2011年益阳市一中保送生招生考试数学试题word版以及答案

2011年上学期九年级检测考试数学试题
参考答案与评分标准
一、选择题 题号 1
2
3
4
5
6
7
8 答案
C C B C C B D
D
二、填空题
9、2(a-2)(a+2) 10、24x x ≥-≠且 11、8.5 12、120 13、4 14、
4
3
15、1 16、（36，0） 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17、
解：2
2
2()()()()a a b a a b a b a b a b b
+-==-+ 原式……………………………… (3分) 00|tan60|30tan603,3a b a b -++=∴===- …………(5分)
当3,3a b ==-时，原式=22(3)1
(3)3
=- …………………………… (6分)
18、
解： 523(1)52554231
28271422x x x x x x x x x +>-⎧⎧
>->-⎧⎪
⎪⇒⇒⇒-<≤⎨⎨⎨≤-≥-⎩⎪⎪≤⎩⎩
………(5分)
……………(6分)
四、解答题（本大题两小题，每小题8分，共16分）
19、如图 ，在ABC △中，36AB AC A =∠=，°，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接BE ．
（1）求∠CBE 的大小；
（2）求证：2
AE AC EC = ．
（1）∵DE 是A B 的垂直平分线，∴EA EB =，∴36EBA A ∠=∠=° ……(1分) ∵36AB AC A =∠=，
°， ∴72ABC C ∠=∠=° ………………………… (2分) ∴36CBE ABC EBA ∠=∠-∠=°． …………………………………………… (3分)
（2）由（1）得，在△BCE 中，7236C CBE ∠=∠=°
，°， ∴72BEC C ∠=∠=°，…………………………………………………………… (4分) ∴BC BE AE ==……………………………………………………………………(5分) 在△ABC 与△BEC 中，CBE A ∠=∠，C C ∠=∠，
52-
∴ABC BEC △∽△．∴
AC BC
BC EC
=，即2 BC AC EC = ．……………(7分) 故2 AE AC EC = ． ………………………………………………………… (8分)
20、某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的要求需要完成总面积为80 m 2
的三个项目任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示：
(1) 在扇形统计图中表示擦玻璃的扇形的圆心角等于 72 度………(1分) (2) 如果x 人每分钟擦课桌椅面积是y m 2
，那么y 关于x 的函数关系式是：
x y 2
1
=
；……………………………………………………………………… (2分) (3) 他们一起完成扫地拖地的任务后，把这13人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅,如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务? 解：(3)设分配x 人去擦玻璃,那么)13(x -去擦课桌椅,由题意得
)13(2
120
4116x x -=
,解之得8=x …………………………………………… (6分) 经检验, 8=x 是原方程的解.此时)13(x -=5……………………………… (7分) 答: 分配8人去擦玻璃,5人去擦课桌椅才能最快地完成任务……………… (8分) 五、解答题（本大题两小题，每小题10分，共20分）
21、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ；
（2）求证：DE 为⊙O 的切线；
E
A
O
地面55% 玻璃 20%
课桌椅 25%
擦玻璃 擦课桌椅 扫地拖地
项目
面积（m 2）
各项目面积比例统计图 每人每分钟完成各项目工作量统计 12
13
14
（3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长.
证：（1）连接AD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=900。

