人教B版选修(2-1)2.1.1《曲线与方程的概念》word教案1

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高中数学人教B版选修2-1第二章《2.1.1 曲线与方程的概》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教B版选修2－1第二章《2.1.1 曲线与方程的概》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与能力:通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

2.过程与方法:理解曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系、渗透转化与化归的思想与数形结合的思想。

3.情感态度与价值观:培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神。

2学情分析
新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的发展背景,过程和本质,揭示人们探索真理的道路。

本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”,“圆的方程”入手,以集合相等,辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”,进一步强化了概念理解的深刻性。

无论是判断、证明,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准则。

3重点难点
1.教学重点:理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

2.教学难点:对曲线与方程对应关系的理解。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】曲线与方程
1.通过投影呈现几个教材内容的片断,为新课的学习作一些必要的铺垫.
片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语:
……通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法。

高中数学选修2-1精品教案1：2.1.1 曲线与方程教学设计

2.1.1曲线与方程（一）教学目标１、知识与技能：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.２、过程与方法：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.３、情感、态度与价值观：加深对数形结合的理解.（二）教学重点与难点重点：通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念.难点：对曲线与方程的概念的理解.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.（三）教学过程一.问题引入在必修2中我们过直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中研究的方法有什么不同呢？借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题？老师引导学生得出：用解析的方法，研究直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.二.思考分析在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.三.抽象概括曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．四.例题分析及练习[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.[感悟体会](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．训练题组11．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0解析：方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.答案：C[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [思路点拨] 对于(1)，只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求出m 的值．[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185，∴m 的值为2或－185. [感悟体会](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．训练题组23．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．答案：B4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点， ∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4. 答案：4 15．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]. 五.课堂小结与归纳1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．六.当堂训练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析：A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错；D 中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线，所以D 正确．答案：D3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.4．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)、(－1，－1)D ．(0,0)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B.方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0，∴x ≤0，因此选B.6．若点P (2，－3)在曲线x 2－ky 2＝1上，则实数k ＝________.解析：将P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝13.答案：137．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2y ＝±2，∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③8．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝ 4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.。

高中数学2.1曲线与方程教案(1)(新人教B版选修2-1)

2.1曲线与方程（3课时）一、教学目标使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．二、教学重难点：1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验．四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2 (a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4a2b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课后反思：求轨迹方程一节难度较大，通过学习圆锥曲线前的学习，学生对求轨迹方程所遵循的五个基本步骤掌握的很好，在心理上战胜了困难，这一节课在原有的基础上难度有所加大，学生掌握的比预计的理想，说明学生的兴趣及信心非常重要，在平时教学过程中一定要注意培养学生的学习积极性。

人教B版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程(第1课时)》教学课件1

圆心为C(a,b)，半径为r的圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2
如果M(x0,y0)是圆上的点,那么它到圆心的距离一定等于半径,即 (x0 a)2 ( y0 b)2 r ，
也就是 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2，这说明它的坐标(x0,y0) 是方程 (x a)2 ( y b)2 r2 的解;
反过来,如果(x0,y0)是方程 (x a)2 ( y b)2 r2 的解,即 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ,也就是 (x0 a)2 ( y0 b)2 r ，即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以 C(a,b)为圆心,r为半径的圆上。
点坐标。
四、应用举例
例3：已知 C1：x2+y2+6x-16=0； C2:x2+y2-4x-5=0 求证：对于λ≠-1的实数，方程
x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0 是通过两个已知圆交点的圆的方程。
过两圆交点的圆系
一般地，对于两条曲线F(x,y)=0和 G(x,y)=0，则过两条曲线交点的曲线系方程是
这条曲线C叫做这个方程F(x,y)=0的曲线。 F(x, y) 0
y
M (x, y)
O

三、概念形成
概念1.曲线与方程之间的对应关系
思考与讨论
下面两个命题正确吗？
（1）到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x
（2）如图，MA和MB分别是动点M（x，y）与两个定点
A（-1,0），B（1,0）的连线，使∠AMB为直角的轨迹方程
(1+λ) x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-5λ=0，

