解无理不等式的若干方法
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．解题思路：作出相应函数的图象草图。
具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。
然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。
作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。
高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
例谈无理不等式的四种常见解法
例谈无理不等式的四种常见解法
蒋明权
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2004(000)008
【摘要】无理不等式的解法是高中阶段的重要知识点之一，也是近年来高考的一火热点．本文想通过例题，对无理不等式的四种最常见的解法作一综述，希望能给同学们一些肩迪。
【总页数】2页(P41-42)
【作者】蒋明权
【作者单位】湖南省永州市第一中学,425006
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.一类无理不等式的换元解法 [J], 张建群
2.论含二次根式的无理不等式解法 [J], 白祥福
3.无理不等式的四种解法 [J], 余建新
4.一类无理不等式的多种解法 [J], 严永文
5.例谈不等式解法常见的逆用 [J], 杜红全
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浅谈无理函数不定积分的求解方法.docx
浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。
这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。
对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。
本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。
同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。
为无理函数不定积分的求解提供一种思路。
关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract: We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words：irrational function indefinite integral method1. 无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处 理工作。
无理方程解法九种
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本 文 特 举 出 无 理 方 程 的 九种
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乘 有理 化 因 式 法
3
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初 等 解 题 厅法 如 下
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例
,
解方 程
.
乘方 法
这是 一 种 基 本 方 法
其 思 路 是将 无 理 方
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,
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,
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例
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求 下 面 方程 的 实数 根 ( 以 下 各例
,
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Z
1
一
都是 指 求实 数 根
无理不等式的解法
⊙ 1 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
x | x 3
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x)
g(x) 0 f ( x) 0 或 2 f(x) [g(x)] g ( x) 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x 27 2x 3 0 解：原不等式可化为 x 27 2x 3
根据根式的意义及不等式的性质，得 x 27 0 2x 3 0 x 2 7 ( x 3) 2 解这个不等式组，得
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0 (1) f ( x) g( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 (2) f ( x) g( x) 0 或f ( x) 0 f ( x) 0
解这个不等式组（1），得
3 3 ● ● x | x 27 x | x x | 2 x 9 x | x 9 3 27 2 9 2 2 2
解这个不等式组（2），得
3 3 x | x 27 x | x x | 27 x 2 ●
无理不等式的解法
无理不等式的解法课件
答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$， 即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简 得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负 性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的 解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对 值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无 理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思 路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。
