【优化方案】高中数学 2.3.1 平面向量基本定理能力提升(含解析)新人教A版必修4

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人教版高中数学高一A版必修4同步优化训练平面向量基本定理

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,CD =b ，则AM 等于( ) A.21(a -b ) B.21(b -a ) C.21(a +b ) D.21-(a +b ) 答案：C2.如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对解析：平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；C 中的向量λ1e 1+λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的. 答案：A3.如图2-3-1，D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下列命题： ①AD =21-a -b ;②BE =a +21b ;③CF =21-a +21b ;④CF BE AD ++=0. 其中正确命题的序号为_______________________.图2-3-1解析：如图所示，CD AC AD +==-b +21CB =-b 21-a ,+==a +21b ,+==-b -a , =+21=b +21(-b -a )=21b 21-a ,CF BE AD ++=-b 21-a +a +21b +21b 21-a =0.所以应填①②③④.答案：①②③④4.如图2-3-2，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 和MD .图2-3-2解：在ABCD 中，∵+==a +b ,-==a -b , ∴MA =-21AC=-21(a +b )=-21a -21b , =21=21(a -b )=21a -21b ,=21=21a +21b ,-==-21a +21b .10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量,,的终点A,B,C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )A.r =21-p +23q B.r =-p +2q C.r =23p 21-q D.r =-q +2p解析：由3-=，得)(3OC OB OA OC --=-，即32+-=.∴=21-+23，即r=21-p +23q . 答案：A2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则OP 用OA ,OB 表示为( )A.=+λB.=λ+(1-λ)C.OP =λλ++1 D.OP =λ1OA +λ-11OB 解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)，即=λλ++1OBOA .答案：C3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A,C)，则AP 等于( )A.λ(AD AB +),λ∈(0,1)B.λ(BC AB +),λ∈(0,22) C.λ(AD AB -),λ∈(0,1) D.λ(BC AB -),λ∈(0,22) 解析：∵点P 在对角线AC 上，∴AP 与AC 共线. 又AD AB AC +=,∴AP =λ(AD AB +).当P 与A 重合时,λ=0;当P 与C 重合时,λ=1. 答案：A4.(2006高考安徽卷，理14)在ABCD 中，AB =a ，AD =b ,NC AN 3=,M 为BC 的中点，则MN =_________________(用a 、b 表示). 解析：CN MC MN +==21BC +41CA =21AD +41(BA CB +) =21b +41[-b +(-a )]=41(b -a ). 答案：41(b -a )5.如图2-3-3所示，四边形ABCD 为矩形，且AD=2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 中点，EA =e 1,EF =e 2,以e 1、e 2为基底，表示向量AF 、AB 、AD 及BD .图2-3-3解：∵=e 1,=e 2,∴=e 2-e 1. 依题意有:AD=2AB=DE,且F 为ED 中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形. ∴==e 2-e 1,==e 2. ∴+==e 2-e 1+e 2=2e 2-e 1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，设AB =m,AC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______________,AE=_____________________.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得BD=31BC,BE=32BC，转化为已知向量即可.答案：32m+31n31m+32n2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.答案：x+2y-5=03.如图2-3-4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c,d表示AB和AD.图2-3-4解：设AB=a,AD=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得BN=21b,DM=21a.从△ABN和△ADM中可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+cabdba21,21解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=),2(32),2(32dcbcda即AB=32(2d-c),AD=32(2c-d).4.如图2-3-5所示，在△ABC中，M是边AB的中点，E是线段CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证：FCHFBH==.图2-3-5证明：M为AB中点，MH∥AF，则==x.设AB =a ，AC =b ,MH =2a+x ，AF =a +2x . 又E 为CM 的中点，EF =21MH =24xa+.MC =2a b -,EC =21MC =42ab -.又EF AF AE -==(a +2x)-(24xa +).由AC EC AE =+,(a +2x)-(24x a +)+(42ab -)=b ,2a +23x +2b =b ,3x =b -a ,x =31(b -a ). HF BH ==31(b -a ),而FC =(b -a )32-(b -a )=31(b -a ).∴FC HF BH ==.5.如图2-3-6所示的△OAB 中，OA =a ，OB =b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM =31a ，ON =21b ，设AN 与BM 相交于点P ，用向量a 、b 表示OP .图2-3-6解：OM +=,+=. 设m =,m =，则m OM +==31a +m(b 31-a )=31(1-m)a +m b ,n +==21b +n(a 21-b )=21(1-n)b +n a . ∵a ,b 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-m n n m )1(21)1(31⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.52,51m n ∴=51a +52b . 6.如图2-3-7,已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E ，O 是任意一点.求证：4=+++.图2-3-7证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点，∴CE EC AE -==,DE ED BE -==. 在△OAE 中，OE AE OA =+,同理，OE BE OB =+,OE CE OC =+,OE DE OD =+ 以上各式相加，得OE OD OC OB OA 4=+++. 7.证明三角形的三条中线交于一点.证明：如图，令AB =a ,AC =b 为基底，则BC =b -a ,AD =21a +21b ,BE =21b -a .设AD 与BE 交于点G 1，并设1AG =λ,1BG =μ, 则有BG CG -=11=2λa +2λb -b =2λa +22-λb ,AG CG -=11=a -b -μa +2μb =(1-μ)a +22-μb ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.2222,12μλμλ解之，得λ=μ=32. ∴1AG =32. 设AD 与CF 交于点G 2，同理可得1AG =32. ∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF 相交于同一点. ∴三角形的三条中线交于一点. 快乐时光感想A ：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？B ：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.A：何以见得呢？B：人家大人小孩都会说英语.。