2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-1-1 曲线与方程的概念精品

2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点)．思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的____________．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①________________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做______________；曲线C叫做______________．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．思考2方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了______________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．类型二曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．1．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( ) A ．f (x －3，y )＝0 B ．f (y ＋3，x )＝0 C ．f (y －3，x ＋3)＝0D ．f (y ＋3，x －3)＝02．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x －y ＝0对称3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．提醒：完成作业第二章 2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆．思考2y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理轨迹方程①曲线C上点的坐标②曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．梳理(2)一一对应题型探究例1 B跟踪训练1 D例2证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．跟踪训练2 解由方程(x ＋y －1)·x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)．例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.跟踪训练3 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 当堂训练1．D 2.C 3.两条相交直线 4．4 1 5.4个点。

人教b版选修2-1 2-1-1曲线与方程的概念

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1.1曲线与方程的概念一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0C ．y ＝lgx 2与y ＝2lgxD ．x －y ＝0与y ＝lg 10x[答案] D[解析] ∵lg 10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg 10x 表示相同的曲线．2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( )A ．±3B ．0C ．±2D. 一切实数 [答案] A[解析] 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±2[答案] B4．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x ＋3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D. 5．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点，是( ) A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5)[答案] B[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )A ．经过P 点B ．经过原点C ．经过P 点和原点D ．不一定经过P 点[答案] A[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．7．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线 [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x 得x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0，∴表示两条直线．8．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2B ．4C ．0D ．与a 的取值有关 [答案] A[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.9．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.10．(2009·山东泰安)方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1 [答案] A[解析] y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x ≥0)－ax (x <0)式中a >0，分别画图象，观察可得a >1时，两曲线有两个交点．二、填空题11．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．[答案] 两条线段[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段．12．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．[答案] (x －1)2＋(y －2)2＝4[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2 ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.13．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．[答案] k >5；k ＝5；0<k <5[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究．14．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____．[答案] 2[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.三、解答题15．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，且|AB |＝5，求实数b 的值．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2. 消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①运用x 1＋x 2＝－b 2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.16．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0的曲线．[解析] 把方程(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0或x －y －2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0x －y －2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32) ∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0. 17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．[解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与c 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2 解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2. 18．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值． [解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2 ② 由②代入①得：x 2＋x －m ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m |AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m ＝32得 ∴1＋4m ＝9，∴m ＝2.。

高中数学选修2-1精品教案7：2.1.1 曲线与方程教学设计

2.1.1曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境：在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题：怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．【解析】判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．【答案】解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解，所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．【答案】解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上，∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ．【答案】解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）．说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.1.1 曲线与方程的概念

曲线与方程的概念学习目标.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考设平面内有一动点，属于下列集合的点组成什么图形？(){＝}(，是两个定点)；(){＝}(为定点)．思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的．一个二元方程总可以通过移项写成(，)＝的形式，其中(，)是关于，的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线与方程(，)＝之间具有如下关系：①都是方程(，)＝的解；②以方程(，)＝的解为坐标的点都在上．那么，方程(，)＝叫做；曲线叫做．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解，能否说(，)＝是曲线的方程？试举例说明．思考方程－＝能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程－＝呢？梳理()曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线的点集和方程(，)＝的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．()曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(，)建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度曲线与方程的判定例命题“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”是正确的，下列命题中正确的是()．方程(，)＝的曲线是．方程(，)＝的曲线不一定是．(，)＝是曲线的方程．以方程(，)＝的解为坐标的点都在曲线上。

数学2.1.1《曲线与方程的概念》教案(4)(新人教B版选修2-1)

§2.5.2求曲线的方程●教学目标1．了解解析几何的基本思想；2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；3．初步掌握求曲线的方程的方法.●教学重点求曲线的方程●教学难点求曲线方程一般步骤的掌握.●教学过程Ⅰ.复习回顾：师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.Ⅱ.讲授新课1．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合－,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0;（4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B （图7—31），那么点M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P由距离公式，点M 适合的条件可表示为：2)2(22=--+y y x ①将①式移项后再两边平方，得x 2+(y －2)2=(y +2)2,化简得：281x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0,虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是281x y = (x ≠0) 。

《曲线与方程的概念》教案5(新人教B版选修2-1)

§2.5.1曲线与方程●教学目标1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2．会判定一个点是否在已知曲线上. ●教学重点曲线和方程的概念 ●教学难点曲线和方程概念的理解 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.Ⅱ.讲授新课1．曲线与方程关系举例：师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-。

