《新新练案系列》2014-2015学年高中数学(北师大版必修五)模块检测(含答案解析)

合集下载

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

2014-2015学习报数学高中北师大必修5第10-13期答案

伊4垣（
1 源
）圆伊源圆垣…垣（
1 源
）灶原员·源灶原员垣葬灶·源灶=灶垣葬灶·源灶，
所以得5栽灶原源灶葬灶=灶援三、解答题
1远.解：由题意知（枣曾）越葬（曾原曾员）（曾原曾圆）越葬（曾原员）（曾原猿），且葬约园，故二次函数在区间［圆，垣肄）上是减函数.
又因为愿垣渣贼渣跃愿，圆垣贼圆逸圆，
故由二次函数的单调性知不等式（枣渣贼渣垣愿）约（枣圆垣贼圆），
.故选B.
7.依题意，得栽愿越a员·a圆·…·a愿越（a源·a缘）源越圆源越员远.故选C援 8.因为葬糟燥泽悦，遭糟燥泽月，糟糟燥泽粤成等差数列，所以葬糟燥泽悦垣糟糟燥泽粤越圆遭糟燥泽月.根据正弦定理可得泽蚤灶粤糟燥泽悦垣泽蚤灶悦糟燥泽粤越圆泽蚤灶月糟燥泽月，
即泽蚤灶（粤垣悦）越圆泽蚤灶月糟燥泽月，即泽蚤灶月越圆泽蚤灶月糟燥泽月.因为泽蚤灶月屹园，
8援
源猿
援
设
墒设设赠跃园，赠沂晕垣;
提示：
远.依题意满足条件的可行域是一个吟粤月悦，粤（圆，园），月（员，员），悦（猿，猿），则目标函数扎越圆曾垣赠经过点月（员，员）时，取得最小值扎皂蚤灶越圆伊员垣员越猿援
7.依题意曾跃园，赠跃园，且曾，赠沂晕垣，又由工人工资预算为圆园园园元，知缘园曾垣源园赠臆圆园园园援
怨.猿，公差为原园.猿的等差数列，所以赠越缘伊怨.猿垣缘伊（缘2原员）伊（原园.猿）越源猿.缘（万吨）援所以按计划“十二五”期间该城市共排放 SO 2 约43援5
万吨援（2）由已知得，2012年的SO2年排放量怨.猿原园.猿越怨（万吨），所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，
仔猿
，即a2+b

北师大版高中数学必修五模块综合测试(a).docx

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析：根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3 解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1 解析：根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1) n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x ＋3y ＝9x ＋34－2x＝9x ＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ，∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3m ＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2. (2)∵f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a24在(－∞，1]上递增， ∴a2≥1，a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1，由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案

数学必修5第一部分（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是（）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

北师大版高中数学必修五模块测试卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2 C.a n ＝n ＋1 D.a n ＝n8.设函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c <1 B.1<c <8 C.c >8 D.0<c<1或c >8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B = .14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为 . 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为 .16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝ .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝c b .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q >0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ；当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(qa q q a --＝q 3(1－q )()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n (n ∈N +).8.A 点拨：不等式f (a )<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a1＝b1，且ab 1=ab 时，取等号，故应选C.10.C11.D 点拨：由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，)()1(n f n f +＝f (1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab )＝log c 8>1＝log c c ，有1<c <8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝21，又0°<B <180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f (t )＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f (t 1)－f (t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0，所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f (t 1)－f (t 2)>0.即f (t 1)>f (t 2).∴f (t )＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f (t )＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ，三、17.解：(1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ，故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n +1=2a n +1(n ∈N *),∴a n +1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n . 即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n +1)－(n +1)］=(n +1)b n +1.②②－①，得2(b n +1－1)=(n +1)b n +1－nb n ,即(n －1)b n +1－nb n +2=0,③ ∴nb n +2－(n +1)b n +1+2=0.④ ④－③，得nb n +2－2nb n +1+nb n =0,即b n +2－2b n +1+b n =0,∴b n +2－b n +1=b n +1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ，从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21，所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f (n )=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f (n )＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x (x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f (x )＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以f (x )＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

