2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

合集下载

2012各省高中数学联赛预赛试题汇编(续)(含答案)(精)

山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数f(x)=题)解:f(x)=立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)解:设x1x2 xm为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得44Cm+2个吉(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,x1x2 xm为第Cm+3个吉祥数.1x2 xm为第的最大值是________________ ; (王泽阳供≤,=即x=12时成祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共C54C6=154=5个,三位吉祥数共个,=15因以1为首位的四位吉祥数共C64数为:个,以2为首位的前两个四位吉祥2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,f(n)=nn+1.则f(2012)=______; (王林供2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 1 页交流学习提高题)解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故a=12012!,x(x-1)(x-2) (x-2011)2012!(x+1)2012!2012!2013+20122013=20132013f(x)=+xx+1,f(2012)==1.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.5.如图，设O,I分别为∆ABC的外心、内心，且∠B=60 ，AB＞BC，∠A的外角平分线交⊙O于D，已知AD=18,则OI=_____________.(李耀文供题)解: 连接BI并延长交⊙O于E,则E为弧AC的中点.连OE、AE、CE、OC，由∠B=60 ，易知∆AOE、∆COE均为=IE=CE正三角形.由内心的性质得知：AEA,所以、O、I、C四点共圆,且圆心为E.再延长AI交⊙O于F,=2∠OAI由题设知D、O、F共线，于是∠OEI,∠AOD=2∠AFD=2∠OAI,2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 2 页交流学习提高又OA=OD=OE=IE, 从而∆OAD≌∆EOI, 故OI=AD=18.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知2(p-1)k⇔(p-1)k∙2(p-1)k≡1(modp),所以, p|(n2n-1)≡1(modp)⇔(p-1)k≡1(modp)⇔k≡-1(modp).2(p-1k)取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有(p-1)k∙p|(n2n-1).≡1(mopd)即7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB 于F，延长CP中豪供题)证法1: 设CG交AD于Q,由∠∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG交于R，由AD∥BR, AD=BC得AFFB=BCBR①BCBR=QEED又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得由①,②得AFFB=QEED②,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF. 2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 3 页交流学习提高证法2:联结GB,GD,令∠GCB=α,∠GCD=β, 由正弦定理得:=BFsin∠BFPGBGD⋅=sinαsinβ=BPsin∠PBCDPsin∠PDCBFDEsin∠PBCDEsin∠DEPsin∠PDC=,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足: (1)|Ai|=36,i=1,2,…,10; (2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文供题) 解:答案:存在.3考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有C10=120个,每个作为集合A的一个元素.2对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有C9=36个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为11的0,1数列恰有C8=8个,它们是Ai∩Aj的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形. (邹明供题)解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 4 页交流学习提高1,2,…,n的正方形⇔12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)矛盾!若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v2,4k+1=u2,消去k得4v2-3u2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=15³13=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式p(x)=3x+ax+bx+c32有三个非零实数根.求证:6a3+10(a2-2b)2题) -12ab≥27c. (李胜宏供证明:设α,β,γ为p(x)=0的三个根,由根与系数关系⎧α+β+γ=-a⎪⎨αβ+βγ+γα=b⎪αβγ=-c⎩222得: 3a-2b=α+β+γ.原式⇔6a(a-2b)+10(a-2b)2≥27c3222222222⇔6(α+β+γ)(α+β+γ)-10(α+β+γ)2≤27αβγ ①.222若α+β+γ=0,则①成立.2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 5 页交流学习提高若α2+β2+γ2>0,不妨设|α|≤|β|≤|γ|,由①的齐次性,不妨设α+β+γ222=9,则γ2≥3,2αβ≤α+β22=9-γ2≤6.①⇔2(α+β+γ)-αβγ≤10.因[2(α+β+γ)-αβγ]=[2(α+β)+(2-αβ)γ]≤[4+(2-αβ)][(α+β)+γ]232 =[8-4αβ+(αβ)](9+2αβ)=2(αβ)+(αβ)-20(αβ)+72 22222=(αβ+2)(2αβ-7)+100≤100,所以,2(α+β+γ)-αβγ≤10.故原式2成立.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则点 P 与点Q间的最小距离为____________；⎧⎪0≤OP⋅OA≤1,则点2.向量OA=(1,0),OB=(1,1),O为坐标原点，动点P(x,y)满足⎨⎪⎩0≤OP⋅OB≤2Q(x+y,y)构成的图形的面积为3. 设有非空集合A⊆{1,2,3,4,5,6,7}且当a∈A时，必有8-a∈A，这样的集合A的个数是_____________；⎧⎪x-[x],x≤0,其中[x]表示不超过x的最大整数，4.设f(x)=⎨若f⎪⎩f(x-1),x>0(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个；6.若tanx1⋅tanx2⋅⋅tanx2012=1,则sinx1⋅sinx2⋅⋅sinx2012的最大值是2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 6 页交流学习提高7.设函数f:R→R，满足f(0)=1且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)= ；8.实数x,y,z满足x2+y2+z2=1，则xy+yz的最大值为二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 . 【答案】4３．设,,[0,1]x y z ∈，则||||||M x y y z z x ---是 . 21【解析】不妨设01,x y z ≤≤≤≤则.M y x z y z x =---2[()()]2().y x z y y x z y z x ---+-=-所以2()(21)2 1.M z x z x z x --=- 当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 2 1.M =4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 .【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos 3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[2,).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是．【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．９．（本小题满分１６分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （１）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（２）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．１０．（本小题满分２０分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n na a a a a a +++=+++ （１）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（２）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．１１．（本小题满分２０分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（２）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．【解析】因为,,OB OD AB AD BC CD ====所以,,O A C 三点共线如图,连结BD ,则BD 垂直平分线段AC ,设垂足为K ,于是有()()OA OC OK AK OK AK ⋅=-+22OK AK =-2222()()OB BK AB BK =---22226420OB AB =-=-= (定值)(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),22XMA ππαα=∠-≤≤则2XOC α∠=. 因为2222(22cos )(2sin )8(1cos )16cos,2OA αααα=++=+=所以4cos2OA α=由(1)的结论得cos5,2OC α=所以cos5.2x OC α==从而sin5tan[5,5].22y OC αα==∈-故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B -2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知︒==BDADB，3=CD，则BDCAD，2∠60∠=CDA=∠=四面体ABCD的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于BA ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yOPAB2010年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .解答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得OEPC 1B 1A 1CBA3,2,5111=====PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2009全国高中数学联合竞赛一试试题（考试时间 10月11日8：00－9：40）本试卷共二个大题，满分100分，不能使用计算器一、填空题（本大题共8小题，每题7分，共56分）1、若函数)]]([[)(,1)()(2x f f f f x f x xx f n n =+=且，则=)1()99(f ； 2、已知直线L ：09=-+y x 和圆M ：01882222=---+y x y x ，点A 在直线L 上，B 、C 为圆M 上两点，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的范围为；3、在坐标平面上有两个区域M ，N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥xy x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，设M ，N 的公共面积是)(t f ，则)(t f ＝4、使不等式312007111111-<+++++a n n n 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为5、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意两点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，则乘积|OP|·|OQ|的最小值为6、若方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，那么k 的取值范围是7、一个由若干数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排除的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

