4.2合理下料问题

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钢管下料问题

钢管下料摘要在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。

按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。

本文研究的是钢管下料问题。

用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。

对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。

①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下：7171min ,1,2,3..0,1,2,,7i ii ji i j i iz c x a x b j s t x i ===⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。

总余料量为27m 。

②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。

利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。

总余料量为35m 。

在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。

对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下：31314141min ,1,2,3,4,1,2,3..,1,2,30,1,2,3ii ji i j i j ji j j ji j iz y r y b j c r m i s t c r n i y i =====⎧≥=⎪⎪⎪≥=⎪⎨⎪⎪≤=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。

此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。

关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划1. 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。

【原创】下料方案专题一：合理下料问题

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【原创】下料方案专题一：合理下料问题
问题描述：从给定尺寸的材料中，按需要的尺寸截取给定数量的零件，使用料最少或残余废料总量最小的问题。原型范例：用长9米的原料截取3.1米200根，2.5米100根，1.7米300根，如何截取用料最少。求解过程： 1：求解单根原材料截取零件的全部可行性方案。
方案 3.1米 2.5米 1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ米废料长
123456789 221110000 102103210 010230235 0.3 1.1 0.9 0.0 0.8 1.5 0.6 1.4 0.5
2：建立数学模型假定方案i(i=0,1,2,...,9)下料根数为xi，则：目标函数：用料最少 Z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 约束方程：3.1米200根 2*x1 + 2*x2 + x3 + x4 + x5 = 200 2.5米100根 x1 + 2*x3 + x4 + 3*x6 + 2*x7 + x8 = 100 1.7米300根 x2 + 2*x4 + 3*x5 + 2*x7 + 3*x8 + 5*x9 = 300 非负约束 xi >= 0 (i=0,1,2,...,9) 整数约束 xi为整数(i=0,1,2,...,9) 3：求解最优解为：x1=30, x2=35, x4=70, x9=25, x3=x5=x6=x7=x8=0

合理下料问题

方案下料长度 2.8m 2.2m 1.8m 合计长度/m 料头/m Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
0 0 3 5.4 0.6
0 1 2 5.8 0.2
0 2 0 4.4 1.6
1 0 1 4.6 1.4
1 1 0 5.0 1.0
2 0 0 5.6 0.4
（1）为了获得100套钢架，需要混合使用种下料方案。设按六种方案下料的原材料的根数
合理下料问题
现要做100套钢架，每套由长2.8m，2.2m，1.8m的元钢各一根组成，已知原材料长6.0m，问应如何下料，可以使原材料最省。解：由于要裁成的三种元钢的总长度是2.8m+2.2m+1.8m=6.8m,超过了原材料6m 的长度，因此，我们容易实现的裁法是：在原材料上分别裁下2.8m，2.2m的元钢各一根，这样要100根原材料才能裁到100跟2.8m，2.2m的元钢，再来考虑如何裁得1.8m的元钢，由于一根原材料可以裁得 3根1.8m的元钢，这样要裁得100根1.8m的元钢，就需要原材料34根。采取上述裁法需134根原材料方可裁得2.8m，2.2m，1.8m的元钢各100根。但如果改用套裁，则可节约原材料。经过简单分析，我们得到几种可供套裁的方案，如下表：
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x1 0 x2 0 x3 1x4 1x5 2 x6 100, 0 x1 1x2 2 x3 0 x4 1x5 0 x6 100, 3x1 2 x2 0 x3 1x4 0 x5 0 x6 100, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0.
（2）利用单纯形法求解以上线性规划模型，通过WinQSB软件Linear and Integer Programming模型运算求解过程如下表所示：输入数据。以电子表格形式输入变量系数矩阵和右端常数：

4.3 下料问题

两种标准
2.所用原料钢管总根数最少 �� 2 = ��1 +��2 +��3 + ��4 + ��5 +��6 +��7
一般下料问题的最优解法
模 4米 6米 8米余式根数根数根数料
约束
�� ≤ �� + �� + �� + �� ≤ �� ≤ �� + �� + �� + �� ≤ �� ≤ �� + �� + �� + �� ≤ ��
大型下料问题的解法
53种零件的所有下料方式共 10307032
种
大型下料问题的解法
方法1：先下料最长的零件，直至下完，再下料次长的零件，尽量利用余料。。。
方法2：从零件的所有下料方式中挑选1种下料，完成部分零件的下料任务，再从剩余零件的所有下料方式中挑选一种下料。。。

