2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用阶段质量评估 新人教A版必修1
2019秋人教A版数学同步第三章 函数的应用学业质量标准检测3
第三章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：A．区间(1,2)和(2,3) B．区间(2,3)和(3,4)C．区间(2,3)和(3,4)和(4,5) D．区间(3,4)和(4,5)和(5,6)[解析]由图表可知，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故选C．2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(C)A．10天B．15天C．19天D．2天[解析]荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，∴生长19天时，布满水面面积的一半，故选C．3．(2019·山东济宁高一期末测试)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点，所在的大致区间是(C)A．(e,3) B．(2，e)C．(1,2) D．(0,1)[解析]f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴f(1)·f(2)<0，故选C．4．某人2016年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2019年7月1日可取款(D)A ．a (1＋x )2元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元[解析] 由题意知，2017年7月1日可取款a (1＋x )元， 2018年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元， 2019年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是选项中的( B)[解析] 由图知，y 随时间t 的变化，先慢后快，再匀速变化．故选B ．6．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4) B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 由题意，得⎩⎨⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )>0－m －22>2f (2)＝4＋2(m －2)＋5－m >0，解得－5<m <－4.7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 008个，则f (x )的零点的个数为( D )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1 008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1 008个，又f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.即0也是它的零点，故f (x )的零点共有2 017个．8．(2019·山东莒县一中高一期末测试)设函数y ＝2x 3与y ＝(12)x －1＋2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( C )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 令f (x )＝2x 3－(12)x －1－2，函数y ＝2x 3与y ＝(12)x －1＋2的图象的交点为(x 0，y 0)，即函数f (x )的零点为x 0，又f (1)＝2－(12)0－2＝－1<0，f (2)＝2×8－(12)1－2＝16－12－2＝272>0， ∴f (1)·f (2)<0，故选C ．9．某种电热水器的水箱盛满水是200 L ，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65 L ，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( B )A ．3人B ．4人C ．5人D ．6人 [解析] 设电热水器内水量为y L ，由题意得，y ＝2t 2－34t ＋200＝2(t －172)2＋1112，∴当t ＝8.5时，电热水器内水量y 达到最小值，最小值为1112，此时放水停止．本次总共实际放水量为8.5×34＝289(L)， 又28965＝42965， ∴一次最多可供4人洗浴，故选B ．10．若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f (x )＝ln x ＋x －4，f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．11．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q 2B ．(1＋p )(1＋q )－12C ．pqD ．(1＋p )(1＋q )－1[解析] 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1.12．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b[解析] 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )的零点a ∈(－1,0)；因为g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2； 因为h (12)＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，所以h (x )的零点c ∈(12，1)．因此a ＜c ＜b .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为__y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x (0≤x ≤30)2(30<x <40)110x －2(40≤x ≤60)__.[解析] 当0≤x ≤30时，设f (x )＝kx ，将点(30,2)代入得k ＝115，∴f (x )＝115x .当30<x <40时，f (x )＝2.当40≤x ≤60时，设f (x )＝mx ＋b ，将点(40,2)和点(60,4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋b ＝260m ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝110b ＝－2，即f (x )＝110x －2.综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x (0≤x ≤30)2(30<x <40)110x －2(40≤x ≤60).14．若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是__m <－18__.[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎨⎧m ≠0Δ＝1＋8m <0， 解得m <－18.15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.[解析] 由0.42n <0.01，得2n >0.40.01＝40，故n 的最小值为6.16．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是__①⑤__.①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2(x ≥1)x 2－2x (x <1)，求函数g (x )＝f (x )－14的零点．[解析] 求函数g (x )＝f (x )－14的零点，即求方程f (x )－14＝0的根．当x ≥1时，由2x －2－14＝0得x ＝98；当x <1时，由x 2－2x －14＝0得x ＝2＋52或x ＝2－52，∵x <1，∴x ＝2－52.∴函数g (x )＝f (x )－14的零点是98或2－52.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以－3与2是一元二次方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－ba ＝－1－a －ab a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝5.故f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18，其图象的对称轴为x ＝－12，开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，则f (x )的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.所以函数f (x )的值域为[12,18]．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x (x ≤1)1－log 2x (x >1).(1)求函数f (x )的零点；(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围． [解析] (1)当x ≤1时，函数无零点． 当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2， ∴函数的零点为x ＝2.(2)当x ≤1时，21－x ≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1. 当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥12.又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.20．(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24 h 内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t h 后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6 h 时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8 h 供水紧张．21．(本小题满分12分)关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？ [解析] 设f (x )＝x 2－2x ＋a ，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)＜0，得1－2＋a ＜0，所以a ＜1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0f (1)＜0f (2)＜0f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＞01－2＋a ＜04－4＋a ＜09－6＋a ＞0，解得－3＜a ＜0.(3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎨⎧Δ＝4－4a ≥0－－22＞0f (0)＞0，解得0＜a ≤1.22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12.解得x ＝1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即(12)m 10＝(12)12， m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。
高中数学 第三章 函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学
第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章函数概念与性质单元检测试卷
《第三章 函数的概念与性质》检测试卷一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．126．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R 上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－x 37．(2021·合肥高一检测)设奇函数f (x )在[－3，3]上是减函数，且f (3)＝－3，若不等式f (x )＜2t ＋1对所有的x ∈[－3，3]都成立，则t 的取值范围是( ) A.[－1，1]B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x 元/枝)在x ∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p (x )＝500x －4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( ) A ．9 B ．11 C ．13 D ．15二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)210．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象过原点 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______．14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 15．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．16.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2. (1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性； (2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝xx －1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ).答案解析一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )分析选D.A 不是函数(一个x 对应两个y )，排除；B 中y ∈[0，2]，不是集合A 到集合B 的函数关系，排除；C 不是函数(x ＝1时对应两个函数值)，排除；D 符合要求． 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R分析选C.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0， 即x ≥－1且x ≠0.3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 分析选D.f (x )＝x ＋3x ＋2 ＝1＋1x ＋2， 因为y ＝1x ＋2在[1，＋∞)上单调递减， 所以y ＝1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 . 所以1＋1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 ， 所以f (x )在[1，＋∞)上的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 . 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )分析选A.函数y＝4xx2＋1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f(x)＝4xx2＋1，则f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，则函数y＝f(x)为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f(x)＞0，故排除B.5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1 B．1 C．6 D．12分析选C.由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 6．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1C．y＝x＋1 D．y＝－x3分析选A.A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是增函数，满足条件；B，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件；C，f(－x)＝－x＋1≠x＋1＝f(x)，则f(x)不是偶函数，不满足条件；D．f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，则f(x)是奇函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件．7．(2021·合肥高一检测)设奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则t的取值范围是( )A.[－1，1] B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)分析选B.因为奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，所以f(x)max＝f(－3)＝3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则3＜2t＋1，解得t＞1.8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x元/枝)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p(x)＝500x－4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( )A ．9B ．11C ．13D ．15 分析选D.设每天的利润为y 元， 则y ＝(x －5)·500x －4 ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －4 ，5≤x ≤15，显然此函数是增函数，故当x ＝15时，y 取得最大值．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)2分析选BD.令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12.f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 2＝(t ＋1)2，故f (x )＝(x ＋1)2，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确． 10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)分析选BD.因为f (x )为奇函数且f (3)＝0， 所以f (－3)＝－f (3)＝0，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以f （x ）－f （－x ）2＝f (x )＞0，当x ＞0时，x ＞3；当x ＜0时，－3＜x ＜0， 故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞). 11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象过原点B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数 分析选AC.函数f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1 ＝1＋1x －1，f (0)＝0，A 正确； 图象关于(1，1)点对称，B 错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上是减函数，整个定义域上不是减函数，故C 正确，D 错误．12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数分析选BC.根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R ，故函数的定义域为R ，故B 正确；值域为{1，0}，故A 错误； 当x 为有理数时，x ＋1也为有理数， 则f (x ＋1)＝f (x )＝1，当x 为无理数时，x ＋1也为无理数，则f (x ＋1)＝f (x )＝0，从而有f (x ＋1)＝f (x )，故C 正确；当x 为有理数时，f (x )＝1，f (－x )＝1，不满足f (－x )＝－f (x )，故D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______． 分析因为幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)， 所以2n ＝8，所以n ＝3，所以幂函数f (x )＝x 3，因为f (a －1)＜1，所以(a －1)3＜1，所以a －1＜1，所以a ＜2. 答案：(－∞，2)14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 分析因为f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值， 故函数f (x )的图象如图中加粗线条所示：由图易得f (x )的最大值是1. 答案：115．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．分析令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，f (t )＝(t ＋1)2＋(2a －2)·(t ＋1)＋3－2a ＝t 2＋2at ＋2， 所以f (x )＝x 2＋2ax ＋2.(1)因为f (x )图象的对称轴为x ＝－a ，由题意知－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞). (2)当a >5时，f (x )最小值＝f (－5)＝27－10a ＝－1， 解得a ＝145(舍去)；当－5≤a ≤5时，f (x )最小值＝f (－a )＝－a 2＋2＝－1，解得a ＝±3 ； 当a <－5时，f (x )最小值＝f (5)＝27＋10a ＝－1， 解得a ＝－145 (舍去).综上a ＝±3 .答案：(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞) (2)±316.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．分析如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB ＝x ，宽为AD ＝y ，则4x ＋6y ＝1，所以y ＝16 (1－4x )，则饲养场的总面积S ＝3xy ＝12 x (1－4x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18 2＋132 ， 故当x ＝18 ，y ＝112，即长、宽之比为18 ∶112＝3∶2时，饲养场的总面积最大．