解无理不等式的若干方法
无理方程与无理不等式应用题解析
无理方程与无理不等式应用题解析无理方程与无理不等式是高中数学中的重要内容，对于解题技巧的
掌握和应用能力的培养具有重要意义。本文将通过几个实际问题，来
探讨无理方程与无理不等式的应用。
一、问题一：某公司生产零部件，设每天生产x个零部件，单位生
产成本为5+3x元，每天固定的管理费用为10元。设某种零部件总共
需要生产n天，如何计算生产这种零部件的总成本的表达式，以及经
过多少天生产的成本最低？
解析：
设生产这种零部件的总成本为C元，则有C = (5+3x) · n + 10。
为了求得最低成本，需要对C进行求导。对 C 进行求导后，令导数等于0，即 (5+3x) · n' = 0。
我们可以得到x = -5/3，由于x代表零部件的个数，必须取非负值，所以x应取0。
经过0天生产的成本最低，为10元。
二、问题二：甲、乙两人相约在城市A的火车站乘火车去城市B旅游。火车站离城市A的市中心有3km，离城市B的市中心有8km。乙
在城市A租了一辆自行车，每小时15元，甲跟乙商量好，先走一段然
后换乘自行车，问甲多久换乘自行车时，到达城市B的总费用最低。
解析：
设甲先走x小时，乙走(n-x)小时，并且n小时内可以到达城市B。那么甲的总费用为f(x) = 3 + x，乙的总费用为g(x) = 15(n-x)。
乙的总费用为15n - 15x，总共n小时，乘以15元所以是15n，然后再减去乘坐的小时数乘以15元所以是-15x。
乙的总费用要小于甲的总费用，可以得到 15(n-x) < 3 + x，即 -15x + 15n < x + 3。
高次、无理、指对不等式的解法及应用
高次、无理、指对不等式的解法及应用分析
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式
1．概念：形如(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．思路：作出相应函数草图：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此不必做更细要求）。然后根据草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：
例1．(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
无理不等式及指、对数不等式的解法
无理不等式及指、对数不等式的解法
主讲：黄冈中学高级教师汤彩仙
一、知识概述
1、无理不等式的解法
2、指、对数不等式的解法
（1）当a＞1时，
（2）当0＜a＜1时，
二、例题讲解
例1、解不等式
解：原不等式
．
∴原不等式的解集为．
例2、解下列不等式：
解：（1）原不等式可化为：．
即，解得．
．
故原不等式的解集为．
例3、已知，实数a＞1，解关于x的不等式
．
解：∵．
∴原不等式可化为．
．（*）
（1）当n为奇数时，有．
∵a＞1，∴．
解得．
（2）当n为偶数时，有∴（*）式可化为．∵a＞1，∴，．
综上可得：当n为奇数时，原不等式的解集是．
当n为偶数时，原不等式的解集是．
浙江省奉化中学高中数学 第6课时 无理不等式的解法教
第06课时 无理不等式的解法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、无理不等式的类型： ①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫
≥≥⇔>)
()(0)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]([)(0)(0
)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、⎪⎩⎪⎨⎧
<>≥⇔<2
)]([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f 型
二、典型例题：
例1、解不等式0343>---x x
解：∵根式有意义 ∴必须有：3030
43≥⇒⎩
⎨⎧≥-≥-x x x
又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21
>x ∴}3|{}21
|{}3|{>=>⋂>x x x x x x
例2、解不等式x x x 34232->-+-
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(230230
34x x x x x x Ⅱ：⎩⎨
⎧<-≥---0340
232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤34562
356213
4
x x x x 解Ⅱ：234
≤<x
∴原不等式的解集为}256
|{≤<x x
例4、解不等式1112-+>+x x
解 ：要使不等式有意义必须：21
无理不等式的解法训练
【知识点梳理】
无理不等式
1．概念：如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式。
2．解题思路：将其转化为有理不等式。
3．常见题型及等价转化：
4．无理不等式：
⎪⎩