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．解：设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________．答案：12(a＋b)
探究点一对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课后习题新人教版

2.3.1 平面向量基本定理一、A组1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有()A.e1,e2一定平行B.e1,e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在λ,μ∈R,使得a=λe1+μe2解析:由平面向量基本定理知,D正确.答案:D2.已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵a与2a同向,b与-3b反向,∴向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,∴向量2a与-3b的夹角为.答案:C3.在矩形ABCD中,O为对角线的交点,=5e1,=3e2,则=()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)解析:如图,)=)=)=(5e1+3e2).答案:A4.若D点在△ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析:∵=4=r+s,∴)=r+s,∴r=,s=-,∴3r+s=3×.答案:C5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0解析:如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,很明显方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.答案:B6.在等边三角形ABC中,O为△ABC所在平面上一点,且2,则的夹角为.解析:∵2,∴O为BC的中点.又△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC,∴的夹角为.答案:7.已知向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=,μ=.解析:由条件可知解得答案:-8D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.解析:如图,由题意知,D为AB的中点,,∴=)=-.∴λ1=-,λ2=.∴λ1+λ2=-.答案:9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明:假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以λ不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解:设c=m a+n b(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.10.如图所示,在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示.解:在△AMD中,==c-;在△ABN中,==d-.则有=c,=d,两式联立解得d-c,c-d.二、B组1.已知在▱ABCD中,∠DAB=60°,则的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:如图,的夹角为120°.答案:C2.e1,e2为基底向量,已知向量=e1-k e2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则k的值是()A.2B.-3C.-2D.3解析:∵A,B,D三点共线,∴共线.又=e1-k e2,=e1-2e2,∴e1-k e2=λ(e1-2e2),即∴k=2.答案:A3.若=a,=b,=λ(λ≠-1),则等于()A.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.a+b解析:由=λ,得=λ(),化简得a+b(λ≠-1).答案:D4.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b解析:连接CD,OD,∵点C,D是半圆弧的两个三等分点,∴.∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°.∵OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°,∴∠CAD=∠ADO=30°.∴AC∥DO.∴四边形ACDO为平行四边形,.∵a,=b,∴a+b.故选D.答案:D5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析:由题意可画出图形,在△OAB中,∠OAB=60°,又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°.∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°.答案:90°6.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.解析:因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1,BH=BC.因为点M为AH的中点,所以)=.所以λ=,μ=,故λ+μ=.答案:7.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点M,N,且(λμ≠0),有人说无论M,N在AB,AC上如何变动,恒有λ+μ=3成立.你认为上述说法是否正确?请说明理由.解:题中说法是正确的.理由:事实上,不难证明),由于M,G,N三点共线,则存在实数m,满足=m+(1-m),于是,即∴μ+λ=3.8,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-时,求y的取值范围.解:(1)因为=x+y,以OA的反向延长线和OB为两邻边作平行四边形, 由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).(2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线上取点C,使OC=OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=OB,CE=OB,要使点P落在指定区域内,则点P应落在DE上,当点P在点D处时,=-,当点P在点E处时,=-,所以y的取值范围是.。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案含解析新人教A版必修20

2．3.1 平面向量基本定理[提出问题问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a 能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[导入新知]平面向量基本定理理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．(3)λ1，λ2是唯一的.[提出问题]问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：不一样．[导入新知]向量的夹角正确理解向量的夹角 (1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a ，b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 为a 与b 的夹角．(2)注意事项：①向量的夹角是针对非零向量定义的．②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示DC ，BC ，MN .[解] 如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC ＝AN ＝12AB ＝12a ；BC ＝NC －NB ＝AD －12AB ＝b －12a ；MN ＝CN －CM ＝－AD －12CD＝－AD －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AB ＝14a －b .[类题通法]用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图所示，已知在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边的中点．若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量DE ，BF .答案：DE ＝a －12b ；BF ＝b －12a[例2] 已知|a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？[解] 如图所示，作OA ＝a ，OB ＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形．又因为∠AOB ＝60°，所以OC 与OA 的夹角为30°，BA 与OA 的夹角为60°.即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°. [类题通法]求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．[活学活用]如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB 与向量BC 的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE 与EC 的夹角．答案：(1)120° (2)90°[例3] 121212x ，y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4(2)在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，求λ＋μ的值．[解] (1)D(2)设AB ＝a ，BC ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝b ＋12a ，AC ＝a ＋b ，所以AC ＝λAE＋μAF ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＝a ＋b .又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.[类题通法]1．平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.2．重要结论设e 1，e 2是平面内一组基底，[活学活用]若向量a，b 不共线，且c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．答案：c ，d 能作为基底．5．平面向量基本定理的应用[典例] (12分)如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．[解题流程][规范解答]设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2.(2分)∴存在实数λ，μ，使得AP ＝λAM ＝－λe 1－3λe 2，(4分)BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.(6分)故BA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋3e 2，(8分) 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(10分)∴AP ＝45AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1.(12分)[名师批注]选取恰当的基底是解决此类问题的前提．若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行．利用A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线建立＝λAM ，BP ＝μBN 是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法．由平面向量基本定理的唯一性建立关于λ，μ的方程组，求出λ，μ的值，即可求出AP 与AM 的关系，进而求出AP ∶PM 的值．[活学活用]如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，试问：1x ＋1y是否为定值？答案：1x ＋1y＝4，为定值．[随堂即时演练]1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④答案：B2．已知▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案：D3．如图，C ，D 是△AOB 中边AB 的三等分点，设OA ＝e 1，OB ＝e 2，以e 1，e 2为基底来表示OC ＝________，OD ＝________.答案：23e 1＋13e 2 13e 1＋23e 24．已知e 1，e 2不共线，且a ＝ke 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则k 等于________．答案：15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：BC ＝e 1＋(k －1)e 2[课时达标检测]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μ e 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②答案：B2．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案：C3．如图，在矩形ABCD 中，若BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC ＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 答案：A4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b答案：B5．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR ―→等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 答案：B 二、填空题6．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．答案：90°7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________.答案：238．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.答案：23a －13b三、解答题9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.10．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试用a ，b 表示DC ，EF ，FC .解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC ＝AD ＝a ，DC ＝AF ＝12AB ＝12b .EF ＝ED ＋DA ＋AF＝－12DC －AD ＋12AB＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .11.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC ＝OD ＋OE .在Rt △OCD 中， ∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD |＝4，|CD |＝2，故OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，即λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6.。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形．所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形．所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33，所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4

