a a a a a a ++++==−=−∑，则21121221151(15)(21)(21)(23)3(461)6623nn k n n n k T b b a a a a a n n n n n n ++==+=−+=−++−+=+−∑，13b =满足上式，所以21(461)3n T n n n =+−.19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .【答案】2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩【分析】对n 分奇偶讨论，当n 为偶数时，采用并项法求和，当n 为奇数时，11n n n n T a a T −+=− 【详解】当n 为偶数时， ()1223344511nn n n T a a a a a a a a a a +=−+−++−+()()()21343511n n n a a a a a a a a a −+=−++−+++−+()()()24321244212n nn a a a n n +−=+++==+当n 为奇数时， 当1n =时，13T =− 当3n ≥时，11n n n n T a a T −+=−()()()213232421212212n n n n n n −+−=−−+=−−+ 经检验，1T 也满足上式，所以当n 为奇数时，2221n T n n =−−+综上，数列{}n b 的前n 项和2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和 【详解】由()()*24141n n n b c n n +=∈−N ， 可得()()()()1441132121321321n n n n n c n n n n −+==−−+−+，则数列{}n c 的前n 项和为()()0112111111131333335321321n n n n −−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯−+ ()11321n n =−+.21．已知12nn a +=，记2(1)n n a b n n+=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 【解析】因为22(1)n n n a b n n++=+， 所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===−⎢⎥+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n b 的前n 项和为：()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=−=−⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+. 【详解】()()()1222211212n n n b n n n n n n n n n n n ++++++==⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯.()1111122212n n n n n ++⎛⎫=⨯+− ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭()()3112..12233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+ ()21232311111111111221222222322212n n n n n ++⎛⎫=⨯+−++−+⋯++− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭. ()211111221121121212nn n +⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⨯+− ⎪⨯+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭()111121 2.212n n n ++⎛⎫=−−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭另解：()()()21122122112212n n n n b n n n n n n n n n n ++⎛⎫++++==⨯− ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭()()311212233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+()2231233412212222232212n n n n n n +⎛⎫++=⨯−+−+⋯+− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭ ()1221212n n n +⎛⎫+=⨯−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭.得证23．已知n a n =，设14122n n a n n n b a a a +++=⋅⋅⋅1214n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【详解】解：因为14111241422(1)(2)12(2)n n n a n n n n n a n n b a a a n n n n n n ++++++++===⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅+，1112(1)2(1)(2)n n n b n n n n +=−⋅⋅+⋅++，故12n b b b ++⋅⋅⋅+=22311111112122232232342(1)2(1)(2)n n n n n n +−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅+⋅++111142(1)(2)4n n n +=−<⋅++.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解析】()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +−+⎛⎫=====+=+− ⎪−+−−−+−+⎝⎭ 12311111112335212121n n nT c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+−+−++−=+ ⎪−++⎝⎭.25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【解析】()111112442n n b na n n n n ⎛⎫===− ⎪++⎝⎭， ∴11111111111432435462n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭ 32384(1)(2)n n n +=−++.26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】2222111(1)n n b n n n +==+，则()2222222211111111223(1)(1)(1)n n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−=−= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.27．已知1n n a n =+，证明：. 【分析】由，得到，结合裂项求和及，即可得证. 【详解】解：由，则.