变分原理1
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
分析力学第八章力学的变分原理
由 T T ( q 1 ,q 2 ,,q m ;q 1 ,q 2 ,,q m ;t ) ,得 T m 1 ( q T q q T q )
m 1 ( q T d d t q T )q T d d t( m 1 q T q ) m 1 q T ( d d tq q )
例1. 试由哈密顿原理导出哈密顿正则方程
s
s
解:
H pqL L pqH
1
1
根据哈密顿原理 t2 Ldt 0 得 t1
t2
s
t1
1
pq
Hdt
0
t1 t2s1pqqpHdt0
t1 t2s 1 p q q p q H q p H p d t0
t1 t2s 1 p q q p q H q p H p d t 0
t1 t2s 1 q p H p pα q H q dt0
要使上式对任一积分过程都成立，那么必须是被积函数等于零，即
s1 q p H p p q H q 0
考虑到各 δp α ,δq α 是相互独立的，则有
q
H, p
p
H q
---这就是所求的正则方程。
例2. 由哈密顿原理推导保守系统的拉氏方程
从t 1 至 t 2 积分，并注意条件 δqs|t1 δqs|t2 0得
t1 t2 A Tm 1 q T (d d tqq) dt0
t1 t2 A T s n 1 q T s d d tq s q s g 1 q T n d d tq n q n d t 0
由于可能运动的起点和终点相同，有 δqαtt1 δqαtt2 0，于是有
tt1 2 s1qTd dtqTQ q dt0
由于对于任何区间该积分都成立，所以被积函数必为零。
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
一、举一个例子（泛函）变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson 方程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题(N) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足01,=+ΓΩ⎰g f d x其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ˆv vH v RH ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v. 定义双线性泛函R V V →⨯:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函V v vv u g fdx vl ∈∈∀+→ΓΩ⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。
因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利用范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ˆ,)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ-Ω， 从而 Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 22,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u uB γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
变分原理-1
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B + ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B
B1 B2 V B1
(6-6)
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V = 0
(6-4)
= Γ(σ ij ) + ∫∫∫ sijklσ kl ∆σ ij d V +
V
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
(6-5)
= Γ(σ ij ) +
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V + ∫∫∫ ε ij ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V V B1
Beltrami-Michell 的协调方程。 【证明】由于静力可能应力要预先满足平衡条件，即式(1-1)和(1-6)，故要构造一 个新的泛函
Γ* (σ ij , λi , βi ) = 1 sijklσ ijσ kl d V − ∫∫ n jσ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
V B2
+ ∫∫∫ (σ ij , j + f i )λi d V + ∫∫ (n jσ ij − pi ) β i d B
V V B2
(4-1)
其中 U (ui ) 是应变能密度，即单位体积应变能
2