⎪⎨⎧>⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 ⎩⎨⎧<≥⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ⎪⎩
⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型
【典型例题】
解下列不等式
1、1253-<+x x
2、3412->+x x
3、235-≥+x x
4、1543+≤+x x
5、321-<+x x
6、123+>+-x x
7、133-≤+-x x
8、3412+-≥+x x
【巩固练习】
解下列不等式
1、0343>--
-x x
2、x x x 34232->-+-
3、24622+<+-x x x
4、
321522-->++x x x x
5、
3513222+-≤+-x x x x
6、
131222++≤--x x x x
7、2332--≥+x x
8、133+≤-x x
9、0343>---x x
10、21225>---x x
11、
32152->++x x x
12、43152+<--x x x
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根
式方程
无理方程一般指含有无理数的方程，其中最常见的是双根式方程。双
根式方程是指方程的解可以表示为两个无理数的有理运算。
解决双根式方程的一种有效方法是巧用柯西不等式。柯西不等式是数
学中常用于解决无理不等式的方法之一，也适用于双根式方程的求解。
以下是如何巧用柯西不等式解决高中数学双根式方程的步骤：
1.确定方程的形式：双根式方程一般可以写成√a+√b=c，其中a、b、c是已知的实数。
2.假设方程的解为x=√p+√q，其中p和q是要确定的实数。
3. 平方等式：将x = √p + √q 的两边平方，得到x² = (√p +
√q)² = p + 2√pq + q。
4. 根据双根式方程的形式，将√a + √b = c 代入x² = p +
2√pq + q，得到x² = a + 2√(ab) + b。
5.根据柯西不等式，对于任意两个实数p和q，有
(p+q)²≤(1²+1²)(p²+q²)，即p+q≤√(2(p²+q²))。
6. 将x² = a + 2√(ab) + b 的两边应用柯西不等式，得到x² ≤
a + 2√(2ab) + b，即x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
7. 比较 x 和√(a + 2√(2ab) + b) 的形式，可以推断出 x 的取
值范围为0 ≤ x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
8. 根据x = √p + √q 的定义，可以得出√p ≥ 0，√q ≥ 0。同时结合第7步的结论，可以推断出√(a + 2√(2ab) + b) ≥ 0。
4高三第一轮复习——无理不等式、指数与对数不等式的解法
高三第一轮复习——无理不等式、指数与对数不等式的解法
1.无理不等式
解无理不等式关键是把它同解变形为有理不等式组
一.⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1.解不等式0343>--
-x x 解：∵根式有意义 ，∴必须有：303043≥⇒⎩
⎨⎧≥-≥-x x x ，又有∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x ，解之：21>x ，∴}3|{}2
1|{}3|{>=>⋂>x x x x x x 二.⎩⎨⎧<≥⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2.解不等式x x x 34232->-+-
解：原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：
（Ⅰ）：⎪⎩
⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x ，或 （Ⅱ）：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解（Ⅰ）得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623
562134x x x x ，解（Ⅱ）得：234≤<x ∴原不等式的解集为}25
6|{≤<x x 三.⎪⎩
⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例3.解不等式24622+<+-x x x
无理不等式的解法
作业：
P24 练习： 2 P29习题十六： 7 补充题： 解不等式(2 x 3) 2 x 0
祝同学们学习愉快！
所以，原不等式的解集为
27
2 3
2
3 3 x | 27 x x | x 9 2 2
x | 27 x 9
根式不等式的解法-------类型（2）
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 或 g ( x ) 0 2 f ( x) [ g ( x)]
⊙ 1 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
