2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义练习 新人教A版必修4

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

[A 基础达标]

1．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A. 3 B. 5 C ．3

D ．5

解析：选C.由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2

－b 2

＝4－1＝3.

2．(2019·北京市十一学校检测)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

解析：选C.因为a ·(a ＋b )＝a 2

＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，

又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π

3

.

3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．12

解析：选C.因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2

－a ·b －6b 2

＝|a |2

－|a |·|b |cos 60°－6|b |2

＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.

解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.

4．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →

等于( )

A ．－

32

B.32

C ．－32

D.32

解析：选C.因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC

→

＝1×3×cos 150°＝－3

2

.

5．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →

，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形

D ．直角三角形

解析：选D.因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →

， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →

)＝0， 所以BC →·AC →

＝0，

所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．

6．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________．

解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2

－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32

.

答案：－3

2

7．已知向量a 与b 的夹角是π

3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝

________．

解析：根据题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π

3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a

＝3a 2

＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.

答案：－ 3

8．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →

＝8，则△ABC 的形状是________．

解析：因为AB →·AC →＝|AB →||AC →

|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以

∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．

答案：等边三角形

9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝1

2.

(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.

解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝1

2，

所以a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2

＝12，

又|a |＝1，所以|b |＝

2

2

.设向量a ，b 的夹角为θ， 因为a ·b ＝12，所以|a |·|b |cos θ＝1

2，

所以cos θ＝

2

2

，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2

＝12，所以|a －b |＝22.

10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；

(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π

3

.

(2)易知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2

＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直，

所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2

－3λa ·b ＋b ·a －3b 2

＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 所以λ＝4

7

.

[B 能力提升]

11．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，则向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为________．

解析：因为(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2

＋2a ·b －a ·b －b 2

＝2a 2

＋a ·b －b 2

＝2×12

＋1×1×cos 120°－12

＝12

，

|a ＋b |＝（a ＋b ）2

＝a 2

＋2a ·b ＋b 2

＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1， 所以（2a －b ）·（a ＋b ）|a ＋b |＝12，即向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.

答案：1

2