答案：3∶2四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 分析(1)因为－1<3 <2，所以f (3 )＝(3 )2＝3. 又因为3≥2，所以f (f (3 ))＝f (3)＝2×3＝6. (2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2. 又因为f (a )＝3，所以a ＝1(舍去)； 当－1<a <2时，f (a )＝a 2.又因为f (a )＝3，所以a ＝±3 ，其中负值舍去， 所以a ＝3 ； 当a ≥2时，f (a )＝2a .又因为f (a )＝3，所以a ＝32 (舍去).综上所述a ＝3 .18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．分析(1)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)＝2×125×12＋5 ＋2×25×2＋5 ＝25 . (2)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x 5x ＋5 ＋2x 5x＋5＝2x 5x ＋5 ＋25x ＋5 ＝25 ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝2 019×25 ＋25＋5 ＝4 0395. 19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？分析(1)由题设知，可设y －a ＝kx (0≤x ≤12，k ＜0)，即y ＝a ＋kx .依题意，当x ＝12时，y ＝－55， 所以－55＝a ＋12k ，解得k ＝－55＋a12 .所以当0≤x ≤12时，y ＝a －x12(55＋a )(0≤x ≤12).又当x ＞12时，y ＝－55.所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 12（55＋a ），（0≤x ≤12），－55，（x ＞12）.(2)当a ＝29，x ＝3时，y ＝29－312 (55＋29)＝8，即3 km 上空的温度为8℃.20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．分析(1)根据题意，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＋3－2a ＝x 2－ax ＋3－2a ＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2＋ax －3＋2a (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋3－2a ，x >00，x ＝0－x 2＋ax －3＋2a ，x <0.(2)若f (x )是R 上的单调函数，且f (0)＝0， 则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0－a 2≤0 ，解得0≤a ≤32 ，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 . 21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2.(1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性；(2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．分析(1)当a ＝0时，f (x )＝12－x， 设x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12－x 1 －12－x 2 ＝x 1－x 2（2－x 1）（2－x 2）， 因为x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＞0，2－x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝12－x在区间(0，2)上单调递增． (2)令x ∈(－2，0)，则－x ∈(0，2)，所以f (－x )＝a －x －1－x －2 ＝1x ＋2 －a x， 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝1x ＋2 －a x，所以函数 f (x )在(－2，0)∪(0，2)上的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1x －2，0＜x ＜21x ＋2－a x ，－2＜x ＜0. 22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝x x －1 . (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ). 分析(1)令x ＞0，则－x ＜0，依题意得f (－x )＝－x －x －1 ＝x x ＋1， 所以f (x )＝－f (－x )＝－xx ＋1 (x >0)，又f (0)＝0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －1，x <00，x ＝0－x x ＋1，x >0. (2)图象如图所示．(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)， 由图象可知，函数f (x )在R 上单调递减， 所以所求不等式等价于ax 2－x ＜ax －1，即ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0，即(ax －1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，解得x ＞1；当0＜a ＜1时，解得1<x <1a ；当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a <x <1；当a ＜0时，解得x ＞1或x <1a .。
2019-2020学年人教课标A版高中数学必修三综合质量检测 Word版含解析
姓名，年级：时间：综合质量检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )A．分层抽样 B．抽签抽样C．随机抽样 D．系统抽样[解析］号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样．［答案］D2．下列程序的含义是( )A．求方程x3＋3x2－24x＋30＝0的根B．求输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值C．求一般三次多项式函数的程序D．作y＝x3＋3x2－24x＋30的作图程序［解析] 由程序知，输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值，应选B.［答案] B3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件［解析］甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．[答案] C4．把“二进制”数101101(2)化为“八进制”数是( )A．40（8） B．45(8) C．50(8） D．55(8)[解析] ∵101101(2)＝1×25＋0＋1×23＋1×22＋0＋1×20＝45(10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）＝55（8)．故选D。
[答案] D5．设某中学的高中女生体重y（单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i,y i）(i＝1,2,3，…，n）,用最小二乘法近似得到回归直线方程为错误!＝0.85x－85.71,则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过点（错误!，错误!）C．若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0。
2019-2020学年人教A版必修三单元质量评估试卷(三)含解析-(高一数学)
单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的关系是( )A.P(A)≈B.P(A)<C.P(A)>D.P(A)=【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是( )(1)恰好有1件次品和恰好有两件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.3.(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.4.(2016·临沂高一检测)在区域内任意取一点P(x,y),则x2+y2<1的概率是( )A.0B.-C.D.1-【解题指南】本题为几何概型,首先画出所有可能构成的区域,再画出事件所满足的区域,根据几何概型的概率公式计算.【解析】选C.所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形,而满足条件的点构成的区域为圆心在原点,半径为1的圆在第一象限的部分即的圆,所以P=×=.5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68【解析】选C.质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32-0.3=0.02.6.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为.【补偿训练】(2016·杭州高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3,所以P==.7.设一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,Δ=b2-4c≥0,显然b≠1.当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是.【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有6×6=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即≠,即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组只有一个解的概率为=.8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)==.9.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意得:(x i,y i)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知=,所以π=.10.(2016·石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.11.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为.12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα,x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A={-1,0,3,8,15},因为α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上为增函数的α的值为3,8,15,故所求概率P=.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为=.答案:14.(2016·潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.【解析】由题可知,白球的个数为100×0.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P==0.32.答案:0.3215.(2016·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=<3,即-<k<,所以所求概率P==.答案:【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x∈[1,3],若在区间x∈[1,3]上随机取一点,则使得-1≤f(x0)≤1的概率为________.【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集.【解析】由函数-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈,又函数f(x)的定义域为x∈[1,3],所以不等式的最终解集为x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率为P==.答案:【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果错误.16.已知集合A={-1,0,1,3},从集合A中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为.【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件构成的集合为{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1), (0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P==.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=.18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:(1)恰有一枚出现正面的概率.(2)至少有两枚出现正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件:则A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.因此P(A)=.(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件,则B={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正)},因此P(B)==.19.(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率.【解析】在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示m,n的值,因为m,n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A表示方程x2-x+m=0有实根,则事件A=,所对应的区域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为,故P(A)==,即关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率为.20.(12分)(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【解题指南】(1)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①一一列举,共15种;②符合条件的结果有9种,所以P==.【解析】(1)应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4} ,{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种,所以事件A发生的概率P==.21.(12分)(2016·武汉高一检测)2020学年全国两会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y,且x<y”.(1)共有多少个基本事件?并列举出来.(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.【解析】(1)共有36个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3, 5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7), (5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36个.(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A 为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x<y”,由(1)可知事件A共含有15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.故P(A)+P(B)=+=.【误区警示】用列举法列出基本事件时,必须做到不重不漏,且要注意题中要求(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y且x<y”,所以列举时易因忽略题中所给关键条件导致出错.22.(12分)(2016·黑龙江高一检测)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高,据统计被测学生的身高全部在155cm到195cm之间.将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组的人数相同,第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列.频率分布直方图:(1)求下列频率分布表中所标字母的值,并补充完整频率分布直方图.频率分布表:分组频数频率频率/组距……………[180,185) x y z[185,190) m n p……………分别为x,y,求满足:|x-y|≤5的事件的概率.【解析】(1)由频率分布直方图可得前5组的频率是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,第八组的频率是0.04,所以第六、七组的频率是1-0.86=0.14,所以样本中第六、七组的总人数为7人.由已知得:x+m=7.①因为x,m,2成等差数列,所以x=2m-2,②由①②得:m=3,x=4,所以y=0.08,n=0.06,z=0.016,p=0.012.频率分布直方图如图所示.(2)由(1)知,身高在[180,185)内的有4人,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的有2人,设为A,B.若x,y∈[180,185),则有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况;若x,y∈[190,195],则有AB共1种情况;若x∈[190,195],y∈[180,185)或x∈[180,185),y∈[190,195],则有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15种.又事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件总数为6+1=7种,所以P(|x-y|≤5)=.。
2019秋高中数学 第三章 函数的应用学业质量标准检测(含解析)新人教A版必修1.doc
第三章 函数的应用学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的，x ，f (x )对应值表如下：A ．区间(1,2)和(2,3)B ．区间(2,3)和(3,4)C ．区间(2,3)和(3,4)和(4,5)D ．区间(3,4)和(4,5)和(5,6)[解析] 由图表可知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故选C ．2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( C )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天[解析] 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 天的函数关系式为y ＝2x，当x ＝20时，长满池塘水面，∴生长19天时，布满水面面积的一半，故选C ．3．(2019·山东济宁高一期末测试)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点，所在的大致区间是( C )A ．(e,3)B ．(2，e)C ．(1,2)D ．(0,1)[解析] f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，∴f (1)·f (2)<0，故选C ．4．某人2016年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2019年7月1日可取款( D )A ．a (1＋x )2元 B ．a (1＋x )4元 C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元[解析] 由题意知，2017年7月1日可取款a (1＋x )元， 2018年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元， 2019年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是选项中的( B)[解析] 由图知，y 随时间t 的变化，先慢后快，再匀速变化．故选B ．6．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4) B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －22－45－m >0－m －22>2f 2＝4＋2m －2＋5－m >0，解得－5<m <－4.7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 008个，则f (x )的零点的个数为( D )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1 008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1 008个，又f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.即0也是它的零点，故f (x )的零点共有2 017个．8．(2019·山东莒县一中高一期末测试)设函数y ＝2x 3与y ＝(12)x －1＋2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( C )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 令f (x )＝2x 3－(12)x －1－2，函数y ＝2x 3与y ＝(12)x －1＋2的图象的交点为(x 0，y 0)，即函数f (x )的零点为x 0，又f (1)＝2－(12)0－2＝－1<0，f (2)＝2×8－(12)1－2＝16－12－2＝272>0， ∴f (1)·f (2)<0，故选C ．9．