这就00那么它到圆心的距离一定等于半径，即r b y a x =-+-2020)()(，也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。

（如右图）.2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3．点在曲线上的充要条件：如果曲线C 的方程是f （x ,y ）=0，那么点P 0=（x 0,y 0）.在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0. 4．例题讲解：例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。

2020版数学人教B版选修2-1课件：第二章 2.1.1 曲线与方程的概念 Word版含解析.pdf

第二章§2.1　曲线与方程2.1.1　曲线与方程的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点　曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的 .一个二元方程总可以通过移项写成F (x ，y )＝0的形式，其中F (x ，y )是关于x ，y 的解析式.在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系：① 都是方程F (x ，y )＝0的解；②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在C 上.那么，方程F (x ，y )＝0叫做；曲线C 叫做 .轨迹方程曲线C 上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)一一对应建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.如果曲线l 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则1.曲线l 的方程是F (x ，y )＝0.( )2.方程F (x ，y )＝0的曲线是l .( )3.坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线l 上.( )4.坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线l 上.( )思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×2题型探究PART TWO题型一　曲线与方程的概念理解与应用命题角度1　曲线与方程的判定例1　已知坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么A.曲线C 上的点的坐标都适合F (x ，y )＝0B.凡坐标不适合F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合F (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合F (x ，y )＝0，有些不适合F (x ，y )＝0多维探究√解析　“不在曲线C 上的点的坐标必不适合F (x ，y )＝0”是“坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的逆否命题.所以C 正确.反思感悟　解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1　设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是A.坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C.坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上√D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0解析　“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B 显然错.命题角度2　曲线与方程的概念应用例2　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.反思感悟　解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).题型二　曲线与方程关系的应用例3　已知方程x2＋(y－1)2＝10.引申探究本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围.解　结合点与圆的位置关系，得a2＋(2－1)2>10，即a2>9，解得a<－3或a>3，故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).反思感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIGUANXIANGXIANG由方程判断曲线√即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.素养评析　(1)由具体的方程判断曲线的步骤(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养.3达标检测PART THREE1.方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为√A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线A.关于x轴对称B.关于y轴对称√C.关于原点对称D.关于直线x－y＝0对称解析　同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.两条相交直线3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为______________.解析　原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.41 4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B ，则a＝____，b＝____.5.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________.∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点.4个点课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.。

人教版高中数学选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案(基础)

学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2 课时教学课题人教版选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案（基础）教学目标知识目标：掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．能力目标：通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养综合运用各方面知识的能力．情感态度价值观:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．教学重点与难点重点：曲线轨迹方程难点：曲线与方程关系与联系教学过程（一）曲线的方程、方程的曲线知识梳理在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.练习：在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？提示：|P A|＝x－22＋y2.问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示：x－22＋y2＝x＋22＋y2.问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．例题精讲[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．巩固训练1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0例题精讲[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．巩固训练3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．例题精讲[例3] 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．巩固训练6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．【方法技巧】1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．课后作业【基础巩固】1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )3．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝14．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________.5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A ―→·PB ―→＝x 2，则点P 的轨迹方程是________． 6．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线．【能力提升】7．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝08．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．星火教育一对一辅导教案学生姓名性别女年级高二学科数学授课教师贺老师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2 课时教学课题人教版选修2-1第二章 2.1曲线与方程（基础）同步复习教案教学目标知识目标：掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．能力目标：通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养综合运用各方面知识的能力．情感态度价值观:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．教学重点与难点重点：曲线轨迹方程难点：曲线与方程关系与联系教学过程（二）曲线的方程、方程的曲线知识梳理在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.练习：在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？提示：|P A|＝x－22＋y2.问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示：x－22＋y2＝x＋22＋y2.问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．例题精讲[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．巩固训练1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0例题精讲[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．巩固训练3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．例题精讲[例3] 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．巩固训练6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．【方法技巧】1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．课后作业【基础巩固】1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )3．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1 4．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________.5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A ―→·PB ―→＝x 2，则点P 的轨迹方程是________．6．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线．【能力提升】7．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝08．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．答案：．[例1][思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B2.解析：方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.答案：C[例2] [精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185. 3．解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．答案：B4．解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点， ∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4. 答案：4 15．解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12. ∴k ≤12， ∴k 的取值范围是(－∞，12]. [例3] [思路点拨] 关键是寻找Q 点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ ⊥OP ，还可考虑Q 是OP 的中点．[精解详析] 法一：(直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法二：(定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法三：(代入法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得 ⎩⎨⎧ x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)． 6．解：设动点C 的坐标为(x ，y )．∵△ABC 为以A 为顶点的等腰三角形，∴|AB |＝|AC |，∴(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，即(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3,5)．所以点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10，它表示以(4,2)为圆心，以10为半径且去掉(3,5)，(5，－1)的圆．7．解：设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)．由重心坐标公式得⎩⎨⎧ x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.代入y 1＝3x 21－1，得 3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．解析：A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错；D 中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线，所以D 正确．答案：D3．解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)，P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C4．解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B5．解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k ＝0.答案：06．解析： uu u r PA ＝(－x －2，－y )，uu u rPB ＝(3－x ，－y )，则uu u r PA ·uu u rPB ＝(－x －2)(3－x )＋(－y )2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6.答案：y 2＝x ＋67．解：(x ＋y －1)x －y －2＝0写成 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，或x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x ≥32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)，∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)或直线x －y －2＝0.8．解：法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y )．∵l 1，l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2，∴P A ⊥PB .当x ≠1时，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1，∴21－x ·2－y1＝－1.整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．当x ＝1时，A ，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y )．连接PM ，如图．∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2，|AB |＝(2x )2＋(2y )2，∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2.化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M .∴|MP |＝|MO |.∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.。