下料问题-2

实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, . m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。

现在我们要为某企业考虑下面两个问题。

1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。

运筹学

第一章：建模合理下料问题例1-2：假定现有一批某种型号的圆钢长8m ，需要截取长的毛坯100根、长的毛坯200根，问应怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少根据经验，可先将各种可能的搭配方案列出来，如表1-3所示。

例1-2′某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，,（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为。

现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴方案规格12345678需求量y 1 2 1 1 1 0 0 0 0 100 y 2 0 2 1 0 3 2 1 0 100 y 31 0 1 3 0234 100方案件数毛坯I Ⅱ Ⅲ Ⅳ需要根数3 2 1 01000 2 4 6200目标函数 minf ＝C1x1+C2x2+…+Cnxn. a11x1+ a12x2+…+a1nxn ≥ b1 a21x1+ a22x2+…+a2nxn ≥ b2 ┇ ┇ ┇ ┇ am1x1+ am2x2+…+amnxn ≥ bmxj ≥0 (j ＝1，2，…，n)运输问题(物资调运问题)例1-3：设某种物资(例如煤炭)共有m 个产地A1、A2 、…、Am ，其产量分别为a1、a2、…、am ；另有n 个销地B1、B2、…、Bn 其销量分别为b1、b2、…、bn 。

已知由产地Ai(i ＝1，2，…，m)运往销地Bj(j ＝1，2，…，n)的单位运价为Cij ，如表1—6所示。

当产销平衡 m n(即∑ai=∑bj 时，问如何调运，才能使总运费最省方式个数毛坯B 1 B 2 … B n需要毛坯数A1A2┇Ama 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ┇ ┇ ┇ a m1 a m2 a mnb 1 b 2 ┇ b mi=1 j=1目标函数 min f=∑∑CijXij 最小i=1 j=1n∑Xij=ai （i＝1，2，…，m）j=1满足 m∑Xij=bj （ j＝1，2，…，n)i=1xij≥0 i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)第二章：图解法整数规划步骤：写出模型，假设X1,X2…Xn是…1）作可行线2）作等值线3）平移等值线与可行线相交或相切于一点或直线4）例1：见笔记例2例1 某工厂在计划期内要安排工、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。

下料问题

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜mi W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。

现在我们要为某企业考虑下面两个问题。

数学建模合理下料问题

数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。

此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。

客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。

用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。

即可得输出结果。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。

下料问题(含代码程序)

实用下料问题优化模型摘要关键字：整数规划模型多目标决策优化NP问题下料方案分支定界法1.问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<.m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.就某企业考虑下面两个问题：1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i )为：4，11，24, 29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。