某种电热水器的水箱盛满水是200 L ，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65 L ，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( B )A ．3人B ．4人C ．5人D ．6人[解析] 设电热水器内水量为y L ，由题意得，y ＝2t 2－34t ＋200＝2(t －172)2＋1112，∴当t ＝8.5时，电热水器内水量y 达到最小值，最小值为1112，此时放水停止．本次总共实际放水量为8.5×34＝289(L)， 又28965＝42965， ∴一次最多可供4人洗浴，故选B ．10．若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设f (x )＝ln x ＋x －4，f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．11．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q2B ．1＋p1＋q －12 C ．pqD ．1＋p1＋q －1[解析] 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x＝1＋p 1＋q －1.12．已知三个函数f(x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( B )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b[解析] 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )的零点a ∈(－1,0)； 因为g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2； 因为h (12)＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，所以h (x )的零点c ∈(12，1)．因此a ＜c ＜b .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为__y ＝f x＝⎩⎪⎨⎪⎧115x 0≤x ≤30230<x <40110x －240≤x ≤60__.[解析] 当0≤x ≤30时，设f (x )＝kx ，将点(30,2)代入得k ＝115，∴f (x )＝115x .当30<x <40时，f (x )＝2.当40≤x ≤60时，设f (x )＝mx ＋b ，将点(40,2)和点(60,4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋b ＝260m ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝110b ＝－2，即f (x)＝110x －2.综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x 0≤x ≤30230<x <40110x －240≤x ≤60.14．若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是__m <－18__.[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ＝1＋8m <0，解得m <－18.15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.[解析] 由0.42n <0.01，得2n >0.40.01＝40，故n 的最小值为6.16．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是__①⑤__.①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2x ≥1x 2－2xx <1，求函数g (x )＝f (x )－14的零点．[解析] 求函数g (x )＝f (x )－14的零点，即求方程f (x )－14＝0的根．当x ≥1时，由2x －2－14＝0得x ＝98；当x <1时，由x 2－2x －14＝0得x ＝2＋52或x ＝2－52，∵x <1，∴x ＝2－52.∴函数g (x )＝f (x )－14的零点是98或2－52.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以－3与2是一元二次方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－ba ＝－1－a －ab a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝5.故f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18，其图象的对称轴为x ＝－12，开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，则f (x )的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.所以函数f (x )的值域为[12,18]．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－xx ≤11－log 2x x >1.(1)求函数f (x )的零点；(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围． [解析] (1)当x ≤1时，函数无零点． 当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2，∴函数的零点为x ＝2. (2)当x ≤1时，21－x≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1.当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥12.又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.20．(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24 h 内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t h 后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6 h 时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8 h 供水紧张． 21．(本小题满分12分)关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？ [解析] 设f (x )＝x 2－2x ＋a ，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)＜0，得1－2＋a ＜0，所以a ＜1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧f －1＞0f1＜0f2＜0f3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＞01－2＋a ＜04－4＋a ＜09－6＋a ＞0，解得－3＜a ＜0.(3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0－－22＞0f 0＞0，解得0＜a ≤1.22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12.解得x ＝1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即(12)m 10＝(12)12， m10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。
2019秋高中数学 第三章 函数的应用 单元评估验收(三)(含解析)新人教A版必修1.doc
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．函数f (x )＝1－log 3x 的零点是( ) A ．(1，1) B ．1 C ．(3，0)D ．3解析：令1－log 3x ＝0，得x ＝3，所以零点为3. 答案：D2．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：因为f (1)＝e 1－11＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2<0， 所以f (1)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，由零点的存在性定理可知函数f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3B.127C ．27D.13解析：因为幂函数y ＝x α的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)α＝－18，所以α＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13.答案：D4．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x/km0<x≤500500<x≤1 0001 000<x≤1 500…邮资y/元 5.00 6.007.00…( )A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元解析：由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．答案：C5．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则( )A．x1＜2，2＜x2＜5 B．x1＞2且x2＞5C．x1＜2，x2＞5 D．2＜x1＜5，x2＞5解析：f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)·(x－5)的图象向下平移1个单位长度，可等价为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位长度，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象．由图易得x1＜2，x2＞5.答案：C6．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，时刻t与水面高度y的函数关系如图所示，图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的( )解析：由题中函数图象知，水面高度y上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B.答案：B7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的近似解(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753≈0.421 88，0.6253≈0.244 14)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.825解析：令f (x )＝2x 3＋3x －3，则f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，所以方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，因为0.75－0.625＝0.125<0.25，所以区间(0.625，0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似解．答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：如图，画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，由图知y ＝ln x 与y ＝1x －1(x ＞0，且x ≠1)的图象有两个交点．故函数f (x )＝ln x －1x －1的零点有2个．答案：C10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设a是函数f(x)＝|x2－4|－ln x在定义域内的最小零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )A．f(x0)>0 B．f(x0)<0C．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定解析：由题意可知，函数f(x)＝|x2－4|－ln x的零点即为函数y＝|x2－4|与y＝ln x 图像的交点，在同一个坐标系中作出它们的图像，如图所示．由图可知，当0<x0<a时，函数y＝|x2－4|的图像要高于函数y＝ln x的图象，故有|x20－4|>ln x0，即f(x0)>0.答案：A12．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]＝1，[－1.3]＝－2.记函数f(x)＝x－[x]，若方程1－f(x)＝log a x有且仅有3个实数根，则正实数a的取值范围为( ) A．(3，4] B．[3，4)C．[2，3) D．(2，3]解析：由题意得：方程1－f(x)＝1＋[x]－x，所以方程1－f(x)＝log a x有且仅有3个实数根，即1＋[x]－x＝log a x有且仅有3个实数根，即函数y＝1＋[x]－x和函数y＝log a x 的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数y＝1＋[x]－x 和函数y＝log a x的图象有三个不同的交点．则log a3≤1，且log a4>1，解得3≤a<4.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f(x)＝x2＋ax－1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．解析：根据该二次函数的图象可知，实数a 的取值满足f (1)<0，即12＋a －1<0，得a <0. 答案：(－∞，0)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x，x <2，log 3（x ＋1），x ≥2，若关于x 的方程f (x )＝m 有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x，x <2，log 3（x ＋1），x ≥2的图象，关于x 的方程f (x )＝m 有两个不同的实根等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x，x <2，log 3（x ＋1），x ≥2与y ＝m 有两个不同的公共点，由图象可知当m∈(1，＋∞)时，满足题意．答案：(1，＋∞)15．一种产品的产量原来为a ，在今后m 年内，计划使产量每年比上一年增加p %，则产量y 随年数x 变化的函数解析式为________；定义域为________．解析：该函数是指数函数，解析式为y ＝a (1＋p %)x， 定义域为{x |0≤x ≤m ，x ∈N}．答案：y ＝a (1＋p %)x{x |0≤x ≤m ，x ∈N}16．给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0，1)，则下列函数：①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝1－x ；③f 3(x )＝x 12中，在D 上封闭的是________(填函数的序号)．解析：因为f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0∉(0，1)，所以f 1(x )在D 上不封闭．因为f 2(x )＝1－x 在(0，1)上是减函数，所以0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，所以f 2(x )在D 上封闭．因为f 3(x )＝x 12在区间(0，1)上是增函数，所以0＝f 3(0)<f 3(x )<f 3(1)＝1，所以f 3(x )在D 上封闭．答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式； (2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数关系式， 得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知一次函数f (x )满足：f (1)＝2，f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)判断函数g (x )＝－1＋lg f 2(x )在区间[0，9]上零点的个数． 解析：(1)设f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R)． (2)因为g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg(x ＋1)2在区间[0，9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg 102＝1>0，所以函数g (x )在区间[0，9]上零点的个数为1个． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0.(1)请在直角坐标系中画出函数f (x )的图象，并写出该函数的单调区间； (2)若函数g (x )＝f (x )－m 恰有三个不同零点，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12（x －1）2＋12，x >0的图象如图所示：由图象得，函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，单调增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)． (2)作出直线y ＝m ，函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点等价于函数y ＝m 与函数f (x )的图象恰有三个不同公共点．由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12（x －1）2＋12，x >0的图象易知m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m .(1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高？解：(1)若对卷Ⅱ投入x 分钟，则对卷Ⅰ投入(120－x )分钟，所以y ＝P ＋Q ＝15(120－x )＋36＋65＋23x ＝－15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]．(2)令t ＝x ∈[25，10]， 则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140.所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0， 所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根． (2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0， 因为f (－1)·f (0)<0，f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e－kt(P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间(精确到1 h ，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)．解：(1)由已知得，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90% P 0. 于是有90%P 0＝P 0e－5k,解得k ＝－15ln 0.9(或k ≈0.022)．(2)由(1)，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15ln 0.9t ，当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15ln 0.9t ， 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×（－0.11）＝4.600.11≈42.故污染物减少到40%至少需要42小时．。
2020年高中数学第三章函数的应用阶段质量测试卷(三)新人教A版必修1