1 U (ui ) = cijkl ε ijε kl 2 最小势能原理：在所有变形可能位移中，精确解使总势能取极小值。
证明如下。首先将 uik 写成如下形式:
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
变分原理
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
变分原理与有限元素法
变分原理与有限元素法
变分原理和有限元素法都是计算机辅助工程分析和设计中常用的数值方法。
它们都是基于将复杂的物理问题转化为简化的数学问题进行求解的理念。
1.变分原理
变分原理是一种数学上的极值问题处理方法，将原问题转化为一个可以通过求泛函的极值来解决的数学问题。
它的核心思想是在一个函数空间中找到一个函数，使得一些泛函或者函数als的值取得极值。
这个问题通常可以用一个数学方程或者方程组来描述。
在工程分析和设计中，变分原理常用于求解连续介质力学问题，如结构力学、流体力学等。
通过将连续介质的力学性质和边界条件用数学方式表达出来，并构造一个合适的泛函，再通过极值问题求解的方法求得物理系统的平衡状态。
有限元素法的基本思想是先假设物理问题的解为一系列分段线性或非线性函数，在每个小单元内通过解析或数值方法计算出物理量的近似解。
然后通过连接各个单元的自由度，建立整个物理系统的方程组，通过求解该方程组得到最终的数值解。
有限元素法的优点是适用于多维、复杂形状的物体，并且可以灵活处理各种物理条件和边界条件。
它广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的数值计算。
总结起来，变分原理和有限元素法都是数值方法中常用的数学工具。
变分原理通过构造合适的泛函来描述物理问题，并求取泛函的极值解。
而
有限元素法则通过将物理问题离散化为小单元，并在每个小单元内计算近似解，最终通过连接各个单元的自由度求解得到物理系统的数值解。
变分原理-第1章
§1-2 变分及其特性 函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义 定义 如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法的基本原理可以用极值问题的欧拉-拉格朗日方程来描述。
对于给定的
函数als，如果要求该函数在一定条件下取得极值，可以通过欧拉-拉格朗日方程来
求解。
欧拉-拉格朗日方程的形式为：
\[\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y'}) \frac{\partial f}{\partial y} = 0\]
其中，f是要求极值的函数als，y是自变量，y'是y关于x的导数。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，可以得到函数als在给定条件下的极值。
变分法的应用不仅局限于数学领域，它在物理学中也有着重要的应用。
例如，
光的传播可以用费马原理来描述，而费马原理可以通过变分法来推导。
在工程学中，变分法可以用于求解结构力学中的静力平衡问题，以及流体力学中的运动方程。
在经济学中，变分法可以用于求解效用最大化和成本最小化等优化问题。
总之，变分法是一种强大的数学工具，它在求解函数的极值问题以及优化问题
中有着广泛的应用。
通过欧拉-拉格朗日方程，可以描述变分法的基本原理，而在
实际问题中，变分法可以帮助我们求解各种各样的优化问题，从而推动科学技术的发展。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解变分法的基本原理，以及它在实际问
题中的应用。
同时，也希望读者能够进一步深入学习变分法的理论和方法，从而更好地应用它解决实际问题。
变分法作为一种重要的数学工具，有着广阔的应用前景，相信在未来会有更多的领域受益于它的应用。
变分原理
变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。
（补充图）设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分原理及变分法
变分原理及变分法第⼀章变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）⼀、⼤⾃然总是以可能最好的⽅式安排⼀切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，⽇/⽉，阴/阳，静⽌/运动等⽭盾/统⼀的协调体；对静⽌事物：平衡体的最⼩能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是⾃然界静⽌(相对稳定状态)事物中的⼀个普遍适应的数学定律，获称最⼩作⽤原理。
Examples :①光线最短路径传播；②光线⼊射⾓等于反射⾓，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最⼩能量原理；在静⼒学中的稳定平衡本质上是势能最⼩的原理。
