第十一章柱函数-PPT文档资料

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3.4 特殊函数及其应用(柱函数)

阶贝塞尔方程
二阶贝塞尔方程的解
• x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y 0 两个线性无关的解：
y( x) C1 J ( x) C2 J ( x),
v 整数或半整数
• x 2 y xy ( x 2 m 2 ) y 0 两个线性无关的解：
d x n J n ( x) x n J n 1 ( x) dx d n x J n ( x) x n J n1 ( x) dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
例1 求下列微积分
(1)
d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx 2n N n 1 ( x) N n 1 ( x) N n ( x) x ' N n 1 ( x) N n 1 ( x) 2 N n ( x)
xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
J n 1 ( x) J n 1 ( x)
2n J n ( x) x
n 1

J n ( x)
(1) x m 0 m! ( n m 1) 2
m
n2m
J ( x) cos J ( x) N n ( x) lim n sin
性质4 初值

第十一章柱函数

( xn0 ) z J 0 R ρ .(1) ( xn1) z J 0 R ρ .(2)
侧面为第二类齐次边界条件时
( xn1) u (ρ , z ) = A0 + B0 z + ∑ An ch R n =1
∞
( xn1) z + Bn sh R
,
I 0 (0 ) = 1, I m (0 ) = 0 (m = 1, 2 ,3, ), x → ∞ , I m (x ) → ∞ , K m (x ) → 0
11.5 输运方程与波动方程在柱坐标下的解
1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) V满足亥姆霍兹方程. v = R (ρ )Φ ( )Z ( z ), R (ρ )为m阶Bessel函数 , 在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件
(1)
mπ π i x 2 4
lim N m ( x ) → ∞, lim J m (x ) → ∞
2 , lim H m ( x ) = e x →∞ πx
(2 )
mπ π i x 2 4
3) 贝塞尔函数的模计算
[N
(m )
n
] =
2
∫
ρ0
0
[J (
m x0 0
n
(m )
虚宗量汉克尔函数记为 Km (x) 当m为整数时,虚宗量贝塞尔方程的解应为虚宗量汉克尔函数与虚宗量贝塞尔函数的迭加,
K m (x ) =
π I m (x ) I m (x )
2 sin mx R = C 1 I m (x ) + C 2 K m (x ) x → 0 , K m (x ) → ∞ ,

柱函数

(k )
k 0
2
2 ck x k ck x k 2 0
k 0

k (k 2 )ck x k ck 2 x k 0
k 0

(1 2 )c1 x1 k (k 2 )ck ck 2 x k 0
y ' ' ( x) x 1 p( x) x y ' ( x) x
2
y ( x) 0
x 2 2 q( x) x2

x=0是方程的正则奇点，在x=0的邻域内有如下形式的解：
y ( x) x s c k x k c k x k s
k 0 k 0

代入方程，得
n 2 n
x0

0

x 0
(1) x J ( x) n 1) 2 n 0 n!(
x0
1 x 2 ( 1)

x 2
(1) x n 1) 2 n 0 n!(
m k
2 nm
令n=m+k（k为整数），则
2 k m
(1) x J m ( x) k 0 (m k )!(k 1) 2

m k
2 k m
(1) x (1) k 0 (m k )!(k 1) 2
m k
2k m
(1) m
m
(1) x n0 (m n)!(n 1) 2
n
2 nm
(1) x (1) n0 n!(m n 1) 2

chenpc_文件下载_数理方法_第十一章+贝塞尔函数

m Am cos m Bm sin m
m 0,1, 2,
Ce z De z 0 Z z C z D 0 C cos z D sin z

0
E J m F Nm 0 R m E m F m 0 E Im F Km 0

u , , z Rm Z z m
二、柱函数：

m
1、分类： k 第一类柱函数：J m x = 1
k 0
1 x k ! m k 1 2
m2k
二、柱函数：
第二类柱函数：
二、柱函数： M=max(u(:)); m=min(u(:)); axis([min(x(:)) max(x(:)) min(y(:)) max(y(:)) m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴
二、柱函数：
%%如果输入变量数大于两个，即指定了函数值的范围，就将不需要的函数值去掉. if nargin>2 %%指令nargin是输入的变量数目 k=find((abs(w)>B)|isnan(abs(w))); %%找出绝对值大于B或者为非数的函数值的元素足标. if length(k)>0 %%如果存在这样的元素，就要作如下处理. u(k)=B*sign(u(k)); %%将范围以外的函数值实部都设为B v(k)=zeros(size(k)); %%将范围以外的函数值虚部都设为0 v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 v(k)=NaN*ones(size(k)); %%设为非数就可以不对它们作图 end end

