2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教A版选修2-3.doc
离散型随机变量的期望计算教案
离散型随机变量的期望计算教案一、教学目的本教案的教学目标是通过离散型随机变量的期望计算，使学生们掌握离散型随机变量的期望的概念、性质及计算方法。
二、教学内容1、离散型随机变量的期望概念与性质在概率论中，期望是一种统计平均数，用于反映一个事件发生的概率与事件发生时相对应的结果的大小之间的关系。
设离散型随机变量 X 取值为 x1、x2、…、xn，概率分别为 p1、p2、…、pn，其期望值μ 定义为μ = E(X) = ∑xi pi其中，E 表示期望的运算符，∑ 表示对所有可能的取值进行求和。
期望具有以下性质：（1）若 c 为常数，则 E(cX) = cE(X)。
（2）若 X 与 Y 为随机变量，则 E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
（3）若 X 与 Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)。
2、离散型随机变量的期望计算方法（1）计算期望的方法计算一个离散型随机变量的期望，只需求出每个可能取值 xi 与其对应的概率 pi，将 xi 与 pi 的乘积相加。
（2）离散型随机变量的期望的实例例 1：在一个掷骰子的游戏中，每次掷骰子都有可能得到 1、2、3、4、5、6 中的任意一个数字。
设 X 是可得到的数字，则 X 是离散型随机变量。
假设这个游戏是公平的，每个数字的概率都是相等的，即每个数字的概率为 1/6，有E(X) = ∑xi pi = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5掷骰子游戏中的期望值为 3.5。
例 2：某网站的访问量分别是 100、200、300、400，对应的概率分别是 0.2、0.3、0.4、0.1。
设 X 是访问量，则 X 是离散型随机变量。
计算期望：E(X) = ∑xi pi = 100 × 0.2 + 200 × 0.3 + 300 × 0.4 + 400 × 0.1 = 250该网站的访问期望为 250。
高中数学2.3.1离散型随机变量的数学期望教案理新人教B版选修2_3
2.3.1 离散型随机变量的数学期望【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念，会求离散型随机变量的数学期望；②掌握二项分布、超几何分布的均值的求法.【教学重点】会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望【教学难点】理解离散型随机变量的数学期望的概念一、 课前预习1.离散型随机变量的均值或数学期望：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________)(=X E 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称_______）.2.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X E3.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X E 4.若随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，二、 课上学习例1、根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如（1）求);(X E （2）设,52+=X Y求).(Y E 例3、若随机变量),6.0,(~n B X 且3)(=X E ，求)1(=X P .例4、一个袋子里装有大小相同的10个白球和6个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.例5、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望.例6、根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费3800元.方案二：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.方案三：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好.三、 课后练习则x =_____,.________)(____,)31(==<≤X E x P2.班上有45名同学，其中30名男生，15名女生，老师随机地抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查到的女生的人数，求).(X E3.某彩票中心发行彩票10万张，每张1元.设一等奖1个，奖金1万元；二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各1百元；五等奖1000个，奖金各10元.试求每张彩票的期望获利金额是多少？4.设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是21，试求需要比赛场数的期望.5.某商场要根据天气预报来决定促销活动节目是在商场内还是在商场外开展.统计资料表明，每年国庆节，商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应采取哪种促销方式？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
学案5：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
2.3.1 离散型随机变量的数学期望学习目标导航1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的数学期望 阅读教材，完成下列问题. 1.定义一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概 率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝ 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望). 2.意义刻画了离散型随机变量的 .随手练1.下列说法正确的有________(填序号).①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.2.已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝________. 3.设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 教材整理2 常见几种分布的数学期望 阅读教材，完成下列问题.名称 二点分布 二项分布 超几何分布 公式E (X )＝E (X )＝ E (X )＝nM N随手练1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________. 2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚 球一次得分X 的期望是________. 类型1 二点分布与二项分布的数学期望 例1.