高一数学北师大版必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4＞0 B ．|x |＞0 C ．x 2＞－xD ．x 2－x ＋14≥0解析：A 的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B 的解集是(－∞，0)∪(0，＋∞)，C 的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D 等价于(x －12)2≥0，故解集为R.答案：D2．(2012·洋浦高二检测)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B 为( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30°D ．30°或150°解析：根据正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×sin 30°2＝32，∴B ＝60°或120°，∵b ＞a ，故两解都符合题意．答案：B3．(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案：A4．在数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝7n 2－8n ，则a 100的值为( ) A ．69 200 B ．1 400 C ．1 415D ．1 385解析：法一：S n ＝7n 2－8n ，所以S 1＝7－8＝－1， a n ＝S n －S n －1＝7n 2－8n －7(n －1)2＋8(n －1)＝14n －15(n ≥2)．因为n ＝1时，a 1＝－1，所以a n ＝14n －15(n ∈N ＋)．所以a 100＝14×100－15＝1 385.法二：a 100＝S 100－S 99＝7×1002－8×100－7×992＋8×99 ＝7(100＋99)(100－99)－8(100－99)＝1 385. 答案：D5．(2012·宿州高二检测)数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1－1 C ．2n ＋1D ．4n －1解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：A6．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( ) A.154 3 B.154 C.2143D.3543 解析：依条件a ＝b ＋2，b ＝c ＋2， ∴a ＝c ＋4.∴sin A ＝32，∴A ＝120°. cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，∴c ＝3，从而b ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝154 3.答案：A7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：不等式组表示的区域是一个四边形，4个顶点分别是(0,0)，(0,2)，(12，0)，(1,4)，易求出目标函数在(1,4)点取得最大值8，所以8＝ab ＋4⇒ab ＝4.所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：D8．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，A ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.34B ．3 3 C.334D.34解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos 60°，∴bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×sin 60°＝334.答案：C9．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年D ．6年解析：由图像知，函数过点(6,11)，可设y ＝a (x －6)2＋11，把点(4,7)代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－2x ×25x ＋12＝2.这时x ＝25x即x ＝5.答案：C10．(2012·佛山高二检测)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则x 2＋y 2－4x 的取值范围是( ) A ．[0,12] B ．[－1,12] C ．[3,16]D ．[－1,16]解析：作出不等式组表示的平面区域如图，x 2＋y 2－4x ＝(x －2)2＋y 2－4.令d ＝(x －2)2＋y 2表示可行域内的点到(2,0)的距离，由图可知，∴d min 是点(2,0)到直线3x －y ＝0的距离，∴d min ＝233＋1＝3，又d max 是AB 的长度，∴d max ＝4.∴x 2＋y 2－4x 的范围是[－1,12]．答案：B 二、填空题11．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．解析：∵2x 2＋2x －4≤12，∴2x 2＋2x －4≤2－1.∴x 2＋2x －4≤－1. 即x 2＋2x －3≤0，∴(x －1)(x ＋3)≤0. 解得－3≤x ≤1，故所求解集为[－3,1]．答案：[－3,1]12．(2012·石家庄高二检测)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________. 解析：设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝a 5b 5.∵A n B n ＝2n n ＋3，∴a 5b 5＝9a 59b 5＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝A 9B 9＝2×99＋3＝32.13．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )的最小值为________．解析：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )＝a ＋bc ＋c a ＋b＋2≥2 a ＋b c ·ca ＋b＋2＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时等式成立．答案：414．(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：不妨设角A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案：15 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＋1＋1＝2a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，且a 1＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2－1＋22－1＋23－1＋…＋2n －1 ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－2－n ..16．(本小题满分12分)(2012·福州高二检测)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为{x |x ＜－12，或x ＞2}． (1)求m ，n 的值；(2)解关于x 的不等式：(2a －1－x )(x ＋m )＞0，其中a 是实数．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－12＋2＝－nm －12×2＝－1m2得m ＝－1，n ＝32.(2)原不等式为(2a －1－x )(x －1)＞0即[x －(2a －1)](x －1)＜0. ①当2a －1＜1，即a ＜1时，原不等式的解集为{x |2a －1＜x ＜1}． ②当2a －1＝1即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当2a －1＞1即a ＞1时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2a －1}．17．(本小题满分12分)(2012·黄冈高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n－1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1； S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·(1n－1n ＋1)，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).18．(本小题满分14分)(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝54，b ＝1时，sin A ＋sin C ＝54sin B 且ac ＝14.由正弦定理得a ＋c ＝54b ＝54.解⎩⎨⎧a ＋c ＝54ac ＝14得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由条件可知a ＋c ＝pb ，ac ＝14b 2.∵角B 为锐角． ∴0＜cos B ＜1.当cos B ＞0时，a 2＋c 2－b 2＞0即(a ＋c )2＞b 2＋2ac . ∴p 2b 2＞b 2＋12b 2，也就是p 2＞32.又由a ＋c ＝pb 知p ＞0， ∴p ＞62. 当cos B ＜1时，a 2＋c 2－b 2＜2ac . 即(a ＋c )2＜b 2＋4ac∴p 2b 2＜b 2＋b 2，也就是p 2＜2.∴0＜p＜ 2.综上可知p的取值范围是(62，2)．。