所以.3121234n n a a a n a a a ++++<+1n na n =+1111122n n a a n n +⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭11012n n +>++1n n a n =+()()()()2112111112222n n n n n aa n n n n n n ++++⎛⎫===+− ⎪+++⎝⎭3121211111111111232435112n n a a a n a a a n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+−+−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113111122124212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++−−=+−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为，所以， 即题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解答】直接用等比数列求和公式(2)n n a =−，则()()()2122221233n n n S ⎡⎤−−−⎣⎦==−+⋅−−−29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【分析】错位相减比分奇偶讨论要方便【解答】1231(1)3(1)5(1)(21)(1)n n S n =⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−所以23411(1)3(1)5(1)(23)(1)(21)(1)n n n S n n +−=⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−， 相减得23121(1)2[(1)(1)(1)](21)(1)n n n S n +=⨯−+⨯−+−++−−−⨯−211(1)1(1)12(21)(1)1(1)n n n −+⎡⎤−−−⎣⎦=−+⨯−−⨯−−−12(1)n n +=−−，所以1(1)(1)n nn S n n +=−−=−.30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．【分析】错位相减即可【解答】记(1)2(2)n n nn c n n =−⋅=−，1231(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n n −=−+⋅−+⋅−+⋯+−⋅−+⋅−23122(2)2(2)(1)(2)(2)n n T n n +−=−+⋅−+⋯+−−+−123113(2)(2)(2)(2)(22)(2))21(21n n n n n T n n ++=−+−+−+⋯+−−−⎡−−⎤−−−⎣⎦=+，11012n n +>++3111342124n n n n ⎛⎫+−+<+ ⎪++⎝⎭3121234n n a a a n a a a ++++<+12(31)(2)9n n n T +−−+−=.31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n n n n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.【答案】2122n +−【分析】根据偶数项和奇数项的关系可得221212222k k k k a a −++=+，进而根据分组求和即可. 【详解】当2n k =时，22122kk k a S ++=， 当21n k =−时，221212k k k a S −−=−，两式相加可得22121221222k k k k k k a S a S +−−=+−++，得221212222k k k k a a −++=+，由于12n n n b a a +=+，所以()()()()32547462622212222n n n b b b b a a a a a a a a +=++++++++++++()()()()21436522122222222n n −=++++++++()()24621352122222222n n −=+++++++++()()21414214221414n n n +−−=+=−−−题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T 【详解】（1）201351924620()()T C C c C c c C c =+++++++++24620(371139)(2222)=+++++++++()21011214(330)1062642143−+⨯+=+=−（2）由（1）知()()21,2,n n n n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.记13521n k A c c c c −=+++⋅⋅⋅+，2462n k B c c c c =+++⋅⋅⋅+2141k c k −=−，故234122n k A k k k +−=⋅=+ 222kk c =，故()224124241433k k nB ⋅−⋅==−− 1224123k k T A B k k +−=+=++ （3）2212124123k k k k T T c k k −−−=−=++ （4）当n 为偶数时，记n=2k则有1224123k k T k k +−=++，故222123n n n n T ++−=+当n 为奇数时，记n=2k -1则有2214123k k T k k −−=++，故21322423n n T n n +++=+− 故()22122212,22324,2,133n n n n n n k T n n n k k N +++++−⎧+−+=⎪⎪==⎪⎪⎩−∈+⎨32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出()()2841123kk k k S −+=+，进而得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案；解法三：分组求和得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案. 【详解】解法一：9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++ ()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法二：*k ∈N 时，21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+， 所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<，()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法三：当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++ ()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】,3,n n n n b n −⎧=⎨⎩为奇数为偶数，当n 为偶数时，()()1213124n n n n T b b b b b b b b b −=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()24131333n n =−++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+()2919112219nn n ⎛⎫− ⎪⎡⎤⋅+−⎣⎦⎝⎭=−⨯+− ()293184n n =−−； 当n 为奇数时()()211111931384n n n n n n T T b +++++=−=−−−()211193884n n ++=⨯−−；综上所述：()()2121193,884931,84n n nn n T n n +⎧+⨯−−⎪⎪=⎨⎪−−⎪⎩为奇数为偶数.。
数列全部ppt课件
课
前
5.数列的两种表示方法：通项公式；递推公式.
双
基 巩
（1）已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝
固
32，a4＝32，则 a8＝
.
（2）已知非零数列{an}的递推公式为 an＝n－n 1·an－1
（n＞1），且 a1＝1，则 a4＝
.
[答案]
9 (1)4
(2)4
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课 前
► 易错问题
双
基 巩 固
4.函数的概念的两个易混点：项 an；项数 n. （1）已知数列{an}的通项公式为 an＝nn－ ＋11，则数列{an}
的第 5 项是
.
（2）已知数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列
的第
项.
[答案]
2 (1)3
(2)7
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第27讲 数列的概念与简单表示法
故该数列的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
探
究
(2)由题意可知，数列可变形为89×(1－0.1)，89×(1－0.01)，
89×(1－0.001)，…，所以其通项公式可以为 an＝891－110n.
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第27讲 数列的概念与简单表示法
• ► 探究点二 由数列的递推关系式求通
[解析] (1)每一项都比项数的 3 倍少 1，故其通项公式
课 可以为 an＝3n－1.