下料工作总结存在问题

下料工作总结存在问题
近年来，随着社会的发展和进步，以下料工作在各行各业中扮演着越来越重要
的角色。

然而，随之而来的问题也日益凸显，以下料工作存在着一些不容忽视的问题。

首先，以下料工作中存在着信息不准确的情况。

一些从业人员在进行以下料工
作时，往往没有对数据进行充分的核实和验证，导致所得到的信息存在误差，给企业的决策和发展带来了不小的隐患。

其次，以下料工作中存在着数据保护不严密的问题。

一些企业在进行以下料工
作时，对于敏感数据的保护措施不够完善，容易导致数据泄露的风险，给企业的安全带来了威胁。

此外，以下料工作中存在着缺乏专业人才的问题。

一些企业在进行以下料工作时，往往缺乏专业的数据分析人才，导致对数据的分析和利用不够充分，影响了企业的发展和竞争力。

针对以上问题，我们应该采取一系列的措施来加以解决。

首先，加强对以下料
工作的监管和规范，确保信息的准确性和真实性。

其次，加强对数据的保护和安全措施，防范数据泄露的风险。

最后，加大对以下料工作人才的培养和引进力度，提高企业的数据分析和利用水平。

总之，以下料工作在发展的过程中存在着一些问题，需要我们共同努力去解决。

只有通过不断的改进和完善，才能更好地发挥以下料工作的作用，推动企业的发展和进步。

下料问题资料

节省钢筋下料的几种方法
混合计算钢筋下料法报批代用钢筋下料法短尺定做钢筋下料法废短钢筋头降格使用下料法
综合应用
钢筋选择进料法
例1：某基础桩主筋需用Ф12钢筋，料长 2.23m×4＝8.92m,2.23×5＝11.15m,显然, 应进9m长钢筋。其具体作法是，以每根桩筋为9m/4=2.25m下料,其中1层柱钢筋缩短 2cm即可。例2：某住宅楼标准层柱子钢筋需搭接长而进行上一层施工，柱子主筋为4Ф14钢筋，层高为3.3m。柱筋下料长度考虑搭接长度为：3300mm+672mm=3972mm，而 3.97mm×3=11.9m,显然,应进12m长钢筋。
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钢筋短料合理搭配下料法
例：某梁需用以下负弯矩筋，现场有9m长Ф25钢筋。①号筋 4.2m ③号筋 4.7m，如果按下料单下料的顺序分别下料,在截①号筋时会有600mm短头出现;而如果在截③ 号筋时,剩余4.3m钢筋,用搭配法下 ①筋料,只有10cm短头出现.
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相乘计算钢筋下料法
例：某商厦标准层主梁需用φ箍筋 3000个，单个箍筋料长1.9m。在调直机普遍使用之前，盘条的调直加工一般是，用绞磨或卷杨机调直后，用大剪子截取箍筋时往往会出现大量的短头。在某商厦工程中，盘条采用卷杨机调直，正确的作法是，先计算 1.9m×5=9.5(m),调直后的钢筋上截取 600根9.5m长直条,然后再截取1.9m长箍筋,不会有短头出现。
甲乙丙三种规格的轴至少各需要100根，则需要满足一下条件：
2x1+x2+x3+x4>=100 2x2+x3+3x5+2x6+x7>=100 X1+x3+3x4+2x6+3x7+4x8>=100

数模培训题目一合理下料

下料问题生产实践中经常遇到这样的问题，要把规格一定的材料裁剪成不同尺寸的毛坯，在一般情况下，很难使原材料得到完全利用，总会多出一些料头。

切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。

实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后，怎样合理截料，才能使原材料消耗最少，这就是合理下料问题。

1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型，并用此模型求解下列问题，从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是8m，现在一顾客需要80根3m，100根2.5m，240根1.3m 和100根1.8m的钢管。

（1）应如何下料最节省；（2）为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/100增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/100增加费用，以此类推，为了使总费用最小，应该如何下料？2．建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型，并用此模型求解下列问题。

制定出完成任务所需的原材料块数和余料。

这个问题的单一原材料的长度为2260mm，宽度为1330mm。

所需毛坯数据：毛坯尺寸(长mm×宽mm×需求)517×447×2，517×597×1，257×597×2，517×397×4，907×347×1，907×397×1，907×477×2，907×397×1，777×447×2，777×547×1，777×447×1，777×297×1，397×647×1，387×997×1，777×297×1,，77×597×1主要运用整数规划。

下料问题的解法

有交货时间限制的大规模实用下料问题朱珠,王辉,张志敏指导老师：鲁习文(华东理工大学理学院数学系,上海200237)摘要：本文讨论了有交货时间限制的大规模单一原材料下料问题。

对于一维下料问题，本文提出一种新的算法：DP 贪婪算法。

在一维的基础上建立了二维的求解模型，运用降维思想结合一维的DP 贪婪算法，给出解决该模型的算法。

数值计算结果表明该算法对大规模下料问题是有效的。

关键词：下料问题，DP ，贪婪算法 1、问题描述单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中m i W w L l w i i i ,,1,, =<<<。

m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 。

下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.2、一维下料问题2.1 模型假设在充分了解并分析了实际情况后，我们对一维下料问题提出如下假设：（1）每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的数量等于最大下料能力。

（2）每个切割点处由于锯缝所产生的损耗不可忽略。

（3）增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加%08.0。

（4）每种零件有各自的交货时间，若某零件无交货时间，则记该零件交货时间为无穷大。

2.2 一维单一原材料实用下料问题的模型根据公司要求，目标是既要所用材料最少，也要下料方式少。

记m ：零件种类总数,i x ：第i 种下料方式下料的根数，k ：下料方式的种类数，:i δ第i 种下料方式的余料。

合理下料问题的线性规划模型

合理下料问题的线性规划模型合理下料问题的线性规划模型____________________________________________________合理下料问题是指从一定数量的原材料中切割出满足需求的最少数量的材料，以达到节约成本的目的。