北师大版高中数学必修五模块综合测评 .doc

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块综合测评必修5(北师大版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D. 3解析：据题意有3sin60°＝1sin B 得sin B ＝12，由于a ＞b ⇒A ＞B ，故B ＝π6，所以C ＝π－π6－π3＝π2，c ＝2b ＝2.答案：B2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ，∴a ＝2b a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＝c 2，即b ＝c . 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13D.23解析：设数列的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝10a 1＋10×92×d ＝70，即2a 1＋9d ＝14.①又a 10＝a 1＋9d ＝10.② 由①②解之可得a 1＝4，d ＝23. 答案：D4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C. 答案：C5．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：(ax ＋b )(x －3)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＞0，x －3＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＜0，x －3＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－1，x ＞3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，x ＜3.∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：A6．若a ＞0，b ＞0且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值是( )A.32B.62C.54D.258解析：a 1＋b 2＝24a 2(1＋b 2)4≤4a 2＋(1＋b 2)4＝54，等号当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时成立，即a ＝104，b ＝62时成立．答案：C7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23＞1，c ＝log 32＜log 33＝1，故答案为B.答案：B8．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 011B 2 011|的值是( )A.2 0102 011 B.2 0122 011 C.2 0112 010D.2 0112 012解析：|A n B n |＝|x 1－x 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2011B 2011|＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011－12 012＝2 0112 012. 答案：D9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，那么实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋y －m ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13⇒m ＋13－2m －13＝－1⇒m ＝5.答案：B10．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY . ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．解析：已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 25＝a 1·a 16，则(a 1＋4d )2＝a 1·(a 1＋16d )，整理得a 1＝2d ，故这个等比数列的公比是q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝2d ＋4d 2d ＝3.答案：312．△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________.解析：∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A . 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即3cos A ＝3sin A .∴cos 2A ＝3sin 2A .∴4sin 2A ＝1.∴sin A ＝12，∴A ＝30°. 答案：30°13．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12)的最小值为__________，取最小值时x 的值为__________．解析：由已知中的信息，可得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时上式取最小值，即[f (x )]min ＝25.答案：25 1514．已知实数x ，y 满足2x ＋y ≥1，则u ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的最小值为__________．解析：由u ＝x 2＋y 2＋4x －2y ＝(x ＋2)2＋(y －1)2－5知，u 表示点P (x ，y )与定点A (－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x ＋y ≥1知：点P (x ，y )在直线l ：2x ＋y ＝1上及其右上方．问题转化为求定点A (－2,1)到由2x ＋y ≥1所确定的平面区域的最近距离．故A 到直线l 的距离为A 到区域G 上点的距离的最小值．d ＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45， ∴d 2＝165，∴u min ＝d 2－5＝－95. 答案：－95三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )．解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0即－2＜a ＜2时，原不等式的解集为∅；(2分)当Δ＝0即a ＝±2，对应的方程有两个相等实根． (4分)当a ＝2时，原不等式的解集是{x |x ＝2}； (6分)当a ＝－2时，原不等式的解集是{x |x ＝－2}； (8分)当Δ＞0时，对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以不等式的解集是{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．(12分)16．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解：(1)∵AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－ac cos B ＝－35ac ＝－21，∴ac ＝35.(2分)又∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×35×45＝14. (6分)(2)由(1)知ac ＝35，又a ＝7，∴c ＝5. ∴b 2＝49＋25－2×7×5×35＝32. ∴b ＝4 2.(8分)由正弦定理得b sin B ＝c sin C .即4245＝5sin C ，∴sin C ＝22，又∵a ＞c ，∴C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π4.(12分)17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k ＞1)，m·n 的最大值为5，求k 的值．解：(1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得：2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，(4分)∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，故cos B ＝12，∴B ＝π3.(6分) (2)m·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，其中A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，设sin A ＝t ，t ∈(0,1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2. (8分)又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值．由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32.(12分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1，函数f (x )＝log 3x .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．解：(1)∵－1，S n ，a n ＋1成等差数列． ∴2S n ＝a n ＋1－1，①当n ≥2时，2S n －1＝a n －1，② ①－②，得2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ， ∴3a n ＝a n ＋1. ∴a n ＋1a n＝3.(4分)当n ＝1时，由①得2S 1＝2a 1＝a 2－1，a 1＝1，∴a 2＝3.∴a 2a 1＝3.∴{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3n －1.(6分) (2)∵f (x )＝log 3x ， ∴f (a n )＝log 33n －1＝n －1.∴b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3.(8分) ∴T n ＝12⎝⎛12－14＋13－15＋14－16＋15－⎭⎪⎫17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3 ＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3).(10分)比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可． 2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156) ＝2(n 2＋5n －150) ＝2(n ＋15)(n －10)． ∵n ∈N *，∴当1≤n ≤9且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312.(14分)。

北师大版高中数学必修五模块测试卷

北师大版高中数学必修五模块测试卷高中数学研究材料，必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题（每题5分，共60分）1.在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2A(b+c)^2=2c，则三角形ABC是（）A。

直角三角形B。

等腰三角形或直角三角形C。

等边三角形D。

等腰直角三角形2.在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（）A。

135B。

100C。

95D。

803.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(3b-c)cosA=acosC，则cosA的值等于（）A。

1/3B。

2/3C。

3/4D。

4/54.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t×5^(n-2)，则实数t的值为（）A。

4B。

5C。

1/5D。

1/45.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为（）A。

3B。

23C。

3或23D。

无法确定6.设{an}为各项均是正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则（）A。

Sn/S4>a4/a6B。

Sn/S4< a4/a6C。

Sn/S4= a4/a6D。

无法确定7.已知数列{an}的首项为1，并且对任意n∈N+都有an>0.设其前n项和为Sn，若以(an,Sn)（n∈N+）为坐标的点在曲线y=1/(x(x+1))上运动，则数列{an}的通项公式为（）A。