………………………………(1分)
又∵CD=BD ，∴AD 是BC 的垂直平分线。

∴AB=AC ……………………(3分) （2） 连接OD ，∵BD=DC ，BO=OA ，∴OD//AC ，……………………………… (5分) 又ED ⊥AC ，∴ED ⊥OD 故DE 为⊙O 的切线………………………………………(6分) （3）∵∠BAC=600
，∴∠BAD=300
…………………………………………… (7分) 故在Rt △ADB 中，AB=10，BD=5，AD=53 …………………………………… (8分)
在Rt △ADE 中，DE=ADsin ∠DAE=1532⨯
=532
…………………………… (10分) 22、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价
定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 解：（1）根据题意得65557545.
k b k b +=⎧⎨
+=⎩，
解得1120k b =-=，．
所求一次函数的表达式为120y x =-+．………………………………………(2分) （2）(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+- ……………………… (3分)
2(90)900x =--+，
抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大
而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元…… (6分)
（3）由500W =，得2
5001807200x x =-+-，
整理得，2
18077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．……………… (9分)
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．………………… (10分) 六、解答题（本大题两小题，每小题12分，共24分）
23、如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是边BC 延长线段上的一点，连接AP 交
边CD 于点E ，把射线AP 沿直线AD 翻折，交射线CD 于Q ，设CP=x,DQ=y （1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）当点P 运动时，△APQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ 的面积S 关于x 的函数关系式；如果不发生变化，请说明理由。

（3）当以4为半径☉Q 与直线AP 相切，且☉Q 与☉A 也相切时，求☉A 的半径。

解：（1）∵CE//AB ，∴Rt △PCE ∽Rt △PBA ∴
CE CP AB BP = ,34
CP x
CE AB BP x ==+ ……………… (2分) ∵∠AQD=∠AED=∠PEC ，∠ADQ=∠PCE=900 ∴Rt △ADQ ∽Rt △PCE ，DQ AD CE CP = 即AD
DQ CE CP
= ∴4312
(0)4x y x x x x
=
=>+ ……………………… (4分)
（2）△APQ 的面积不会发生变化………………… (5分)
11
2(4)1222
APQ AEQ PEQ S S S EQ BP y x ∆∆∆=+=
=+= …………… (7分)
（3）作QG ⊥AP 于G ，则QG=4。

设☉A 的半径外r 由1
122
APQ S AP QG ∆=
= 得：AP=6 ……………………………………(8分) 在Rt △ABP 中：AB 2
+BP 2
=AP 2
，即：32
+（4+x ）2
=62
，解得：x=433-±
∵x>0, ∴x=433-+，从而DQ=y=
1243
43
x =
+ ∴ AQ=
2283
3
AD DQ +=
……………………………………………(10分) ①☉Q 与☉A 外切时：AQ=4+r ∴r=83
43
-+
………………………(11分) ② ☉Q 与☉A 内切时：AQ=r-4 ∴ r=83
43
+
………………………(12分) 24、如图所示，已知在直角梯形OABC 中，A B O C B C ∥，⊥轴于点
(11)(3C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，
沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ
△与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．
A
B C
P
Q
D
23题图
E
G
（1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式；（2）求S 与t 的函数关系式；
（3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛
物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠．
把(11)A ，，(31)B ，代入上式得：
11931a b a b =+⎧⎨
=++⎩解得13
43a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+…………(3分) （2）分三种情况：①当02t <≤，重叠部分的面积是OPQ S △，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，
∵(11)A ，，在Rt OAF △中，1AF OF ==，45AOF ∠=°， 在Rt OPQ △中，OP t =，45OPQ QOP ∠=∠=°，
∴2
cos 452
PQ OQ t t ===°，∴2
2121224S t t ⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭
…(5分) ②当23t <≤，设PQ 交AB 于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，
45OPQ QOP ∠=∠=°，则四边形OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是OAGP S 梯形．
∴2AG FH t ==-， ∴11
()(2)1122
S AG OP AF t t t =
+=+-⨯=-．………………………………(7分) ③当34t <<，设PQ 与AB 交于点M ，交BC 于点N ，重叠部分的面积是OAMNC S 五边形． 因为P N C △和BMN △都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是
OAMNC S 五边形BMN OABC S S =-△梯形．
∵(31)B ，，OP t =，∴3PC CN t ==-， ∴1(3)4BM BN t t ==--=-， ∴211(23)1(4)22S t =
+⨯-- 2111
422
t t =-+-．…………………………(10分) （3）存在 11t = 22t =…………………………………………………(12分)
2 O A B
C
x
y
1 1 3 P 第24题图1 Q
F 2 O
A
B C x
y 1
1
3 第24题图3
Q
F
M
P
N 2
O A B
C
x
y 1
1 3
第24题图2 Q
F G P H。