第16章 二次根式导学案
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第十六章《二次根式》导学案二次根式（1）一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质:7a > 0（a > 0）（7^）2 = a（a > 0）二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质扃2 0（。
2 0）和（扃尸=。
怎20）。
三、学习过程（―）复习回顾：C 1）己知/HO,那么。
是X的__________ ；工是。
的,记为________________ , Qi定是________ 数。
（2）4的算术平方根为2,用式子表示为捐="正数。
的算术平方根为，0的算术平方根为;式子程> 0（。
> 0）的意义是o（-）自主学习（1）V16的平方根是;⑵一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是*（单位：秒）与开始下落时的高度力（单位：米）满足关系式h = 5t\如果用含力的式子表示Z,则Z=；（3）圆的面积为S,则圆的半径是；（4）正方形的面积为b-3,则边长为o思考：V16, 底^等式子的实际意义说一说他们的共同特征.定义：一般地我们把形如占（。
20）叫做二次根式，。
叫做。
7~。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？0 -V16, V4,后，知20）, + l2、当。
为正数时石指。
的,而0的算术平方根是—，负数,只有非负数。
才有算术平方根。
所以，在二次根式插中,字母。
必须满足，万才有意义。
3、根据算术平方根意义计算：(1)(V4)2⑵峦尸(3)(而尸(4) (&)2根据计算结果，你能得出结论：(扃)2= ,其中。
20,4、由公式(7危2=。
(。
20),我们可以得到公式a = g ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(V5)M；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(75)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35(2)在实数范围内因式分解2 r 9工一7 4a~Tl(%1)合作探究例：当x是怎样的实数口寸，后I在实数范围内有意义？解：由x-2>0,得x>2当VT互在实数范围内有意义。
16章二次根式全章导学案
16.1二次根式(1)学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式，掌握二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质：.、a 0(a 0)和(、、a)2 a(a 0)• •预习案(一)复习回顾：(1) _____________________________ 已知x2 a，那么a是x的____ ; x是a的 _____ , 记为____________________________________ , a 一定是______ 数。
(2) ________________________________________ 4的算术平方根为2,用式子表示为J石 ;正数a的算术平方根为____________________________ ,0的算术平方根为___ ;式子掐0(a 0)的意义是________________ 。
思考：J6 ，: S, ,b 3等式子.说一说他们的共同特征.定义：一般地我们把形如応(a 0 )叫做二次根式，a叫做_____________ 。
“、厂”称为____ 。
1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“V”，哪些不是在后面“X”？为什么？J3 ()，用()，V4 ( )，/T()，乜g 0)()，()32、当a为正数时,a指a的_________ ，而0的算术平方根是 ____ ，负数_____________ ，只有非负数a才有算术平方根。
所以，在二次根式.a中，字母a必须满足_•、a才有意义。
3、根据算术平方根意义计算：(1) ( 4)2 = _____ (2) I 3)' = __________ (3) (.0.5)2 = __________ (4) G 3)2= ________根据计算结果，你能得出结论：(a)2 _________ ( a 0)4、由公式(、.a)2 a(a 0)，我们可以得到公式a = (-一a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
第16章二次根式全章导学案
第 课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用学法指导：小组合作交流 一对一检查过关导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x -21⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a （1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习： 已知(),03122=-++b a 求a,b 的值 2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=y x4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-25.若式子ab a 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 （一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
43、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4((2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
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2.熟练进行二次根式的乘除法运算；
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式；
【重点难点】
二次根式的计算和化简；二次根式的混合运算.
【知识回顾】
1.二次根式的概念：形如
的式子叫做二次根式。
2.二次根式的性质：
⑴ a 0(a≥0)
1.二次根式乘法运算的法则：
2.化简：
⑴ 200 =
3.计算：
⑵ x3 x2 y =
1
⑴ × 24 =
2
⑵ a3 · ab =
【自主学习】 1.计算并用“>”、“<”或“=”填空.