a与b 7 __同__向______ a与b 8 __垂__直______，记作 9 _a_⊥__b______
a与b 10 ___反__向_____
‖小试身手‖
3．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案：B 4．在等腰
Rt△ABC
题型二向量的夹角
【例 2】已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a 的夹角是 β，求 α＋β.
[解] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，
以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b， B→C＝O→A＝a.
解：解法一：∵A→B＝e2，DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， ∴B→C＝－A→B－C→D－D→A ＝－A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0，
且N→B＝－12B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B ＝－12A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2. 解法二：同解法一得，D→C＝ke2， B→C＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由M→N＝12(M→B＋M→C)得，M→N＝12(M→A＋A→B＋M→D＋D→C)＝12(A→B ＋D→C)＝k＋2 1e2.
A．a－12b
B．12a－b
C．a＋12b
D．12a＋b
解析：选 D 连接 CD，OD，如图所示．∵ 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，∴ AC＝CD，∠CAD＝∠DAO＝30°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥DO.由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠ DAO，∴CD∥AO，∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴A→D＝A→O ＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.故选 D.

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)

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2．3。

1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。

数学人教A版必修4知识巧解学案：2.3.1平面向量基本定

疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 误区警示(1)定理中的e 1、e 2是两个不共线向量；(2)a 是平面内任一向量，且实数对λ1、λ2是唯一的； (3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底. 二、向量的夹角1.已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作=a ，=b ，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 叫做a 与b 的夹角.学法一得 (1)当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角θ是指从同一点出发的向量a 与b 所成的角，θ∈(0°,180°).(2)当向量a 与b 共线时，若同向，则θ=0°；若反向，则θ=180°. 综合可知：向量a 与b 的夹角θ∈［0°,180°］. 2.a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b. 典题•热题知识点一平面向量的基本定理例1 如图2-3-3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且=a ，=b ，用a 、b 表示、MB 、MC 和MD .图2-3-3思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系. 解：在ABCD 中，∵=+=a +b ，=-=a -b ，∴=21-=21-(a +b )=21-a -21b ， MB =21DB =21(a -b )=21a -21b ，MC =21AC =21a +21b ，MD =-MB =21-a +21b .方法归纳由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.例 2 如图2-3-4，OADB 是以向量=a ，=b 为边的平行四边形.又BM=31BC ，CN=31CD ，试用a 、b 表示、、.图2-3-4解：∵BA =OA -OB =a -b ，BM =31BC =61BA =61a -61b , ∴=+=b +61a -61b =61a +65b .又∵=a +b ，得=32=32a +32b .∴=-=21a -61b .例3 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，M 、N 是DA 、BC 的中点，设AD =e 1、AB =e 2，以e 1、e 2为基底表示、、.思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与、之间的关系.解：(1)∵∥，∴存在唯一的实数k ，使=k·，即=k e 2(0＜k ＜1).图23-5(2)由图2-3-5,可知BD =AD -AB =e 1-e 2，而=+=e 1-e 2+k e 2 =e 1+(k-1)e 2(0＜k ＜1).(3)=21(AB +) =21(e 2+k e 2)=21(k+1)e 2(0＜k ＜1).知识点二判定动点P 在定直线AB 上例4 设、、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP =OA m +OB n . 证明：(1)由三点共线m 、n 满足的条件.若A 、B 、P 三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数λ使=λ，即OP -OA =λ(OB -OA )， ∴OP =(1-λ)OA +λOB . 令m=1-λ，n=λ，则OP =m OA +n OB 且m+n=1.(2)由m 、n 满足m+n=1 A 、B 、P 三点共线.若=m +n 且m+n=1，则=m +(1-m) ，则OP -OB =m(OA -OB )，即BP =m BA .∴BP 与BA 共线.∴A 、B 、P 三点共线. 由(1)(2)可知，原命题是成立的. 思考一下，若m=n=21时，如何表示?P 点在什么位置? 方法归纳由上题证明可知：对直线AB 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式=(1-t)+t (*)，反之，对每一个数值t ，在直线AB 上都有唯一的一个点P 与之对应；向量式(*)叫做直线AB 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数.此结论为我们提供了判定动点P 在定直线AB 上的一种方法.当t=21时，=21(+)，此时P 为线段AB 的中点，这个公式就是线段AB 的中点的向量表达式.知识点三向量的夹角例5 试指出图2-3-6中向量的夹角.图2-3-6答案：(1)∠AOB =θ为两向量的夹角； (2)OA 与OB 的夹角为0°，两向量同向共线； (3)与的夹角为180°，两向量异向共线；(4)两向量的夹角为θ.知识点四利用向量证明三点共线例6 设两非零向量e 1和e 2不共线.(1)如果AB =e 1+e 2，BC =2e 1+8e 2，CD =3(e 1，-e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.思路分析：要证明A 、B 、D 三点共线，需证存在λ，使=λ(e 1+e 2)即可.而若k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).解：(1)∵=e 1+e 2，=+=2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5， ∴、共线.又因两向量有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.(2)∵k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2)，则(k-λ)e 1=(λk -1)e 2.由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-.01,0k k λλ则k=±1.方法归纳证明三点共线，可结合题目条件，把e 1与e 2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量，用e 1与e 2表示出来，依据向量共线的条件判定向量共线，又因为这两个向量有共同点，所以可证三点共线. 问题•探究方案设计探究问题平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具. 探究过程:如图2-3-7，设直线l 的倾斜角为α(α≠90°).在l 上任取两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，不妨设向量21P P 的方向是向上的，那么向量21P P 的坐标是(x 2-x 1,y 2-y 1).过原点作向量=21P P ，则点P 的坐标是(x 2-x 1,y 2-y 1)，而且直线的倾斜角也是α，根据正切函数的定义,得tanα=1212x x y y --.图2-3-7探究结论:k=tanα=1212x x y y --就是《数学2》中已经得到的斜率公式，上述推导过程比《数学2》中的推导过程简捷的多，由此可见向量作为工具是非常有用的.交流讨论探究问题我们本节学习了基底的定义，你认为人民币中的元、角、分可以作为基底吗？探究思路:学生甲：基，是事物发展的根本或起点，被看作一个单位的对象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表达全部事物中任一事物的数量最少的单位对象的集合.在我们的生活中，人民币的计数单位有元、角、分，表示任意币值的基底是“元”，如10万元，2亿元等.学生乙：这些不能用“角”作为基底来表示吗？学生甲：当然也可以是“角”，更可以是“分”,但由于元、角、分之间存在着换算关系“1元=10角=100分”，因此不能将“元、角、分”作为基底.学生乙：那么现实中不是有7元6角5分的说法吗？这个是不是以“元、角、分”作为基底的？学生甲：事实上，我们同样可以用元来表示这一说法，如7.65元.探究结论:由此我们可以看出作为基底的一个重要原则便是数量最少，但又能表示全部!。