阶段质量测试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝lg|x |的零点是( ) A ．(1,0) B ．(1,0)和(－1,0) C ．1D ．1和－1解析：选D 由f (x )＝0，得lg|x |＝0，所以|x |＝1，x ＝±1.故选D ．2．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于0解析：选C 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故选C ． 3．函数f (x )＝x 2＋x ＋b 的零点个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．以上均有可能解析：选D 因为Δ＝1－4b 的符号不定，可正、可负、可为零，故D 正确． 4．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 因为f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．故选B ．5．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：选C 把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C 中图象与x 轴无交点．故选C ．6．以半径为R 的半圆上任意一点P 为顶点，直径AB 为底边的△PAB 的面积S 与高PD ＝x 的函数关系式是( )A ．S ＝RxB ．S ＝2Rx (x >0)C ．S ＝Rx (0<x ≤R )D ．S ＝πR 2解析：选C S △PAB ＝12·AB ·PD ＝Rx ，又0<PD ≤R ，∴S ＝Rx (0<x ≤R )．故选C ．7．设函数f (x )＝ln x －12x 2＋1(x >0)，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C ．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点解析：选A f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e －12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＋1<0，f (1)＝ln 1－12＋1>0，f (2)＝ln 2－2＋1<0，故选A ．8．若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 解析：选C 由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，故选C ．9．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )A ．[5,6)B ．(5,6]C ．[6,7)D ．(6,7]解析：选B 若按x 千米(x ∈Z )计价，则6＋(x －2)×3＋2×3＝24，得x ＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．故选B ．10．(2019·哈尔滨高一检测)在物价飞速上涨的今天，某商品2018年零售价比2017年上涨25%，欲控制2019年比2017年只上涨10%，则2019年应比2018年降价 ( )A ．15%B ．12%C ．10%D ．8%解析：选B 设2019年应比2018年降价x %，则(1＋25%)(1－x %)＝1＋10%，解得x ＝12.故选B ．11．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x>x 12>lg xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x>lg x D ．lg x >x 12>2x解析：选A 结合y ＝2x，y ＝x 12及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0,1)时，2x >x 12>lg x ．故选A ．12．(2019·唐山高一检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝________.解析：a ＝0时，f (x )只有一个零点－1，a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.答案：0或－1414．若f (x )为R 上的奇函数，且1是该函数的一个零点，则f (0)＋f (－1)＝________. 解析：由题意可知f (0)＝f (1)＝0.又f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (0)＋f (－1)＝0. 答案：015．2018年年底某市人口数达到54.8万，若人口的年平均增长率为x %，设2039年年底人口数为y (万)，那么y 与x 的函数解析式为________．解析：由题意，2019年年底人口数为54.8(1＋x %)，2020年年底人口数为54.8(1＋x %)2，…，故2039年年底人口数为54.8(1＋x %)21.答案：y ＝54.8(1＋x %)2116．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.解析：∵2<a <3<b <4，∴f (2)＝log a 2＋2－b <1＋2－b ＝3－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b >1＋3－b ＝4－b >0， 即f (2)·f (3)<0，易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(2,3)，∴n ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3,2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域为[0,1]时，求其值域． 解：(1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝0，f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧9a －3(b －8)－a －ab ＝0，4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，解得a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知，f (x )＝－3x 2－3x ＋18的对称轴x ＝－12，函数开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，f (x )的最大值f (0)＝18，最小值f (1)＝12，所以值域为[12,18]．18．(本小题满分12分)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比－1大．解：(1)f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m <－1，∴m 的取值范围为(－5，－1)．19．(本小题满分12分)沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式：(1)买一个水杯赠送一个钥匙扣； (2)按购买两种商品的总费用90%付款．若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x 个(不低于4个)，试按两种不同优惠方式写出实付款y 元关于x 的函数关系式，并讨论选择哪种购买优惠方式更划算？解：优惠办法(1)：y 1＝80＋5(x －4)＝60＋5x ，x ≥4，且x ∈N ， 优惠办法(2)：y 2＝(80＋5x )·90%＝72＋4.5x ，x ≥4且x ∈N ， 当y 1－y 2＝0.5x －12＝0时，解得x ＝24.故当4≤x <24时用第一种方案，x ＝24时两方案一样，x >24时，采用第二种方案． 20．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．解：∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. ∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增， ∴当log 14x ≤0，即x ≥1时，若f (log 14x )≥0，则log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x >0时，12≤x <1.综上所述，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.21．(本小题满分12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a m 3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c 元；若用水量超过a m 3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每1 m 3付b 元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一个家庭某年第一季度的用水量和支付费用如下表：解：设每月用水量为x m 3，支付水费为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋c ，0<x ≤a ， ①8＋b (x －a )＋c ，x >a . ②由题意知0<c ≤5，∴8＋c ≤13.故用水量15 m 3,22 m 3均大于最低限量a m 3.将x ＝15，y ＝19和x ＝22，y ＝33分别代入②中，得⎩⎪⎨⎪⎧19＝8＋b (15－a )＋c ，33＝8＋b (22－a )＋c ， 解得b ＝2.∴2a ＝c ＋19.③不妨设1月份用水量也超过最低限量，即9>a .这时，将x ＝9代入②中得9＝8＋2×(9－a )＋c ，解得2a ＝c ＋17，与③矛盾， ∴9≤a ，则有8＋c ＝9，∴c ＝1，a ＝10.22．(本小题满分12分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s (单位：km)与离家的时间t (单位：h)的函数关系式为s (t )＝－5t (t －13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s (单位：km)与离家时间t (单位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－5t (t －13)， ∴s (3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点150 km ，小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)． ∴当3<t ≤8时，s (t )＝150， 小张从景点回家所花时间为15060＝2.5(h)， 故s (10.5)＝2×150＝300. ∴当8<t ≤10.5时，s (t )＝150＋60(t －8)＝60t －330.综上所述，这天小张的车所走的路程 s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5t (t －13)，0≤t ≤3，150，3<t ≤8，60t －330，8<t ≤10.5.(2)当0≤t ≤3时，令－5t (t －13)＝60得t 2－13t ＋12＝0， 解得t ＝1或t ＝12(舍去)， 当8<t ≤10.5时，令60t －330＝2×150－60＝240， 解得t ＝192.∴小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．。
高中数学 第三章 函数的应用阶段质量评估 新人教A版必
阶段质量评估(三) 函数的应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析：由二分法的定义易知． 答案：A2．已知f (x )是偶函数，且方程f (x )＝0有四个实根，则这四个实根之和为( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：因为f (x )为偶函数，故其实数根成对出现，且两两之和为0. 答案：D3．已知f (x )＝3ax ＋1－2a ，设在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <15B ．a >15C ．a >15或a <－1D ．a <－1解析：∵f (x )是x 的一次函数， ∴f (－1)·f (1)<0⇒a >15或a <－1.答案：C4．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C项中图象与x轴无交点．答案：C5．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则蜡烛燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：本题结合函数图象考查一次函数模型．由题意得h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.答案：B6．已知x0是函数f(x)＝e x＋2x－4的一个零点，若x1∈(－1，x0)，x2∈(x0,2)，则下列选项正确的是( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：本题考查函数的单调性以及零点的概念，零点存在性定理的应用．∵f(0)＝e0＋2×0－4＝－3<0，f(1)＝e1＋2×1－4＝e－2>0，∴f(0)f(1)<0，又易知f(x)＝e x＋2x－4在R上是增函数，所以x0∈(0,1)，根据f(x)的单调性，得f(x1)<f(x0)＝0，f(x2)>f(x0)＝0，故选B.答案：B7．已知函数f(x)＝a x－3(a>0，且a≠1)，f(x0)＝0，若x0∈(0,1)，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)解析：本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由f(x0)＝0，得ax0－3＝0，∴x0＝log a3，又x0∈(0,1)，∴0<log a3<1，解得a>3，故选D.答案：D8．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为( )A ．2 000 m 2B ．2 500 m 2C ．2 800 m 2D ．3 000 m 2解析：本题考查结合几何图形建立函数模型的能力．如图所示设矩形的一边长为x m ，则矩形的另一边长为(200－4x )m ，记矩形面积为S ，则S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500(0<x <50)，∴当x ＝25时，S 取得最大值，S max ＝2 500 m 2，故选B.答案：B9．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：本题考查指数函数模型，根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好，故选A.答案：A10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤03，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及求法．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤03，x >0，当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点个数为3，故选C.答案：C11.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )解析：本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质．由f (x )的图象知，f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a ，b 满足0<a <1，b <－1，所以g (x )＝a x＋b 的图象是A.答案：A12．如图1，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B ―→C ―→D ―→A 的顺序运动，得到以点P 运动的路程x 为自变量，△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象，如图2，则梯形ABCD 的面积是( )A ．96B ．104C ．108D ．112解析：本题考查应用函数图象求解的能力．从图2可看出，BC ＝8，CD ＝10，DA ＝10，在图1中，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，可推得AE ＝6，AB ＝16，所以梯形的面积为12(DC＋AB )×BC ＝12(10＋16)×8＝104，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝1－x21＋x 的零点是______．解析：由f (x )＝0，即1－x21＋x ＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为x ＝1. 答案：x ＝114．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______ 小时才能开车．(精确到1小时)解析：设至少经过x 小时才能开车，由题意得 0．3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：515．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．解析：设一个正三角形的边长为x ， 则另一个正三角形的边长为12－3x3＝4－x ， 两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2 ＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)． 当x ＝2时，S min ＝23(cm 2)． 答案：2 3 cm 216．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为______．解析：本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＝c ，∴x ＝－a2±c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ①－a2＋c ＝m ＋6 ②.由②－①得2c ＝6，∴c ＝9. 答案：9三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－3x －10的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，设A ＝{x |x ≤x 1，或x ≥x 2}，B ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，且A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}．(2分)要使A ∩B ＝∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2≤2m －1， (5分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m >－3，或m ≤－3， (8分)即－12≤m ≤1，或m ≤－3.(10分)所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－12≤m ≤1或m ≤－3.(12分)18．(本小题满分12分)如图直角梯形ABCD 的两底边分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解：①当点N 在BC 上时y ＝(2a －x )·a (a <x ≤2a )；(4分)②当点N 在AB 上时y ＝3a 22－12x 2(0<x ≤a )．(8分)综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12x 20<x ≤a2a 2－axa <x ≤2a .(12分)19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)． (2分)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0， ② (4分)①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3.∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (6分)(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，(8分) 图象的对称轴方程是x ＝－12.(9分)又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18.(11分) ∴函数f (x )的值域是[12,18]．(12分)20．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm ，继续排气4分钟，又测得浓渡为32 ppm ，经检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)存在函数关系：y ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mt(c ，m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解：(1)由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m(2分)解之得c ＝128，m ＝14.(5分)所以y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t.(6分)(2)由题意可得不等式y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t≤0.5，(8分)即⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32.(11分)所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a >0)．(1)设函数g (x )＝(3x ＋1)f (x )，若y ＝g (x )与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x －2x 2＋12x ≤12fxxx >12，若函数M (x )＝h (x )－a 2有三个不同的零点，求a 的取值范围．解：(1)因为g (x )＝(3x ＋1)(x 2＋ax ＋1)与x 轴恰有两个不同的交点． 所以①方程x 2＋ax ＋1＝0有两个相等的实根，且不为－13，则a ＝±2，又a >0，故a ＝2.(2分)②方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根，且其中一个根为－13，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝0Δ＝a 2－4>0，解得a ＝103.综上，a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，103.(5分)(2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x －2x 2＋12＝2ax ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤12，f x x ＝x ＋1x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12，若M (x )＝h (x )－a 2有三个不同的零点，即直线y ＝a 2与曲线y ＝h (x )有三个不同的交点． 又2ax ＋52单调递增且最大值为a ＋52，同时x ＋1x ＋a ≥2＋a ，结合y ＝h (x )的图象，得2＋a <a 2<a ＋52，(9分)解得2<a <1＋112，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫2，1＋112.(12分)22．(本小题满分14分)辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如表：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190(1)y 与上市时间x 的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x ；(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格； (3)设你选取的函数为f (x )，若对任意实数k ，方程f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点，求m 的取值范围．解：(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减少后增加，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 最合适．(3分)(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a ×42＋4b ＋c ＝90a ×102＋10b ＋c ＝51，a ×362＋36b ＋c ＝90解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－10c ＝126， (6分)∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元． (8分) (3)由(2)知f (x )＝14x 2－10x ＋126，又∵f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点，则14x 2－(k ＋10)x ＋6－2m ＝0恒有两个相异的实根，∴Δ＝[－(k ＋10)]2－4×14(6－2m )>0恒成立，即2m >－(k ＋10)2＋6对k ∈R 恒成立，而－(k ＋10)2＋6≤6， ∴只需2m >6，即m >3. 故m 的取值范围为(3，＋∞)．(14分)。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元质量测评(二)(含解析)新人教A版必修1