⑴9 16
9
⑵ 25
16
36
25
⑶ 49
36
64
【合作探究】
1.已知 9 x 9 x ，且 x 为偶数，求 x 1 x2 5x 4 的值．
2
m 3n 2 3m2
⑶· ·
3 mnn
⑵ 1 3 ×2 3 ×（- 1 10 ）
5
2
2
⑷
xy5 ×（- 3
x3y ）×3
x
y
2
y5
16.3 二次根式在加减（1） 【学习目标】
1.理解和掌握二次根式加减的法则； 2.会利用二次根式在加减法则进行计算. 【重点难点】 二次根式在加减法则；熟练进行二次根式在加减运算. 【旧知回顾】 1.最简二次根式：
⑴ 6 8 3
⑵ 4 6 3 2 2 2
⑶
5
6 3
5
⑷
2
5
3 2 5
3
⑸ 3 2 2 2
⑹ 2 5 2 2
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第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
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第十六章二次根式学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习重点:形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念。
学习难点:利用“a（a≥0）”解决具体问题。
学习内容:一、创设情境独立思考（课前20分钟）1、阅读课本P 2～3 页，思考下列问题：（1）理解二次根式的概念（2）找出二次根式有意义的条件（3）二次根式的双重非负性是什么？2、独立思考后我还有以下疑惑：（课前写在小黑板上）二、答疑解惑我最棒（约8分钟）(同伴互助答疑解惑)甲：乙：丙：丁：三、合作学习探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题（1）一个长方形长和宽分别为13cm和 5cm,则与它面积相等的正方形边长为_____cm。
（2）若正方形的面积3，则正方形的边长是______（3）圆形的面积为2 ,则半径为 _______.（4）h=5t 2,则t=_______（5）你认为所得的各式有哪些共同点？（6）什么叫做平方根?如何表示? 答：一般地，若一个数的平方等于a ，则这个数就叫做a 的平方根。
根据定义可知a 的平方根是 ±a ≥0 （7）什么叫做一个数的算术平方根?如何表示?答： 表示为： (a ≥0) （8）形如 (a ≥0) 的式子叫做二次根式. （9）定义包含三个内容:Ⅰ必需含有二次根号 “ ”. 四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：（1）二次根式的概念形如 的式子叫做二次根式.（2）二次根式有意义的条件（3）二次根式的性质:2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0）（5）xy （6）12+a （7） 35例2.当x 是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义?※二次根式中字母的取值范围的基本依据：65235h aaa1)5(31)4(31)3(238)2(2)1(2+--+---x x x x x x x（1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。
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第十六章二次根式图①图②倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.1.下列各式:)1x≥一定是二次根式的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2：a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；例3 若22(4)0a c-+-=，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y8+,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足4 b=，求此三角形的周长．已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）A.B.2.（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____取最小值，其最小值为______．第十六章二次根式要点归纳：2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .探究点3：代数式的定义列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为负数的算术平0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：第十六章二次根式.)0b.,≥..相乘..k a b k⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（例2 计算:(273.⎛⎝(n b mn=例3 比较大小(一题多解):533与；(2)3 6.--方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1.( )B.4 D.22.下面计算结果正确的是( )A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅baabba()______0,0_a b=吵要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 (教材P7例2变式题)化简：（12()00x y ,≥≥ ．方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. 1. 计算：2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，，求出它的面积.a bc n abc ⋅⋅⋅=()m a n b mn =A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数2.下列运算正确的是（）A.532-=(2)(4)8=-⨯-=5315=⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--第十六章二次根式...探究点3：最简二次根式思考前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．探究点4：二次根式除法的应用例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t 从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？1.的结果是（）A．9 B．3 C．D．2.下列根式中，最简二次根式是（）A B C D3.=k取值范围是（）A.k≥1B.k≥2C. 1＜k≤2D. 1≤k≤24.化下列各式的计算中，结果为52的是（）A.210÷ B.52⨯ C.40121÷ D.58⨯5. 