an=n^2+1B。

an=n^2C。

an=n+1D。

an=n/(n+1)8.设函数f(x)={2x-1 (x>=1)。

1/x (x<1)}，若f(a)<a，则实数a的取值范围为（）A。

(-1.+∞)B。

(-∞。

-1)C。

(3.+∞)D。

(0.1)9.已知a>0，b>0，则11/(a+b)+2ab的最小值是（）A。

2B。

2√2C。

4D。

510.已知目标函数z=2x+y中变量x，y满足条件3x+5y=1，则（）A。

2014-2015学年高中数学模块综合检测(C)北师大版必修5

模块综合检测(C)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如果a 、x 1、x 2、b 成等差数列，a ，y 1，y 2、b 成等比数列，那么x 1＋x 2y 1y 2等于( ) A.a ＋b a －b B.b －aab C.ab a ＋b D.a ＋bab2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13等于( ) A ．152 B ．154 C ．156 D ．1584．若1a <1b <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②a ＋b >ab ；③b a ＋a b >2；④a2b<2a －b 中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120° 6．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log 2a >0 B ．2a －b<12C ．log 2a ＋log 2b <－1D ．2a bb a<12 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且a 7＝b 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16 8．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( ) A ．3 B.13 C.21 D ．279．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )10．企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得的利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．6412．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M .若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为( )A ．30B ．32C ．34D ．36二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10＝________. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝c sin A ，则a ＋bc的最大值为________．15．已知数列{a n }为等比数列，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则a 7＝________.16．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且有b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 的面积是334，且a ＋c ＝5，求b .18．(12分)已知数列{a n }的首项为a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N ＋)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列b n 满足b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n .19．(12分)设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74.当m －n ≥0时，称不亏损企业，当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tan A tan B ＝2cb .(1)求角A ；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 形状．21．(12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ， 1≤x <623， x ≥6.(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量x 为多少时，可获得最大利润？22．(12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N ＋. (1)证明：{}a n －1是等比数列；(2)求数列{}S n 的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值？并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．模块综合检测(C)1．D [∵a 、x 1、x 2、b 成等差数列，∴x 1＋x 2＝a ＋b . ∵a 、y 1、y 2、b 成等比数列，∴y 1y 2＝ab .∴x 1＋x 2y 1y 2＝a ＋bab.] 2．B [由已知得sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得：a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.]3．C [∵a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4.∴(a 3＋a 7－a 10)＋(a 11－a 4)＝(a 3＋a 11)＋a 7－(a 4＋a 10)＝a 7＝12. ∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝13×12＝156.]4．B [∵1a <1b<0，∴a <0，b <0且a >b .∴|a |<|b |，故①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，故②错； ∵b a >0，a b >0且a b ≠b a， ∴b a ＋a b>2.故③正确；∵a 2b<2a －b a 2>2ab －b 2a 2＋b 2>2ab (a －b )2>0，故④正确．正确的不等式有③④.选B.]5．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝32.∵b >a ，∴B >A ，∴B ＝60°或120°.]6．C [∵0<a <b ，a ＋b ＝1. ∴0<a <12，12<b <1.∴log 2a <log 212＝－1，A 错误；∵－1<a －b <0，∴2a －b>2－1＝12，B 错误；∵b a ＋ab >2，∴2a b ＋b a>4.D 错误．∵log 2b <log 21＝0，log 2a <－1， ∴log 2a ＋log 2b <－1，故选C.]7．D [∵2a 3－a 27＋2a 11＝0.∴a 27＝2a 3＋2a 11＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.]8．B [S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝ 3.∴c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×cos 60°＝13.∴a ＝13.] 9．C [∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a n ·a n ＋1＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]10．D [设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．]11．D [依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.]12．B [据已知约束条件可得其表示的平面区域M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k ，故kSk －1＝8k2k －1＝8·k －12＋2k －1＋1k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]，由于k >1，故由基本不等式可得kS k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]≥8(2k －1×1k －1＋2)＝32，当且仅当k ＝2时取等号．] 13.14 解析1a 10＝1a 1＋9×13＝1＋3＝4.∴a 10＝14. 14. 2解析 ∵a ＝c sin A ，∴sin A ＝sin C ·sin A . ∴sin C ＝1.C ＝90°.∴A ＋B ＝90°， ∴a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≤ 2. 15.14解析 ∵a 2a 3＝2a 1，∴a 21q 3＝2a 1，∴a 1q 3＝2.∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝52.∴2a 7＝52－a 4＝12.∴a 7＝14.16.6－1解析如图所示，由已知条件可得∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，即BC 2＋2BC －5＝0，解得BC ＝－1±6(负值舍去)，∴B 到C 的距离为(6－1)km.17．解 (1)由b cos C ＋c cos B ＝2a cos B 及正弦定理得：sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A 从而sin A ＝2sin A cos B ，又0<A <π. 故cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)又S ＝12ac sin π3＝334，所以ac ＝3，又a ＋c ＝5，从而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝25－9＝16，故b ＝4. 18．解 (1)由于数列{a n }满足a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N ＋)．所以数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴a n ＝12×(12)n －1＝(12)n.(2)由已知b n ＝n a n＝n ·2n.∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.∴2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1∴－T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －1＋1×2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.19．解 (1)由题意知，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)≥0，即x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4(舍负值)．∴x ≥4，即至少生产4台电机企业为不亏损企业． (2)企业亏损最严重，即n －m 取最大值．n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2，∴当x ＝1时，最大亏损额为94万元，此时m ＝92－14＝174(万元)．∴当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．20．解 (1)1＋tan A tan B ＝2cb 1＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin C sin B，即sin B cos A ＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin Csin B ，∴sin(A ＋B)sin B cos A ＝2sin C sin B ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －bc ，即bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝3时，bc 取得最大值，又a ＝3，故bc 取得最大值时，△ABC 为等边三角形．21．解 (1)当x ≥6时，P ＝23，则T ＝13x ×2－23x ×1＝0.当1≤x <6时，P ＝16－x ，则T ＝(1－16－x )x ×2－(16－x )x ×1＝9x －2x26－x .综上所述，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x ， 1≤x <60， x ≥6.(2)由(1)知，当x ≥6时，每天的盈利为0.当1≤x <6时，T (x )＝9x －2x 26－x ＝15－2[(6－x )＋96－x ]，∵6－x >0， ∴(6－x )＋96－x≥26－x ·96－x＝6，∴T ≤3.当且仅当x ＝3时，T ＝3.综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元． 22．(1)证明 ∵S n ＝n －5a n －85， ∴当n ＝1时，S 1＝1－5a 1－85，即a 1＝1－5a 1－85，解得a 1＝－14；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －5a n －85)－[(n －1)－5a n －1－85]＝－5a n ＋5a n －1＋1，整理得6a n ＝5a n －1＋1，∴6(a n －1)＝5(a n －1－1)，∴a n －1a n －1－1＝56.又a 1－1＝－15，∴数列{}a n －1是以－15为首项，56为公比的等比数列．(2)解由(1)知，a n －1＝－15×(56)n －1，∴a n ＝－15×(56)n －1＋1，代入S n ＝n －5a n －85得，S n ＝n －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15×56n －1＋1－85＝n ＋75×(56)n －1－90. 设S k 为最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧S k －1≥S k ，S k ＋1≥S k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a k ≤0，a k ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－15×56k －1＋1≤0，－15×56k＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧56k －1≥115，56k≤115，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1≤log 56 115，k ≥log 56115，即log 56115≤k ≤log 56115＋1. 又log 56115＝lg115lg 56＝－lg 3－lg 2＋11－2lg 2－lg 3＝1＋lg 3－lg 22lg 2＋lg 3－1.lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，∴log 56115≈14.75.∴14.75≤k ≤15.75.又∵k ∈N ＋，∴k ＝15. 即当n ＝15时，S n 取得最小值．。