第三章 单元质量测评(二)对应学生用书P103 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x 2－2x的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 D解析 画出y ＝x 2与y ＝2x的图象，不难知道函数在(－∞，0)上有一个零点，另外x ＝2，x ＝4也是函数的零点，故函数f (x )零点的个数是3.2．函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的大致区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0.∵f (x )是连续的，∴零点所在的大致区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，选C. 3．函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[1，＋∞) D．(0,1] 答案 D解析 解法一：函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点等价于函数y ＝2－|x |与y ＝m 的图象有交点，在同一坐标系中作出函数y ＝2－|x |，y ＝m 的图象，易知m ∈(0,1]．解法二：函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，即关于x 的方程2－|x |＝m 有解，所以m的取值范围是函数y ＝2－|x |的值域，所以m ∈(0,1]，故选D.4．一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的( )答案 B解析 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h 的减少，先减少的慢，后减少的快，又减少的慢．5．设x 0是函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 的零点，若0<a <x 0，则f (a )( )A ．等于0B ．小于0C ．大于0D ．不确定 答案 C解析 ∵x 0是函数f (x )的零点，∴f (x 0)＝0.又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，且0<a <x 0，∴f (a )>f (x 0)＝0，故选C.6．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 答案 A解析 在同一坐标系中画出y ＝2x和y ＝－x 的图象，可得a <0，用同样的方法可得b >0，c ＝0，所以b >c >a ，故选A.7．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间[0,1]内有零点B ．函数f (x )在区间[0,1]或[1,2]内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16]内无零点D ．函数f (x )在区间[1,16]内无零点 答案 C解析 由题意得，函数零点在[0,2]内，故在[2,16]内无零点． 8．方程12x 2－lg x ＝2的实数根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 分别画出y ＝12x 2－2与y ＝lg x 的图象，有2个交点．故选C.9．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k >1C ．0≤k <1D ．k >1或k ＝0答案 D解析 令y 1＝|x 2－6x ＋8|，y 2＝k ，由题意函数f (x )只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象(如图)，可得选D.10．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．a <12C.12<a <1 D ．a <12或a >1 答案 C解析 只需f (0)f (1)<0即可，即解得12<a <1，∴选C.11．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如表所示：则下列说法中正确的是( )①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 D解析 买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100(元)，3100>2.8100，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，2.3>2.1，所以卖1大包比卖3小包盈利多．因此②④正确，故选D.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 依题意x ＝－2是y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴， ∴b ＝4.∵f (－2)＝－2，∴c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，令f (x )＝x ，解得x ＝－1，－2,2，∴方程f (x )＝x 的解的个数为3个．选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为________元．答案 2400解析 依题意可得8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2400(元)．14．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为________．答案 6解析 由0.42n <0.01，得2n >0.40.01＝40，故n 的最小值为6.15．已知a ∈⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＝0 }，则f (x )＝ax 2－2x －3的增区间为________．答案 (－∞，1)(或(－∞，1])解析 令函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ，因为g (0)＝1，g (1)＝－12，由函数零点存在性定理知0＜a ＜1，所以函数y ＝a x为减函数，又由函数y ＝x 2－2x －3的单调递减区间为(－∞，1)，故所求函数f (x )的增区间为(－∞，1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 如图为已知函数的图象，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，等价于直线y ＝m 和y ＝f (x )的图象有三个交点，数形结合可知m 的取值范围是(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解 (1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，② ①－②得b ＝a ＋8，③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0， ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5， ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18；(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. ∴所求函数f (x )的值域是[12,18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的取值范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝3，∴c ＝3， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)，f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3；(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，114＋m <0，解得－3<m <－114，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－114. 19．(本小题满分12分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．(1)写出飞机票的价格y (单位：元)关于人数x (单位：人)的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10x －30，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1200－10x ，30<x ≤75；(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0<x ≤30，x1200－10x －15000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0<x ≤30，－10x －602＋21000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15000在区间(0,30]上为增函数， 所以当x ＝30时，S 取最大值12000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，S 取得最大值21000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．20．(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n ＋1) 元时，比礼品价格为n (n ∈N *)时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m 件．(1)写出礼品价格为n 元时，利润y n (元)与n (元)的函数关系式； (2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．解 (1)当礼品价格为n 元时，销售量为m (1＋10%)n件，故利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝(20－n )·m ·1.1n(0＜n ＜20，n ∈N *)；(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )·m ·1.1n ＋1－(20－n )·m ·1.1n≥0，解得n ≤9.所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9＝y 10. 令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )·m ·1.1n ＋1－(18－n )·m ·1.1n ＋2≥0，解得n ≥8.所以y 9＝y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.(1)求f (x )的解析式；(2)若M ＝{m |函数g (x )＝|f (x )|－m (m ∈R )有两个零点}，求集合M . 解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12，x <0，0，x ＝0，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，x >0；(2)画出函数y ＝|f (x )|的图象如下图：由图可得m ≥1，∴M ＝{m |m ≥1}．22．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量来服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解 (1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，将点(3,1)代入得a ＝3，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1；(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝41516(小时)．。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元质量测评(一)(含解析)新人教A版
第三章 单元质量测评(一)对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x答案 C解析 由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．2．函数f (x )＝x 3－4x 的零点为( ) A ．(0,0)，(2,0)B ．(－2,0)，(0,0)，(2,0)C ．－2,0,2D ．0,2 答案 C解析 由f (x )＝0，得x (x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝0或x ＝±2，故选C. 3．方程ln x ＋x －4＝0的实根所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 设函数f (x )＝ln x ＋x －4(x >0)，故f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．因为f (2)×f (3)＝(ln 2－2)×(ln 3－1)<0，故函数f (x )在区间(2,3)上有零点，即方程ln x ＋x－4＝0在区间(2,3)上有实根，故选B.4．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图象：可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．5．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )答案 C解析 观察选项A 中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D 中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程．6．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )答案 B解析 B 为同号零点，故不可以用二分法求解．答案为B.7．设f (x )＝2x＋2x －5的零点为x 1，g (x )＝2log 2(x －1)＋2x －5的零点为x 2，则x 1＋x 2＝( )A.52 B ．3 C.72 D ．4 答案 C解析 由题意得2x 1＋2x 1－5＝0,2log 2(x 2－1)＋2x 2－5＝0，∴2x 1－1＝52－x 1,252－x 2＝x 2－1，令t ＝72－x 2，则有2t －1＝52－t .∵方程2x －1＝52－x 有且只有一个零点，∴t ＝x 1，即72－x 2＝x 1，∴x 1＋x 2＝72，故选C.8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S (元)关于x (件)的函数是( )A ．S ＝800＋x 8B ．S ＝800x ＋x8C ．S ＝800x ＋x 8D ．S ＝800x ＋x答案 C解析 由题意知每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8，故选C.9．在下列区间中，函数f (x )＝3x－x －3的一个零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 因为f (1)＝31－1－3<0，f (2)＝32－2－3>0，故f (1)f (2)<0，所以在(1,2)内有一个零点，选C.10．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列区间的( ) A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0) 答案 C解析 构造f (x )＝2x－x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．11．若关于x 的方程x 2－x －(m ＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤1 B．m ≥－54C ．m <1D ．－54≤m ≤1答案 D解析 依题意m ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54，当x ＝12时，m 最小值为－54；当x ＝－1时，m最大值为1.所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.选D.12．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.＋p＋q －12 C.pq D.＋p＋q －1答案 D解析 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝＋p＋q －1.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －2)的零点是________． 答案 1或3解析 f (x －2)＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1或x ＝3.14．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t 变化的6组数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________.答案 6 320·2－t6(t ≥0)解析 从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为A 0＝320，则经过时间t的剩余质量为A (t )＝A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12tT 12＝320·2－t 6(t ≥0)．15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,0)解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增．由已知得f (0)·f (1)<0，则a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0.16．里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C.F.Richter)和古登保(B.Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度．里氏震级M 的计算公式是M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．日本东北部海域曾发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈，按照里氏震级M 的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍．答案 1000解析 设里氏6级地震最大振幅为A 6，里氏9级地震最大振幅为A 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧9＝lg A 9－lg A 0，6＝lg A 6－lg A 0，解得lg A 9－lg A 6＝3，即lg A 9A 6＝3，所以A 9A 6＝103＝1000.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，求函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点．解 函数f (x )＝ax －b 的一个零点是3. ∴f (3)＝0，即b ＝3a ，g (x )＝3ax 2＋3ax ， 令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1， ∴g (x )的零点是x ＝0或x ＝－1.18．(本小题满分12分)在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解 设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少出租6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元．∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6750∴当x ＝5时，y max ＝6750，这时每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)， ∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1.(1)求函数f (x )的零点；(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围． 解 (1)当x ≤1时，函数无零点．当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2， ∴函数的零点为x ＝2； (2)当x ≤1时，21－x≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1.当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥12.又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.20．(本小题满分12分)载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解 (1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2， 解得k ＝8，所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8lnm ＋xm； (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x . 将y ＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln 479.8479.8－x ，解得x ≈303.3.所以应装载大约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．21．(本小题满分12分)甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如下图(1)所示，该商品日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系如下图(2)所示．(1)写出图(1)表示的销售价格与时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图(2)表示的日销售量与时间的函数关系式Q ＝g (t )，及日销售金额M (元)与时间的函数关系式M ＝h (t )；(2)乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系式为N ＝－2t 2－10t ＋2750，比较4月份每天两商店销售金额的大小．解 (1)设销售价格函数是y ＝kt ＋b ，由图(1)知该函数图象过点(0,15)，(30,30)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，30k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，k ＝12，所以P ＝f (t )＝12t ＋15(0<t ≤30，t ∈N *)．日销售量函数是y ＝at ＋m ，由图(2)知该函数图象过点(0,160)，(30,40)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，30a ＋m ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，a ＝－4.所以Q ＝g (t )＝－4t ＋160(0<t ≤30，t ∈N *)．故M ＝h (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋15(－4t ＋160)＝－2t 2＋20t ＋2400(0<t ≤30，t ∈N *)； (2)由N ＝－2t 2－10t ＋2750(t ∈N *)， 可得M －N ＝30t －350(0<t ≤30，t ∈N *)． 由30t －350<0，知0<t <1123，t ∈N *.即前11天甲商店销售金额比乙商店少，以后甲均比乙多．22．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x ，∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，62－0.02x ，100<x ≤600；(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，22x －0.02x 2，100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2000； 当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6050. 显然6050>2000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一阶段质量检测：第三章 函数的应用 含解析