⼆、变分法是⾃然界变分原理的数学规划⽅法（求解约束⽅程系统极值的数学⽅法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与⼀个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|}Examples :①矩阵范数：线性算⼦（矩阵）空间数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=n j ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A②函数的积分：函数空间数域D ?=?n ban f dxx f J )(Note : 泛函的⾃变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：①判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ??),(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ②试举另⼀泛函例⼦。
物理问题中的泛函举例①弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw lf=∏0221 iii. 外⼒位能： ?-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏?dxdww x dx qw kw dxw d EJ l 泛函的提法：有⼀种梁的挠度函数（与载荷⽆关），就会有⼀个对应的系统势能。
变分原理-第1章
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求 使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求 得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法是一个数学和物理学中的基本原理，用于解决求极值的问题。
它的基本思想是将要求解的函数表示为一个参数化的函数形式，然后根据极值的必要条件，通过对函数进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，进而求解该方程来确定极值。
具体来说，假设我们要求解一个函数f(x)，其中x是一个变量，而f(x)是一个依赖于x的函数。
我们将f(x)写成x的函数形式：f(x) = F[x(x)]，其中F[x(x)]是一个关于函数x的函数。
现在，
我们希望找到使函数f(x)取得极值的函数x(x)，即要找到满足
条件δf(x) = 0的函数x(x)。
在变分法中，我们引入一个待定函数z(x)作为近似解，称为变
分函数。
我们可以写成x(x) = z(x) + εη(x)，其中ε是一个无穷
小量，η是一个任意函数。
将近似解代入到δf(x) = 0的表达式中，并保留到一阶无穷小量，得到一个关于η(x)的方程。
然后，我们要求满足边界条件的η(x)，以唯一确定满足条件δf(x) = 0
的近似解z(x)。
最后，我们解决这个方程，得到满足条件δf(x) = 0的函数z(x)，即原始问题的近似解。
然后，我们可以通过适当的数值计算或者分析来确定z(x)的特征和性质，从而得到原始问题的极值解
或最优解。
总的来说，变分法通过引入一个待定函数作为近似解，将原问题转化为求解方程的问题。
通过对近似解进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，并通过解决这个方程来确定极值解。
这种方法在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、泛函分析等。
变分原理表达式以及每一项意义结构化学
变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。
它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。
【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。
【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。
在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。
2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。
在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。
3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。
在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。
【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。
2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。
3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。
【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。
通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。
《广义变分原理》第一章
变分原理的定义和分类
举例
例如：
1 p ij eij d f i ui d p i ui dS min S 2