堂
(2)各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出从
考 点
第 2 项起，每一项的分子都比分母少 3，且第 1 项可变为
探 究
－2－2 3，
2015届高考数学(理)一轮讲义：第28讲 数列经典回顾 课后练习
第28讲 数列经典回顾主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师题一：已知等比数列{}n a 中，n a ＜0，1n a +＞n a ，则公比q 的取值范围( )． A ．01q << B ．1q > C ．0q < D ．1q <题二：设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件题三：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1188,S =则378a a a ++= 。
题四：已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为多少？题五： 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．题六：已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋12n -a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．题七：在等差数列{}n a 中，前12项的和为354，前12项中奇数的和与偶数项的和的比为27∶32，求公差d.题八：设某个等差数列共有12项，其中奇数项的和为78，偶数项的和为96，求这个数列的后五项的和.题九：设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nn na c =b ，求数列}{nc 的前n 项和T n 。
数列和等差数列的概念和性质
数列和等差数列的概念和性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。
在数学中，数列是一种重要的概念，它在解决各种数学问题中起着重要的作用。
一、数列的概念数列由无穷个数按照一定的顺序排列而成。
数列可以使用公式或者递归关系来定义。
其中，公式定义是通过一个通项公式来表示数列的每一项，递归定义则是通过前一项和递归关系来表示数列的每一项。
例如，下面是通过公式定义和递归定义的两个数列示例：1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。
我们可以使用通项公式来表示等差数列的每一项。
假设等差数列的第一项是a_1，公差是d，则等差数列的通项公式可以写成：a_n = a_1 + (n - 1) * d其中，a_n表示等差数列的第n项。
2. 数列和数列和指的是数列中所有项的和。
数列和对于了解数列的性质和特点非常重要。
对于等差数列来说，数列和可以通过以下公式来计算：S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)其中，S_n表示等差数列的前n项和。
二、等差数列的性质等差数列有如下几个重要的性质：1. 公差性质：等差数列的每一项与其前一项之差相等，这个差值称为公差。
等差数列的通项公式中的差值就是公差。
2. 递推性质：等差数列的每一项都可以通过前一项和公差来计算得到。
这个性质使得我们可以根据已知条件来求解等差数列中的任意一项。
3. 数列和性质：等差数列的前n项和可以通过数列和公式来计算。
这个性质在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们计算等差数列的总和。
4. 通项性质：等差数列的通项公式可以用来表示等差数列中的任意一项。
通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的某个位置上的数。
以上是等差数列的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解等差数列的特点，运用到实际问题中。
总结：数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。
等差数列是一种特殊的数列，其每一项与前一项之差都相等。
我们可以通过公差和通项公式来定义等差数列，并通过数列和公式计算等差数列的前n 项和。
等差数列ppt
等差数列ppt标题：等差数列一、引言数列是数学中的一个概念，是由一组按一定顺序排列的数依次组成的序列。
而等差数列是其中一种常见的数列。
本次演讲主题为等差数列，将主要介绍等差数列的定义、性质以及实际应用。
二、等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差是一个常数。
首先，我们来看等差数列的一般形式：an = a1 + (n-1)d。
其中，an 表示第n个数，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的公差是数列中相邻两项之间的差别。
三、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列中，所有相邻两项之差都相等。
2. 总和的公式：等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1+an)进行计算。
即，前n项和等于项数n与首项和末项之和的乘积的一半。
3. 通项公式：等差数列的第n个数（通项）可以通过公式an = a1 + (n-1)d得到。