柱坐标系与球坐标系PPT教学课件

＃理论基础： “天人感应”学说。
＃思想核心：大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也，谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独尊儒术
罢黜百家独尊儒术
董仲舒：中国古代著名的思想家。（前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向汉武帝提出“罢黜百家独尊儒术”的主张，创立新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源：以《公羊春秋》为骨干，融合阴阳家，黄老之学以及法家思想而形成的新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教育的发展。
• 确立了儒学在中国的统治地位。
总结
原西汉初年，
因
经济残败百业待兴。
无为不适应集权
原新儒学的大一统因统治者的有为愿望
黄
老内治身、治国之容无为而无不为学
独
尊
内容
天人感应实行仁政
儒
术
作经济恢复用国力增强
作巩固国家统一
用
限制君主权利儒学独尊地位

柱函数

n n n 1 2 0 1 0 n n m m 1 n 1 m 1 m m 1 m m 0 1
n2
J 0 dx
例题 2 例题 3 例题 4 例题 5

x 3 J 0 dx x 3 J 1 2 x 2 J 0 4 xJ 0 dx
1 0

J dx J
xJ
x 2 J 1dx x 2 J 0 2 xJ 0 dx
本征函数为：
( ( Rn ( ) y n ( x ) Cn J m ( nm ) / b) Dn N m ( nm ) / b), n 0，2,3, 1,
正交性和完备性
正交性

模
b
0
m Rn ( ) Pl ( ) dx n ,l ( N n ) 2
x 2 2 k m
[ J m ( x ) / x ]'

k 0
( 1) k k! ( k m 1)
1 2k m ( x 2k )' 2

k 1
2 k ( 1) k k! ( k m 1)
1 2 k m x 2 k 1 2
l k 1
有界和第一类边界条件
例2：把函数 f = ρm 在[0,b] 区间用m阶贝塞尔函数展开。

m

n 1
f n Rn ( )

n 1
( f n J m ( x nm ) / b )
fn
1
m (Nn
)
2

b
0
m Rn ( ) d
( x xnm ) / b
J m 0 ( x )

第11章柱函数

(m) n
a)]2
[Nn(m)
]2
1 2
(a2
m2
(m) n
)[J m (
(m) n
a)]2
1 2
a2[
J
'm
(
(m) n
a)]2
（2）、 =a 端有第二类齐次边界条件
R'() a 0
J 'm ( ) a 0
[Nn(m) ]2
1 2
(a2
m2
(m) n
)[J m (
(m) n
a)]2
x0 0
x2
J
m
(x)
J
'm
(
x)dx
x0 0
[m2
J
m
dJ
m
x2J 'm
dJ 'm dx
dx
x(J 'm
)2 dx]
x0 [ m2 02
d (J m )2
x2 2
d(J 'm
)2
(J 'm 2
)2
dx2 ]
x0 {m2 02
d (J m )2
d[
x2 2
(J 'm
)2 ]}
[m2(Jm)2 2
设第n个零点根为 xn(m)
本征值由
(m) n
a
x(m) n
Jn(x)=0 有无限多实根
(m) n
(
x(m) n a
)2
本征值本征值函数
(m) n
(
x(m) n
a
)2
R() Jm(
)
J
m
(
x(m) n a
)

11.2 贝塞尔方程

x
2
d R dx
2
2
x
dR dx
x m
2
2
R 0
（11.4.1）
数学物理方法
令 i x , y ( ) R ( x ) 代入上式，则得到贝塞尔方程
y y m
2 2 2
y0
（11.4.2）
令 i x , 即可得到虚宗量贝塞尔方程的解。定义虚宗量贝塞尔方程的解具有如下形式
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴，定解问题表为
2u 0 u 0, 0 u z 0 f 1 ( ), u
zL
f2 ( )
本例是圆柱内部的拉普拉斯方程定解问题，柱侧是齐次的第二类边界条件，故考虑 0 的情况。
况应舍弃。故把特解叠加起来，有
v

Ap I0 (
p L
) sin
p z L
p 1
为确定系数，将上式代入柱侧的边界条件 q0 p p p z I '0 ( 0 ) sin Ap
p 1
L
L
L
k
数学物理方法
例 2 半径 0 ，高 L 的导体圆柱壳，用不导电的介质将柱壳的上下底面和侧面隔离开，柱壳侧面电势为 u 0 z / L ，上底面电势为 u 1 ，下底面接地，求柱壳外电势分布
v [ A J 0 ( ) B N 0 ( )]e
a t
2
A J 0 ( 1 ) B J 0 ( 1 ) 0 代入边界条件，，从而解 AJ 0 ( 2 ) BJ 0 ( 2 ) 0
出本征值，从而定出相应系数，得解。