阶段质量检测(三) 函数的应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：函数没有零点即相应的函数图象与x 轴没有交点，观察图象可知选项A 中图象表示的函数没有零点．答案：A2．函数f (x )＝x ln x 的零点为( ) A ．0或1 B ．1C ．(1,0)D ．(0,0)或(1,0)解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝0得x ＝0或ln x ＝0， 即x ＝0或x ＝1.又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＝1.故选B. 答案：B3．方程0.9x －x ＝0的实数解的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：设f (x )＝0.9x －x ，则f (x )为减函数，值域为R ，故f (x )有1个零点，∴方程0.9x －x ＝0有一个实数解．答案：B4．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2x (x ≤10)B ．y ＝20－2x (x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10) 解析：由题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x . ∵y >0，∴20－2x >0，∴x <10.又∵三角形两边之和大于第三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >y ，y ＝20－2x ，解得x >5， ∴5<x <10，故选D.C．b<c<a D．c<a<b解析：因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.答案：A6．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x 345678f(x)123.5621.45－7.82－11.5753.76126.49则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：根据零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间(4,5)，(6,7)内至少各存在一个零点，故函数f(x)在区间[3,8]内至少有2个零点．答案：A7．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x 兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －(3－x )，则f (0)＝－2，f (1)＝－53，f (2)＝－89，127.故h (x )的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.答案：C10．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 635 6 655y 2 5 29 245 2 189 19 685177149y 3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40则与x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 )A ．y 1，y 2，y 3B ．y 2，y 1，y 3 个．故选B.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．(－∞，－1)解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)<0，f (1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)<0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋1－2a <0，3a ＋1－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋1－2a >0，3a ＋1－2a <0. 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－5a <0，a ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－5a >0，a ＋1<0.解得a >15或a <－1，故选A. 答案：A的图象(如图所示)当x ＝0时，y ＝20＝1， 当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2， 当x ＝1时，y ＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ∈[1，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－∞，1)，求函数g (x )＝f (x )(2.375,2.5) 2.437 5 －0.145 5由表中数据可得x 0∈(2,2.5)，x 0∈(2.25,2.5)，x 0∈(2.375，2.5)，x 0∈(2.437 5,2.5)．因为|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋x －8＝0在区间(2,3)内的近似解可取为2.437 5.19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解析：(1)由题意知 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log (x －9)，x >10.。
2020新人教A版高中数学必修一第三章函数的应用阶段质量检测
阶段质量检测（三）函数的应用（时间90分钟，满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知下列四个函数图彖，其中能用“二分法”求出函数零点的是（X0.20.6 1.0 1. 1 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4• • •y=2x 1. 149 1.516 2.0 2. 639 3. 482 4. 595 6. 0638.010. 556• • •今y—x0. 040. 36 1.0 1.96 3. 24 4. 84 6. 769.011.56• • •那么方程2=y的一个根位于下列区间的（）A. （0.6,1.0）B. （1.4,1.8）C・（1.&2.2） D. （2・6,3・0）3.2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2 万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是（）A. y=0. 2xB. y=^（x J-2x）2rC・ y=—D・ y=0. 24-log16-v4.一俩汽车在某段路程中的行驶速度y与时间e的关系图象如图，则r=2时，汽车已行驶的路程为（）yBA. 100 kmB. 125 kmC. 150 kmD. 225 km5. 在物价飞速上涨的今天，某商品2012年零售价比2011年上涨25%欲控制2013年 比2011年只上涨10%,则2013年应比2012年降价(r )A ・ 15%B ・ 12%C. 10%6. 若函数雎一零点同时在(0,4), (0,2), (1,2), 的是()A ・ f(4) C. Al) D.彳另7.已知函数上=一1441/1 一缶)的图象可表示打字任务的''学习曲线”，其中t(h) 表示达到打字水平M 字/min)所需的学习时间，川表示打字速度(字/min),则按此曲线要达 到90字/min 的水平，所需的学习时间是()A. 144 hB. 90 hC. 60 hD. 40 h8. 某商场宣传在节假日对顾客购物实行一立的优惠，商场规定： ① 如一次购物不超过200元，不予以折扣；② 如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠：③ 如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠. 某人两次去购物，分別付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付 款() A. 608 元 B. 574.1 元 C. 582. 6 元D. 456. 8 元29. 函数f&) =ln(x+1) 一二(00)的零点所在的大致区间是()x A. (0,1) B ・(1,2) C ・(2, e)D ・(3,4)10. 已知函数曲=(分一10妙，若实数X 。
2019_2020学年高中数学阶段质量检测三新人教A版必修3
阶段质量检测（三）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A．随机事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8解析：选C 法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.3．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )A.12B．13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.4．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥解析：选B 因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( ) A.310B ．15 C.25D.45解析：选A 由f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝310.6．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B ．35 C.25D.15解析：选B 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过该项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.7．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.2π－334π－23B ．23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析：选D 设圆半径为R ，因为阴影部分面积为S 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6R 2－34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为S ＝S 1＋34R 2＝π－32R 2， 若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝2π－332π－23.8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10B ．3π20C ．1－3π10D ．1－3π20解析：选D ∵82＋152＝172， ∴该直角三角形斜边长为17.设内切圆半径为r ，则有12(8＋15＋17)×r ＝12×8×15，解得r ＝3，则内切圆的面积为π×32＝9π. ∴豆子落在其内切圆外的概率P ＝60－9π60＝1－3π20.9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4πD.4π－1解析：选 B 要使函数有零点，则Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，a 2＋b 2≥π2，又－π≤a ≤π，－π≤b ≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25 B ．710 C.45D.910解析：选C 设被污损的数字是x ，则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x 乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x )＋99]＝442＋x 5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A ，则此时有90＞442＋x5，解得x ＜8，则事件A 包含x ＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P (A )＝810＝45.11．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数分别为17,19,20,21,25,30.日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任选2名，则至少有1名优秀工人的概率为( )A.815B ．49 C.35D.19解析：选C 由题意可知6名工人日加工的零件个数的样本平均数为16×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的有25,30，所以优秀工人有2名．从该车间6名工人中，任选2名共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．由概率公式可得P ＝915＝35.故选C.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B ．736 C.1336D.1936解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．解析：记“任取一球为白球”为事件A ，“任取一球为黑球”为事件B ，则P (A ＋B )＝P (A)＋P (B)＝1020＋520＝34.答案： 3414．在一棱长为6 cm 的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为________．解析：距离顶点小于1 cm 的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm 的球，其体积为4π3，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为1－π162.答案：1－π16215．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．解析：依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点，故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.答案：[－2， 2 ]16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13.答案：16 13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．解：(1)由题意可得n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13.18．(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元或4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m ＋2≤n 的事件的概率为P 1＝316，故满足n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.20．(12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R”为事件B ， ∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.21．(12分)某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．解：(1)依题意，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b ＝0.2.(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组应分别抽取3060×6＝3(名)，2060×6＝2(名)，1060×6＝1(名)．将第三组的3名学生分别记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生分别记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c 1，则从6名学生中随机抽取2名，有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c 1}，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c 1}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c 1}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共15种不同的取法，其中第三组的3名学生a 1，a 2，a 3没有一名学生被抽取的情况有{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共3种，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率P ＝1－315＝0.8.22．(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1.解得a＝0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人)．(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.005×10＝2(人)，分别记为A，B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.010×10＝4(人)，分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7种．所以所求概率为P(M)＝7 15.。
2019-2020学年人教A版必修三阶段质量检测数学试卷(一)含解析-(高一)