4. 等差中项：若等差数列的项数n是奇数，则中间项是n/2+1；若n是偶数，则中间两项分别是n/2和n/2+1。
四、等差数列的应用1. 排列组合：等差数列的应用在排列组合中是很常见的。
通过等差数列的性质，可以轻松解题。
2. 数学建模：等差数列在数学建模中有广泛应用。
例如，用等差数列可以描述连续变化的数据，从而进行预测和分析。
3. 经济学：等差数列的应用在经济学中也很重要。
例如，用等差数列可以对某一指标的连续变化进行分析和预测，从而为经济决策提供参考。
五、总结通过本次演讲，我们简要介绍了等差数列的定义、性质以及应用。
等差数列在数学中起到了很重要的作用，通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地理解和应用数学知识。
让我们一起探索更多有趣的数学概念吧！。
《等差数列的概念》课件
实例分析
1
应用等差数列的概念解决实际问题
通过实际案例，展示如何使用等差数列的概念解决实际问题。
2
求解等差数列中的未知数
根据已知条件和等差数列的特性，推导计算出未知数的值。
3
计算等差数列的前n项和
利用等差数列的求和公式，计算前n项的总和。
总结
等差数列的概念和特 征
2 应用
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的 前n项和，从而解决实际问题。
等差数列的常见问题解答
1 如何判断一个数列是否为等差数列？
通过计算数列中相邻项的差值，若差值相等，则为等差数列。
2 如何求等差数列中的未知数？
利用等差数列的公式和已知条件，可从中解出未知数。
3 等差数列中的前n项和如何求解？
等差数列求和公式及 应用
等差数列常见问题的 解答
练习题
等差数列练习题1
计算等差数列的第n项。
等差数列练习题2
找出等差数列中的错误项。
等差数列练习题3
计算等差数列的前n项和。
更多资源
参考书籍
推荐一些关于
介绍一些可以在线学习等差数列的优秀平台。
等差数列的概念
本节课我们将学习等差数列的基本概念，包括定义、特征、求和公式以及常 见问题的解答，以及实际问题的应用。
什么是等差数列
定义
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相 等的数列。
特征
等差数列具有固定的公差，并且每一项与它的 前一项之差都相等。
等差数列的求和公式
1 推导过程
通过对等差数列进行变形和求和，可推导出 等差数列的求和公式。
《等差数列》课件(公开课)
等差数列的性质
前n项和
等差数列的前n项和可以通过求 和公式来计算。
通项公式
等差数列的通项公式可以帮助 我们快速计算任意项的值。
逆向思维
通过逆向思维，我们可以利用 等差数列的性质解决一些复杂 的问题。
等差数列的应用
1
数学中的应用
等差数列可以用于数学模型和方程的推导和解决。
2
物理中的应用
在物理学中，等差数列可以用于描述物体在等时间间隔内的运动。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
如何求解等差数列
求和公式的推导
我们将讲解等差数列求和公式 的推导过程，帮助你理解其原 理。
求出第n项
通过已知的首项和公差计算任 意项的值，我们将演示具体的 计算方法。
求出一般项
通过已知的首项和公差计算通 项公式，帮助你快速计算数列 的任意项。
数列等差数列等差数列的概念及通项公式ppt
简单明了
数列等差数列的通项公式形式 简洁，易于理解和记忆。
普适性
通项公式可以应用于任何等差 数列，具有广泛的适用性。
重要性
通项公式是解决等差数列问题 的基础和关键，对于理解等差 数列的性质和求解相关问题具
有重要的意义。
03
数列等差数列的求和公式
数列等差数列求和公式的推导
公式推导
利用等差数列的概念和通项公式，推导出等差数列的求和公 式。
声学中的等差数列
在声学中，等差数列被广泛应用于解决一些与声音的频率、 振幅等有关的问题。例如，在研究乐器的声音时，常常需要 使用等差数列来描述音高、音强等物理量随时间的变化规律 。
数列等差数列在计算机科学中的应用
数据结构中的等差数列
在计算机科学中，等差数列被广泛应用于解决一些与数据结构、算法有关的 问题。例如，在解决一些与数组操作、链表操作有关的问题时，常常需要使 用等差数列来描述问题的规律。
密码学中的等差数列
在密码学中，等差数列被广泛应用于解决一些与加密、解密有关的问题。例 如，在一些简单的加密算法中，常常需要使用等差数列来生成密钥、加密和 解密数据。
05
数列等差数列的拓展知识
数列等差数列与等比数列的关系
1
数列等差数列与等比数列是两种常见的数列类 型，具有重要的数学意义和应用价值。
2023
数列等差数列等差数列的 概念及通项公式ppt
目录
• 数列等差数列的概念 • 数列等差数列的通项公式 • 数列等差数列的求和公式 • 数列等差数列的应用实例 • 数列等差数列的拓展知识
01
数列等差数列的概念
数列等差数列的定义
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数 列的公差。
高考数学一轮复习 28等差数列课件 (文) 新人教A版
S偶-S奇=nd;
S奇 an . S偶 an1
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(4)项数为奇数2n-1的等差数列{an},有 S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇-S偶=an;
S奇 n . S偶 n 1
S奇､S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.