传统的求解方法主要有剪切原理、贪心算法、动态规划等，这些方法无法很好地解决复杂的合理下料问题，而线性规划模型则能够有效解决。

一、线性规划模型的基本概念线性规划模型（Linear Programming Model, 简称LPM）是指一类用线性函数表示目标函数与约束条件的数学模型，其目标是最大化或最小化模型中的目标函数值。

线性规划模型可以用来求解工业生产中各种优化问题，其优化问题的特点是变量之间存在着线性关系。

二、合理下料问题的线性规划模型1、目标函数在合理下料问题中，我们的目标是要使用最少的原材料切割出所需要的部件，因此我们可以将目标函数定义为原材料的总数。

即：Min Z=∑Xi其中Xi表示第i件原材料的数量。

2、约束条件在合理下料问题中，由于需要满足一定的需求量，因此必须将原材料切割成满足需求量的部件，才能够实现合理下料。

因此，在定义约束条件时，必须包含满足需求量的要求。

即：∑Xi*Yi≥C (i=1,2,...n)其中Yi表示第i件原材料可以切割出来的部件数量，C表示部件的总需求量。

三、线性规划模型的应用合理下料问题是工业生产中常见的优化问题，通过线性规划模型可以很好地求解这一问题。

例如，对于一个具体的合理下料问题，已知有4件原材料，其切割情况如下表所示：| 原材料 | 长度/m | 可切割出部件数量 | 单价/元 || :------: | :-----: | :--------------------: | :-------: || X1 | 6 | 5 | 15 || X2 | 4 | 3 | 20 || X3 | 2 | 2 | 30 || X4 | 8 | 8 | 10 |已知部件的总需求量为20件，则该合理下料问题可用如下线性规划模型表示：Min Z=15X1+20X2+30X3+10X4 Subject to5X1+3X2+2X3+8X4≥20(X1, X2, X3, X4≥0)根据上述模型，通过数学软件可得到最优解X1=1.4, X2=0,X3=0, X4=2.5，此时目标函数值Z=45。