某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望.【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 名师指津1.常见的两种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np .熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验. [再练一题]1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400(2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )X 0 1 Pm 2mA.19 B.29 C.13D.23类型2 求离散型随机变量的数学期望例2.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.名师指津求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识. [再练一题]2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望.[探究共研型]探究点离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？例3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E X→利用期望回答问题名师指津1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.[再练一题]3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图231甲和图乙所示.图231(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).当堂检测1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X 的数学期望是( )A.0.83B.0.8C.2.4D.32.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( )A.13B.23C.2D.833.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________.4.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3).又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.5.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数.求：(1)X 的分布列；(2)X的均值.参考答案[基础·初探]教材整理11.x1p1＋x2p2＋…＋x n p n2.平均取值水平.随手练1.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 【答案】 ③2.【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323.【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35 教材整理2 P np随手练1.【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 432.【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8例1.【解】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. [再练一题]1.【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200. (2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 (1)B (2)D例2.【解】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.[再练一题]2.【解】 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.探究1【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2【提示】 每次平均得分为810＝0.8.探究3【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数.例3.【解】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X621－2P 0.63 0.25 0.1 0.02(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29).依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. [再练一题]3.【解】 (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10× 0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高.当堂检测1.【解析】 E (X )＝3×0.8＝2.4. 【答案】 C2.【解析】 X 的取值为2,3.因为P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3.【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.67x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ， P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165.【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1613113616136(2)E (X )＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.。
高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值导学案 新人教a版选修2-3
课题：§2．3．1离散型随机变量的均值【三维目标】：知识与技能：1．记住并理解离散型随机变量的期望的概念。
2．能熟练应用概念解决问题。
3．理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ B （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
过程与方法：通过具体例子，理解离散型随机变量的期望的概念。
同时理解离散型随机变量的期望与样本平均值的关系。
通过应用概念解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力； 情感态度与价值观：通过学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