北师大版高中数学必修五模块综合测试(b).docx

模块综合测试(B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1bB.－a ＜b C ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b |解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b＞0，∴1a ＜1b.答案： A2．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：ab ≤a ＋b2＝4，故选B.答案： B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2解析：由正弦定理，得6sin 120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2，故选D. 答案： D4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60D ．66 解析：因为a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝12，所以S 9＝a 1＋…＋a 9＝54.答案： B5．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．14解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 答案： C6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：由正弦定理，得sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2.答案： D7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.1516解析：因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d . 所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.答案： C8．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1 B.56 C.16D.130解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列．又∵a 1＝1，a 2＝2，∴a n ＝n . 又b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16 ＝1－16＝56，故选B.答案： B9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则k ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：作平面区域如图所示，k ＝y －1x ＋1表示点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率，故选D.答案： D10．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n－1)2B.13(2n－1) C ．4n －1D.13(4n－1) 解析：由已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，所以a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－a 1＝2，所以公比q ＝2.又因为a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2＝4，所以数列{a 2n }是以q 2＝4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)．答案： D11．已知x ，y ∈R ＋，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.22D.14解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12.答案： B12．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( )A.154B.154 3 C.2143 D.3543 解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4. ∵sin A ＝32，∴A ＝120°. 又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝154 3.故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________．解析：作出可行域，如图所示，当直线z ＝2y －2x ＋4过可行域上点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小，又点B 坐标为(1,1)，所以z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 答案： 414．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11＝4，则数列log 12a n 前19项之和为________．解析：由题意a n ＞0，且a 1·a 19＝a 2·a 18＝…＝a 9·a 11＝a 210，又a 9·a 11＝4，所以a 10＝2，故a 1a 2…a 19＝(a 10)19＝219.故log 12a 1＋log 12a 2＋…＋log 12a 19＝log 12(a 1a 2…a 19)＝log 12219＝－19.答案：－1915．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0 ∴a ＝1 答案： 116．设关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＞1}，则关于x 的不等式ax ＋bx 2－5x －6＞0的解集为________．解析：由题意得：a ＞0且－ba＝1.又原不等式可变为(x －6)(x ＋1)(ax ＋b )＞0，故由右图可知{x |－1＜x ＜1或x ＞6}．答案： {x |－1＜x ＜1或x ＞6}三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ＞2x 2－x －2＞0.解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x －2x＞2x 2－x －2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2x x ＞0x 2－x －2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)＜0(x －2)(x ＋1)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜0x ＞2或x ＜－1⇒－2＜x ＜－1.∴不等式组的解集为{x |－2＜x ＜－1}．18．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式．解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13；a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解析： (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，将上式代入(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入上式得，13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.20．(本小题满分12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：由x 2＋2x －8＞0，得x ＜－4或x ＞2，所以A ＝{x |x ＜－4或x ＞2}；由6＋x －x 2＞0，即x 2－x －6＜0，得－2＜x ＜3，所以B ＝{x |－2＜x ＜3}．于是A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －a )(x －3a )＜0，当a ＞0时，C ＝{x |a ＜x ＜3a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0即为x 2＜0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a ＜0时，C ＝{x |3a ＜x ＜a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M (4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．22．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8. 解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ， ∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.① 而12T n ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－82n －4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－8＋4n2n (n ＝1,2,3，…)．∴T n ＜8.。