x | x 3
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x)
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0 (1) f ( x) g( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 (2) f ( x) g( x) 0 或f ( x) 0 f ( x) 0
无理不等式的解法课件
感谢您的观看
THANKS
方法：直接求解法、参数求解法、换元法
01
直接求解法
对于形式比较简单的无理不等式，可以利用直接求解法求解。首先需要
将不等式中等号的取值范围确定出来，然后根据不等式的形式直接求解
。
02
参数求解法
当无理不等式中的根号下含有未知数时，可以利用参数求解法求解。首
先需要将根号下的未知数用另一个未知数代替，然后根据代替后的表达
式求解。
03
换元法
当无理不等式中的根号下含有复杂的表达式时，可以利用换元法求解。
首先需要将根号下的复杂表达式用一个未知数代替，然后根据代替后的
表达式求解。
03
无理不等式的应用
求解最值问题
最大值问题
利用无理不等式求出变量的取值范围，然后通过观察或计算得出最大值。
最小值问题
同样利用无理不等式求出变量的取值范围，然后通过观察或计算得出最小值。
06
无理不等式的习题训练和答 案解析
习题训练
习题1
求不等式2x + 3 > √5x + 4的解集。
习题2源自文库
解不等式√3x + √2 > 2x + 1。
习题3
求不等式√2x - √6 < 3x + 2的解集。
答案解析
解析1
绝对值不等式和无理不等式-高中数学专题
绝对值不等式和无理不等式
知识精要：
1、绝对值的几何意义：
x 是指数轴上点x 到原点的距离；
21x x -是指数轴上1x ，
2x 两点间的距离.。
2、
a x >与a x
当0>a 时，不等式
>x 的解集是{}a x a x x -<>或,
不等式
a x
当0
a x >的解集是{}R x x ∈
不等式
a x
3．c b ax >+与
c b ax <+型的不等式的解法。
把
b ax + 看作一个整体时，可化为a x 型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式
c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,
不等式
c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;
当0
c b ax >+的解集是{}R x x ∈
不等式c bx a <+的解集是∅;
一． 基本解法与思想 无理不等式解法：
例1. 解无理不等式：(1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.
分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩
⎨⎧>-≥-410
1x x .
(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.
解答： (1)化原不等式为:551
4101>⇒⎩
⎨⎧>≥⇒⎩⎨
⎧>-≥-x x x x x .
(2)化原不等式为:⎩⎨
⎧<-≥-⎪⎩
⎪
⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(0420
12
x x x x x x 或 817
171218171722101717422+≤
≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩
⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:
无理不等式的解法
无理不等式的解法
河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 Emial:zhaojw1968@ 无理不等式是一类常用的重要不等式，解无理不等式是不等式性质的一个重要应用，但课本上没有系统将无理不等式的解法，为了同学们更好的掌握无理不等式的解法，本文以高中阶段常遇到的二次根式型无理不等式为例，将无理不等式的解法作以介绍，供同学们学习时参考.
一、乘方法
例1 解下列不等式
（2
2x -，
（3）2x +
分析：本题是二次根式不等式问题，用乘方法.
解析：（1）原不等式等价于22321210x x x x ⎧-->-+⎨-+≥⎩
，解得x ＜2-， ∴原不等式的解集为{x |x ＜2-}.
（2）原不等式等价于2234(2)20x x x x ⎧+-≥-⎨-≥⎩或234020
x x x ⎧+-≥⎨-<⎩，解得x ≤4-或x ≥
2， ∴原不等式的解集为{x |x ≤4-或x ≥2}.
(3)原不等式等价于220
40(2)4x x x x
⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≥-⎩，解得0≤x ≤4，
∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}.