下料问题的基本建模方法

下料问题的基本建模方法下料问题，这个听起来似乎有点复杂的名词，其实在我们的日常生活中随处可见。

想象一下，厨房里你准备做一顿大餐，冰箱里有各式各样的食材，你得想办法把这些食材分配好，才能做出美味的菜肴。

下料问题就是类似于这样的一种情况——如何合理分配和利用资源，以达到最优的效果。

1. 什么是下料问题？下料问题，说白了就是在资源有限的情况下，怎么把这些资源用到刀刃上。

就像我们去市场买菜，预算有限，想吃的东西又不少，这时候就得做个计划，选择最重要的食材，确保一顿饭能色香味俱全。

说到这儿，大家可能就会想，为什么要研究这个问题呢？其实，这个问题不仅在厨房里，在工厂、物流、甚至建筑行业中都能找到它的身影。

1.1 实际应用比如说，在家具厂，工人们要从大块木料中切出各种家具部件。

这时候就得考虑如何切割才能最大限度地利用木料，减少浪费。

再说物流行业，运输车上装载货物时，得安排好每件货物的位置，才能确保车的载重合理，同时也得保证卸货方便。

这个下料问题就像是一个拼图游戏，你得把所有的块拼在一起，才能完成一幅完整的画。

1.2 建模的必要性那么，建模在这个过程里起到什么作用呢？简单来说，建模就是用一种简单的方式把复杂的问题抽象出来，让我们能够更清楚地看到全局。

就好比是画地图，地图把复杂的地形变得一目了然，让你能轻松找到方向。

通过建模，我们可以用数学的方法分析资源分配，找到最佳解决方案。

就像打麻将，牌打得好，赢得快，心情自然也好。

2. 下料问题的建模方法下料问题的建模方法其实有很多，常见的有线性规划、动态规划等。

听起来像是数学课上那些让人头疼的公式，但其实它们都能帮助我们找到最佳的解决方案。

2.1 线性规划先说线性规划吧。

这是一个非常经典的建模方法。

简单地说，线性规划就是把我们的资源和需求用数学式子表示出来，然后通过求解这些方程，找出最优解。

就像是给自己定了一个目标，要在最短的时间内把所有的食材都切好。

只要好好规划，你就能把厨房变成一个高效的“生产线”。

4.3 下料问题

优化建模之下料问题一般下料问题的最优解法下料问题的非线性方法大型下料问题的处理问题：如何下料最节省?原料钢管:每根19米4米50根6米20根8米15根客户需求例1 下料问题余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料（米）14003231013201341203511116030170023为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？决策变量x i ~2.所用原料钢管总根数最少1.原料钢管剩余总余量最小目标函数：两种标准min Z 1=3x 1+x 2+3x 3+x 4+x 5+x 6+3x 7min Z 2=x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7按第种模式切割的原料钢管根数(i =1,2,⋯,7)i约束4x 1+3x 2+2x 3+x 4+x 5≥50x 2+2x 4+x 5+3x 6≥20x 3+x 5+2x 7≥15模式4米根数6米根数8米根数余料14003231013201341203511116030170023需求502015整数约束：x i 为整数model:Title钢管下料;Min=3*x1+x2+3*x3+3*x4+x5+x6+3*x7; 4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5>50;x2+2*x4+x5+3*x6> 20;x3+x5+2*x7>15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); @gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);end例2 续例1下料问题客户增加需求：5米10根由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。

如何下料最节省？现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，由搜索算法确定有16种合理切割模式。

合理下料问题

合理下料问题摘要节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业领域来说都是一项有意义的事情。

本文提出了下料问题的一种使用数学模型，来研究钢管最合理的切割方法。

关键字：最优化线性规划 LINGO软件一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。

此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？二、问题分析1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省，获利最多。

2、①从题目给出的数据可知，客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下7种：方式4m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 3二 3 1 0 1三 2 0 1 3四 1 2 0 3五 1 1 1 1六0 3 0 1七0 0 2 3②从题目给出的数据可知，客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下16种：方式4m钢管/根5m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 0 3二 3 1 0 0 2三 3 0 1 0 1四 2 0 0 1 3五 2 2 0 0 1六 2 1 1 0 0七 1 0 2 0 3八 1 3 0 0 0九 1 1 0 1 2十 1 0 1 1 1 十一0 0 3 0 1 十二0 0 0 2 3 十三0 1 2 0 2 十四0 1 1 1 0 十五0 2 0 1 1 十六0 2 1 0 3三、模型假设（1）假设切割不损失钢管。

四、符号说明Xn表示采用方式n的次数；Z表示切割总根数。

下料的允许偏差

预热器制作方案编制：0 审核：批准：一、工程概况及编制依据1.1工程概况：1.1.1 该工程属1.1.2 制作范围本设备为水泥熟料生产线烧成窑尾塔架上安装的预热器设备，主要由5级旋风筒壳体、各级下料管、各级风管和分解炉、烟室及其辅件构成。

采用现场制作、涂装、加固、预组装，每台套主要包括但不限于下表各部件。

a）设计院提供的图纸和《制作要领书》、《检测要领书》等技术文件；b）JC 465-2006《水泥工业用预热器分解炉系统装备技术条件》；c）GB50205-2001《钢结构工程施工质量验收规范》；d）JC/T402-2006《水泥机械涂漆防锈技术条件》；e）与本工程施工及验收相关的规程、规范；F）本公司有关规章制度。

二、预热器主要施工技术方案施工技术工艺的原则是：根据安装顺序由下至上分段制作。

2.1施工工艺流程施工准备→下料、划线→卷制→分段组对→外形尺寸检查→焊接→涂装。

由于本工程构件较多，但许多构件类似，所以在此不一一叙述。

现以C5旋风筒为例，其余做法与之相同。

制作场地如下图所示：因施工现场场地不平整，为达到设计要求，在制作时应先在场地铺设临时钢平台作为胎架。

C5旋风筒总重是34吨，按照图纸断开（如下图所以），第一段10.8吨，第二段9.5吨，第三段8.3吨，第四段5.3吨。

因此在制作区1#和2#各安装一台10T和一台5T的行车，以满足制作的需要。

2.2施工工序2.2.1施工准备2.2.1.1技术准备(1) 认真熟悉图纸，了解设计要求及工艺要求，做好图纸会审工作。

(2) 编制合理的制作工艺、安装工艺和工期要求。

(3) 做好技术交底工作，让每个制作人员都了解其设计要求，清楚制作工艺和安装工艺和规范要求，必须做到按图施工。

2.2.1.2工机具及人员准备：根据工程需要及时提供所用工机具主要工机具计划项目组织机构及人员配置表2.2.1.3材料准备(1)按施工顺序和施工计划编制符合施工进度要求的材料计划。