不等式·解无理不等式
不等式·解无理不等式·教案教学目标1．初步理解无理不等式的求解基本思路．2．进一步培养学生的逻辑推理能力和运算能力．3．进一步养成规范表述的习惯，提高学生思维的严谨性．教学重点和难点重点：求解的基本思路的形成与落实．难点：分类讨论的正确使用．教学过程设计（一）新课引入师：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们统称为整式不等式，继续又学了分式不等式．它们又统称为有理不等式，今天我们该学习无理不等式的解法．（板书：4．无理不等式）（二）讲解新课师：无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式．今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法．（板书）师：要解这个不等式，你的第一个想法是什么？生：想保证根式有意义，让被开方式非负即5-2x≥0．生：想去掉根号．师：这两个想法都有道理，也是我们必须要做的，若在这两件事中选择一个做为第一件事，应该是谁呢？生：应该先保证根式有意义，这是解决这个不等式的大前提．师：讲得很好，但有了5-2x≥0这个条件，我们并没有开始解，如果开始解的话，应该做的仍然是去掉根号．为什么一定要去掉根号呢？生：想把它化成学过的有理不等式．师：用什么方法化去根号呢？生：两边平方．师：解不等式所进行的变换必须保证是等价变换，平方之后能保证与原不等式等价吗？生：不能保证等价．师：为保证等价，不等式有什么根据可以用吗？师：要平方，就应以此为根据．就需看不等式两边是否符合条件，先看左式是否符合条件．生齐答：没有问题，能保证它大于等于零．师：右式怎样？生：右式的符号不能确定，可能正，可能负，也可能为零．师：怎么解决右式的符号问题呢？生：进行讨论，对于大于等于零情况，根据性质，可以平方．对于小于零情况可以单独研究．师：好，思路搞清楚了，下面把刚才分析的内容表述出来，先说能平方部分．要求解无理不等式必须两边平方，但我们找到的可等价平方的根据是有条件的．如果满足条件都是正的，那就可以平方；如果不满足条件像x-1就必须进行分类讨论，这样将一个不等式等价地变换成两个不等式组．下面我们继续把它解出来，先把第一组解到底，每人只解一步．师：两个不等式组的解都有了，怎么处理两个组的解呢？生：应该取并．师：那么此不等式最终的解应是什么？生：是x＜2．师：经过我们共同研究，完成了这个不等式的求解，把刚才的过程简单小结一下．刚才我们主要做了这样两件事．（1）搞清了求解的基本思路，求解无理不等式必有理化，手段是平方，平方的根据是有条件的，满足条件直接平方，若不满足则需分类讨论．（2）在运算上，注意顺序要合理，采用先横（写出等价组）再二竖（分别解两个不等式组），最后再横（求两组的并），同时给出规范的表述，以作为示范．（要求学生讲清每个不等式的由来，讲清理由才是真正理解每个不等式的功能）师：不仅等价组是正确的，而且也讲清了为什么是这样两个不等式组．师：为什么只有这一个不等式组？生：不等式两边均大于零，符合平方的条件，可以直接平方，无需讨论．师：讲得非常好，通过这个题目再次认识到分类讨论这种方法，一定要想清楚使用原因．再正确使用，不能盲目套用，下面再看第（3）题．师：他们两人的意见到底谁对呢？请大家讨论一下，发表意见，说明理由．生甲：由于右式x＋3的符号不能确定，所以要平方就必须进行分类讨论，所以应该有两组．生乙：由于左式是个非负数，右式大于等于一个非负数，所以右式也应为非负数，故无需讨论，即可平方，只有第一个不等式组就够了．生丙：我也认为应只有第一个不等式组．但我是这样考虑的．如果对右式的符号进行分类讨论，当x＋3＜0时，此时不等式变为“非负数小于等于一个负数”，这是个矛盾不等式，故不等式无解．因此，第二个不等式组写完整应该写为2）在表述上要规范，有条理，能在旧知识配合下，合理准确进行运算．（五）布置作业课本习题略．课堂教学设计说明无理不等式的求解是解不等式中的重点内容，也是学生学习比较困难的课题，困难主要发生在等价转化为有理不等式的思路上，所以本节课的设计重点放在求解思路形成与落实上．思路的形成重在学生的思维参与，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成．教师的课堂设计应给学生设计好符合学生认知结构的学习程序，通过设问、提示、课堂讨论等多种方式，启发诱导学生，激发学生的学习热情，使学生思维从始至终处于一种积极进取的兴奋状态，这样通过教师引导，学生可自然有效地获取知识，就本节课而言，通过学生研究探索，得到求解的基本思路与方法，最终教师再进行概括、总结和提高．思路的落实是教学效果的体现．一节课课堂上再热闹，再活跃，而学生不能准确完成一个无理不等式的求解，这样的课堂设计是华而不实的，真正的课堂必须讲究落实且在课堂上尽量提高落实的效果，为了解决这个问题又重点在表述上下功夫．思维有方、表达无术，是很多学生一个突出的毛病，教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一毛病的重要措施．例1的解题过程，既是利用学生思维得到求解思路，又是通过教师的示范，达到明确要求，规范书写的目的，而两个巩固练习题让学生通过必要的模仿，克服表达无术的不足，且在讲评中再次强化表述的要求，因此，无理不等式的求解，只有双管齐下，既理清思路又规范表述，才能保证运算的合理性和准确性．。
无理不等式的解法