2012年全国高中数学联合竞赛试卷及解析

2012年全国高中数学联合竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是_______. 第II 卷（非选择题）二、填空题2.设P 是函数(0)y x x x=+>的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线,垂足分别为,A B ,则PA PB ⋅的值为 .3.设ΔABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足acosB−bcosA =35c .则tanA tanB =______.4.设x 、y 、z ∈[0,1].则M =√|x −y |+√|y −z |+√|z −x |的最大值是______.5.设同底的两个正三棱锥P−ABC 和Q −ABC 内接于同一个球.若正三棱锥P −ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABC 的侧面与底面所成角的正切值是______.6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是．7.满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是______.8.某情报站有A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A 种密码.那么，第七周也使用A 种密码的概率是______（用最简分数表示）.三、解答题9.已知函数f (x )=asinx −12cos2x +a −32+12，其中，a ∈R ，且a ≠0.(1)若对任意x ∈R ，都有f (x )≤0，求a 的取值范围.(2)若a≥2，且存在x ∈R ，使f (x )≤0，求a 的取值范围.10.已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有(a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n )2=a 13+a 23+⋅⋅⋅+a n 3.(1)当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a 1，a 2，a 3.(2)是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2013=−2012?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且|OB |=|OD |=6. (1)证明：|OA ||OC |为定值； (2)当点A 在半圆M ：(x −2)2+y 2=4(2≤x ≤4)上运动时，求点C 的轨迹.12.如图，在锐角ΔABC 中，AB >AC ，M 、N 是边BC 上不同的两点，使得∠BAM =∠CAN .设ΔABC 和ΔAMN 的外心分别为O 1、O 2.证明：O 1、O 2、A 三点共线.13.试证明：集合A ={2,22,⋅⋅⋅,2n ,⋅⋅⋅}满足（1）对每个a ∈A 及b ∈N +，若b <2a −1，则b (b +1)一定不是2a 的倍数；（2）对每个a∈A （A 表示A 在N +中的补集），且a ≠1，必存在b ∈N +，b <2a −1，使b (b +1)是2a 的倍数.14.设P 0,P 1,⋅⋅⋅,P n 是平面上n +1个点，其两两间的距离的最小值为d (d >0).证明：|P 0P 1||P 0P 2|⋅⋅⋅|P 0P n |>(d 3)n√(n +1)!.15.设S n=1+12+⋅⋅⋅+1n（n是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S n−[S n]}中有无穷多项属于(a,b)（[x]表示不超过实数x的最大整数）.参考答案1.A【解析】1.试题设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．2.1【解析】2.试题分析:设,则,即,解之得,所以,则,所以,应填1 ．3.4【解析】3.解法1 有题设及余弦定理得a⋅c2+a2−b22ca −b⋅b2+c2−a22bc=35c⇒a2−b2=35c2.故tanAtanB =sinA⋅cosBsinB⋅cosA=a⋅c2+a2−b22cab⋅b2+c2−a22bc=c2+a2−b2c+b−a=4.解法2 如图4，过点C作CD⊥AB，垂足为D.则acosB=DB，bcosA=AD.由题设得DB−AD=35c.又DB+DA=c，联立解得AD=15c，DB=45c.故tanAtanB=CD ADCDDB=DBAD=4.解法3 由射影定理得acosB+bcosA=c.又acosB−bcosA=35c，与上式联立解得acosB=45c，bcosA=15c.故tanAtanB=sinA⋅cosBsinB⋅cosA=acosBbcosA=4.4.√2+1.【解析】4.不妨设0≤x≤y≤z≤1.则M=√y−x+√z−y+√z−x. 由√y−x+√z−y≤√2[(y−x)+(z−y)]=√(z−x)⇒M≤(√2+1)√z−x≤√2+1.