【重 点】：1离散型随机变量的均值或期望的概念2几种典型的离散型随机变量的分布列及均值或期望的求法【难 点】：将实际问题转化为求离散型随机变量的分布列及均值或期望的问题 【学法指导】：认真阅读教材，结合实例理解概念和应用，并注意解题步骤。
【知识链接】：1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是离散型随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是离散型随机变量 2. . 离散型随机变量分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列3. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1。
4.恒等式：11--=k n knCkCn【学习过程】引入：对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。
但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
一、对随机变量ξ的均值的理解问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题3：结合问题1、2，记住并理解随机变量ξ的均值或数学期望的概念: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．注： 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平问题4：在初中，我们学过n 个数据的平均数为+1(x +2x …nx n 1)⨯+，你能解释一下它与“随机变量ξ的均值”之间的关系吗？问题2：离散型随机变量的期望与样本平均值的关系：问题5：设Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量．（1） Y 的分布列是什么？（2）试推导 EY基础训练：1、随机变量ξ的分布列是(1)则E ξ= .(2)若η=2ξ+1，则E η= . 2、随机变量ξ的分布列是E ξ=7.5,则a= b= . 二、典例分析：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，aEX b =+求他罚球一次得分ξ的期望小结： 一般地，如果随机变量X 服从两点分布：则:例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X 的分布列； （2）求X 的期望。
人教A版高中数学选修2-3《离散型随机变量及其数学期望》理论课教案
理论课教案首页授课日期班级课题：9.9离散型随机变量及其数学期望教学目的要求：理解离散型随机变量的含义，让学生经历构建离散型随机变量期望的概念过程，体会从一般到特殊的思想。
会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决实际问题.教学重点、难点：理解基本概念，会求简单数学期望授课方法：案例教学法，引导发现法问题情境法教学参考及教具（含电教设备）教材、优秀教案、教学论文、手机APP“超级计算器”授课执行情况及分析：通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其积极探索的精神；让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想。
板书设计或授课提纲创设情景、引入新知合作交流、探究新知自主练习、应用新知课堂总结、再现新知课后探究、拓展新知9.9离散型随机变量及其数学期望如何分赌注 在一次赌博中，事先约定各压32个金币，并以赢了3分为胜。
两赌徒在甲赢2分，乙赢1分的情况下，赌博因故中断，那么64个金币的赌注应该如何分配才合理呢？ 乙认为，根据现在赢的比例2:1，他应该得31；甲不同意，认为即使下次乙再赢1分，他也稳得其中一半，而在下次大家都有一半希望赢，他至少可分得43。
同学们想想，谁说的对呢？要是你们，会怎么分？ 此问题的解答建立了概率论一个基本概念——数学期望下面让我们从基本的随机变量开始这个问题的探索之旅： 随机变量 合作交流，探究新知1.动手试验，探究随机试验的可能结果 抛硬币或掷骰子（1） 试验目的：探究随机试验的所有可能的结果。
（2） 试验要求：①从越30cm 的高度抛掷三枚硬币，让其自由落下在坚硬的表面；②小组成员两两结合，一人抛硬币，另一人记录，每人20次，记录下落后硬币的正反结果共有几种，和预期是否有出入。
2.汇总试验结果，按顺序列举出来 =ξ{ 正正正，正正反，正反反，反反反 }问题1：什么叫做随机试验？ 问题2：什么叫做随机变量？通常用什么字母表示？问题3：什么叫做离散型随机变量？从数学知识的起源、文化引入，溯本求源，既有文化教育，也能引发学生的思考兴趣.分组试验是非常重要的环节，必须把自主权教给学生让学生亲历随机过程，唯有如此，才能构建起正确的随机观在不同的随机试验中，结果可能有变化，就是说，这种随机试验的结果可以用一个变量来表示.离散型随机变量的分布列抛掷一个骰子，设得到的点数为ξ，则ξ的可能取值有1,2,3,4,5,6虽然在抛掷骰子之前，我们不能确定随机变量ξ会取哪一个值，但是却知道ξ取各值的概率都等于61.表中指出了随机变量ξ可能取的值，以及ξ取这些值的概率，此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量ξ的概率分布.一般地，离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,,321i x x x xξ取的每一个值)2,1,0(Λ=i x i 的概率i P i P ==)(ξ则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面的两个性质：（1）)2,1(0Λ=>i P i （2）121=++ΛP Pξ123456P61 61 61 61 61 61ξ1x 2x … n x … P1P2P…n P…让学生“类比”强化，检验学生的自学能力和理解程度从字面上解读：ξ的概率分布列，即ξ取的值概率分别是多少，按一定顺序列成表根据“最近发展区”原理，设计简单问题帮助学生理解和进一步掌握新知充分理解i P i P ==)(ξ例题解析实例考察：某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ3 4 5 6 7 8 9 10 P0.010.020.030.060.080.270.290.24求此射手“射击一次命中环数≥8”的概率.分析：“射击一次命中环数≥8”是指互斥事件“8=ξ”， “9=ξ”， “10=ξ”的和.3=ξ，表示01.0)3(3===P P ξ，表示8=ξ，表示27.0)8(8===P P ξ，表示9=ξ，表示29.0)9(9===P P ξ，表示10=ξ，表示24.0)10(10===P P ξ，表示解：根据射手射击所得环数ξ的分布列27.0)8(8===P P ξ， 29.0)9(9===P P ξ 24.0)10(10===P P ξ所求概率为：81.024.029.027.0)8(=++=≥ξP .思考提问：为什么这里没有1=ξ和2=ξ？一般地，在某一范围内取值的概率，等于这个范围内取得各值的概率之和.上面（2）：一个袋中装有4个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ，求取出白球的个数ξ的分布列.