点评：解无理不等式的实质就是将其化为有理不等式，化为有理不等式的关键就是去根号，去根号的策略之一是乘方，使用乘方法解无理不等式时，若要在不等式两边乘偶次方的时应注意：（1）不等式的偶次乘方是有条件的，即两边都必须为非负，故在乘方前必须考虑不等式两边必须非负这一条件，若含根式的为小的一端，则大的一端必须为非负；若含根式为大的一端，则需要分类讨论，当小的一端为非负时，才能乘方，当小的一端为负值时，是根式有意义和小的一端为负数的未知数的取值范围就是不等的解，此时不必乘方.（2）根号下部分必须有意义，即必须为非负值，故常将无理不等式化为有理不等式组解.对常见二次根式不等式，常见类型为下面三类，按如下同解变形原理求解:
无理不等式的解法
无理不等式的解法
无理不等式是根号内含有未知数的不等式。无理不等式的基本形式如下：
（1）)
(
)
(x
g
x
f>（2）)
(
)
(x
g
x
f<
（3）)
(
)
(x
g
x
f>（4）)
(
)
(x
g
x
f<
无理不等式的解法过程中我们利用如下思想方法：
（1）转化与化归思想方法
转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。转化与化归思想的原则是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决过的问题；将一般性问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
无理不等式一般转化为有理不等式（组）来解。
（1）)
(
)
(x
g
x
f>⇒
或
（2）)
(
)
(x
g
x
f<⇒
（3）)()(x g x f >⇒
（4）
)()(x g x f <⇒
（2）数形结合思想方法
数与形是数学中两个基本的概念，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。不仅是一种重要的方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。 数形结合的主要途径：
（1） 形转化为数。即用代数方法研究几何问题。
（2） 数转化为形。即根据给出“数式”的机构特点，构造出
与相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。
（3） 数形结合。即用形研究数，用数研究形，相互结合，使
问题变得直观，简单，思路易寻。
数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题的思路。运用数形结合的思想解不等式题主要有以下几个步聚；（1）转化：即将代数
人教版数学高二A版选修4-5素材 1 无理不等式的解法
无理不等式的解法
一、引入：
1．无理不等式的类型： ①⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③
⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：
例1 解不等式0343>---x x
解：∵根式有意义 ∴必须有：30
3043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x 又有 ∵ 原不等式可化为343->
-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21>
x ∴}3|{}2
1|{}3|{>=>⋂>x x x x x x
例2 解不等式x x x 34232->-+- 解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
Ⅰ：⎪⎩
⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623
562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}25
6|{≤<x x
例3 解不等式24622+<+-x x x
解：原不等式等价于⎪⎩
⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x
无理不等式解法乐乐课堂
无理不等式解法乐乐课堂
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：
(2)绝对值不等式：若，则;;
特别注意：
(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等同于、大于零展开探讨回去绝对值;
(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).所含多个绝对值符号的不等式需用“按零点分后区间探讨”的方法能解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的数学分析：分别谋出来不等式组中，每个不等式的边值问题，然后谋其关连，即为就是这个不等式组的边值问题，在求交分散，通常把每个不等式的边值问题图画在同一条数轴上，挑它们的公共部分。
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端秦九韶一个不含参数的式子时，则须要探讨这个式子的也已、正数、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在求解所含字母的一元二次不等式时，须要考量适当的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时必须分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，必须探讨