人教版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程》教学设计

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. （二）学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（三）学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第34页至第35页.（2）想一想：什么是曲线的方程与方程的曲线？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=，则下面说法正确的是（）A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断，条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解，满足了曲线和方程的概念条件，而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点，故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C（二）课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例，认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1：作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足：（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方程（数量）变式：作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）。

人教B版高中数学选修曲线与方程的概念教案(1)(1)

2.2.1双曲线的标准方程【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】:一.情境设置(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？(2)探究新知:(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。

(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

高中数学人教B版选修2-1配套课件：2.1曲线与方程

曲线C的方程
．
两曲线的交点
已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝ 0 ，求两条曲线 C1 和 C2 的交点，只要联立方程组
Fx，y＝0， Gx，y＝0，
求它的实数解就可得到．
求曲线方程的一般步骤
(1)建系：建立适当的坐标系曲线上任一点 M 的坐标； (2)设点：写出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{M|P(x)}； (3)列式：用坐标表示条件 P(x)，列出方程 F(x，y)＝0； (4)化简：化方程 F(x，y)＝0 为最简形式； (5)检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. ，用有序实数对(x，y)表示
2．过程与方法 (1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识； (2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点； (3)在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化 “形”与“数”结合并相互转化的思想方法．
1．判断“方程是曲线的方程”和“曲线是方程的曲线”的方法
2．点 P(x0，y0)与曲线 C：f(x，y)＝0 的关系 (1)点 P 在曲线 C 上⇔f(x0，y0)＝0. (2)点 P 不在曲线 C 上⇔f(x0，y0)≠0.
判断下列命题是否正确，并说明原因． (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 y＝x； (2)已知 A、 B 两点的坐标分别为(－1,0)和(1,0)，则满足∠ACB ＝90° 的动点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
3．情感、态度与价值观 (1)通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律； (2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．

高中数学 2.1.1曲线与方程教案1 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案

§2．1．1曲线与方程[学情分析]：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。

[教学目标]：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神[教学重点]：理解曲线与方程的有关概念与相互联系[教学难点]：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕[课前准备]：多媒体、实物投影仪[教学过程设计]：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题： (1)求如下图的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy=引导学生分析：〔1〕如果点00(,)M x y是这条直线上的任意一点，那么它到两坐标轴的距离相等，即00x y=，那么它的坐标00(,)x y是方程xy=的解。

〔2〕如果00(,)x y是方程xy=的解，即00x y=，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。

通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。

二．复习、引入(2) 仿照〔1〕说明：以(,)a b为圆心，以r为半径的圆与方程222()()x a y b r-+-=的关系王新敞引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形〞与代数中的⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，那么它到圆心的距离等于半径，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的解；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，那么可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径，点M 在圆上。