当且仅当x=0，y=12，z=1时，上式等号同时成立.5.4【解析】5.如图6，联结PQ .则PQ⊥平面ABC ，垂足H 为正ΔABC 的中心，且PQ 过球心O .联结CH 并延长与AB 交于点M .则M 为边AB 的中点，且CM ⊥AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥P −ABC 、正三棱锥Q −ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角. 则∠PMH =45°⇒PH =MH =12AH .由∠PAQ=90°，AH ⊥PQ ⇒AH 2=PH ⋅QH⇒AH 2=12AH ⋅QH ⇒QH =2AH =4MH .故tan∠QMH =QH MH=4.6.[√2,+∞)【解析】6. 略 7.33.【解析】7.由正弦函数的凸性，知当x ∈(0,π6)时，π3x <sinx <x .故sinπ13<π13<14，sinπ12>3π×π12=14，sinπ10<π10<13，sin π9>3π×π9=13.因此，满足14<sin πn <13的正整数n 的所有值分别为10、11、12，其和为33. 8.61243.【解析】8.用P k表示第k周用A种密码本的概率.则第k周末用A种密码的概率为1−P k. 故P k+1=13(1−P k)(k∈N+)⇒P k+1−14=−13(P k−14)⇒P k−14=34(−13)k−1⇒P k=34(−13)k−1+14⇒P7=61243.9.（1）(0,1]（2）[2,3]【解析】9.（1）f(x)=sin2x+asinx+a−3a.令t=sinx(−1≤t≤1).则g(t)=t2+at+a−3a.由题设知{g(−1)=1−3a≤0,g(1)=1+2a−3a≤0.解得a的取值范围为(0,1].（2）因为a≥2，所以，−a2≤−1.故g(t)min=g(−1)=1−3a.从而，f(x)min=1−3a.由题设知1−3a≤0. 解得0<a≤3.故a的取值范围是[2,3].10.（1）1，2，3或1，2，−2或1，−1，1.（2）a n={n, 1≤n≤2012;(−1)n2012, n≥2013.【解析】10.（1）当n=1时，a12=a13.由a1≠0，得a1=1.当n=2时，(1+a2)2=1+a23.由a2≠0，得a2=2或−1.当n=3时，(1+a2+a3)2=1+a23+a33.若a2=2，得a3=3或−2；若a2=−1，得a3=1.综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3或1，2，−2或1，−1，1.（2）令S n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n.则S n2=a13+a23+⋅⋅⋅+a n3(n∈N+).故(S n+a n+1)2=a13+a23+⋅⋅⋅+a n+13.两式相减并结合a n+1≠0，得2S n=a n+12−a n+1.当n=1时，由（1）知a1=1；当n≥2时，2a n=2(S n−S n−1)=(a n+12−a n+1)−(a n2−a n)，即(a n+1+a n)(a n+1−a n−1)=0.所以，a n+1=−a n或a n+1.又a1=1，a2013=−2012，则a n={n, 1≤n≤2012;(−1)n2012, n≥2013.11.（1）见解析（2）点C的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5)，(5,−5).【解析】11.（1）由|AB|=|AD|=|CB|=|CD|，|OB|=|OD|，知O、A、C三点共线.如图7，联结BD.则BD垂直平分线段AC.设垂足为K.故|OA||OC|=(|OK|−|AK|)(|OK|+|AK|)=|OK|2−|AK|2=(|OB|2−|BK|2)−(|AB|2−|BK|2)=|OB|2−|AB|2=20（定值）.（2）设C(x,y)，A(2+2cosα,2sinα)，其中，α=∠xMA(−π2≤α≤π2).则∠xOC=α2.又|OA|2=(2+2cosα)2+(2sinα)2=8(1+cosα)=16cos2α2，所以，|OA|=4cosα2. 由（1）的结论得|OC|cosα2=5.则x=|OC|cosα2=5.故y=|OC|sin α2=5tanα2∈[−5,5].因此，点C的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5)，(5,−5).12.见解析【解析】12.如图8，联结AO1、AO2，过点A作AO1的垂线AP与BC的延长线交于点P.则AP是⊙O1的切线.故∠B =∠PAC .因为∠BAM=∠CAN ，所以，∠AMP =∠B +∠BAM=∠PAC +∠CAM =∠PAN .从而，AP 是ΔAMN 外接圆⊙O 2的切线. 故AP⊥AO 2.因此，O 1、O 2、A 三点共线. 13.（1）见解析（2）见解析【解析】13. （1）对任意a∈A ，设a =2k (k ∈N +).则2a =2k+1.若b 是任意一个小于2a −1的正整数，则b . 由于b 与b+1中，一个为奇数，它不含质因子2，另一个为偶数，它含质因子2的幂的次数最多为k ，因此，b (b +1)一定不是2a 的倍数.