分析：}3,2,1,0{=ξ425)0(3935040====C C C P P ξ 4220)1(3925141====C C C P P ξ 4215)2(3915242====CC C P P ξ 422)3(3905343====C C C P P ξ 解：取出白球个数ξ的分布列ξ0 1 2 3P425 4220 4215 422设有N 件产品，其中含有m 件次品，从中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含次品件数是一个随机变量ξ，次品件数ξ的分布列如下表中较小的一个）和为（m n l l k ,0≤≤ξ0 1 … k… lPn N nm N m C C C -0 n Nn mN m C C C 11-- …nNk n mN k m C C C --nNl n mN l m C C C --我们称随机变量ξ的这种形式的概率分布为超几何分布，也称ξ服从超几何分布.思考提问：为什么这里没有4=ξ？离散型随机变量的数学期望简单介绍一下离散型随机变量的数学期望定义的原理设有10个数，50,60,60,70,70,70,80,90,90,100.那么这10个数是平均值为7410100909080707070606050=+++++++++，我们发现这组数中有些是相同的，不妨换一种方式表达：其均值应为741001019010280101701036010250101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22在n 次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据已知分布列估计n 次射击的平均环数.根据这个射手射击所得环数ξ的分布列，在n 次射击中，预计有大约n n P 02.0)4(=⨯=ξ次得4环 n n P 04.0)5(=⨯=ξ次得5环……n n P 22.0)10(=⨯=ξ次得10环n 次射击的总环数约等于n ⨯⨯02.04+n ⨯⨯04.05+…+n ⨯⨯22.010=（02.04⨯+04.05⨯+…+22.010⨯）n ⨯ 从而，n 次射击的平均环数约等于02.04⨯+04.05⨯+…+22.010⨯=8.23取值ξ 50 60 70 80 90 100 频数n 123121频率10n 101 102 103 101 102 101方法的学习：结合上面黑球、白球的案例，用“类比”的方法来理解超几何分布.白球黑球+=N 白球数次品件数=m化抽象的概念为具体的案例，学生更容易理解概念教 学 内 容备注一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξ1x 2x… i x …P1P 2P…i P…则称......)(2211+++=i i P x P x P x E ξ为离散型随机变量ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反应了离散型随机变量取值的平均水平.例题解析例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望.解： 因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以)0(0)1(1)(=⨯+=⨯=ξξξP P E3.007.01⨯+⨯=7.0=例2 随机抛一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望 解： 抛掷骰子所得的点数ξ的概率分布为ξ1 2 3456P61 61 61 61 61 61 所以616615614613612611)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 61)654321(⨯+++++=5.3=教 学 内 容备注知识巩固（课后练习）1. 离散型随机变量的期望一定是它在试验中出现的概率最大值吗？举例说明你的判断.2. 已知随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5 P0.10.20.30.20.10.1求)(ξE .3. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上时得-1分，求得分η的期望4. 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.总结与知识拓展：生活中有大量的类似的例子，只要在我们的认知系统中加上两条，就可以让我们的认知系统有一个大的升级，这两条就是：以大数据眼光看问题和以大概率的眼光看问题.如何分赌注的解答，概率的期望在实际中的应用课堂练习页备注1.实例考察：某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，命中2环，……，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0,1……，10这11个数表示.射击是一个随机试验，可能出现的结果可以用一个数即“环数”来表示.例如，上面射击的命中环数ξ是一个随机变量，那么=ξ{ }=ξ，表示1=ξ，表示……10=ξ，表示2.某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中，任意抽取4件，抽取的次品件数η也是一个随机变量，那么=η{ }=η，表示1=η，表示（下面学生补全）=η2，表示……实时反馈1写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果：（1）从10张已编号的卡片（1到10）中任取一张，被取出卡的号数ξ；（2）一个袋中装有4个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；思考：如果任取5个球呢？（3）接连不断的射击，首次命中目标需要的射击次数η. 设置问题让学生自学概念，用自己的语言概况“随机试验、随机变量”同时以此确认学生是否理解.学习→反馈→再学习小组讨论，并展示结果及时了解学生的学习情况，发现问题，解决问题思考，给学有余力的同学.课堂练习页备注实时反馈2学生试着写出取出黑球个数η的分布列.ξ0 1 2 3P实时反馈31、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，试求他罚球一次的得分的分布列.2、袋中共有50个大小相同的球，其中记上0号的5个，记上n号的有n个)9,...,2,1(=n.现从袋中任取一球，求所取球的号数的分布列以及取出球的号数是偶数的概率. 快速反馈，方法停留于纸上是无意义的，学了一个知识点，就要立刻把它用起来，从应用中寻找反馈，快速迭代，这样才能获取经验.11。
【金版学案】高中数学2.3.1离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-3
不理解题意致错
【典例】 节日期间，某种鲜花进价是每束 2.5 元，售价是每束 5 元；节后卖不出的
鲜花以每束 1.6 元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量
X( 束 ) 的分
布列如下表．若进这种鲜花 500 束，则期望利润是 ( )
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
＝706( 元 ) ．故期望利润为 706 元．应选 A.