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5.与等差数列有关的规律
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【典例3】在等差数列中,Sn表示{an}的前n项和, (1)a3+a17=10,求S19的值; (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求项数n; (3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.
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③不等式法:借助Sn最大时,有
SSnn≥ ≥SSnn11,解, 此不
等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最 值).
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【典例4】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n 项和为Sn,且a3=10,S6=72.
若bn= 12an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值. [分析]先判断{an}是等差数列,求an,再求bn,由{bn}的通项研究
(1)等差数列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0. (2)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (3)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0. (4)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则
等差数列的概念及通项公式-PPT
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
等差数列课件
应用一
03
CHAPTER
等差数列的求和公式
利用等差数列的性质和数学归纳法，推导出等差数列的求和公式。
公式推导方法
通过数学归纳法证明等差数列的求和公式，确保其正确性和通用性。
数学归纳法
实际应用场景
等差数列的求和公式在日常生活和工作中有着广泛的应用，如计算存款利息、计算工资等。
解题技巧
掌握等差数列求和公式的应用技巧，能够快速解决相关问题，提高工作效率。
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差相等。
等差数列可以用通项公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_1 + (n-1)d。
也可以用递推公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_(n-1) + d。
等差数列的任意一项都可以由首项和公差唯一确定。
等差数列的公差是恒定的，不会随着项数的增加或减少而改变。
答案解析
一个等差数列的前5项依次为2、7、12、17、22，求该等差数列的通项公式。
题目
题目
题目
答案解析
一个等差数列的第10项是50的前4项和为26，前8项和为76，求该等差数列的前12项和。
进阶练习题主要考察等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及如何根据已知条件求解未知数。
等差数列和等比数列在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在物理学中，等差数列可以用来描述声音的振动，而等比数列可以用来描述光的强度。
等差数列和几何级数是两种不同的数学概念，但它们之间也存在一定的关系。在几何级数中，任意两项之间的比是一个常数，与等比数列相似。但是，几何级数的第一项必须为1，而等比数列的第一项可以是任意实数。
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等差数列的概念与简单表示 课件
等差中项的应用
已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1，x4，x5 成等差数列，求 p，q 的值．
【精彩点拨】 将 x1，x4，x5 用 p，q 表示出来，由 x1，x4，x5 成等差数列， 即 2x4＝x1＋x5 列出关于 p，q 的方程组求解．
等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【自主解答】 (1)欲使{an}是等差数列， 则 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关 的常数， 所以只有 2p＝0， 即 p＝0 时，数列{an}是等差数列． (2)证明：因为 an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以 an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数， 所以{an＋1－an}是等差数列．
故 2016 年举行的奥运会为第 31 届．已知举办的届数也能求出相应的年份， 因为在等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中，知道其中任何三个量，均可求 得第四个量．
探究 3 在等差数列{an}中，能用 a1，d 两个基本量表示 an，那么能否用{an} 中任意一项 am 和 d 表示 an?