（2）若a ∈A ，且a ≠1，设a =2k m ，其中，k ∈N ，m 为大于1的奇数.则2a=2k+1m .下面给出三种证明方法. 方法1 令b =mx ，b +1=2k+1y . 消去b 得2k+1y −mx =1.由(2k+1,m )=1，知方程必有整数解{x =x 0+2k+1t,y =y 0+mt,其中，t∈Z ，(x 0,y 0)为方程的特解.记最小的正整数解为(x ′,y ′).则x ′<2k+1.故b=mx ′<2a −1，使得b (b +1)是2a 的倍数.方法2 注意到，(2k+1,m )=1，由中国剩余定理，知同余方程组{x ≡0(mod2k+1)x ≡m −1(mod m ) 在区间(0,2k+1m )上有解x =b ，即存在b <2a −1，使得b (b +1)是2a 的倍数.方法3 由(2,m )=1，总存在r (r ∈N +,r ≤m −1)，使得2r ≡1(mod m ).取t∈N +，使得tr >k +1.则2tr ≡1(mod m ).存在b=(2tr −1)−q (2k+1m )>0(q ∈N )，使得0<b <2a −1.此时，m |b,2k+1|(b +1).从而b (b+1)是2a 的倍数.14.见解析【解析】14.证法1 不妨设|P 0P 1|≤|P 0P 2|≤⋅⋅⋅≤|P 0P n |. 先证明：对任意正整数k 都有|P 0P k |>d3√k +1. 显然，|P 0P k |≥d ≥d3√k +1对k =1,2,⋅⋅⋅,8均成立，只有当k =8时，上式右边取等号.所以，只需证明：当k≥9时，有|P 0P k |>d 3√k +1即可. 以点P i (i =0,1,⋅⋅⋅,k )为圆心、d 2为半径画k +1个圆，其两两相离或外切；以点P o 为圆心、|P 0P k |+d2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1个圆.则(|P 0P k |+d 2)2>(k +1)π(d 2)2⇒|P 0P k |>d2(√k +1−1). 由k≥9，易知√k+1−12>√k+13.所以，|P 0P k |>d3√k +1对k=9,10,⋅⋅⋅,n 也成立.综上，对任意的正整数k 都有|P 0P k |>d 3√k +1.故|P 0P 1||P 0P 2|⋅⋅⋅|P 0P n |>(d3)n√(n +1)!.证法2 所设同证法1.以P i (i =0,1,⋅⋅⋅,k )为圆心、d 2为半径画k +1个圆，其两两相离或外切.设Q 是⊙P i 上任意一点. 由|P 0Q |≤|P 0P i |+|P i Q | =|P 0P i |+12d ≤|P 0P k |+12|P 0P k |=32|P 0P k |，知P 0为圆心、32|P 0P k |为半径的圆覆盖上述k+1个圆.则(32|P 0P k |)2>(k +1)π(d 2)2，即 |P 0P k |>d 3√k +1(k =1,2,⋅⋅⋅,n ).故|P 0P 1||P 0P 2|⋅⋅⋅|P 0P n |>(d 3)n√(n +1)!.15.（1）见解析（2）见解析【解析】15.证法1 （1）对任意n ∈N +，有S 2n =1+12+13+⋅⋅⋅+12n =1+12+(121+1+122)+⋅⋅⋅+(12n−1+1+⋅⋅⋅+12n ) >1+12+(12+12)+⋅⋅⋅(12+⋅⋅⋅+12) =1+12+12+⋅⋅⋅+12>12n . 令N 0=[1b−a ]+1，m =[S N 0]+1.则 1b−a <N 0，1N 0<b −a ，S N 0<m ≤m +a .又令N 1=22(m+1).则S N 1=S 22(m+1)>m +1≥m +b . 从而，存在n ∈N +，N 0<n <N 1，使得m +a <S n <m +b ⇒S n −[S n ]∈(a,b ). 否则，存在N 0<k ，使得S k−1≤m +a ，S k ≥m +b .于是，S k −S k−1≥b −a ，与S k −S k−1=1k <1N 0<b −a ，矛盾. 故一定存在n ∈N +，使得S n −[S n ]∈(a,b ).（2）假设只有有限个正整数n 1,n 2,⋅⋅⋅,n k ，使得S n j −[S n j ]∈(a,b )(1≤j ≤k ). 令c =min 1≤j≤k{S n j −[S n j ]}.则a <c <b .故不存在n ∈N +，使得 S n −[S n ]∈(a,c )，与（1）的结论矛盾.所以，数列{S n −[S n ]}中有无穷多项属于(a,b ).综上，原命题成立. 证法2 由证法1，知当n 充分大时，S n 可以大于任何一个正数. 令N 0=[1b−a ]+1.则N 0>1b−a . 当k >N 0时，S k −S k−1=1k <1N 0<b −a . 同证法1可证，对于任何大于S N 0的正整数m ，总存在n >N 0，使得S n −m ∈(a,b )，即 m +a <S n <m +b .令m i=[S N0]+i(i=1,2,⋅⋅⋅).则m i>S N0.故一定存在n i>N0，使得m i+a<S n i<m i+b. 从而，a<S n i−m i=S n i−[S n i]<b.这样的i有无穷多个.所以，数列{S n−[S n]}中有无穷多项属于(a,b).。