1.一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化成ax>b或axb而言，当a>0时，其边值问题为(ab，+∞)，当a<0时，其边值问题为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集是r，当a=0，b≥0时，其边值问题为空集。
无理不等式的解法
本节课小结 1、一个中心：不等式的同解变形； 、一个中心：不等式的同解变形； 2、两种思想：化归与分类讨论； 、两种思想：化归与分类讨论； 3、三个关键：根式有意义、不等式 、三个关键：根式有意义、 的性质、去根号。 的性质、去根号。
布置作业： 布置作业：
教材： 7（1）、（ ）、（2） 教材：P29 7（1）、（2） 补充题： 补充题：解不等式
三个关键： 、 三个关键：1、根式有意义
2、不等式的性质 、
3 x 4 ≥ 0 解方程的实质： 解方程的实质： 3x 4 = x 3 x 3 ≥ 0 3 x 4 = x 3 两个关键： 、 两个关键：1、根式有意义
3、平方去根号 、
2、平方去根号 、
问4：此法能否推广到 ： 小结： 小结：
2、 、
f (x ) ≥ 0 f (x ) < g (x ) g (x ) > 0 f (x ) < g 2 (x )
3、 、
f (x ) ≥ 0 f (x ) ≥ 0 f (x ) > g (x ) g (x ) ≥ 0 或 f (x ) > g 2 (x ) g (x ) <源自文库0
不行 麻烦
方案3、 方案 、考虑原不等式根式有意义 简单！ 简单！ 以及不等式意义
练习2： 练习 ： 解不等式 略解： 略解：
3x + 1 > 2 x + 1 1
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解无理不等式的若干求简策略
解无理不等式是中学数学的一个重要内容。无理不等式的常规解法是先将原不等式化成
>或>g(x)或 1．借用“定义域”确定符号，简化或避免讨论，从而使解题过程简化。 使无理不等式中各代数式都有意义的未知数的取值范围，不妨称为不等式的“定义域”。显然，不等式的解集应是其“定义域”的子集。将不等式化为基本形式并确定其“定义域”，再考虑不等式另一边的取值符号，有时能简化分类，迅速求解。 例1．设a<0为常数，解不等式：。 分析：一般的解法要分x+a≥0和x+a<0讨论，去根号求解。 注意到不等式的“定义域”，有a2-2x2≥0，即, ∵a<0，∴。 此时，，不等式恒成立。 故原不等式的解集是。 2．注意隐含条件 充分挖掘不等式成立的必要条件，寻求不等式中的隐含条件，常能简化不等式的变形过程，减少许多中间运算环节，从而达到优化解题过程的目的。 例2．设a>0为常数，解不等式。(2000年全国高考试题) 分析：不等式化为，若按常规思路求解，则不等式再化为： 即（I） 如果注意到，则有ax+1≥1，即ax≥0。 由于a>0，因而x≥0是一个隐含条件。 可将不等式化为 即（II） 不难发现，解不等式组（II）比解不等式组（I）要简捷得多。 对不等式组（II），易得。 3．简化不等式结构 对某些无理不等式，若直接化为基本形式求解就会很复杂，如果通过同解变形，改变原不等式的结构，将它化为另一种较简单的基本形式求解，不失为一种有效手段。 例3．解不等式：。 分析：若将不等式直接化为基本形式，则有=。再往下解就比较复杂了。 如果将原不等式变形为：， 即， 注意到1-x2≥0且x+1≠0，，即-1 ∴不等式化为, 即， 这样，原不等式就得以简化，从而有 解得0 ∴原不等式的解集是（0,1]。 4．变量代换 解无理不等式的基本思想是去根号，将无理不等式转化为有理不等式。通过变量代换来消除根式，有时是十分方便的。 例4．解不等式。 分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有 或 至此，解题难以为继。 若令，则x=t2-1. ∵x>-1，且x≠0，∴t>0且t≠1， ∴不等式化为， 即， ∴6≤t(t+1)≤12(t>0)， ∴ 解得2≤t≤3,从而, 即4≤x+1≤9，∴不等式的解集是[3,8]。 5．数形结合 将不等式化为基本形式，再将不等式两边分别看作两个函数，考察这两个函数图象的相对位置关系，常能简捷地获得结论。 例5．设a<0为常数，解不等式。 分析：不等式化为， 作函数和g(x)=a-2x的图象，如图1， 由，解得x=， ∴两个函数图象的交点为， 由图1知，当x>时，函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象的上方， ∴不等式的解集是(,+∞)。 6．作非形式化处理 不拘泥于将无理不等式化为基本形式求解，是一种非形式化的解题思想。将不等式两边按正负值分类，平方去根号，也是一种好的策略。 例6．设a>b>0为常数，解不等式。 分析：虽然该不等式可化为基本形式求解，但较繁锁。若作非形式化处理，则有下面的简明解法。 ∵a>b>0，∴-a<-b<0。 （1）当即-a≤x≤-b时，不等式成立。 （2）当即x>-b时，不等式化为 ，即， ∴(a-b)x3-(a-b)abx>0。 ∵a>b>0，∴， ∴ ∴x>或-b （3）当即x<-a时， 不等式化为， 即x(x-)(x+)<0， ∴，∴x<-a。 综合（1）,（2）,（3）知，不等式的解集是(-∞,0)∪(,+∞)。 注：无论解什么样的题，都既要掌握基本的解题方法，又要以灵活为主。会做，还要讲求做题效率。