1 约束条件： eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
利用Lagrange乘子构造一个新的泛函：
1 eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
即为协调律
本构律仍为非泛函的约束条件。
结论：最小余能原理的极值条件反映了物体的 协调律。
第一节
变分描述
小结
小结：
变分描述和求解弹性力学边值问题成
为可能且有效，并可推广到塑性力学和连
续介质力学问题中去。同时也为各种数值
第三节
变分原理的优点
优点
3、能提供近似解
通常以某种积分加权平均形式去近似微分关
系式。
例如：对基本微分方程取逼近方程；对边
界方程采用某中范围内的放松。
4、提供某些问题精确解的上、下限
描述这一过程的定理统称为变分原理。
第二节
变分原理的定义和分类
分类
分类：
1、自然变分原理 (a)物理意义明确（例最小势能原理、最小余 能原理）; (b)约束条件; (c)极值原理。 且对自变函数的连续性和可导性有一定的要求。
2、广义变分原理
(a)某种程度上放松约束的变分原理； (b)驻值原理。
第二节
'
1 p ij (ui. j u j .i ) eij d i (ui u i )dS Stationary S 2
称为新的泛函的广义泛函。
变分原理1-4节
第七章 变分原理§1 泛函分析中的一些概念在变分原理及有限元等数值方法中，要涉及到泛函分析中的一些概念。
虽然有些概念在应用某些数值方法求解问题时，并非必需，但是掌握它们对于深入研究数值法的理论，阅读有关文献专著，却有很大的益处。
本节将根据需要，对某些概念作一简单介绍。
1.1 Hilbert 空间在引进Hilbert 空间的概念之前，我们先对线性空间等概念作一简单回顾。
1．线性空间定义1 设H 是某些元素的集合，K 是实数（或复数）域。
如果对H 中任何元素,x y ，定义了一种所谓“加法”运算x y +及a K ∈与x H ∈的“数乘”运算ax ，使x y +，ax 属于H ，且具有性质：（1）x y y x +=+；（2）()()x y z x y z ++=++；（3）存在所谓“零元素”,H θ∈使,x x x H θ+=∀∈；（4）对任何x H ∈，都有一个相应的“逆元素”x H -∈，使()x x θ+-=； （5）()(),,,x x K x H αβαβαβ=∈∈； （6）1,x x x H ⋅=∈；（7）(),,,x x x K x H αβαβαβ+=+∈∈； （8）(),,,x y x y K x y H αααα+=+∈∈； 则称H 是实数（或复数）域上的线性空间。
例1 定义在[,]a b 上的一切连续函数的全体记作C ；若对任意两个元素,f g C ∈，定义()()()(),()(),,[,]f g x f x g x x a bf x f x K xa b ααα+=+∈=∈∈则空间C 是实线性空间，记作[,]C a b 。
例2 考虑有限空间[,]a b （或区域Ω）上平方可积函数()f x ，即使2|()|b af x d x <∞⎰（或2|()|f x dx Ω<+∞⎰）（1.1） 成立的函数类，记作2[,]L a b （或2()L Ω），对于2,[,]f g L a b ∈，显然,a f f g +均属于2[,]L a b ，且满足性质（1）－（8），故2[,]L a b （或2()L Ω）可积是线性空间。
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举例来说，我们把Fun定义为满足f0 f1 0的所有光滑函数组成的集 合，即 Fun fx |f0 f1 0; fx光滑 . （7.4） 于是积分 F a fx
0 fx 2 dx
1
（7.5）
就是一个泛函。对于任何一个Fun中的函数fx，都能通过这个积分算出一个实数 来。而如果我们有一个已知的二元函数Kx, y ，我们就可以构造另一个积分 F b fx
任何一个映射都包含三个要素，即输入的元素所在的集合（集合A），输出的元素所 在的集合（集合B），和对应规则。换句话说，我们要知道在使用我们这部机器的时 候，你需要投入什么集合的元素，机器能输出什么集合的元素，而投入的元素和输 出的元素，之间的关系是什么。我们通常不会忽视对应规则，但是却往往容易忽视 输入和输出的元素所在的集合的准确定义。事实上，这两个集合的定义，对于我们 掌握这个映射而言，是至关重要的。这就如同我们在使用一部自动售货机的时候， 必须搞清楚我们需要投入的货币种类，和这部机器贩卖的物品种类一样。 最常见的映射就是函数。广义的说，任何映射都可以视为函数。不过我们这里采 用狭义的函数的定义，即，从集合R n 或C n 到集合R或C的映射，称为函数。比如，实 数集合R到其自身的映射，就是实变量一元实函数F。如 fx x 2 . 你可以把这个函数理解成一部机器，你投入R中的任何一个元素x，这个机器都给你 输出一个R中的元素x 2 。类似的， fx, y x 2 e iy ; x, y ∈ R 是R 2 到C的映射。你给它一个R 2 中的元素，也就是一对实数x, y ，它就给你一个复 数x 2 e iy 。
7.1.3泛函等价于拥有无穷多个变量的函数
在很多情况下，我们用来定义泛函的函数集合Fun，其中任何一个元素fx ，都可 以写成一组“基函数” n x , n 0, 1, 2, . . . 的线性组合，即 ∀fx ∈ Fun, fx
∑ C n n x . （7.8）
第七章 变分法和哈密顿原理