北师大版高中数学必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4＞0 B ．|x |＞0 C ．x 2＞－xD ．x 2－x ＋14≥0解析：A 的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B 的解集是(－∞，0)∪(0，＋∞)，C 的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D 等价于(x －12)2≥0，故解集为R.答案：D2．(2012·洋浦高二检测)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B 为( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30°D ．30°或150°解析：根据正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×sin 30°2＝32，∴B ＝60°或120°，∵b ＞a ，故两解都符合题意．答案：B3．(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案：A4．在数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝7n 2－8n ，则a 100的值为( ) A ．69 200 B ．1 400 C ．1 415D ．1 385解析：法一：S n ＝7n 2－8n ，所以S 1＝7－8＝－1， a n ＝S n －S n －1＝7n 2－8n －7(n －1)2＋8(n －1)＝14n －15(n ≥2)．因为n ＝1时，a 1＝－1，所以a n ＝14n －15(n ∈N ＋)．所以a 100＝14×100－15＝1 385.法二：a 100＝S 100－S 99＝7×1002－8×100－7×992＋8×99 ＝7(100＋99)(100－99)－8(100－99)＝1 385. 答案：D5．(2012·宿州高二检测)数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －1解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：A6．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( ) A.154 3 B.154 C.2143D.3543 解析：依条件a ＝b ＋2，b ＝c ＋2， ∴a ＝c ＋4.∴sin A ＝32，∴A ＝120°. cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，∴c ＝3，从而b ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝154 3.答案：A7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：不等式组表示的区域是一个四边形，4个顶点分别是(0,0)，(0,2)，(12，0)，(1,4)，易求出目标函数在(1,4)点取得最大值8，所以8＝ab ＋4⇒ab ＝4.所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：D8．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，A ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.34B ．3 3 C.334D.34解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos 60°，∴bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×sin 60°＝334.答案：C9．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年D ．6年解析：由图像知，函数过点(6,11)，可设y ＝a (x －6)2＋11，把点(4,7)代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－2x ×25x ＋12＝2.这时x ＝25x即x ＝5.答案：C10．(2012·佛山高二检测)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则x 2＋y 2－4x 的取值范围是( ) A ．[0,12] B ．[－1,12] C ．[3,16]D ．[－1,16]解析：作出不等式组表示的平面区域如图，x 2＋y 2－4x ＝(x －2)2＋y 2－4.令d ＝(x －2)2＋y 2表示可行域内的点到(2,0)的距离，由图可知，∴d min 是点(2,0)到直线3x －y ＝0的距离，∴d min ＝233＋1＝3，又d max 是AB 的长度，∴d max ＝4.∴x 2＋y 2－4x 的范围是[－1,12]．答案：B 二、填空题11．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．解析：∵2x 2＋2x －4≤12，∴2x 2＋2x －4≤2－1.∴x 2＋2x －4≤－1.即x 2＋2x －3≤0，∴(x －1)(x ＋3)≤0. 解得－3≤x ≤1，故所求解集为[－3,1]．答案：[－3,1]12．(2012·石家庄高二检测)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________. 解析：设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝a 5b 5.∵A n B n ＝2n n ＋3，∴a 5b 5＝9a 59b 5＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 13．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )的最小值为________．解析：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )＝a ＋bc ＋c a ＋b＋2≥2 a ＋b c ·ca ＋b＋2＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时等式成立．答案：414．(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：不妨设角A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案：15 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＋1＋1＝2a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，且a 1＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2－1＋22－1＋23－1＋…＋2n －1 ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－2－n ..16．(本小题满分12分)(2012·福州高二检测)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为{x |x ＜－12，或x ＞2}． (1)求m ，n 的值；(2)解关于x 的不等式：(2a －1－x )(x ＋m )＞0，其中a 是实数．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－12＋2＝－nm －12×2＝－1m2得m ＝－1，n ＝32.(2)原不等式为(2a －1－x )(x －1)＞0即[x －(2a －1)](x －1)＜0. ①当2a －1＜1，即a ＜1时，原不等式的解集为{x |2a －1＜x ＜1}． ②当2a －1＝1即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当2a －1＞1即a ＞1时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2a －1}．17．(本小题满分12分)(2012·黄冈高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1； S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).18．(本小题满分14分)(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝54，b ＝1时，sin A ＋sin C ＝54sin B 且ac ＝14.由正弦定理得a ＋c ＝54b ＝54.解⎩⎨⎧a ＋c ＝54ac ＝14得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由条件可知a ＋c ＝pb ，ac ＝14b 2.∵角B 为锐角． ∴0＜cos B ＜1.当cos B ＞0时，a 2＋c 2－b 2＞0即(a ＋c )2＞b 2＋2ac . ∴p 2b 2＞b 2＋12b 2，也就是p 2＞32.又由a ＋c ＝pb 知p ＞0， ∴p ＞62. 当cos B ＜1时，a 2＋c 2－b 2＜2ac . 即(a ＋c )2＜b 2＋4ac∴p 2b 2＜b 2＋b 2，也就是p 2＜2.∴0＜p＜ 2.综上可知p的取值范围是(62，2)．。

北师大版高中数学必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

高中数学模块综合检测北师大版必修5

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1bB ．b a＞1 C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；b a＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32 C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g. 9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．a γ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元 C.a γ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元D ．a γ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝a γ（1＋γ）5（1＋γ）5－1. 11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5，所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根．又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)，所以a 3＝4，a 5＝1.所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________．解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc，即cos A ≥1－2bc＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos Asin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B ＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数，所以0＜x 2－4x ＋3≤3，所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n(n ∈N ＋)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。