无理不等式的解法河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 Emial:zhaojw1968@ 无理不等式是一类常用的重要不等式，解无理不等式是不等式性质的一个重要应用，但课本上没有系统将无理不等式的解法，为了同学们更好的掌握无理不等式的解法，本文以高中阶段常遇到的二次根式型无理不等式为例，将无理不等式的解法作以介绍，供同学们学习时参考.一、乘方法例1 解下列不等式（22x -，（3）2x +分析：本题是二次根式不等式问题，用乘方法.解析：（1）原不等式等价于22321210x x x x ⎧-->-+⎨-+≥⎩，解得x ＜2-， ∴原不等式的解集为{x |x ＜2-}.（2）原不等式等价于2234(2)20x x x x ⎧+-≥-⎨-≥⎩或234020x x x ⎧+-≥⎨-<⎩，解得x ≤4-或x ≥2， ∴原不等式的解集为{x |x ≤4-或x ≥2}.(3)原不等式等价于22040(2)4x x x x⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≥-⎩，解得0≤x ≤4，∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}.点评：解无理不等式的实质就是将其化为有理不等式，化为有理不等式的关键就是去根号，去根号的策略之一是乘方，使用乘方法解无理不等式时，若要在不等式两边乘偶次方的时应注意：（1）不等式的偶次乘方是有条件的，即两边都必须为非负，故在乘方前必须考虑不等式两边必须非负这一条件，若含根式的为小的一端，则大的一端必须为非负；若含根式为大的一端，则需要分类讨论，当小的一端为非负时，才能乘方，当小的一端为负值时，是根式有意义和小的一端为负数的未知数的取值范围就是不等的解，此时不必乘方.（2）根号下部分必须有意义，即必须为非负值，故常将无理不等式化为有理不等式组解.对常见二次根式不等式，常见类型为下面三类，按如下同解变形原理求解:(1)＞⇔()0()()g x f x g x ≥⎧⎨>⎩,(2)＞()g x ⇔2()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩,(3)()f x⇔2()0()0[()]()f x g x f x g x ⎧>⎪≥⎨⎪>⎩.二、图像法例22x -.分析：本题是二次根式不等式，可用图像法.解析：在同一坐标系中作出y=和y =2x -的图像，由图像知4-≤x ＜1x 时原不等2x -得1x =5，∴原不等式的解集为{x |4-≤x ＜5｝.点评：对无理不等式，若两边式子简单且对应的函数图像易作出，则可以用图像法，在同一坐标系中作出两边对应的函数图像，通过观察图像找出不等式的解集，在找区间端点时，可通过解对应的方程解得.本题也可以用乘方法，但计算量较大，图像法直观明了，简化计算.三、补集法例3＞3x -.＞()g x()g x解集的补集，而≤()g x 解法简单，故可用补集法.有意义的解集为全集I,则I=[3,)-+∞≤3x -的解集为A3x -等价于230303(3)x x x x ⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≤-⎩，解得A={x |x ≥6}， ∴原不等式的解集为{x |3-≤x ＜6｝.点评：()g x 问题，()g x 解集关x()g x 解法简单，故可用补集法.四、换元法例44x -..t ，则t ≥0，4x -=26t -，原不等式可化为206t t t ≥⎧⎨>-⎩，解得0≤t ＜3，即03，解得2-≤x ＜7，∴原不等式的解集为{x |2-≤x ＜7｝.点评：对易化为关于某根式的不等式问题，可用换元法，设这个根式为t ，将原不等式化为关于t 的不等式组问题，先解出t 的范围，即根式的取值范围，再用乘方法解出x 的取值范围，注意新变量t 的取值范围不能忘记.。
无理不等式的解法
无理不等式的解法无理不等式是根号内含有未知数的不等式。
无理不等式的基本形式如下：（1）)()(xgxf>（2）)()(xgxf<（3）)()(xgxf>（4）)()(xgxf<无理不等式的解法过程中我们利用如下思想方法：（1）转化与化归思想方法转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。
数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。
转化与化归思想的原则是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决过的问题；将一般性问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
无理不等式一般转化为有理不等式（组）来解。
（1）)()(xgxf>⇒或（2）)()(xgxf<⇒（3）)()(x g x f >⇒（4）)()(x g x f <⇒（2）数形结合思想方法数与形是数学中两个基本的概念，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。
不仅是一种重要的方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。
数形结合的主要途径：（1） 形转化为数。
即用代数方法研究几何问题。
（2） 数转化为形。
即根据给出“数式”的机构特点，构造出与相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。
（3） 数形结合。
即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观，简单，思路易寻。
数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题的思路。
运用数形结合的思想解不等式题主要有以下几个步聚；（1）转化：即将代数式转化为几何式。
（2）构造：即构造图形或函数。
以下是用实际例题来解释具体方法。
例1. 解不等式152+>+x x 。
分析：原不等式的解集等介于不等式组或 的解集。
解得21<≤-x解得125-<≤-x 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-225|x x设521+=x y ，12+=x y可知521+=x y 表示一个顶点在)0,25(-，以x 轴为对称轴的，开口向右的抛物线的上半部分。
无理不等式解法乐乐课堂
无理不等式解法乐乐课堂(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;特别注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等同于、大于零展开探讨回去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).所含多个绝对值符号的不等式需用“按零点分后区间探讨”的方法能解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的数学分析：分别谋出来不等式组中，每个不等式的边值问题，然后谋其关连，即为就是这个不等式组的边值问题，在求交分散，通常把每个不等式的边值问题图画在同一条数轴上，挑它们的公共部分。