数学人教A版必修4课堂导学案：2.3.1平面向量基本定理

课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AH=HD ，BF=MC=41BC ，设=a ,=b ,以a ,b 为基底表示AM 、MH 、MF 、MD .思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=41b ，这样可表示，又 =21b ，这样又可表示，进一步可表示MH ，进一步表示. 解：由于BF =41BC=41AD.∴BF =41b .在△ABF 中,AF =AB +BF =a +41b ;又∵BF =MC=41BC ，∴FM =21BC.∴FM =21b . 则=+=a +41b +21b =a +43b . 又∵AH=HD ， ∴AH =21b . ∴=-=21b -(a +43b ) =-a -41b . 又∵HD=21b , ∴HD MH MD +==-a -41b +21b =-a +41b . 温馨提示根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】设两非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,=3(e 1,-e 2),求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e 1,e 2看作一组基底表示我们需要的向量，如AB ，BD =BC +CD =2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5e 1+5e 2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量k e 1+e 2,e 1+k e 2都是用基底e 1,e 2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（k e 1+e 2）=λ(e 1+k e 2),解出k 值即可.（1）证明：∵=e 1+e 2,=+=2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB , ∴、BD 共线.又有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.（2）解：∵k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),则（k-λ）e 1=(λk -1)e 2.由于e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎨⎧=-=-,01,0k k λλ则k=±1.温馨提示题目中已给出一组基底e 1,e 2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e 1,e 2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（）A.若实数λ1 、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,其中λ1、λ2∈RC.λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD.对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A 正确；B 错，这样的a 只能与e 1,e 2在同一平面内，不能是空间任一向量.C 错，λ1e 1+λ2e 2在α内.D 错，这样的λ1,λ2是唯一的，而不是无数对，故选A.答案：A温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量；（2）基底的选取不唯一；（3）该平面内的任意向量a 都可用e 1,e 2线性表示，而且这种表示是唯一的.各个击破类题演练1如右图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且BC=3AD ，设=a ,=b ，以a 、b 为基底表示、、.解：∵AD ∥BC 且AD=31BC ， ∴=31b , =21=61b . ∵BF =21, ∴BF =21b ， ∴=+=-+(+)=--+=-61b -a +21b =31b -a ， )(-+=+==--=-21b -(61b -a )=-32b +a . 变式提升1如右图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=c ，=d ，试用c 、d 表示和.解：设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：=21b ，=21a . 从△ABN 和△ADM 中可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(,31)1(,21c a b d b a ①×2-②,得a =32(2d -c ). ②×2-①,得b =32(2c -d ). 即：=32(2d -c ),=32(2c -d ). 类题演练2e 1,e 2是两个不共线向量，且AB =2e 1+k e 2, CB =e 1+3e 2, CD =2e 1-e 2,若A 、B 、D 三点共线，由k 的值为. 解析：AD =AB +BC +CD =2e 1+k e 2-e 1-3e 2+2e 1-e 2=3e 1+(k-4)e 2.∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ使=λ,即3e 1+(k-4) e 2=λ(2e 1+k e 2).∴⎩⎨⎧=-=.44,23λλk ∴k=-8.答案：-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a 、b ,且=a +2b ,=-5a +6b ,=7a -2b ,则一定共线的三点是（）A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D 解析：CD BC BD +==-5a +6b +7a -2b=2a +4b =2.∴A 、B 、D 共线.答案：A类题演练3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一，只要在同一平面内，任一组不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量.故选②③.答案：B变式提升3已知向量a 和b 不共线，实线x,y 满足向量等式（2x-y ）a +4b =5a +(x-2y)b ,则x+y 的值等于（）A.-1B.1C.0D.3解析：由平面向量基本定理得⎩⎨⎧-==-,24,52y x y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 所以x+y=1.故选B. 答案：B。