等差数列的通项公式及其应用
探究 1 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安 装第一盏后，往后每隔 50 米安装一盏，试问安装第 5 盏路灯时距离第一盏路灯 有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第 n 盏灯的距离吗？
等差数列的概念新浪博客
等差数列的概念新浪博客等差数列是一种常见的数列，指的是数列中相邻两项之间的差值都是相等的。
也就是说，一个数列如果满足每一项都比前一项增加相同的差值，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以用通项公式表示，通项公式是指根据数列中的某一项的位置来计算该项的数值。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d其中，n为项数，a1为首项，d为公差。
等差数列具有一些特点和性质，下面分别进行介绍。
1. 等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。
设前n项和为Sn，则其表达式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。
2. 等差数列中任意三项的关系：在等差数列中，任意三项的关系可以用如下公式表示：an = am + (n - m) * d其中，an为第n项，am为第m项，d为公差。
3. 等差数列前n项和与首项、末项的关系：等差数列前n项和与首项、末项之间存在着一种关系：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1 + (n - 1) * d) * n / 2 = n * (2 * a1 + (n - 1) * d) / 24. 等差数列的性质：等差数列具有以下性质：4.1 等差数列前n项和与项数n的关系：等差数列前n项和Sn与项数n之间存在着一种关系：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。
4.2 等差数列中间项个数：在等差数列中，首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，其中的中间项（不包括首项和末项）的个数为n-2。
4.3 等差数列中的极差：等差数列中的极差为两个相邻项之间的差值，即d。
4.4 等差数列的性质：等差数列中，两个相邻项之间的差值永远保持不变，称为公差。
等差数列中的任意几项的和与项数之间存在着一种确定的关系。
高考数学复习 第28讲 数列概念及等差数列
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列一．课标要求：1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等差数列与一次函数的关系。
二．命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
预测09年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。
三．要点精讲1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n （n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
探索数列认识等差数列
探索数列认识等差数列探索数列：认识等差数列在数学中，数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
其中，等差数列是一种常见的数列形式，它的每一个数与它前面的数之差相等。
本文将深入探讨等差数列，并解释它在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义及性质等差数列即指数列中的每一项与它的前一项之差保持恒定。
如果一个数列满足这个条件，我们就称之为等差数列。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项表示为aₙ = a₁ + (n-1)d。
等差数列具有以下性质：1. 公差：公差d是等差数列中的重要概念，它表示数列中的任意两项之间的差值。
公差可以是正数、负数或零。
2. 通项公式：等差数列的通项公式能够方便地计算任意一项的数值。
根据通项公式，我们可以通过已知的首项和公差来求解其他项的数值。
3. 前n项和公式：等差数列还有一个重要的性质，即前n项和的公式。
利用这个公式，我们可以计算数列的前n项的总和。
前n项和公式为Sn = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
二、实际应用等差数列在我们生活中的许多方面得到广泛应用。
下面将介绍等差数列在金融、物流和计算机科学领域的应用。
1. 金融领域：等差数列广泛应用于利息计算和复利计算中。
例如，投资人可以利用等差数列的公式来计算每年的复利，从而评估他们的投资回报。
2. 物流领域：在物流运输过程中，等差数列可以用来表示货物的到货时间和运输距离之间的关系。
物流公司可以利用这个数列来进行运输路径的规划和调度。
3. 计算机科学领域：等差数列在计算机编程中有很多应用。
例如，在循环结构中，我们可以利用等差数列来实现一系列连续的操作。
三、等差数列的重要性等差数列作为一种基本的数学概念，具有广泛的应用和重要性。
它是其他更复杂数学概念的基础，并在各种实际问题中发挥着重要作用。
1. 培养逻辑思维：研究等差数列可以帮助发展逻辑思维能力。
通过寻找等差数列中的规律和性质，我们可以锻炼自己的思维方式，提高问题解决能力。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列一．课标要求：1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等差数列与一次函数的关系。
二．命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
预测07年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。
三．要点精讲1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。
2．等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=。
（4）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+。
四．典例解析题型1：数列概念例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)nn n -+。
点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
例2．数列{}n a 中，已知21()3n n n a n N ++-=∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 21010110933+-==， 1n a +()()221113133n n n n +++-++==，2n a ()222421133n n n n +-+-==；（2）令2793213n n +-=，解方程得15,16n n ==-或，∵n N +∈，∴15n =， 即2793为该数列的第15项。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。
题型2：数列的递推公式例3．如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
解析：(1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+ 5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++- ＝241n -, 222114n n a a n -=+=。
221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+。
222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+。
（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒。
（3）由2n c n n =+≤2004，解得1n ≤≤n=44，经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。
点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。
由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。
例4．（1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22nn a a =+，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出{}n b 的前5项。
解：（1）11a = ，223a =，324a =，425a =，526a =，……，21n a n =+； （2）22212(1)(2)n b n n n n =-=++++， 113b =，216b =，3110b =，4115b =，5121b =．点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。
题型3：数列的应用例5．（05广东，14）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。
答案：5，)2)(1(21-+n n 解析：由图B 可得5)4(=f ， 由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，图B可推得∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个， ∴)1(432)(-++++=n n f 2)2)(12(--+=n n )2)(1(21-+=n n 。
点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。
例6．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。
答案：140 85解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
题型4：等差数列的概念例7．（2001天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。
例8．（2006年江苏卷）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）证明：1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d -1d =0，∴1+≤n n b b （n =1,2,3,…）成立；又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1,2,3,…）∴数列}{n c 为等差数列。