化简：6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有I=若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？第十六章 二次根式..观察下图并思考：(1)由左图，易得2a +3a = ； (2)当a =2时，分别代入左、右得2_23+；(3)当a =3时，分别代入左、右得233+；......的值？结果能进行化简吗？(式)相加，根指数例1 若最简根式2.方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】可以合并，义，求x的取值范围.1.）2.m=_____.3.________(填序号）.②探究点2：二次根式的加减及其应用思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.例2 (教材P13例2变式题)计算：(;例3 已知a ,b,c 满足(20a c -=.(1)求a ,b ,c 的值；(2)以a ,b ,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为.2= B. =C.= =1.中，与能进行合并的是（）A B.C D2.下列运算中错误的是（）A. B. C. 2 D.23（=3.则这个三角形的周长为________.4.计算:______；_________(2)；b，求(2*3)－(27*32)的值．第十六章二次根式例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽的梯形，这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？计算：(1 2 1⎝()；() .探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?例3(教材P14例4变式题)计算：212)；((2);⨯方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.【变式题】计算：20182018133;（）（）（）⨯201720192222.（）（（+-⨯计算：())))2(1)1(2).；探究点3：求代数式的值a nb 的式子，构1.下列计算中正确的是（）3=1=-2=2.计算2.-=3.设,310,3101-=+=ba则a b(填“>”“< ”或“=”）.4.计算：。
(完整版)16章 二次根式全章导学案
16。
1二次根式（1)学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件.2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a· ·预 习 案（一）复习回顾：（1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _， 记为_ ___,a 一定是__ __数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=______;正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：16 ，πs,3-b 等式子。
说一说他们的共同特征。
定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。
“”称为 。
1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×"？为什么?3( ），16-（ )，34（ ） ），)0(3≥a a （ ），12+x ( ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ,负数 ，只有非负数a 才有算术平方根.所以,在二次根式a 中，字母a 必须满足 ， a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 :(1） 2)4( = (2)= （3)2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(5）2=5或5=(5)2.练习：(1）把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= 0.35=合 作 探 究例1：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义?________)(2=a 42)3(练习1：x 取何值时,下列各二次根式有意义？①② ③ 2例2：在式子xx+-121中,x 的取值范围是什么？练习2：x 取何值时，下列各二次根式有意义？① ② ③训练案1、计算： 2)3(=2)5.0(= 2= 2= 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是( ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为（ ）A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =—3D 、 x 的值不能确定4有意义，则a 的值为_______．若xx+-121有意义，x 的取值范围是________。
16.1二次根式导学案(2).doc
第16章 二次根式
16.1 二次根式导学案 第2课时
一、学习目标
（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；
（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
（3）了解代数式的概念．
重难点
重点: 运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
难点: 探索二次根式的性质的过程
二、自主学习
根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
； ；213⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= ； . 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ ；这就是二次根式的性质1. 运用二次根式的性质1计算
（1）
； （2）.
三、自主探究
根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
= ，= ，= ，= . 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ . 这就是二次根式的性质2 运用二次根式的性质2计算
（1）
； （2）.
四、合作交流 回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些
式子有哪些共同特征？得出代数式的概念。
五、应用探究
1、算一算：
；；；.
2、想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，
又等于多少？
.
4、；； .
5、下列运算正确的是（）
A.B.C.D.
6、若，则的取值范围是 .