高一数学(人教A版)必修4能力提升：2-3-1 平面向量基本定理

能力提升一、选择题CD→，b －a ＝－4BC →，b ＋2a ＝AB →中，ABCD 1．在四边形＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C－a 8＝－b 3－a 5－b －a 4－b 2＋a ＝CD →＋BC →＋AB →＝AD →∵ ]解析[，BC →2＝AD →，即BC →2＝)b －a 4－2(＝b 2 ∴AD ∥BC 且AD ≠BC ，故选C.OB→，a ＝OA→2．已知＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较)为(OD →表示b 、a 近的一个三等分点，则用)b ＋5a (419A. )b ＋7a (9116B. )b ＋a (213C.)b ＋a (314D. [答案] A[解析] 利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．CD →＋AC →＝AD →，AD →＋OA →＝OD →∵ .AB →59＝AB →29＋AB →13＝CB →13＋AB →13＝，a 59－b 59＝AD →∴，a －b ＝AB →而 .b 59＋a 49＝)a 59－b 59(＋a ＝AD →＋OA →＝OD →∴ 3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是AF→，则b ＝BD →，a ＝AC →.若F 交于点CD 的延长线与AE 的中点，OD 线段＝( )b 12＋a 14A.b 23＋a 13B. b 14＋a 12C.b 13＋a 23D. [答案] D.b 13＋a 23＝)a －b (13＋a ＝CD →23＋a ＝CF →＋AC →＝AF →∵ ]解析[ AB→r ＝CD →，DB →＝2CD →边上，且BC 在D 中，点ABC △4．已知)的值是(s ＋r ，则AC →s ＋ 23A.43B. C ．－3D ．0 [答案] DCB→23＝CD →∵ ]解析[ )AC →－AB →(23＝ 23＝－s 23＝r ∴ ∴r ＋s ＝0.5．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为()A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] B[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴a 与b 的夹角为120°.6．(2011～2012·合肥市)如图，△AF→，b ＝AC →，a ＝AB →，设F 交于BE 与CD ，EC ＝AE ，DB ＝AD 中，ABC ＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12D. [答案] C＋BA →＝BE →∴的中点，AB 、AC 分别为D 、E ∵，CD →λ＝CF →设 ]解析[，b 12＋a ＝－AE → BF→)b －a12(λ＋)a －b (＝CF →＋BC →＝，b )λ－(1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1＝，23＝λ∴，1－λ12＝12λ－1－1∴共线，BF →与BE →∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 23＋b ＝CD →23＋b ＝CF →＋AC →＝AF →∴ .13＝y ，13＝x ，故b 13＋a 13＝二、填空题＝________.θ的夹角b 32与－a 的夹角为25°，则2b 与a 7．向量 [答案] 155°，如图所示．25°＝AOB ∠，则b ＝OB →，a ＝OA →作 ]解析[.a 2＝OC →，则AC ＝OA ，使C 到OA 延长 .b 32＝－OD →，则BO 32＝OD ，使D 到BO 延长则θ＝∠DOA ，又∠DOA ＋∠AOB ＝180°，则∠DOA ＝180°－25°＝155°，则θ＝155°.52＋(1－1e 2k ＝a 是两个不共线的向量，而2e 、1e 8．已知＝________.k 是两个共线向量，则实数2e ＋31e ＝2b 与2e )k 13－2或]答案[ 0.＝2－k 5＋2k 3∴，1－52k 3＝k22由题设知 ]解析[ .13或2＝－k 解得 9．已知向量a 和向量b 不共线，且m ＋n ＝a ，m －n ＝b ，则m ＝________，n ＝________.(用a 、b 表示)a －b2a ＋b 2 ]答案[ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝a ，m －n ＝b ，解方程组 ]解析[ a －b2＝n ，a ＋b 2＝m 得三、解答题10．如图，梯形ABCD 中，AB∥AD→，a ＝AB →的中点，若AB 和DC 分别是N 、M ，CD ＝2AB ，且CD .MN →，BC →、DC →表示b 、a ，试用b ＝[解析] 如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．，a 12＝AB →12＝AN →＝DC →则 BC→，a 12－b ＝AB →12－AD →＝NB →－NC →＝ MN→CD →12－AD →＝－CM →－CN →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →12－AD →＝－ .b －a 14＝ 11．已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．，120°＝AOB ∠，且b ＝OB →，a ＝OA →图，作如 ]解析[以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，，b －a ＝OB →－OA →＝BA →，b ＋a ＝OB →＋OA →＝OC →则 BC→.a ＝OA →＝因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为等腰三角形，所以∠OAB ＝30°即a －b 与a 的夹角为30°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝60°，即a ＋b 与a 的夹角为60°.13＝CN →，BC →13＝BM →三边上的点，它们使ABC △是P 、N 、M 12．设表示出来．PM →、NP →、MN →将b 、a ，试用b ＝AC →，a ＝AB →，若AB →13＝AP →，CA → 13＝)AC →－AB →(23－AC →13＝－CB →23－AC →13＝－CM →－CN →＝MN →如图， ]解析[.a 23－b 13＝AB →23－AC → ，b 23－a 13＝NP →同理可得 PM→.b 13＋a 13＝)NP →＋MN →(＝－MP →＝－。