我们以前说过，拉格朗日力学的妙处之一在于，这个方程可以归结为一种“最小作 用原理”。而这个最小作用原理，在使用路径积分表述的量子力学中，将发挥重要的 作用。本章我们就详细讨论这个问题。描述和处理“最小作用原理”的数学工具是变分 法，故而我们将首先介绍变分法的基本概念和原理，然后具体讨论这个方法在经典 力学中的应用。在本章中，我们会努力使用尽可能简洁清楚的方式将变分法相关的 基本思想表述清楚，而不追求最为严格的数学描述。想进一步了解数学细节的读 者，可以参考更为专门的变分法教材，比如R.柯朗和D.希尔伯特的名著《数学物理 方法》（钱敏，郭敦仁翻译 科学出版1958年 第一卷中译本下载地址 /f/8847360.html?fromlike）中关于变分法的章节。
∑ C n n x
n0
（7.8b）
我们需要注意的是，也有很多时候，我们的函数集合Fun定义的过为宽泛，因而 我们找不到满足（7.8）要求的基函数。比如，如果我们的函数集合，包括了所有的 在从−到的光滑函数fx，那么这个集合里面的函数，就不满足（7.8）了。这个 时候，我们要想确认fx，必须确认这个函数在所有点的取值，也就是说，这个函数 fx，等价于无穷多个实数fx 1 , fx 2 , . . . ，但这次是“连续的无穷多”个实数，而不是 “离散的”无穷多个实数，因为我们永远不能把这些数字“一个接一个”的排列开。故 而，定义在“从−到的所有光滑函数fx组成的集合”上的泛函，就等价于一个拥有 “连续的无穷多”个变量的函数了。
则称泛函F在gx处取最大值Fgx。 总而言之，如果存在函数gx，使得泛函F在所有其他函数上的取值都比 Fgx小或者大，就称泛函F在gx处取最大或者最小值。 泛函的极大值和极小值可以做类似的讨论。如果存在函数f 0 x ∈ Fun，同时对 于Fun之中f 0 x “附近”的任何函数fx，都有 则称泛函F在f 0 x 处取极小值Ff 0 x 。如果存在函数F 1 x ∈ Fun，同时对于 Fun之中f 0 x “附近”的任何函数fx，都有 则称泛函F在f 0 x 处取极大值Ff 0 x 。 我们看到，我们直观的理解泛函的极大值或者极小值是没问题的。就是说如果在 某个特定的函数f 0 x 的邻域中，泛函F的取值都比Ff 0 x 小或者大，就称泛函在 f 0 x 取极大或者极小值。但是如果我们较真的话，就会出现一个问题，那就是说， 什么叫“函数f 0 x 的邻域”？在讨论函数的极大值或者极小值的时候，不存在这个问 题。因为函数的定义域是实数组集合R n ，而R n 中某点的邻域是有很清楚的定义的。 在泛函里面，跟实数组集合R n 中的情况一样，我们认为在函数集合Fun中，任何一 个函数f 0 x 的邻域，都是由很接近f 0 x 的函数构成的。这个“很接近”，是一个直观可 Ffx Ff 0 x Ffx Ff 0 x
7.1集合，映射，函数和泛函
7.1.1集合，映射和函数
集合是近代数学中最为基础的概念。通常来讲，我们认为集合是“一些事物的总和 ”，而不对集合做严格的定义。事实上，人们在十九世纪末期集合论建立之后，才开 始将各种数学都一一表述为从集合出发的逻辑体系。目前来看，这似乎是一个很好 的做法。不仅群，环，域，线性空间，微分流形等等抽象数学的概念，可以清楚的 表述为具有特定结构的集合，而且连概率论这样的看似极为具体的数学分支，也可 以纳入以集合论为基础的框架。 集合的一个常见的运算是笛卡尔积。我们考虑两个集合A和B，那么A和B的笛卡 尔积，也是一个集合，通常记为A B。A B中的每个元素，都包含一个A中的元 素，和一个B中的元素。即 A B a, b |a ∈ A, b ∈ B . （7.1） 比如，我们把R记为所有实数的集合，那么R和自身的笛卡尔积，也就是R R，就 是由所有“实数对”组成的集合，即 R R x, y |x, y ∈ R . （7.2） 换句话说，一个二维平面上的所有点构成的集合，就等价于R R。类似的，我们 还有 （7.3） R R R x, y, z |x, y ∈ R . 我们可以把实数集合R和自身进行n次笛卡尔积之后得到的结果 R R R . . . R记为R n 。类似的，我们通常把所有复数的集合记为C，而 C C C . . . C记为C n 。 数学中另一个常用的基本概念是映射。如果我们找到了一个对应关系f，使得对于 集合A中的每个元素a而言，在集合B中都有且仅有一个元素fa 与之对应，我们就称 这个对应关系为集合A到集合B的映射。我们注意，一个对应关系如果称为映射，那 么这个关系必须是“一对一”的，而不能是“一对多”的。也就是说，集合A中的每个元 素，在B中都只能有一个元素，而不是更多的元素，与之对应。 事实上，我们可以把映射等效的理解为一部类似于自动售货机的机器。它有一个 输入口和一个输出口。通过输入口在这个机器中投入一个A中的元素a，其输出口就 会自动吐出一个集合中的B中的元素fa 。
7.1.2泛函
我们把所有满足特定条件的函数，构成一个集合Fun，那么从这个集合Fun出
发，到实数集合R或者复数集合C的映射F，称为Fun上的泛函。换句话说，泛函和 函数最大的区别在于，函数是一部机器，你给它输入一个或者一组实数或复数，它 给你输出一个实数或者复数。而泛函也是一部机器，你给它输入一个函数fx ，它就 给你输出一个实数或者复数Ffx 。这里我们把泛函用方括号表示，以示和函数的 区别。
我们再举一个例子：在我们定义Fun为所有一维的归一化的复函数x 组成的集 合，即 Fun x x ∈ R; 积分
− |x | 2 dx
1 .