7、计算:．
六、练习巩固
完成课本第4页练习题
课后练习:
课本第5页，复习巩固第2，4题写在练习本上。
七、大家谈收获：
1、这节课有哪些收获？
2、还有哪些困惑？。
16.1二次根式导学案(1).doc
第16章 二次根式16.1 二次根式导学案 第1课时一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
重难点重点：二次根式有意义的条件；难点：二次根式有意义的条件二、自主学习你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m ．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t ?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t = _____．三、自主探究1、 上面得到的式子，，65，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？由此得到二次根式的定义： 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 不是，因为结论:当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,a 才有意义。
2、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ②223x + ③x --21四、合作交流当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？五、应用探究1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.2、当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.3. 当时，二次根式无意义．4.当时，二次根式有最小值，其最小值是．5.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．六、练习巩固完成课本第3页练习题课后练习课本第5页，复习巩固第1题写在练习本上。
七、大家谈收获：1、这节课有哪些收获？2、还有哪些困惑？。
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
最新人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案（全章）最新人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案（全章）广汉市金峪镇中学八年级数学辅导计划编制人：杨卫东参与者：二年级数学小组班学生姓名第16章二根辅导计划二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3.掌握二次根式的基本性质：a？0（a？0）和（a）2？A（A？0）II。
学习重点和难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）知道x2吗？a、那么a是__;；X是计数。
（2） 4的算术平方根为2，表示为4=___;；正数a的算术平方根是__;，0的算术平方根是__;；方程式a？0（a？0）的意思是。
（2）自主学习(1)16的平方根是；（2）物体从高处自由下落。
落地时间为t（单位：秒），落地高度为h（单位：米）足关系式h?5t2。
如果用含h的式子表示t，则t=；(3)圆的面积为s，则圆的半径是；(4)正方形的面积为b?3，则边长为。
思考：16，H，b？等式3的实际意义讨论了它们的共同特征5定义:一般地我们把形如a（a?0）叫做二次根式，a叫做_____________。
一广汉市金鱼镇中学校八年级数学导学案编制人:杨维东参与人：二年级数学组班级学生姓名1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3.16，34，? 5，a（a？0），x2？一32、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。
所以，在二次根式a中，字母a必须满足,3、根据算术平方根意义计算：（1） (4)2(2)(3)2(3)(0.5)2(4)根据计算结果，你可以得出一个结论：a在哪里？0a才有意义。
12) 34. 来自公式（a）2？A（A？0），我们可以得到公式A=（A）2。
使用这个公式，任何非负数都可以写成一个数的平方的形式。
人教八下第十六章16.1 二次根式导学案
第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标1.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件.难点：二次根式概念的理解，综合运用性质)0(0≥≥a a .学习过程1、回忆旧知识（1）什么叫做算术平方根？什么叫做平方根？（2）正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？2、用带根号的式子填空.（1）3的算术平方根是 .（2）直角三角形的两直角边是1和2，则斜边是 .（3）正方形的面积为3-b ，则边长为 .(4)自主完成课本第二页思考题.观察所列式子，有何共同特点？3、思考下列问题：开平方时，被开方数只能是 和 ，为什么？4、请写出二次根式的概念：5、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 请同学们思考并总结一下，判断一个式子是否是二次根式，需要考虑哪些要点：6、根据开平方时，被开方数只能是 和 这一依据，完成下题：例1：当x 是怎样的实数时，6-x 在实数范围内有意义？7、做完以上例题，请填空：当a 为正数时，a 是a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根.所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义.8、扩展思考：当a 是怎样的实数时，a 在实数范围内有意义？a 呢？9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10.达标测试1.在式子12x -，13x -x 可以取2和3的是（ ）A ．12x -B ．13x - C D2.x 必须满足（ ） A ．x ≤2 B ．x ≥2 C ．x ＞2 D ．x ＜23.x 可以取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.有意义，则x 的取值范围为_________.5.若y= 22-，则（x+y ）y =_________.6.已知a 、b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长．7.小组精彩讨论的镜头：你想一起参加讨论吗？若参加你怎么评价这四位同学的解答？并写出你解答的过程？第2课时 二次根式的性质学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 和a a =2；2.能利用上述性质公式对复杂的二次根式进行化简. 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算.学习过程1、回忆旧知（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x . 2、计算并总结公式（1）计算：2)4(= 、2)16(= 、2)3(= 、2)21(= 、2)0(= 观察其结果归纳得到：当=≥2)(,0a a 时（2）、计算：=24 、=22.0 、=2)54( 、=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（3）、计算：-2)4(= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（4）、计算：=20 ，所以当==2,0a a 时3、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的两条非常重要的性质（公式）：（1）当=≥2)(,0a a 时（2）=2a4、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）5、请大家思考讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.6、化简下列各式 （1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a7、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？