第十一章贝塞尔函数

二、本征值问题
二、本征值问题
可以证明如下的正交关系：
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
三、应用
例题：半径为a的均匀导热介质球，原来的温度为u0 （常量）。将它放入冰水中，使球面温度保持为。求球内温度的变化。
三、应用
三、应用
二、柱函数：
二、柱函数：
二、柱函数：
% Fig1d21.m
y=bessely(0:1,(0:0.2:10)'); plot((0:0.2:10)',y(:,1),'b-',(0:0.2:10)',y(:,2),'r--*') grid on text(1.8,0.6,'N_0') text(4.7,0.3,'N_1') title('\fontsize{20}诺伊曼函数N_{0,1}的图形') xlabel('\fontsize{20}x') ylabel('\fontsize{20}N_m(x)')
二、柱函数：
ylabel('\fontsize{20}y') zlabel('\fontsize{20}u') title('\fontsize{20}贝塞尔函数的母函数等式左边的图形') view(34,44)
w=0; for k=-20:20 u=besselj(k,2).*z.^k; %x=2 w=w+u; end subplot(122) cplxmap(z,w) xlabel('\fontsize{20}x')

数学物理方法——柱函数

(0 n
)
)
4
1 2
b
2
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
x3J1
+
2x2J0
−
4 xJ
1
x
( n
0
)
0
=
(
x
(0 n
)
2b2
)
4
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
[(
x
(0 n
)
)3
−
4
x
(0 n
)
]
J
1
(
x
(0 n
)
)
有界和第二类边界条件
本征值问题为：
⎪⎧ ( ρ R ' )' −
⎨
m2 ρ
R
+
k 2ρ
R
=
0,
fn
Rn (ρ ) =
∞ n =1
fn
J 0 ( xn(0) ρ / b)
∫ f n
=
1
(
N
0 n
)
2
b ρ 2Rn (ρ )ρdρ
0
∫ ∫ =
b4
(
x
(0 n
)
)
4
(
N
0 n
)
2
x
( n
0
)
x 3 J 0 ( x ) dx
0
x3J0dx = x3J1 + 2x2J0 − 4xJ1
[ ] =
b4
(
x
♦ 根据边界条件可以得出本征值：
kn
=

柱坐标系人教A选修课件

本课时考点在近几年的高考中未出现过.2012 年南京模拟以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化．
[考题印证] (2012·南京模拟)如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)，C1(6，π2，5)，则此长方体外接球的体积为________． [命题立意] 本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长
有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作
P(ρ，θ，，z其)
中 ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R .柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
2．直角坐标与柱坐标的转化
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换
x＝公式为y＝
ρcos ρsin
θ θ
.
z＝ z
[小问题·大思维] 1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．
2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的
射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？
由公式xy＝＝ρρscions θθ z＝z
，得 ρ2＝x2＋y2，z＝3.
∴ρ2＝(4 3)2＋(4)2＝48＋16＝64， ∴ρ＝8. tan θ＝xy＝443＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限． ∴θ＝π3. ∴点 P 的柱坐标为(8，π3，3)．
[悟一法]
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定 ρ 和 θ，
x＝
2cos
π4＝1，
y＝ 2sin π4＝1，z＝ Nhomakorabea，∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为 (－1，－1，－1)， ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－－11＝1，又 x＜0，y＜0. ∴θ＝54π. ∴M 关于原点 O 对称点的柱坐标为( 2，54π，－1).

数学物理方法第十一章柱函数

∞
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 J −v ( x )
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 N v ( x )
ν为整数m时 , Γ(m + k + 1) = (m + k )!
±ν + 2 k k
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
ν
∞ k
x 2ν + 2 k −1
ν −1+ 2 k
x
ν −1+ 2 k
= xν Jν −1
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
k
∞
±ν + 2 k
12
∫x
ν
J ν − 1 ( x ) dx = x J ν ( x ) + C
( −1) 2k 1 =∑ k =1 k! Γ(ν + k + 1) 2
∞ k
ν +2 k
x
2 k −1
1 0 ν + 2k + 2 ∞ d Jν ( x) 2(k + 1) 1 k +1 = ∑(−1) x2k +1 xν dx (k + 1)!Γ(ν + k + 1 + 1) 2 k =0
2 2
[
]
Φ"+λΦ = 0 cos mϕ Φ= Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) sin mϕ