阶段质量检测（一）一、( 本大共（：12 小，每小120 分5 分，共分： 150 分）60 分，在每小出的四个中，只有一是切合目要求的)1．已知函数入自量x 的，出的函数．程序框，需用到的基本构是()A．序构B．条件构C．序构、条件构 D ．序构、循构2．以下句正确的选项是()A．M＝a＋ 1 B ．a＋ 1＝MC．M－1＝a D ．M－a＝ 13．若十制数26 等于k制数 32，k等于 ()A．4 B．5 C．6 D．84．用“ 相除法”求得360 和 504 的最大公数是()A．72 B ．36 C ．24 D ．2 5205．程序框 ( 如所示 ) 能判断随意入的数x 的奇偶性，此中判断框内的条件是()A．m＝0? B．x＝0?C．x＝1? D．m＝1?6．如是求x1， x2，⋯， x10的乘S的程序框，中空白框中填入的内容()A．S＝S *(n＋1)B． S＝S*x n＋1C．S＝S *n D． S＝ S*x n7．已知一个k 进制的数132 与十进制的数30 相等，那么k 等于()A．7或4 B．－7C． 4D．以上都不对8．用秦九韶算法求多项式： f ( x)＝12＋35 x －8 x 2＋79 x 3＋6 x 4＋5 x 5＋3 x 6在 x＝－4的值时， v4的值为()A．－ 57 B ． 220 C ．－ 845 D ．3 3929．关于以下算法：假如在运转时，输入2，那么输出的结果是()A．2,5 B ．2,4 C ．2,3 D ．2,910．以下程序的功能是()S＝ 1i ＝ 1WHILE S＜＝ 10 000i ＝ i ＋ 2S＝ S*iWENDPRINT iENDA．求1×2×3×4×⋯× 10 000的B．求2×4×6×8×⋯× 10 000的C．求3×5×7×9×⋯× 10 001的D．求足1×3×5×⋯× n＞10 000的最小正整数n11．(2015 ·新全国卷Ⅱ ) 下程序框的算法思路源于我国古代数学名著《九章算》中的“更相减”．行程序框，若入的a， b 分14,18，出的a＝()A．0 B．2 C．4 D．1412．假如行如所示的程序框，入正整数N( N≥2)和数 a1，a2，⋯， a N，出 A， B，()A．A＋B a1， a2，⋯， a N的和A＋BB.2a1， a2，⋯， a N的算均匀数C．A和B分是a，a，⋯，a中最大的数和最小的数12ND．A和B分是a1，a2，⋯，a中最小的数和最大的数N二、填空 ( 本大共 4 小，每小 5分，共 20 分)13．用更相减求三个数168,54,264的最大公数 ________．14．将 258 化成四制数是 ________．15．如所示的程序框，运用相的程序，若入的 2，出的果i ＝ ________.m16．下边程序行后出的果是________ ，若要求画出的程序框，的程序框有________________ ．T＝ 1S＝ 0WHILE S<＝ 50S＝S＋1T＝T＋1WENDPRINT TEND三、解答 ( 本大共 6 小，共70 分．解答写出文字明，明程或演算步)17． (10分 ) 画出函数的程序框．18． (12分 ) 用“更相减”求(1) 中两数的最大公数；用“ 相除法”求(2) 中两数的最大公数．(1)72,168；(2)98,280.19． (12分 ) 利用秦九韶算法判断函数 f ( x)＝ x 5＋ x 3＋ x 2－1在[0,2]上能否存在零点．20． (12分 ) 已知某算法的程序框如所示，若将出的( x，y) 挨次 ( x1，y1) ， ( x2，y2) ，⋯，( x n，y n) ，⋯(1) 若程序运转中出的一个数是(9 ，t ) ，求t的．(2)程序束，共出 ( x，y) 的数多少？(3)写出程序框的程序句．21．(12 分) 算法求1111的．要求画出程序框，并用基本句写＋＋＋⋯＋99×1001×2 2×33×4程序．22． (12 分 ) 如甲所示在 4 的正方形ABCD的上有一点P，沿着折BCDA由点B( 起点 ) 向点( 点 ) 运．点P 运的行程x，△的面y，且y与x之的函数关系式用如乙所示的程序A APB框出．甲乙(1)写出程序框中①，②，③ 填补的式子；(2) 若出的面y6，行程x 的多少？并指出此点P 在正方形的什么地点上．答案1.答案： C2.分析： A 依据句的功能知， A 正确．3.分析： D 由意知， 26＝3×k1＋ 2，解得k＝8.4.分析： A 504＝360×1＋ 144,360 ＝144×2＋ 72,144 ＝72×2，故最大公数是72.5.分析： D 程序易知，判断框内填m＝1？， D.6.分析：D由意知，因为求乘，故空白框中填入＝7.分析： C 132( k)＝1×k2＋3×k＋ 2＝k2＋3 k＋ 2＝30，即k＝－ 7 或k＝4. ∵k＞0，∴k＝4.8.分析：B f ( x)＝(((((3x ＋5) x ＋6) x ＋79) x －8) x ＋35) x ＋12，当 x＝－4， v0＝3；∴ v1＝3×(－4)＋5＝－7；v 2 ＝－7×(－4)＋6＝34，v 3 ＝34×(－4)＋79＝－57；v 4 ＝－57×( － 4) － 8＝220.9.分析： A入 a 的 2，第一判断能否大于5，然 2 不大于 5，而后判断 2 与 3 的大小，然2 小于 3，所以果是＝ 5，所以果当出2,5.b10.分析： D法一： S 是累乘量， i是数量，每循一次，S乘以 i 一次且 i 增添2.当 S＞10 000停止循，出的 i 是使1×3×5×⋯× n＞10 000建立的最小正整数 n.法二：最后出的是数量i ，而不是累乘量S.11.分析： B a＝ 14，b＝ 18.第一次循： 14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循： 14≠4且 14>4，a＝ 14－ 4＝ 10；第三次循： 10≠4且 10>4，a＝ 10－ 4＝ 6；第四次循： 6≠4且 6>4，a＝ 6－ 4＝ 2；第五次循： 2≠4且 2<4， b＝ 4－ 2＝ 2；第六次循： a＝ b＝2，跳出循，出a＝2，故 B.12.分析：C因为x＝ a k，且a＞A，将x A，所以最后出的 A 是a1， a2，⋯， a N中最大的数；因为x＝ a k，且x＜B，将x B，所以最后出的 B 是a1， a2，⋯，a N中最小的数，故C.13.分析：化运算，先将 3 个数用284,27,132.由更相减，先求84 与27 的最大公数 .84 － 27＝ 57， 57－ 27＝ 30,30 － 27＝ 3,27 － 3＝ 24,24 － 3＝ 21,21 － 3＝ 18，18－ 3＝ 15,15 － 3＝ 12,12 － 3＝ 9,9－ 3＝6,6－ 3＝3. 故84 与27 的最大公数 3.再求 3 与 132 的最大公数，易知132＝3×44，所以 3 与 132 的最大公数就是 3.故 84,27,132 的最大公数 3； 168,54,264 的最大公数 6.答案： 614.分析：利用除 4 取余法．258＝ 10 002 (4)．答案： 10 002 (4)15.分析：由程序框， i ＝1后： A＝1×2，B＝1×1， A＜ B？否； i ＝2后： A＝2×2， B＝1×2， A＜ B？否； i ＝3后： A＝4×2， B＝2×3， A＜B？否； i ＝4后： A＝8×2， B＝6×4， A＜ B？是，出i ＝4.答案： 416.分析：本当型循句，能够先用特例循几次，察律可得：S＝1， T＝2； S＝2， T＝3；S＝3， T＝4；⋯；依此循下去，S＝49， T＝50； S＝50， T＝51； S＝51， T＝52.止循，出的果52.本使用了出句、句和循句，故用以下的程序框：起止框、理框、判断框、出框．答案： 52 起止框、理框、判断框、出框17.解：程序框如所示．18.解： (1) 用“更相减损术”168－ 72＝ 96，96－ 72＝ 24，72－ 24＝ 48，48－ 24＝ 24.∴72 与 168 的最大条约数是24.(2)用“展转相除法”280＝98×2＋ 84，98＝84×1＋ 14，84＝14×6.∴98 与280 的最大条约数是14.19.解：f(0)＝－ 1<0，下边用秦九韶算法求x＝2时，多项式f(x)＝ x 5＋ x 3＋x 2－1的值．多项式变形为f ( x)＝((((x＋0) x ＋1) x ＋1) x ＋0) x －1，v0＝1，v 1＝1×2＋0＝2，v 2＝2×2＋1＝5，v 3＝5×2＋1＝11，v 4＝11×2＋0＝22，v 5＝22×2－1＝43，所以 f (2)＝43>0，即 f(0) ·f (2)<0，又函数 f ( x)在[0,2]上连续，所以函数 f ( x)＝ x 5＋ x 3＋ x 2－1在[0,2]上存在零点．20.解： (1) 由程序框图知：当 x＝1时， y＝0；当 x＝3， y＝－2；当 x＝9， y＝－4，所以 t ＝－4.(2) 当n＝ 1 ，出一，当n＝3，又出一，⋯，当 n＝2 015，出最后一，共出( x，y) 的数 1 008.(3)程序框的程序句以下：21.解：程序框如．程序以下．S＝ 0k＝ 1DOS＝ S＋ 1/ k*k＋ 1k＝ k＋ 1LOOP UNTIL k＞ 99PRINT SEND2x，0≤x≤4，22.解：(1)由意，得y＝8，4<x≤8，故程序框中①，②，③ 填补的式子分：24－ 2x， 8<x≤12，y＝2x， y＝8， y＝24－2x.(2)若输出的 y 值为6，则2x＝6或24－2x＝6，解得 x＝3或 x＝9.当 x＝3时，此时点 P 在正方形的边BC上，距 C点的距离为1；当x＝ 9 时，此时点P在正方形的边DA上，距 D点的距离为1.。
人教版2020高中数学 第三章 函数的应用章末质量评估 新人教A版必修1
第三章 函数的应用章末质量评估(三)A 基础达标卷(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析：由二分法的定义易知． 答案：A2．已知函数f (x )＝2x －b 的零点为x 0，且x 0∈(－1,1)，那么b 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D ．(－1,0)解析：解方程f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝b2，所以b2∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)．答案：A3．已知函数f (x )＝e x－x 2，则在下列区间上，函数必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：f (－2)＝1e 2－4＜0，f (－1)＝1e －1＜0，f (0)＝e 0＝1＞0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2－4＞0.∵f (－1)·f (0)＜0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点． 答案：B4．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位长度后得y ＝f (x )－1的图象，只有C 图中的图象满足与x 轴无交点．答案：C5．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则蜡烛燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )解析：本题结合函数图象考查一次函数模型．由题意得h ＝20－5t (0≤t ≤4)，故选B. 答案：B6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：由图可知，当速度不超过80千米/小时时，乙车燃油效率低，即每1升汽油行驶的里程小，即油耗大，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 7．函数f (x )＝1－x21＋x的零点是________．解析：由f (x )＝0，即1－x21＋x ＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为x ＝1.答案：x ＝18．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e＝2.718……为自然对数的底数，k 、b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192e 22k ＋b＝48.相除得e 22k ＝14，即e 11k ＝12.∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e22k ＋b·e 11k＝48×12＝24.答案：249．函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数为________．解析：函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数⇔方程x 2－4x ＋5－2ln x ＝0，即方程x 2－4x ＋5＝2ln x 实根的个数⇔函数y ＝x 2－4x ＋5与函数y ＝2ln x 图象交点的个数．作出两函数图象的图象如下：由此可知两函数图象有且只有2个交点，故函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数是2.答案：210．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)上恰有一个零点，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：①f (0)·f (1)＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝0，且其解在(0,1)上，由①得(－1)(2a －2)＜0，∴a ＞1. 由②得1＋8a ＝0，即a ＝－18.∴方程－14x 2－x －1＝0，∴x 2＋4x ＋4＝0，即x ＝－2∉(0,1)，应舍去，综上可得a ＞1. 答案：a ＞1三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分)11．(本小题满分12分)如图直角梯形ABCD 的两底边分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解：①当点N 在BC 上时y ＝(2a －x )·a (a <x ≤2a )；②当点N 在AB 上时y ＝3a 22－12x 2(0<x ≤a )．综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12x 20<x ≤a2a 2－ax a <x ≤2a .12．(本小题满分13分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)． ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，② ①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3.∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋1834，图象的对称轴方程是x ＝－12.又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18. ∴函数f (x )的值域是[12,18]．B 能力提升卷(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a ＜b ＜c ，f (a )·f (b )＞0，f (b )·f (c )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点有( )A ．2个B ．奇数个C ．偶数个D ．至少1个解析：由f (a )·f (b )＞0知，f (x )在区间(a ，b )上的零点个数不确定，由f (b )·f (c )＜0知，f (x )在区间(b ，c )上至少有1个零点，故在区间(a ，c )上至少有1个零点．答案：D2．抽气机每次抽出空气的 60%，要使容器内的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽(已知 lg 2≈0.301)( )A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次解析：由(1－60%)n＜0.1%， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫25n＜11 000， 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n＜－3.解得n ＞－3lg 2－lg 5＝31－2lg 2≈7.5.答案：C3.如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C.答案：C4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋1q ＋1－12C.pq D ．p ＋1q ＋1－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋1q ＋1－1，故选D.答案：D5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤03，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及求法．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤03，x >0，当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点个数为3，故选C.答案：C6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析：设x y ＝2x，y 2＝1x －1，在同一坐标系中作出其图象，如图，在(1，x 0)内，y 2＝1x －1的图象在y 1＝2x图象的上方，即1x 1－1＞2x 1，所以2x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0，同理f (x 2)＞0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_________． 解析：f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象有两个交点(如图), 可知0<b <2.答案：(0,2)8．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______h 才能开车．(精确到1 h)解析：设至少经过x h 才能开车，由题意得0．3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：59．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．解析：设一个正三角形的边长为x ，则另一个正三角形的边长为12－3x3＝4－x ，两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)． 当x ＝2时，S min ＝23(cm 2)． 答案：2 3 cm 210．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为______．解析：本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＝c ，∴x ＝－a2±c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9. 答案：9三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分)11．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4 min 后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm ，继续排气4 min ，又测得浓渡为32 ppm ，经检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (min)存在函数关系：y ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mt(c ，m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解：(1)由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m，解得c ＝128，m ＝14.所以y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t .(2)由题意可得不等式y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤0.5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32.所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 12．(本小题满分13分)抗战七十周年纪念章从2015年9月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如表：(1)价y 与上市时间x 的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x ；(2)利用你选取的函数，求抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格； (3)设你选取的函数为f (x )，若对任意实数k ，方程f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点，求m 的取值范围．解：(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减少后增加，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 最合适．(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a ×42＋4b ＋c ＝90a ×102＋10b ＋c ＝51，a ×362＋36b ＋c ＝90解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－10c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元． (3)由(2)知f (x )＝14x 2－10x ＋126，又∵f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点， 则14x 2－(k ＋10)x ＋6－2m ＝0恒有两个相异的实根， ∴Δ＝[－(k ＋10)]2－4×14(6－2m )>0恒成立，即2m >－(k ＋10)2＋6对k ∈R 恒成立，而－(k ＋10)2＋6≤6， ∴只需2m >6，即m >3. 故m 的取值范围为(3，＋∞)．。
2019-2020学年人教A版必修三单元质量评估试卷(一)含解析-(高一数学)
单元质量评估 ( 一 )(第一章)(120 分钟150 分 )一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每题 5 分, 共 60 分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的)1. 以下赋值语句错误的选项是()2A.i=i-1B.m=m+1C.k=(-1)/kD.x*y=a【分析】选 D.履行 i=i-1后,i2后,m 的值的值比本来小 1, 则 A 正确; 履行 m=m+1等于本来 m 的平方再加 1, 则 B 正确 ; 履行 k= 后,k 的值是本来的负倒数 , 则 C 正确 ; 赋值号的左侧只好是一个变量 , 则 D错误 . 2A. 次序构造B. 条件构造C.循环构造D.以上都用【分析】选 D.次序构造是一定的 , 要选择有解区间 , 需要条件构造 , 要重复进行二平分有解区间 , 需要循环构造 .3. 阅读以下图的程序框图, 运转相应的程序 , 输出的 S 的值等于()A.18B.20C.21D.40【分析】选 B. 程序运转以下 :S=0,n=1;S=0+2 1+1=3,n=2,S<15;S=3+2 2+2=9,n=3,S<15;S=9+23+3=20,知足条件 , 输出 S=20.4.(2016 ·晋江高一检测 ) 三个数 4557,1953,5115 的最大条约数为()A.93B.31C.651D.217【分析】选 A. 因为 4557=1953×2+651,1953=651×3,因此 4557,1953 的最大条约数是651.又 5115=4557×1+558,4557=558×8+93,558=93× 6,因此 4557,5115 的最大条约数为93.因为 651=93×7, 因此三数的最大条约数为93.5. 如图一段程序履行后的结果是()A.6B.4C.8D.10【分析】选 A. 由 a=2, 第二步得 a=2×2=4, 第三步得 a=4+2=6.故输出 a=6.6. 算式 1010(2)+10(2)的值是 ()A.1011(2)B.1100(2)C.1101(2)D.1000(2)【分析】选 B.1010(2) +10(2) =1×23+0×22+1×21+0×20+1×21+0×20=12.因为因此 12=1100(2) , 故 1011(2) +10(2) =1100(2) .7. 用秦九韶算法算多式f(x)=5x 6+4x5+2x4+6x3+6x2+8x+9, 当 x=3.3 的 ,需要做乘法和加法的次数分是()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,5【分析】 A. 由 f(x)=5x 6+4x5+2x4+6x3+6x2+8x+9=(((((5x+4)x+2)x+6)x+6)x+8)x+9.故需做 6 次乘法和 6 次加法运算 .8. 如所示的程序框, 出的 S 等于()A.14B.20C.30D.55【分析】 C.由意知 :S=12+22+⋯+i 2,当 i=5 循程序止 , 故 S=12+22+32+42=30.9. 如程序是用来算()A.3 ×10 的B.1 ×2×3×⋯× 10 的C.39的值D.310的值【分析】选 D.履行程序共循环10 次因此输出的s 【赔偿训练】为 1×假如履行以下图的程序=310., 则输出的数=________.【分析】运转程序语句当t=1,i=2 ≤5 时, 履行语句体 t=1 ×2=2,i=2+1=3 ≤5 建立 ; t=2 ×3=6,i=3+1=4 ≤5 建立 ;t=6 ×4=24,i=4+1=5 ≤5 建立 ,t=24 ×5=120,i=5+1=6 ≤5 不建立结束循环 , 故输出 120.答案 : 12010. 