【全优设计】高中数学 2.3.1 平面向量基本定理目标导学新人教a版必修4

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理问题导学一、应用基底表示向量活动与探究1已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试以a 、b 为基底表示DC 、BC 、EF ．迁移与应用在ABCD 中，设AC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 表示AB ，BC ．在利用基底表示向量时，充分利用向量的线性运算，灵活应用向量加法的三角形法则与平行四边形法则求解．二、平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设OA =a ，OB =b ，OC =c ．(1)试用a 、b 、c 表示向量EL 、FM 、GN ； (2)求证：线段EL 、FM 、GN 交于一点且互相平分．迁移与应用在ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，求λ＋μ的值．利用向量证明几何问题是向量工具性的体现，操作时，为明确方向常常选取问题中的不共线的线段对应的向量为基底，以增加解决问题时的方向性．三、向量的夹角问题活动与探究3已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？迁移与应用在等边三角形ABC 中，向量AB 与向量BC 的夹角为__________；E 为BC 的中点，则向量AE 与EC 的夹角为__________．求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．当堂检测1．已知向量e 1，e 2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1B ．2e 1－3e 2与e 1－32e 2C ．－e 1－2e 2与2e 1＋4e 2D ．e 1－2e 2与2e 1－e 22．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 3．设点O 是ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA与DC ；④OD 与OB ，可作为该平面其他向量基底的是( ) A ．①② B．①③ C ．①④ D．③④4．已知向量a 与b 的夹角是45°，则向量2a 与－b 的夹角是__________．5．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝______a ＋______b ．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)不共线 λ1e 1＋λ2e 2 (2)基底预习交流1 提示：平面向量基本定理的前提条件是e 1，e 2不共线，若e 1，e 2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e 1，e 2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线．2．(1)非零夹角 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° 预习交流2 提示：120°，而不是60°．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：AD 和AB 是两个不共线向量，于是可以看做一组基底，那么平面中的任一向量可以用AD 和AB 来表示，关键是利用向量线性运算确定λ1和λ2两个系数．解：连接FD ，∵DC ∥AB ，AB =2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC FB ．∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC =FB =12AB =12b ，BC =FD =AD －AF =AD －12AB =a －12b ， EF =DF －DE =－FD －DE =－BC －12DC=11112224⎛⎫---⨯=- ⎪⎝⎭a b b b a ．迁移与应用解：方法一(转化法)：如图，设AC ，BD 交于点O ，则有AO =OC =12AC =12a ，BO =OD =12BD =12b ．∴AB =AO +OB =AO －BO =1122-a b ， BC =BO +OC =1122+a b ．方法二(方程思想)：设AB =x ，BC =y ，则有AB ＋BC ＝AC ，AD －AB ＝BD 且AD ＝BC ＝y ，即,,+=⎧⎨-=⎩x y a y x b ∴x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b ．活动与探究2 思路分析：本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量EL 、FM 、GN ；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O 点到三条线段中点的向量相等．解：(1)如图，∵OE ＝12a ，OL ＝12(b ＋c )，∴EL ＝OL －OE ＝12(b ＋c －a )．同理：FM ＝12(a ＋c －b )，GN ＝12(a ＋b －c )．(2)证明：设线段EL 的中点为P 1，则1OP ＝12(OE ＋OL )＝14(a ＋b ＋c )．设FM 、GN 的中点分别为P 2、P 3，同理可求得2OP ＝14(a ＋b ＋c )，3OP ＝14(a ＋b ＋c )． ∴1OP ＝2OP＝3OP ，即EL 、FM 、GN 交于一点，且互相平分．迁移与应用解：如图所示，设AB ＝a ，AD ＝b ，则AE ＝12a ＋b ，AF ＝a ＋12b ，AC ＝a ＋b ．∵AC ＝λAE ＋μAF ， ∴a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ． ∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴λ＋μ＝43．活动与探究3 思路分析：解答本题可先作图，再利用平面几何知识求解．解：如图所示，作OA =a ，OB =b ，且∠AOB =60°．以OA ，OB 为邻边作OACB ，则OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ．∵|a |=|b |=2，∴△OAB 是等边三角形． ∴四边形OACB 是菱形．∴OC 与OA 的夹角为30°，BA 与OA 的夹角为60°，即a +b 与a 的夹角为30°，a －b 与a 的夹角为60°．迁移与应用 120° 90° 解析：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=60°．如图，延长边AB 至点D ，使BD =AB ， ∴AB =BD ．∴∠DBC 为向量AB 与BC 的夹角，且∠DBC ＝120°．又∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ．∴AE 与EC 的夹角为90°．【当堂检测】1．D 解析：根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D ． 2．B 解析：由平面向量基本定理可知λ＝μ＝0，选B ．3．B 解析：易知AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线，故选B ． 4．135°5．23 －13 解析：由方程组1212+2,=⎧⎨=-+⎩，a e e b e e 解得1212,3311.33⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩e a b e a b所以e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a －13b ．。