《类柱函数》PPT课件

2
0
/ 4)
，因此，研究圆柱
外部问
题时，两个线性独立特解如
J
v
(
x)
和
N
v
(
x)
，或者
H
(1) v
(
x)
和
H
( v
2
)
(
x)
都要保留，不可任意舍弃两者之一。
（三）递推公式
由贝塞尔函数的表达式
J (x)
(1)k
k 0
1
k !( k
( x ) 2k 1) 2
d
dx
[
J
v (x) xv
]
d dx
[ (1)k
xJ1(x) 2[xJ1(x) J1(x)dx]
xJ1(x) 2[xJ1(x) J0(x)dx]
xJ1(x) 2J0 (x) c
11.2 贝塞尔方程
（一）贝塞尔函数和本征值问题在第九章柱坐标下拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程分离变
数的 0， 0 ， 0 的情况。
对于圆柱内部的问题，如果柱侧有齐次的边界条件，则
0应予以排除。因为 0 引至虚宗量贝塞尔方程，
其解恒不为零。
因此，只需要考虑 0 情况。其中 0 比较简单，这里着重介绍 0 的情况。
在此情况下， R( ) 是 m 阶贝塞尔方程的解。由于圆柱轴
上的自然边界条件，决定了只能取非负阶的贝塞尔函数
R() Jm(x) Jm( ) （m 0 ）（12.2.1）
当 x 0 时，
J0 (x) 1, Jv (x) 0, Jv (x)
Nv
(
x)
,
Nm
(
x)
因此，如果所研究的区域包含 x 0 在内，往往要排除

数学物理方法课件：第11章柱函数

(x)dx
x2Jm
(x)
m2Jm
(x)
x2
d
2Jm (x) dx2
x
dJm (x) dx
代入
x0 0
x2
Jm
(x)J
'm
(x)dx
x0 0
(m2Jm (x)
x2
d 2Jm (x) dx2
x
dJm ( dx
x)
)
J
'm
(x)dx
x0 0
[m
2
J
m
dJ
m
x2J 'm
dJ 'm dx
dx
x(J 'm
)2 dx]
x0 0
x3J0
(x)dx
x03 J1 ( x0
)
4x0
J1(x0
)
2x02
J0
(x0
( x )2k 2
有递推关系
Z 1(x) Z 1(x) 2Z ' (x)
证明：
Z 1(x) Z 1(x)
2
Z (x) x
d
dx
[
x
J
( x)]
d [ (1)k dx k0
2
k!( k
1)
( x )2k 2 2
]
d [x
dx
J
( x)]
d [ (1)k dx k0
2
k!(
k
1)
有自然边界条件
当 x 时，
J (x) 0
N (x) 0
H (1) (x) 0 H (2) (x) 0
若研究区域圆柱外区域，要保留
J (x) 和N (x) 或 H (1) (x)和H (2) (x)

柱函数应用多重散射法及其应用

i, j j
i
其中
T n S n / i H n ( k ri ) exp( in r )
i i (1 )
i
G n , l H l n ( k ri r j ) exp[ i ( l n )
i, j (1 )
ri r j
]
12
二、多重散射法的应用之一 ——澄清平板成像的纷争
i
rrj
)
7

利用Hankel函数的加法定理将中波源和散射波分别表示成Bessel函数的叠加
G (r )

n

S n J n ( k r ri ) exp( in r r )
i
i
s (r , rj )

n

C n J 1 ( k r ri ) exp( in r r )
b
n

1 in
s
n
5
1.波源
在没有散射体存在时，点波源发射的波场满足 Helmholtz方程
(
2
其解为
k b ) G ( r ) 4
2
(2)
(r )
(1 ) G ( r ) i H 0 ( k r )
其中H0(1)为第0阶第1类Hankel函数。第1类和第2类 Hankel函数分别定义为
背景空间中散射体外部的场在背景空间中位置r处接收到来自第j个散射体的散射场可表示为?n因此第i个散射体接收到的入射波为入射波一定可以表示成bessel函数的叠加??rrjnjnjsjinrrkhairrexp11injjjsiincrrrgrexpjrrnjniniincinrrkjbr???7?利用hankel函数的加法定理将中波源和散射波分别表示成bessel函数的叠加??然后再对比系数可得expirrninininrrkjsrg???n??rrijinjsiinrrkjcrrexp11nijjjininincsbexp1?irinininrkhis??l????rrjinljljinjinlirrkhaicexp18入射波加上第i个散射体自己的散射波即可得散射体外部的总波场?n???rrininininextiinrrkhairrkjbrexp193