两个整数 490 与 910 的最大条约数是()A.2B.10C.30D.70【分析】选 D.910=490+420,490=420+70,420=70× 6.故 490 与 910 的最大条约数为 70.11.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=2x 6+3x5+5x3+6x2+7x+8 在 x=2 时,v 2的值为 ()A.2B.19C.14D.33【分析】选 C.依据秦九韶算法 , 把多项式改写成以下形式:因为 f(x)=2x 6+3x5+5x3+6x2+7x+8=(((((2x+3)x+0)x+5)x+6)x+7)x+8,因此 v0=a6=2,v1=v0 x+a5=2×2+3=7,v2=v1 x+a4=7×2+0=14.12.(2016 ·北京高考 ) 履行以下图的程序框图, 输出的 s 值为()A.8B.9C.27D.36【分析】选 B.k=0,s=0;s=0+03=0,k=1;s=0+13=1,k=2;s=1+23=9,k=3.输出 9.二、填空题 ( 本大题共 4 个小题 , 每题 5 分, 共 20 分. 把答案填在题中的横线上)13.将二进制数 110101(2)化成十进制数 , 结果为 ________,再将该结果化成七进制数, 结果为 ________.【分析】 110101(2) =1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=32+16+4+1=53.因此 53=104(7) .答案 : 53104(7)14.用更相减损术求 459 和 357 的最大条约数为 ________.【分析】由更相减损术得 :459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51.答案:5115.依据程序INPUT a,b,cIF a2+b2=c2THENPRINT“是直角三角形!”ELSEPRINT“非直角三角形!”END IFEND运转时输入 5,12,13运转结果输出 ________.【分析】这是一个条件构造的算法程序 , 其意思是 : 键盘输入 a,b,c 的值 , 假如a2+b2 =c2, 则输出“是直角三角形 ! ” , 不然输出“非直角三角形 ! ” ; 因为运转时输入 5,12,13, 即是 a=5,b=12,c=13; 明显 52+122=132, 因此运转结果输出是直角三角形!.答案 : 是直角三角形 !16.(2016 ·天津高考 ) 阅读以下图的程序框图, 运转相应的程序 , 则输出 S 的值为________.【分析】第一次 :S=8,n=2,第二次 :S=2,n=3,第三次 :S=4,n=4, 知足 n>3, 输出 S=4.答案:4三、解答题 ( 本大题共 6 个小题 , 共 70 分, 解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 求三个数 168,42,140 的最大条约数 .【分析】先用更相减损术求168 与 140 的最大条约数 .由 168-140=28,140-28=112,112-28=84, 84-28=56,56-28=28.故 168 与 140 的最大条约数为 28.再求 28 与 42 的最大条约数 .42-28=14,28-14=14.故 14 为这三个数的最大条约数.18.(12 分) 已知一个五次多项式为f(x)=5x 5+2x4 +3.5x 3-2.6x 2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5 时的值 .【分析】可依据秦九韶算法的原理, 先将所给的多项式进行改写, 而后由内向外逐次计算即可 .f(x)=5x 5+2x4+3.5x 3-2.6x 2=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,v0=5,v1=5×5+2=27,v2=27×5+3.5=138.5,v3=138.5 ×5-2.6=689.9,v4=689.9 ×5+1.7=3451.2,v5=3451.2 ×5-0.8=17255.2.因此 , 当 x=5 时, 多项式的值等于17255.2.19.(12 分) 在以下图的程序框图中, 当输入实数 x 的值为 4 时, 输出的结果为 2;当输入实数 x 的值为 -2 时, 输出的结果为 4.(1)务实数 a,b 的值 , 并写出函数 f(x) 的分析式 .(2)若输出的结果为 8, 求输入的 x 的值 .【分析】 (1) 当输入实数 x 的值为 4 时, 输出的结果为 2.因此 f(x)=log a4=2,解得:a=2;当输入实数 x 的值为 -2 时, 输出的结果为 4.因此 f(x)=b -2 =4, 解得 :b= ,f(x)=(2) 当 x>0 ,f(x)=log2x=8,解得x=256,当 x≤0,f(x)==8, 解得x=-3,上所述, 入的x 的256 或-3.20.(12分)已知某算法的程序框如所示, 若将出的(x,y)挨次(x 1,y 1),(x 2,y 2), ⋯,(x n,y n).(1)若程序运转中出的一个数是 (9,t), 求 t 的 .(2)程序束 , 共出 (x,y) 的数多少 ?(3)写出程序框的程序句 .【分析】 (1) 由程序框知 : 当 x=1,y=0;当 x=3 ,y=-2; 当 x=9 ,y=-4,因此 t=-4.(2)当 n=1 , 出一 , 当 n=3 , 又出一 , ⋯, 当 n=2020年 , 出最后一 ,共出 (x,y) 的数 1005.(3)程序框的程序句以下 :21.(12 分) 高一 (2) 班共有 54 名同学参加数学比赛 , 现已有这 54 名同学的比赛分数, 请设计一个将比赛成绩优异同学的均匀分输出的程序( 规定 90 分以上为优异 ),并画出程序框图 .【分析】程序以下 :程序框图如图 :22.(12 分) 我国古代数学家张丘建编的《算经》中记有一道风趣的数学识题 : “今有鸡翁一 , 值钱五 ; 鸡母一 , 值钱三 ; 鸡雏三 , 值钱一 . 凡百钱 , 买鸡百只 , 问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何 ?”你能用程序解决这个问题吗 ? 【分析】设鸡翁、鸡母、鸡雏各x,y,z 只, 则由② , 得 z=100-x-y, ③③代入① , 得 5x+3y+=100,即 7x+4y=100. ④求方程④的解 , 可由程序解之 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用阶段质量评估 新人教A版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( ) 解析：由二分法的定义易知． 答案：A2．已知f (x )是偶函数，且方程f (x )＝0有四个实根，则这四个实根之和为( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：因为f (x )为偶函数，故其实数根成对出现，且两两之和为0. 答案：D3．已知f (x )＝3ax ＋1－2a ，设在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <15B ．a >15C ．a >15或a <－1D ．a <－1解析：∵f (x )是x 的一次函数， ∴f (－1)·f (1)<0⇒a >15或a <－1.答案：C4．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位后，只有C 项中图象与x 轴无交点． 答案：C5．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则蜡烛燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )解析：本题结合函数图象考查一次函数模型．由题意得h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.答案：B6．已知x0是函数f(x)＝e x＋2x－4的一个零点，若x1∈(－1，x0)，x2∈(x0,2)，则下列选项正确的是( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：本题考查函数的单调性以及零点的概念，零点存在性定理的应用．∵f(0)＝e0＋2×0－4＝－3<0，f(1)＝e1＋2×1－4＝e－2>0，∴f(0)f(1)<0，又易知f(x)＝e x＋2x－4在R上是增函数，所以x0∈(0,1)，根据f(x)的单调性，得f(x1)<f(x0)＝0，f(x2)>f(x0)＝0，故选B.答案：B7．已知函数f(x)＝a x－3(a>0，且a≠1)，f(x0)＝0，若x0∈(0,1)，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)解析：本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由f(x0)＝0，得ax0－3＝0，∴x0＝log a3，又x0∈(0,1)，∴0<log a3<1，解得a>3，故选D.答案：D8．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为( )A．2 000 m2B．2 500 m2C．2 800 m2D．3 000 m2解析：本题考查结合几何图形建立函数模型的能力．如图所示设矩形的一边长为x m，则矩形的另一边长为(200－4x)m，记矩形面积为S，则S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500(0<x<50)，∴当x＝25时，S取得最大值，S max＝2 500 m2，故选B.答案：B9．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：本题考查指数函数模型，根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好，故选A.答案：A10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤03，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及求法．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤03，x >0，当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点个数为3，故选C.答案：C11.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )解析：本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质．由f (x )的图象知，f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a ，b 满足0<a <1，b <－1，所以g (x )＝a x＋b 的图象是A.答案：A12．如图1，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B ―→C ―→D ―→A 的顺序运动，得到以点P 运动的路程x 为自变量，△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象，如图2，则梯形ABCD 的面积是( )A ．96B ．104C ．108D ．112解析：本题考查应用函数图象求解的能力．从图2可看出，BC ＝8，CD ＝10，DA ＝10，在图1中，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，可推得AE ＝6，AB ＝16，所以梯形的面积为12(DC＋AB )×BC ＝12(10＋16)×8＝104，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝1－x21＋x 的零点是______．解析：由f (x )＝0，即1－x21＋x ＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为x ＝1. 答案：x ＝114．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______ 小时才能开车．(精确到1小时)解析：设至少经过x 小时才能开车，由题意得 0．3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：515．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．解析：设一个正三角形的边长为x ， 则另一个正三角形的边长为12－3x3＝4－x ， 两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2 ＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)． 当x ＝2时，S min ＝23(cm 2)． 答案：2 3 cm 216．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为______．解析：本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＝c ，∴x ＝－a2±c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ①－a2＋c ＝m ＋6 ②.由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案：9三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－3x －10的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，设A ＝{x |x ≤x 1，或x ≥x 2}，B ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，且A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}． (2分)要使A ∩B ＝∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2≤2m －1， (5分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m >－3，或m ≤－3， (8分)即－12≤m ≤1，或m ≤－3.(10分)所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－12≤m ≤1或m ≤－3.(12分)18．(本小题满分12分)如图直角梯形ABCD 的两底边分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解：①当点N 在BC 上时y ＝(2a －x )·a (a <x ≤2a )；(4分)②当点N 在AB 上时y ＝3a 22－12x 2(0<x ≤a )．(8分)综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12x 2x ≤a 2a 2－axa <x ≤2a(12分)19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)． (2分)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0， ② (4分)①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3.∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (6分)(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，(8分) 图象的对称轴方程是x ＝－12.(9分)又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18.(11分) ∴函数f (x )的值域是[12,18]．(12分)20．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm ，继续排气4分钟，又测得浓渡为32 ppm ，经检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)存在函数关系：y ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mt(c ，m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解：(1)由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m(2分)解之得c ＝128，m ＝14.(5分)所以y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t.(6分)(2)由题意可得不等式y ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t≤0.5，(8分)即⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32.(11分)所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a >0)．(1)设函数g (x )＝(3x ＋1)f (x )，若y ＝g (x )与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x －2x 2＋12x ≤12fxxx >12，若函数M (x )＝h (x )－a 2有三个不同的零点，求a 的取值范围．解：(1)因为g (x )＝(3x ＋1)(x 2＋ax ＋1)与x 轴恰有两个不同的交点． 所以①方程x 2＋ax ＋1＝0有两个相等的实根，且不为－13，则a ＝±2，又a >0，故a ＝2.(2分)②方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根，且其中一个根为－13，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝0Δ＝a 2－4>0，解得a ＝103.综上，a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，103.(5分)(2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x －2x 2＋12＝2ax ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤12，f x x ＝x ＋1x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12，若M (x )＝h (x )－a 2有三个不同的零点，即直线y ＝a 2与曲线y ＝h (x )有三个不同的交点． 又2ax ＋52单调递增且最大值为a ＋52，同时x ＋1x ＋a ≥2＋a ，结合y ＝h (x )的图象，得2＋a <a 2<a ＋52，(9分)解得2<a <1＋112，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫2，1＋112.(12分)22．(本小题满分14分)辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x ；(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格； (3)设你选取的函数为f (x )，若对任意实数k ，方程f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点，求m 的取值范围．解：(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减少后增加，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 最合适．(3分)(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a ×42＋4b ＋c ＝90a ×102＋10b ＋c ＝51，a ×362＋36b ＋c ＝90解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－10c ＝126， (6分)∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元． (8分) (3)由(2)知f (x )＝14x 2－10x ＋126，又∵f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的零点，则14x 2－(k ＋10)x ＋6－2m ＝0恒有两个相异的实根，∴Δ＝[－(k ＋10)]2－4×14(6－2m )>0恒成立，即2m >－(k ＋10)2＋6对k ∈R 恒成立，而－(k ＋10)2＋6≤6， ∴只需2m >6，即m >3. 故m 的取值范围为(3，＋∞)．(14分)2019-2020年高中数学第三章分期付款中的有关计算（1）教案教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？2．基本公式：1.等差数列的前项和公式：，2．等比数列的前n 项和公式：当时， ① 或 ②当q=1时，特殊数列求和－－常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n 2)12(531n n =-++++6)12)(1(3212222++=++++n n n n 23333]2)1([321+=++++n n n 3．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款； ⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款； ⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为x2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a 元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x ， 解得101.1)101.1(01.11000012212--⨯⨯=x ＝1785.86 5．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=m n m mp p p a x 6．验证并使用模型：方案2中，101.1)101.1(01.1100001212--⨯⨯=x ＝888.49 方案3中，101.1)101.1(01.11000012412--⨯⨯=x ＝3607.62 7．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知识、思想和方法、解决问题包括解决带有实际意义的或相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述”本节课以经常碰到的银行储蓄和分期付款为背景，复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更加接近了数学与生活的距离，增加了学生的兴趣，提高了数学的育人功效四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知数2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法;研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——分期贷款及以复利增长型问题可类似解决五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。