2012湖北省高中数学竞赛预赛试题及参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，，则 =A. B. C. D.（2）已知：，：，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数（）的图象的一条对称轴方程是A． B. C. D．（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ?B. ?C. ?D. ？（第4题图）（5）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于A．B．C．D．（6）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是A． B．C．D．（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．（第7题图）（８）已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是A．②B．①③C．②③D．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）为虚数单位，计算．（10）已知向量，若，则的值为.（11）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则首项 _,前项和 __.（12）若直线与圆相交于 , 两点，且线段的中点坐标是，则直线的方程为 .（13）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨( 为的约数)，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（14）数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，， .则当时，；试写出．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且 .（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，， , , 分别为 , , 的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点 ,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，（）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为 ,且 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点 . 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数（且）满足，记 .（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）当时，求的最小值；（Ⅲ）当为奇数时，求的最小值．注：表示中任意两个数 , （）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.5一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 D A B C B C A C二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案或8；63；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ） .因为，所以 .则所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……7分（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则 .因为，所以，则 .由得，．……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，解得 .所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．……………………4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为．……………………7分（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．从这8人中随机抽取2人有，共28种情况．事件A包括共12种情况．所以．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．……………………………13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 , 分别为，的中点，所以 .又因为平面，平面，所以平面 . ……………4分（Ⅱ）因为平面，所以 .又因为，，所以平面 .由已知 , 分别为线段 , 的中点，所以 .则平面 .而平面，所以平面平面 . …………………………………………………9分（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面 .证明如下：在直角三角形中，因为 , ,所以 .在直角梯形中，因为， ,所以，所以 .又因为为的中点，所以 .要使平面，只需使 .因为平面，所以，又因为， ,所以平面，而平面，所以 .若，则∽ ,可得 .由已知可求得，，，所以.……14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：当时，↗↘↗综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 .……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且 .所以时， .因为，所以，令，得 .①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以 .因为，所以对于任意，总有 .②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增， .所以对于任意，仍有 .综上所述，对于任意，总有 . …………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设，，则， .由，解得，所以 .所以椭圆的方程为 . …………………………………………4分（Ⅱ）依题直线的方程为 .由得 .设 , ,弦的中点为，则，，，，所以 .直线的方程为，令，得，则 .若四边形为菱形，则， .所以 .若点在椭圆上，则 .整理得，解得 .所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.此时点到的距离为. ………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得．．………………………3分（Ⅱ）时，．固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．因为，所以，且当，，时，因此．……………………………………………7分（Ⅲ）.固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．当为奇数时，因为，所以，另一方面，若取，，那么，因此．…………………………………………………………13分。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)