高中数学新人教版A版精品教案《2.3.1 平面向量基本定理》

平面向量的基本定理、正交分解及坐标表示一、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角概念；（2）会用基底表示平面内任一向量，能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解坐标表示。

2、过程与方法（1）通过对平面向量基本定理的探究以及用坐标表示平面向量的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。

（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强学生思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力工具。

3、情感态度与价值观通过本节课的教学，引导学生经历定理的产生过程，学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点重点：平面向量基本定理的探究；平面向量的坐标表示。

难点：平面向量基本定理的理解及其应用。

三、教学方法探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，由向量的合成引出向量分解，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程一、复习旧知，引入课题：1．向量的加法运算法则？2．两个非零向量共线的条件是什么？3．给定向量 1e 2e ，作向量→a =1232e e + 采用平行四边形法则构图求得，反问：给定向量 1e ，2e 和→a 向量，如何确定三者之间的关系，上述关系式还成立吗？教师：（1）提问学生回答，多媒体展示三角形法则、平行四边形法则；（2）两非零向量共线的条件，并补充问题两向量方向有何关系？（3）提问学生口述向量合成的过程，引导学生思考反问，板书课题。

学生：思考并进行回答，设计意图：回顾平面向量线性运算及向量共线定理，提问学生由向量的合成问题反问其分解问题——引出课题二、探究归纳，讲授新课： 1、平面向量基本定理假设1e ，2e 是平面内两个不共线向量，a 是平面内任一向量，能否用向量1e 2e 表示向量→a （引导学生构造平行四边形）OA =1e ，OM =λ12e ，OC =a =OM ON =λ11e λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．教师：引入几何画板，引导学生通过向量动态变化深刻认识定理的关键点，并设置以下问题引导学生进行思考：（1）向量→a 是平面中的任意一个向量吗？如果向量→a 与向量1e 或者2e 共线，还能否用其表示？（板书：向量→a 的任意性）（2）向量1e 2e 可否共线？向量→a 只能用向量1e 2e 进行表示吗？（板书：基底是平面内任意两个不共线向量,用来表示向量→a 的1e 2e 可以有无数组）（3）基底确定,对于向量→a ,有且只有一对实数λ1 λ2,使得a ＝λ11e λ22e （板书：λ1λ2的唯一确定性）教师引导学生归纳总结得出平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有1e2eaNBC一对实数λ1 ，λ2使a ＝λ11e λ22e ．不共线的向量1e 2e 叫做表示平面内所有向量的一组基底设计意图：通过问题的设置，引导学生观察几何画板中向量分解所构造的平行四边形动态变化，归纳总结平面向量基本定理的关键点，掌握其定理本质含义，加深学生对定理的认识。

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理效果分析新人教A版必修4

关于《平面向量基本定理》的效果分析一、效果总评本节课运用了“合作探究、分层推进教学法”，使学生在个人自主学习、小组合作探究、全班互相交流、教师点评总结的交互推动下，主动学习，积极参与，全面合作，广泛交流。

教师营造了民主、平等、互动、开放的学习、交流氛围，较好地发挥了促进者、指导者和合作者的作用，引领学生通过对各类有层次的问题的思考、探究、交流、解决、反思、总结，提炼出了几种重要的数学思想方法，不断培养学生的数学思维能力，提高学生运用知识分析问题、解决问题的能力。

整个教学过程把教学设计中的基本内容、基本方法、基本问题有机地融合在了一起，形成交互的三条线：知识线、问题线和思想方法线，最后是通过师生合作交流，总结出这三条线。

使学生在教师的引导下对知识、对思想方法自主建构。

二、分项评述（一）教学过程与目标达成首先，整个教学过程在“合作探究、分层推进教学法”的作用下，自主学习、小组合作探究、师生与生生互动交流、教师点评总结等方面做得较好。

其次，整个教学过程把教学设计中的基本内容、基本方法、基本问题有机地融合在了一起，形成交互的三条线：知识线、问题线和思想方法线，最后是通过学生合作交流，总结出这三条线。

使学生在教师的引领下对知识、对思想方法自主建构。

所以整个教学过程较充分的体现了“以学生为本”的教学理念。

这样，三个方面的目标较好地完成。

（二）各教学环节效果分析1.双基回眸：温故而知新因高中数学内容较抽象，知识联系紧密，逻辑性强，课堂容量大，重要的数学思想方法常常渗透其中，所以新课开始的简单回顾或复习是很有必要的。

双基回眸这个环节，既对前面所学的相关内容方法进行了点睛式的小结，又为将要探究的内容做好了针对性的准备；既能使学生较早进入角色，启动思维，又能让学生的抽象思维和概括表达能力得到锻炼。