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端秦九韶一个不含参数的式子时，则须要探讨这个式子的也已、正数、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在求解所含字母的一元二次不等式时，须要考量适当的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时必须分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，必须探讨1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化成ax>b或axb而言，当a>0时，其边值问题为(ab，+∞)，当a<0时，其边值问题为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集是r，当a=0，b≥0时，其边值问题为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x求解：原不等式化成(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其边值问题为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其边值问题为r.任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c>0或ax?2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
不等式的解法
不等式的解法1、分式不等式的解法解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。
0)()(>x g x f _____________⇔或0)()(≤x g x f ____________⇔. 2、无理不等式的解法解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。
；__________________)()(⇔>x g x f；________________)()(⇔<x g x f ._________________)()(⇔>x g x f3、指数不等式和对数不等式的解法解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。
1>a 时，，________________)()(⇔>x g x f a a._______________)(log )(log ⇔>x g x f a a时，10<<a _______,__________)()(⇔>x g x f a a._____________)(log )(log ⇔>x g x f a a注意分类与归纳思想的正确运用4、绝对值不等式绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：()()()().____________________________________________⇔>⇔<⇔>x g x f a x f a x f ；；对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。
例题精选：1、.不等式2112x x ++<的解集是( ) A.{}10x x -<< B.302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C. 504x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. {}20x x -<<2、函数)2lg(x y -=的定义域是 （ ）A ．（－∞，+∞）B ．（－∞，2）C ．（－∞，0]D ．（－∞，1]3、若全集I=R ，f (x )、g(x )均为x 的二次函数，P=}{}{,0)(|,0)(|≥=<x g x Q x f x 则不等式组⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为 .4、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x5、解不等式：.1)1(log )2(log 21221-->--x x x6、已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （Ⅰ）当4=a 时，求集合M ；（Ⅱ）若3∈M 且5M ∉，求实数a 的取值范围.7、设a>0，1a ≠，解关于x0<。
对一个无理不等式的若干思考
对一个无理不等式的若干思考
欧阳洪忠;钟建新
【期刊名称】《新课程（教研版）》
【年(卷),期】2010(000)001
【摘要】@@ 已知a,b,cR+,求证√a2+3b2 a +√b2+3c2 b +√c2+3a2 c 6..(数学通报2008,9,1752号)rn思考一:当系数3变成正数λ时,a2+λb2 a+λb2+λc2 b+√c2+λa2 c有何结论? 分析:ba·cb·ac=1.
【总页数】1页(P123)
【作者】欧阳洪忠;钟建新
【作者单位】安远县中等职业技术学校数学组;赣南教育学院数学系
【正文语种】中文
【相关文献】
1.解无理不等式的若干求简策略 [J], 林明成;岳顺民
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3.一个无理不等式的别证及一个猜想的解决和推广 [J], 张敬坤; 李金嵘; 纪保存
4.从一个无理不等式引发的不等式猜想的证明 [J], 刘倩;黄水仁;温浩平
5.无理不等式的若干证明方法 [J], 滕耀云;吴前元
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无理方程与无理不等式练习题及解答
无理方程与无理不等式练习题及解答以下是一些关于无理方程与无理不等式的练习题及解答，帮助你更好地理解和掌握这个数学概念。
练习题1：解方程：√(2x+3) - 1 = 5解答：首先，将方程两边都加1，得到√(2x+3) = 6。
然后，两边同时平方消去根号，得到2x+3 = 36。
接着，将方程两边都减去3，得到2x = 33。
最后，将方程两边都除以2，得到x = 16.5。
因此，方程的解为x =16.5。
练习题2：解方程：2√(3x+1) - 4 = 8解答：首先，将方程两边都加4，得到2√(3x+1) = 12。