2012年全国高中数学联赛试题详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。

请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为． 2．已知函数46)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b ． 3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为．4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为． 5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则=100S ．6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==b a ，6π=∠AOB ，b y a x OP +=，则=-y x ．7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．10．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证：对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．11．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）1． 15 ． 2． 5 ．3． 3 ．4．16715．5． 89 ．6． -2 ．7． 12 ．8． 26 ．9．解：（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22122+=x x ，解得2=x ，由题意可得2221)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ② 由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以41=a ，从而142=-=a c ．所以函数)(x f 的解析式为 141)(2++=x x x f ．…8分（2）由)2()(x f t x f <+得122411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x x t x t x ，故 0)382)(2(<+++t x t x ．当3822+-<-t t 即2>t 时，3822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾． …12分当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 2382-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-121382t t ，解得2125-<<-t ．综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,25． 16分 10．解：（1）由已知，对2≥n 有 11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ，两边同除以n ，得 )1(1)1(111---=+n n a n na n n ，即)111()1(111nn a n na n n ---=--+， 5分于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ，即 2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以 123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ， 2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． ……………………10分（2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ,……15分所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.67121<=a 故对一切*N n ∈，有6712<∑=n k k a ． ……………………20分11．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．解： )10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……5分下证没有其它整数x 满足要求．（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，∴22)3(x x P +>，∴2222)13()3(++<<+x x P x x ．Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．…10分（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2，则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ，即01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分。