8、达标测试 1.要使ba 是二次根式，则应满足的条件是（ ） A.a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0 C.b a ＞0 D.ba ≥0且b≠0 2.把414写成一个正数平方的形式是（ ） A.2212⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛或2212⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.函数21-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D.9.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：2a -2b -2)(b a -．10.已知x 、y 为实数，y=214422-+-+-x x x ，试求3x+4y 的值．11.甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简a 1+2a a 122-+ ，其中a=51. 甲同学的做法是：原式=a 1+2)a a1(-=a 1+a 1-a=a 2-a =10-51=549；乙同学的做法是： 原式=a 1+2)a 1a (-=a 1+a-a 1=a=51. 到底谁错了？为什么？说明理由.。
第16章《二次根式》四步导学案
人教版八年级上册数学第十六章《二次根式》四步导学案16.1.1二次根式（1）学习目标（a ≥0）的意义解答具体题目． 能力：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感： 学习重点:1. 理解二次根式的概念 学习难点:1. （a ≥0）的意义解答具体题目。
教学流程 【导课】1、知识： ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例【阅读质疑 自主探究】例11xx >0）、、1x y+x ≥0，y ≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，（3）注意：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数【多元互动合作探究】例3．当x11x+在有意义？例4(1)已知y，求xy的值(2)，求a2014+b2104的值．【训练检测目标探究】（1）、下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？x 1 x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为5的正方形的边长为________．（3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．3.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数4.已知a、b b+4，求a、b的值．【迁移应用拓展探究】基础训练有关训练布置作业教材P练习1、2、3．课本5页练习、8页第1题板书设计教后反思授课时间：累计课时：第十六章 二次根式 16.1.1二次根式（2）学习目标知识：掌握二次根式的基本性质：a a =2能力：能利用上述性质对二次根式进行化简. 学习重点:1. 重点：二次根式的性质a a =2． 学习难点:1. 综合运用性质a a =2进行化简和计算。
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16.1二次根式(1)课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
B 类：4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； A 类：16的平方根是【目标识记】1、知道二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
【预习导学】1、预习课本P 2-3，完成思考题。
2、填空：(1)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (2)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
【学生活动】 一、探究交流： 思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.二、合作学习：1、定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）的式子叫做二次根式，a 叫做_____________2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
三、课堂展示：例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？练习：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x42、x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x②3、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________.(2)已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+-=x x y ,则x y = _____________。
【达标测试】C 类：1、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1D 、a ＞1 2、x 取何值时，下列二次根式有意义？B 类：1、若0112=-+-y x ，求x 和y 的值.2、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ） A 、3+a B 、3-a C 、3+a D 、32+aA 类：当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。
【总结反思】x--2116.1二次根式(2)课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：什么是二次根式，它有意义的条件是什么？B 类：二次根式52-x 有意义，则x 。
A 类x -4│-│7-x │。