高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ∈R ,且a 2+a<0,则-a ,-a 3,a 2的大小关系是( ) A.a 2>-a 3>-a B.-a>a 2>-a 3 32>-a D.a 2>-a>-a 3a 2+a<0,∴-1<a<0,0<-a<1.-a>(-a )2>(-a )3,即-a>a 2>-a 3.2x 2-x-1>0的解集是( ) A.(-12,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-12)∪(1,+∞)2x 2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,∴x>1或x<-12.故解集为(-∞,-12)∪(1,+∞).A n (n ,a n )(n ∈N +)在函数y=a x (a>0,a ≠1)的图像上,则a 3+a 7与2a 5的大小关系是( ) A.a 3+a 7>2a 5 B.a 3+a 7<2a 5 C.a 3+a 7=2a 57与2a 5的大小和a 有关,a 3=a 3>0,a 7=a 7>0,a 5=a 5>0,a 3+a 7≥2√a 3·a 7=2a 5. 又a>0,a ≠1,∴等号不成立. a 3+a 7>2a 5.中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形2·a 2+c 2-b22ac·a=c ,整理得a=b ,故△ABC 为等腰三角形.a =(3,-2),b =(x ,y-1),若a ∥b ,则4x +8y 的最小值为( ) √2 B.4√2 C.2√2 D.2 a ∥b ,∴3(y-1)-(-2)x=0,2x+3y=3.故4x +8y =22x +23y ≥2√22x+3y =2√23=4√2,当且仅当2x=3y ,即x=34,y=12时,等号成立.中,若a=80,b=100,A=45°,则此三角形的解的情况是( ) A.一解 B.两解 D.无解△ABC 中,a<b ,A=45°<90°.a>b sin 45°=50√2,知此三角形有两解.7.设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x-[x ],则{√5+12},[√5+12],√5+12( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列[√5+12]=1,{√5+12}=√5-12,则由等比数列性质易得三者构成等比数列. 8.在△ABC 中,AB=√3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( ) A.√32B.√34C.√32或√3D.√34或√32,得12=(√3)2+BC 2-2√3·BC ·cos 30°,解得BC=1或2.故S △ABC =12BA ·BC sin 30°=12×√3×1×12=√34或S △ABC =12×√3×2×12=√32.{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,则a 10等于( ) B.9 C.10 D.55S n +S m =S n+m ,得S 1+S 9=S 10,a 10=S 10-S 9=S 1=a 1=1.10.已知x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a 等于( )B.2C.-2D.-3,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y ,即y=-ax+z. 设直线l 0:ax+y=0.当-a ≥1,即a ≤-1时,l 0过O (0,0)时,z 取得最大值,z max =0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a ≤0时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =a+1=4,∴a=3(舍去); 当-1<-a<0时,即0<a<1时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =2a+1=4,∴a=32(舍去); 当-a ≤-1,即a ≥1时,l 0过A (2,0)时,z 取得最大值,z max =2a+0=4,∴a=2. ,a=2符合题意.{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n+1=3S n (n ≥1),则a 6等于( ) 4 B.3×44+1 C.45 D.45+1a n+1=3S n ,∴a n =3S n-1(n ≥2).,得a n+1-a n =3(S n -S n-1)=3a n , 即a n+1=4a n (n ≥2).故n ≥2时,{a n }是以a 2为首项,以4为公比的等比数列.∵a 2=3S 1=3a 1=3,∴a2a 1=3≠4.∴a 1不在上述等比数列里面.∴数列{a n }的通项公式为a n ={1(n =1),3·4n -2(n ≥2).故a 6=3×44.12.已知a ,b ,a+b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是( ) B.(1,+∞) C.(0,8) D.(8,+∞)a ,b ,a+b 成等差数列,∴2b=2a+b ,b=2a.a ,b ,ab 成等比数列, ∴a ≠0,b ≠0,b 2=a 2b ,∴b=a 2. ∴a 2=2a ,a=2,∴b=4,∴ab=8. 0<log m (ab )<1,∴m>8.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,a=3,b=√6,A=2π3,则B= .,得a sinA =b sinB ,即32=√6sinB ,所以sin B=√22.所以∠B=π4.n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1=q n-1.3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以2×(2S 2)=3S 1+S 3,即4S 2=3+S 3,即4(a 1+a 2)=3+(a 1+a 2+a 3),也就是4(1+q )=3+(1+q+q 2),整理得q 2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n }的首项为a 1=1,公比为q=3, a n =3n-1.n-115.若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .(如图),点A 为(1,3),要使y x最大,则y -0x -0最大,即过点(x ,y ),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,(yx )max=3-01-0=3.16.①数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n (n ∈N +),则1an+1+1an+2+…+1a2n≥15;②数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2a n -1(n ∈N +),则a 11=1 023;③数列{a n }满足a n+1=1-14a n,b n =22a n-1(n ∈N +),则数列{b n }是从第二项开始的等比数列; ④已知a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n+1(n ∈N +),则a n =2n-1. 以上命题正确的有 (只填序号).S n =n 2+2n ,∴a n =2n+1,1a n+1+1a n+2+…+1a 2n =12n+3+12n+5+…+14n+1≥n 4a +1=14+1n≥15,当且仅当n=1时等号成立,故①正确;∵a n+1=2a n -1,∴a n+1-1=2(a n -1),∴a n+1-1a n -1=2.∴{a n -1}是等比数列,a n -1=2n-1.∴a n =2n-1+1, a 11=210+1=1 025,故②错误;b n+1=22a n+1-1=22(1-14a n)-1=22a n -1+2=b n +2,∴{b n }是公差为2的等差数列,故③错误; ④中当n=1时,a 1=22=4,不满足a n =2n-1, 错误.(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)△ABC 中,BC=7,AB=3,且sinC sinB=35.(1)求AC 的长度; A 的大小.由正弦定理,得AC =AB,即AB AC=sinC sinB=35.故AC=5×33=5. (2)由余弦定理,得cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=9+25-492×3×5=-12.因为0°<A<180°,所以A=120°.18.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{1b n}的前n 项和.设数列{a n }的公比为q.由a 32=9a 2a 6,得a 32=9a 42,故q 2=19.由题意知q>0,故q=13.由2a 1+3a 2=1,得2a 1+3a 1q=1,即a 1=13. 故数列{a n }的通项公式为a n =13n .(2)因为b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-n (n+1)2, 所以1b n =-2n (n+1)=-2(1n -1n+1).所以1b 1+1b 2+…+1b n=-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)] =-2n n+1.故数列{1b n }的前n 项和为-2nn+1.19.(12分)如图所示,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处,且与岛屿A 相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h 追上,此时到达C 处. (1)求渔船甲的速度; sin α的值.依题意知,∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=10×2=20(n mile).在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784. 解得BC=28 n mile .故渔船甲的速度为BC2=14(n mile/h).(2)由(1)知BC=28 n mile, 在△ABC 中,∠BCA=α, 由正弦定理,得AB sinα=BCsin120°.即sin α=ABsin120°BC=12×√3228=3√314. 20.(12分)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1a n}的前n 项和为T n ,求T n .由S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n .(2)由(1)得1a n =12n. 所以T n =12+122+…+12n=12[1-(12)n ]1-12=1-12n . 21.(12分)已知函数f (x )=x 2ax+b(a ,b 为常数),且方程f (x )-x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4.(1)求函数f (x )的解析式;(2)设k>1,解关于x 的不等式f (x )<(k+1)x -k.将x 1=3,x 2=4分别代入方程x 2ax+b-x+12=0,得{93a+b =-9,164a+b=-8,解得{a =-1,b =2.故f (x )=x 22-x (x ≠2). (2)不等式即为x 22-x <(k+1)x -k2-x, 可化为x 2-(k+1)x+k2-x<0. 因为x ≠2,所以又可化为(x-2)(x-1)(x-k )>0. ①当1<k<2时,解得1<x<k 或x>2;②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解得x>1,且x ≠2; ③当k>2时,解得1<x<2或x>k.综上所述,当1<k<2时,解集为(1,k )∪(2,+∞); 当k=2时,解集为(1,2)∪(2,+∞); 当k>2时,解集为(1,2)∪(k ,+∞).22.(12分)甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f (x ),g (x )及任意的x ≥0:当甲公司投入x 万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f (x )万元,则乙公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x 万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g (x )万元,则甲公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险. (1)请解释f (0),g (0)的实际意义;(2)设f (x )=x+5,g (x )=12x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?f (0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f (0)万元的资金,g (0),甲公司要避免倒闭,至少要投入g (0)万元的资金.(2)设甲公司投入的资金为x 万元,乙公司投入的资金为y 万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需{y ≥x +5,x ≥12y +10,x ≥0,y ≥0,改造设备资金为z=x+y ,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l 0:x+y=0,平移直线l 0,在可行域中的点P 处z=x+y 取得最小值. 由{y =x +5,y =2x -20,得P (25,30). 故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.。