2012年全国数学竞赛预赛试题及参考答案

3．如图，在⊙O 中， C D D A AB==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°时，∠D A B =80°．其中正确的个数是【 D 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：因为 C D AB =，所以DC =AB ；因为 AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒．4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 B 】（A ）34（B ）23（C ）13（D ）21解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=.5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有【 D 】（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求出OC 1=OC 2=225126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ，以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4，可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ．6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 A 】yO第6题图xyOABC 1C 2C 3 C 4C 5 第5题图第3题图ODCBA（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+（C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4bx -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 7 ．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ． 8方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 120,4x x ==-解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 120,4x x ==-.9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段B A '，则点A '的坐标是 (1,1)b a +-+ ．解：分别过点A 、A '作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ．由于点A 的坐标是(,)a b ，所以O D O B B D =+1O B A C b =+=+，1A D B C a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1， DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧， N B 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 2 ．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移CDN D C A'B AOyx第9题图可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 -2 ．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-． ∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=-∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 36 个．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤ 依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k=-∴ 41 3.1k-≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分（2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分QP xyDCBAO又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是 MN 上一动点， BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ O A +是定值．解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//．∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形．此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AE BEBC=．设OA =x ，AB =y ，则2x∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=． ∴2221x x +=，解得33x =．A B C OD E F GPQ MN 图②A BCO D EFGPQM N图①∴当OA 的长为33时，四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE G E PFPC FC ===∴ P A '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴1126A O G E G A O A'''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即 2224936PQ AB O A =+，又 221AB OA +=，∴ 22133PQ AB =+，∴2222143()33O A PQ O A AB +=++=．……………………………………18分B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③。

详解2012年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题

详解 2012 年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题
1. 函数 f (x)＝ x＋1 的值域为_______． x2＋4x＋7 解法一由题意可知 f (x)的定义域为 x≥－1，令 t＝x＋1≥0, x＝t－1．当 t＝0 时，f (x)＝0； t t 1 1 当 t＞0 时，g(t)＝＝＝ ≤ ， 4 6 ( t－1)2＋4( t－1)＋7 t2＋2t＋4 t＋2＋ t 又 g(t)＞0，于是 g(t)∈ 0, 所以，函数 f (x＋C 小结：解法一是着眼于转换初等函数的方法，一般的对于 f (x)＝ 2 型函数考虑 Dx ＋Ex＋F 以下变形 A A A A A (Dx2＋Ex＋F)＋(B－ )x＋(C－ ) (B－ )x＋(C－ ) 2 D D D D A Ax ＋Bx＋C D ＝＝＋ f (x)＝ 2 D Dx ＋Ex＋F Dx2＋Ex＋F Dx2＋Ex＋F 2 Ax ＋Bx＋C A A 1 然后在令 t＝(B－ )x＋(C－ ),把函数 f (x)＝ 2 型转化为 y＝Mt＋N ＋P型． D D t Dx ＋Ex＋F 当 MN＞0 时，利用重要不等式求值域；当 MN＜0，利用函数单调性求值域． Ax2＋Bx＋C 值域问题转化方程(A －解法二是着眼于函数与方程的关系，把函数 y ＝ 2 Dx ＋Ex＋F y D)x2＋(B－y E) x＋C－y F＝0 有解的问题． 2．已知 3sin2α＋2sin2β＝1， 3(sin α＋cos α)2－2(sin β＋cos β)2＝1，则 cos2(α＋β)＝_____． 2 2 ① 3sin α＋2sin β＝1， 3cos2α＋2cos 2α＝3，解：由则 2 2 ② 3(sin α＋cos α) －2(sin β＋cos β) ＝1， 3sin 2α－sin 2β＝0， 1 2 2 由① ＋② 得 cos2(α＋β)＝－ . 3 小结：本题考察三角函数的变换，变换的本质就是变形，变形包含角的变形和函数的变形，变形的原则就是尽可能让已知和问题中的角和函数统一．本题函数都是弦函数，所以考虑角，已知中的角是 α、β，而问题中的角 2(α＋β)（或看成 2α＋2β）．比较已知与问题中的角之间关系，确定思路是 α、β2α、2β2α＋2β． tan(α＋β) 练习：已知 2sinβ＝sin (2α＋β)，且 α≠kπ＋，k∈Z．则＝_______． 2 tan α 答案：3.