【目标识记】1、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a2、掌握二次根式的基本性质：a a =23、能利用上述性质对二次根式进行化简.【预习导学】预习课本P 3-4，完成课本探究.【学生活动】一、探究交流：1、(1)根据算术平方根意义计算 ：2)4(2)5.0( 2)31(根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,(2)由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=( )2.2、（1）计算：24= =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（2）计算：-2)4(=观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时________)(2=a 2)3((3)计算：=20 当==2,0a a 时(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：)(())(⎪⎩⎪⎨⎧<-===00002a a a a a a a二、课堂展示：1、把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 2、在实数范围内因式分解72-x 4a 2-113、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）【达标测试】C 类：化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 2)4(-πB 类：化简（1）已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x（2）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________A 类：把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x【总结反思】16.2二次根式的乘除（1）课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：化简()25-的结果是（ ）A 5B -5C 士5D 25B 类：代数式24-+x x 中，x 的取值范围是（ ）A 4-≥xB 2>xC 24≠-≥x x 且D 24≠->x x 且A 类：若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1【目标识记】a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简【预习导学】预习课本P 6-7，完成课本探究.【学生活动】一、探究交流：1、 根据探究填空发现规律：2、一般地，对二次根式的乘法规定为反过来二、课堂展示： 例1、计算（1（2（3）×（4例2、化简（1（2（3（4（5三、 巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简【达标测试】C 类：1、选择题（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1（2）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26B ．-26C ．6D ．12 2、化简：（1）360； （2）432x ；3、计算：（1）3018⨯； （2）7523⨯；B 类：计算：（1）68×（-26）； （2A 类：不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -332 (2) a a 212-【总结反思】16.2二次根式的乘除（2）课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质B 类： 38×（-46）A 类： 3612ab ab ⨯【目标识记】1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
【预习导学】1、预习课本P 8-9，完成课本探究.2、填空： （1； 规律：（2；（3；（4=____．一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．【学生活动】一、课堂展示：1、计算：（1（2（3（42、化简：（1（2（3 （4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
（二）拓展延伸阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)=_________(３=_____ ___ (４=___ ___ 【达标测试】C类： 1的结果是（）．A．27．27C．72、计算：（1）482（2）xx823B类：1的结果是（）A．-3B．C．-3．2、计算：（1）16141÷（2A类：用两种方法计算：（1（2）346【总结反思】16.2二次根式的乘除（3）课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：化简（1）496x = （2=B =A 类：化简（1= （2= 【目标识记】1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
【预习导学】结合成果巩固的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？【学生活动】（一）自主学习观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （二）课堂展示 化简:(1) 208（三）合作交流 1、计算： 521312321⨯÷2、比较下列数的大小 （1）8.2与432（2）7667--与注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2． （四）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+， 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+，同理可得：321- =32-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（++++231121……+200820091+）（12009+）的值．【达标测试】C 类：1、选择题（1（y >0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．A （y >0）B y >0）C y >0）D ．以上都不对2、计算：21541)74181(2133÷-⨯B 类：1、化简二次根式22a a a +-的结果是 A 、2--a B 、-2--a C 、2-a D 、-2-a2、计算：2147431⨯÷A 类：若x 、y 为实数，且y x y x -∙+的值。
【总结反思】16.3二次根式的加减（1）课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】（1）6·a 3·b 31 （2）16141÷(3) 25341122÷⨯【目标识记】1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法．3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．【预习导学】预习课本P 12-13 ，完成P 13练习1、3题 【学生活动】（一）自主学习： 计算下列各式．（1）（2）（3（4） （二）合作交流由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如吗？ （与整数中同类项的意义相类似我们把33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式）+ =5+ =6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，•再将同类二次根式进行合并． （三）课堂展示例1．计算 （1（2例2．计算（1）（ 2）+归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．【达标测试】C 类： 1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④D ．③和④2 、课本P 13练习第2题B 类：1．下列各式的计算中，成立的是( )(A)5252=+ (B)15354=- (C)y x y x +=+22(D)52045=-2．若最简二次根式b a +3与ba b 2+是同类二次根式，则a ＝______，b ＝______．3．计算：a a a a a a a 1084333273123-+-A 类：先化简，再求值．)364()36(3xy yxx xy y x y x +-+，其中x =32，y =27．【总结反思】16.3二次根式的加减（2）课型：新授课 主备：何莉 高玲霞 审核：八年级数学备课组 班级 姓名【成果巩固】C 类：323814182+- B 类：)7581()31232(--- A 类：)272(43)32(21--+【目标识记】熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。