北师大版高中数学必修五模块检测.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为 ( )．A ．91B ．152C ．218D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152.答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是 ( )．A ．－14 B.14 C ．－23 D.23 解析由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k＝－14. 答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于 ( )．A ．16B ．32C ．64D ．256 解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为 ( )．A ．－9B ．－15C ．15D ．±15 解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15. 答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为 ( )． A. 2 B.32 C.322D ．2解析 |CD |＝1＋1＝2，⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1， ∴S △CDA ＝12×2×12＝12， S △CDB ＝12×2×1＝1. 故所求区域面积为32. 答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(1,3) B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋ (6－2m )x ＋(3－m )＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＜0，∴1＜m ＜3.答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于 ( )．A ．3∶1 B.3∶1C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3. ∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关解析因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)，a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝a n (1－q )(1－q 2)＝a n (1－q )2(1＋q )＞0.答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是 ( )． A. 3 B. 2 C ．±3 D ．±2 解析等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }，则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d 3d＝3，∴q ＝±3. 答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m ＝ 1.答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1.∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q )＋1＝13.②由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n . ∴b n ＝3－n .∴S 10＝－25.答案－2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝P A sin ∠PBA ，60sin 15°＝ P A sin 135°，∴P A ＝60(3＋1)，PQ ＝P A ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k ，再设BD ＝x ，则DC ＝2x .在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝⎛⎭⎫－22＝x 2＋2＋2x ，①在△ADC 中，由余弦定理得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________．解析因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3 a ＋log 3 b ＝log 3 ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝log 3⎝⎛⎭⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12. ∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534. 19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)解 (1)第一年末的住房面积为a ·1110－b ＝(1.1a －b )(m 2)．第二年末的住房面积为⎝⎛⎭⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b )(m 2)． (2)第三年末的住房面积为⎣⎡⎦⎤a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋1110·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎫11103－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102，第四年末的住房面积为a ·⎝⎛⎭⎫11104－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103，第五年末的住房面积为a ·⎝⎛⎭⎫11105－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103＋⎝⎛⎭⎫11104 ＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b . 依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a 20m 2. 20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解法一作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎨⎧ m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y )≤ －12，－52≤52(x －y )≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝v t .此时，轮船航行时间t ＝1030＝13， v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝ 400⎝⎛⎭⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

《新新练案系列》2014-2015学年高中数学(北师大版必修五)模块检测(含答案解析)

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

2014-2015学习报数学高中北师大必修5第10-13期答案

北师大版高中数学必修五模块综合测试(a).docx

北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案

北师大版高中数学必修五模块测试卷.docx

高一数学北师大版必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

北师大版高中数学必修五模块综合测评 .doc

最新北师大版高中数学必修五模块测试卷(附答案)

北师大版高中数学必修五模块测试卷

2014-2015学年高中数学 模块综合检测(C)北师大版必修5

北师大版高中数学必修五模块综合测试(b).docx

北师大版高中数学必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

北师大版高中数学必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

高中数学模块综合检测北师大版必修5

高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测 含解析

北师大版高中数学必修五模块检测.docx

2014-2015学年高中数学模块综合检测(C)北师大版必修5

高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测含解析