真是一举多得。

2.演示导入：有趣更有用数学内容虽然比较抽象，但因它来源于生活，又指导、服务于生活，所以本环节从生活中感受到数学直观、生动、运用的一面。

2020-2021学年人教A版高中数学必修4学案：2.3.1平面向量基本定理

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生的直观想象素养.2.通过向量夹角和基底的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理素养.1．平面向量基本定理条件 e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[提示] 不能，0不能作为基向量． 2.两向量夹角的概念已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫做向量a 与b的夹角．(1)范围：向量a 与b 的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时，a 与b 同向． (3)当θ＝180°时，a 与b 反向． 3．垂直如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2D [A 、B 、C 中两个向量都满足a ＝λb ，故选D.] 2．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中，说法正确的为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③B [根据基底的概念，可知②③正确．]3．若△ABC 是等边三角形，则AB→与BC →的夹角的大小为________．120° [由向量夹角的定义知AB →与BC →的夹角与∠B 互补，大小为120°.] 4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．4e 1＋3e 2 [由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2.]用基底表示向量【例1】 (1)D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA→＝b ，给出下列结论： ①AD→＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF→＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a .其中正确结论的序号为________．(2)如图所示，▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则．(1)①②③ [如图，AD→＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE→＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB→＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a ) ＝12b －12a ，③正确；④EF→＝12CB →＝－12a ，④不正确．] (2)DE→＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC → ＝－AD→＋AB →＋12AD →＝a －12b . BF→＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB→＋AD →＋12AB →＝b －12a .1．若本例(2)中条件不变，试用a ，b 表示AG →.[解] 由平面几何的知识可知BG→＝23BF →，故AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF → ＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b －13a ＝23a ＋23b .2．若本例(2)中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”，即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE→，BF →.[解] DE→＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF→＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：向量的夹角【例2】 (1)b ，c ⊥a ，则a ，b 的夹角等于________．(2)若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(如图所示)，则a ，b 夹角为180°－∠C . ∵|a|＝1，|b|＝2，c ⊥a ， ∴∠C ＝60°， ∴a ，b 的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC→＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟进训练]如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB→与向量BC →的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE →与EC →的夹角．[解] (1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝60°.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则AB→＝BD →，∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角． ∵∠DBC ＝120°，∴向量AB →与BC →的夹角为120°. (2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°.平面向量基本定理的唯一性及其应用[若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e 1，e 2，使向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2，由于e 1，e 2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.【例3】如图所示，在△OAB 中，OA→＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP→.思路点拨：可利用OP→＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而得OP→.[解] OM→＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA→＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP→与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP→＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP→＝310a ＋35b .1．将本例中“点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“点M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“点N 为OA 的中点”，求BP ∶PN 的值．[解] BN→＝ON →－OB →＝12a －b ，OM→＝OA →＋AM →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . 因为O ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使BP →＝λBN →＝λ2a －λb ， OP→＝μOM →＝2μ3a ＋μ3b ，所以OB→＝OP →＋PB →＝OP →－BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ3－λ2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3＋λb ，又OB →＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以BP→＝45BN →，即BP ∶PN ＝4∶1.2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 的中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP→.[解] AM→＝OM →－OA →＝13OB →－OA →＝13b －a ， BN→＝ON →－OB →＝12OA →－OB →＝12a －b .因为A ，P ，M 三点共线，所以存在实数λ使得AP→＝λAM →＝λ3b －λa ，所以OP→＝OA →＋AP →＝(1－λ)a ＋λ3b . 因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数μ使得BP→＝μBN →＝μ2a －μb ，所以OP→＝OB →＋BP →＝μ2a ＋(1－μ)b . 即⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，所以OP→＝25a ＋15b .1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a 和同一平面内两个不共线向量e 1，e 2 条件二 a ＝λ1e 1＋μ1e 2且a ＝λ2e 1＋μ2e 2 结论⎩⎨⎧λ1＝λ2，μ1＝μ2平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．1．下列四种说法正确的个数为( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的；④e 1，e 2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，根据平面向量基本定理可知①③④正确．]2．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB→，DC → B.AD→，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB→，DA →不共线，所以是一组基底．] 3．若a 与b 的夹角为45°，那么2a 与－3b 的夹角是________．135° [2a 与a 方向相同，－3b 与b 方向相反，所以2a 与－3b 的夹角为45°的补角135°.]4．如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB→＝a ，AC→＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC → ＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版必修4课件：231平面向量基本定理精品

探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(方法 1)如图,因为 = + , = + ,所以
2 = + + + .
因为 D 是 BC 边的中点,所以 + =0,
1
2
因此 2 = + ,故 = ( + ).
(方法 2)因为 = + ,
解:设 D,E,F 分别是 BC,AC,AB 边上的中点,
1
则=2=2( + )=2 - + 2
=-2 − =-2a-b.
=2=2( − )=2
=--2
=-a-2b.
1
-
2
2.3.1
平面向量基本定理
谢谢观看
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2.3.1
平面向量基本定理
∴△OAB 是等边三角形.
∴四边形 OACB 是菱形.
∴ 与的夹角为 30°,与的夹角为 60°,
即 a+b 与 a 的夹角为 30°,a-b 与 a 的夹角为 60°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:30° 60°
反思感悟两个向量夹角的实质及求解的关键:
(1)实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零
θ=90°
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直,记作 a⊥b
一
二
3.做一做:在等边三角形 ABC 中,向量与的夹角为(
A.60°
B.120°
C.90°
D.30°
)
解析:因为三角形 ABC 是等边三角形,所以∠BAC=60°,即向量
与的夹角为 60°.