（7.7b）
我们注意，这个集合Fun中只包含积分 |x | 2 dx收敛的函数。也就是说，形如e x 的 − 函数，不在这个集合中。那么我们可以定义基于Fun的泛函 2 2 Ex x ∗ − ∂ 2 x x dx; x ∈ Fun. （7.7c） 2 ∂ x − 我们看到，如果x 不在Fun中，那么泛函Ex 很可能就无法定义了。因为对于不 平方可积的函数，比如函数e x 而言，（7.7c）式中的积分不收敛。 泛函也不一定非要写成积分的形式，比如当x 0 是一个给定的实数的时候， Ffx fx 0 也是一个泛函。我们注意到，这个泛函很有趣，你给这个机器输入 一个函数，它给你输出这个函数在x 0 的取值。这有点奇怪，但确实符合我们刚才对 泛函的定义，即：泛函是把一个函数变成一个数字的机器。
n0
比如在（7.4）所定义的函数集合Fun中，所有的函数都在0和1两个点取0值，因而就 都可以写成傅立叶级数的形式
fx
∑C n sinnx
n
这样一来，Fun上的任何一个泛函F，就都等价于一个有“离散的无穷多个变量 ”C 0 , C 1 , C 2 , . . . 的函数gC 0 , C 1 , C 2 , . . . 。这里gC 0 , C 1 , C 2 , . . . 的定义是 gC 0 , C 1 , C 2 , . . . F
0 Kx, y fy fxdxdy.
1
（7.6）
这也是一个泛函。因为Kx, y 已经固定了，所以任给一个函数fx，我们都能用这个 积分，算出一个实数来。 我们需要指出的是，我们当然可以把所有一元函数组成一个集合，然后定义从这 个集合到实数集合R的映射（泛函）。但是这样做通常并不方便，因为“所有一元函 数”是一个过于宽泛的概念，很多泛函并不能在这么宽广的集合中定义。比如， （7.5）中的泛函F a fx，就不能定义在“所有一元函数组成一个集合”上面，因为至 少，对于函数 1 fx x − 0. 5 一部机器，那么当我们输入函数 x−1 的时候，是不能从这个机器里面得到一个实数 0.5 的。因此，通常而言，泛函都只能定义为从“满足一定条件的函数的集合Fun”到实数 集合R的映射。因此，在研究一个泛函的时候，我们必须首先明确，这个泛函是定义 在什么样的函数集合上面的。或者说，我们要研究这部机器，那么就必须首先明 确，这部机器工作的时候，我们需要输入满足什么样条件的函数fx。 泛函的另一个例子是平面上的线长。我们考虑x − y平面上的两个点Ax a , y a 和 Bx b , y b 。那么任何连接这两个点之间的曲线，就可以用满足条件 yx a y a ; yx b y b 的函数yx 表示。于是所有光滑曲线的集合，据等价于函 而言，积分 fx 2 dx是发散的。所以，如果我们把（7.5）中定义的泛函F a fx视为