然后，两边同时除以2，得到√(3x+1) = 6。
接着，两边同时平方消去根号，得到3x+1 = 36。
最后，将方程两边都减去1，得到3x = 35。
因此，方程的解为x = 11.67。
练习题3：解不等式：√(x+2) > 3解答：首先，将不等式两边都平方，注意要保持不等号的方向，得到x+2 > 9。
然后，将不等式两边都减去2，得到x > 7。
因此，不等式的解集为{x | x > 7}。
练习题4：解不等式：2√(5-3x) ≤ 4解答：首先，将不等式两边都除以2，注意要保持不等号的方向，得到√(5-3x) ≤ 2。
然后，将不等式两边都平方，得到5-3x ≤ 4。
接着，将不等式两边都减去5，得到-3x ≤ -1。
最后，将不等式两边都除以-3，并反转不等号的方向，得到x ≥ 1/3。
因此，不等式的解集为{x | x ≥ 1/3}。
练习题5：解不等式：√(2x-1) + 3 < 7解答：首先，将不等式两边都减去3，得到√(2x-1) < 4。
然后，将不等式两边都平方，注意要保持不等号的方向，得到2x-1 < 16。
接着，将不等式两边都加上1，得到2x < 17。
最后，将不等式两边都除以2，得到x < 8.5。
因此，不等式的解集为{x | x < 8.5}。
绝对值不等式和无理不等式
绝对值不等式和无理不等式知识精要：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是∅;一． 基本解法与思想无理不等式解法： 例1. 解无理不等式：(1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x . (2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.解答： (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x .(2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或 817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.绝对值不等式：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
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解无理不等式的若干求简策略
解无理不等式是中学数学的一个重要内容。
无理不等式的常规解法是先将原不等式化成
>或>g(x)或<g(x)等基本形式，再两边平方去根号转化为有理不等式组求解。
但对某些无理不等式，上述解法往往运算量大，过程冗长。
解题中若能注意到某些特殊要素的功能作用，或利用某些特殊手段将原不等式作适当转化，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。
在具体的解题过程中，有以下几方面的策略。
1．借用“定义域”确定符号，简化或避免讨论，从而使解题过程简化。
使无理不等式中各代数式都有意义的未知数的取值范围，不妨称为不等式的“定义域”。
显然，不等式的解集应是其“定义域”的子集。
将不等式化为基本形式并确定其“定义域”，再考虑不等式另一边的取值符号，有时能简化分类，迅速求解。
例1．设a<0为常数，解不等式：。
分析：一般的解法要分x+a≥0和x+a<0讨论，去根号求解。
注意到不等式的“定义域”，有a2-2x2≥0，即,
∵a<0，∴。
此时，，不等式恒成立。
故原不等式的解集是。
2．注意隐含条件
充分挖掘不等式成立的必要条件，寻求不等式中的隐含条件，常能简化不等式的变形过程，减少许多中间运算环节，从而达到优化解题过程的目的。
例2．设a>0为常数，解不等式。
(2000年全国高考试题)
分析：不等式化为，若按常规思路求解，则不等式再化为：
即（I）
如果注意到，则有ax+1≥1，即ax≥0。
由于a>0，因而x≥0是一个隐含条件。
可将不等式化为
即（II）
不难发现，解不等式组（II）比解不等式组（I）要简捷得多。
对不等式组（II），易得。
3．简化不等式结构
对某些无理不等式，若直接化为基本形式求解就会很复杂，如果通过同解变形，改变原不等式的结构，将它化为另一种较简单的基本形式求解，不失为一种有效手段。
例3．解不等式：。
分析：若将不等式直接化为基本形式，则有=。
再往下解就比较复杂了。
如果将原不等式变形为：，
即，
注意到1-x2≥0且x+1≠0，，即-1<x≤1且，则有2(x+1)>0,
∴不等式化为,
即，
这样，原不等式就得以简化，从而有
解得0<x≤1。
∴原不等式的解集是（0,1]。
4．变量代换
解无理不等式的基本思想是去根号，将无理不等式转化为有理不等式。
通过变量代换来消除根式，有时是十分方便的。
例4．解不等式。
分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有
或
至此，解题难以为继。
若令，则x=t2-1.
∵x>-1，且x≠0，∴t>0且t≠1，
∴不等式化为，
即，
∴6≤t(t+1)≤12(t>0)，
∴
解得2≤t≤3,从而,
即4≤x+1≤9，∴不等式的解集是[3,8]。
5．数形结合
将不等式化为基本形式，再将不等式两边分别看作两个函数，考察这两个函数图象的相对位置关系，常能简捷地获得结论。
例5．设a<0为常数，解不等式。
分析：不等式化为，
作函数和g(x)=a-2x的图象，如图1，
由，解得x=，
∴两个函数图象的交点为，
由图1知，当x>时，函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象的上方，
∴不等式的解集是(,+∞)。
6．作非形式化处理
不拘泥于将无理不等式化为基本形式求解，是一种非形式化的解题思想。
将不等式两边按正负值分类，平方去根号，也是一种好的策略。
例6．设a>b>0为常数，解不等式。
分析：虽然该不等式可化为基本形式求解，但较繁锁。
若作非形式化处理，则有下面的简明解法。
∵a>b>0，∴-a<-b<0。
（1）当即-a≤x≤-b时，不等式成立。
（2）当即x>-b时，不等式化为
，即，
∴(a-b)x3-(a-b)abx>0。
∵a>b>0，∴，
∴
∴x>或-b<x<0。
（3）当即x<-a时，
不等式化为，
即x(x-)(x+)<0，
∴，∴x<-a。
综合（1）,（2）,（3）知，不等式的解集是(-∞,0)∪(,+∞)。
注：无论解什么样的题，都既要掌握基本的解题方法，又要以灵活为主。
会做，还要讲求做题效率。