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ．2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=++++963741a a a a aa ． 3．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=Asin 4． 7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp 的值为32． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则535251x x x ++的值为－5 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a满足=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ，所以11)=． ------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以n n n b b 4411=⋅=-. ------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值．解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21s i n c o s 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ------------------------------------------20分11．设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=，其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围．解 22225()l o g (56)l o g [()]24a aa a f x x ax a x =-+=--．由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a a g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a ．在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a ．结合10<<a 得10<<a ． ------------------------------------------10分（2）若231<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ．易知2344113>-，所以不符合． ------------------------------------------15分综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ------------------------------------------20分。

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高二年级

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．4．设集合}12,,3,2,1{Λ=S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若q p +=，则q p的值为32． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p为． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2kk k +=+=∑ 2012 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ，所以11)=． ------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即nn n a a ]1)14[(21--=+.------------------------------------------12分于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围．解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．又2423)2(,41)1(-==f f ，所以)41,2423[-∈m ． --------------------------------------20分11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值；（2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中111k t =，代入px y 22=中，得 2112220y pt y pt n pm -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．则2111(,)M pt nt m pt -+．CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，其中221k t =，同理可得2222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=．又121-=⋅k k ，故121-=⋅t t ，于是△EMN 的面积221211||||||222p S EM EN p t t =⋅==222p p ≥=，当且仅当1||||21==t t 时等号成立．所以，△EMN的面积的最小值为2p .------------------------------------------10分（2）p nt t t t n t t p t t p k MN -+=----=)(1)()()(2121222121，MN 所在直线的方程为]([)(1121211m nt pt x pn t t pt y +--⋅-+=-，即m x t pt pnt t y -=--+2121)(． ------------------------------------------15分又λ=+=+212111t t k k ，即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--⋅=-，即 m pnyx p y t t -+=-+))((21λ．当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==λλn m x p y 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点),(λλpn m -． ------------20分。

2012年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)与答案

3. 如图，设椭圆
x2 y2 a2 + b2
=
1(a
>
b
>
0)
的左、
右焦点分别为 F1、F2，过点 F2 的直线交椭圆于
A(x1, y1), B(x2, y2) 两点. 若 △AF1B 内切圆的面
积为 π，且 |y1 − y2| = 4，则椭圆的离心率为
.
解答 △AF1B 的周长为 4a，内切圆半径 r = 1.
于是有
S△AF1B
=
2a
·
r=
c|y1
−
y2|
⇒
2a
=
4c
⇒
e
=
c a
=
1. 2
x3 + 3x2 − x − 3 > 0,
4. 若关于 x 的不等式组 x2 − 2ax − 1 ⩽ 0
(a > 0) 的整数解有且只有一个，
则 a 的取值范围是
.
解答
x3 + 3x2 − x − 3 > 0 ⇒ (x + 3)(x + 1)(x − 1) > 0 ⇒ x ∈ (−3, −1) (1, +∞).
当 x = a > 0 且 f (0) = −1 < 0，
f (−2) = 4 + 4a − 1 > 0,
于是有
−2
<
x1
<
0, 2
⩽
x2
<
3，即
ff
(2) (3)
= =
4 9
− −
4a 6a
− −
1 1
⩽ >
0, 0
⇒ 3 ⩽ a < 4. 所以 a 的取值范围是

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考

精心整理
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考
这篇关于《2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考》的文章，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
一、）
1234
56．
7．
8二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当且时，求△的面积的最小值；
（2）若（为常数），证明：直线过定点．
2012
一、）1
2
3
如果，则5．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为185．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积时，为．
8．设表示不超过的整数，则2012．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11
题
9
令,，所以
所以
，
因此
10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
解令。