【易错剖析】解答本题易出现两种错误： (1) 直接由需求量的分布列求出需求量的期望
作为利润的期望； (2) 题中给的是鲜花需求量的分布列，而要求的是利润的期望，因而找不
到需求量与利润之间的关系，导致无从下手．
2
基础巩固
1
1．若随机变量
X服从二项分布
B
4， 3
，则
E( X) 的值为
( A)
4 8 13 8 A. B. C. D.
33 3 9
2．某一供电网络，有 n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是
p，供电网络
中一天平均用电的单位个数是 ( B)
A． np(1 － p) B ． np
C． n D ． p(1 － p)
解析： 依题意知，用电单位 X～ B( n， p) ，
3．两点分布与二项分布的均值．
1
(1) 如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E( X) ＝ p( p 为成功概率 ) ． (2) 如果随机变量 X 服从二项分布，即 X～ B( n， p) ，则 E( X) ＝ np．
自测自评
1．分布列为：
ξ
－1
0
1
1
1
1
P
2019-2020年高三数学离散型随机变量的期望竞赛课教案人教版
由此可得ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
Eξ＝1×0.15＋2×0.1275＋…＋10×0.2316＝5.35．
薛保全：
7
8
9
10
p
0.3
0.4
0.2
0.1
张民宪：
6
7
8
9
10
p
0.04
0.24
0.44
0.22
0.06
二 新课教学
师问：怎么分析这份沉甸甸的数据呢？决定谁上场靠什么呢？
生答：射击环数的平均值。
师问：平均环数如何求呢？以薛保全的射击情况为例：如果命中7环、8环、9环、10环的概率都相同，则只需求7、8、9、10的平均数即可。
探究活动：如果你是编者,除了按书上的形式设计题目外,你还可以怎样设计此题呢?(小组讨论)
老师给几点提示：一定是有限次抽查吗？一定是抽查次数为随机变量吗？必须是产品问题吗？(学生编题后分析)
三 小结：本节课从知识上我们学习了期望的定义，了解了期望的作用；从思想方法上,我们学到了由特殊到一般的数学思想,它是我们获得新知识常用的思想方法
现在概率值不同,还能这样求吗？(不能)如何求呢？(提示:命中7环的概率为0.3,意味着什么呢？)
生答：设射击100次，预计
P(ξ＝7)×100＝30 次得7环 P(ξ＝8)×100＝40次得8环
高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教A版选修2-3
2.3.1离散型随机变量的期望【教学目标】1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1… k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．二、讲解新课合作探究一：期望的定义某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？1．上述问题如何解决？为什么？2．如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗?∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等，∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18，24或36的概率分别为，和，若用表示这颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）概念形成一般地,若离散型随机变量的概率分布为则称为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。
人教新课标版数学高二人教A选修2-3学案 离散型随机变量的期望(预)
2.3.1离散型随机变量的期望课前预习学案一、预习目标1.了解离散型随机变量的期望定义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．2.理解公式“E （aξ+b ）=aEξ+b”，熟记若ξ～Β(n ，p )，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望二、讲解新课：1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE _________________ 为ξ的数学期望，简称_______________． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了____________3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …np n 1==，=ξE ，所以ξ的数学期望又称为____________ 4. 期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξ x 1x 2… x n… η b ax +1b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…=ηE ____________5.若ξ～Β(n ，p )，则Eξ=____________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望学习重点：离散型随机变量的期望的概念学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望学习过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果_________________，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用_________________等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以_________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以________________，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是________________；但是离散型随机变量的结果可以按________________，而连续性随机变量的结果________________若ξ是随机变量，baba,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值x i（i=1，2，…）的概率为()i iP x pξ==，则称表ξx1x2…x i…P P1P2 …P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质：⑴_______________；⑵________________．7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是________________，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1… k… n P nn q p C 00111-n n qp C… kn k k n q p C - 0qp C n n n称这样的随机变量ξ服从________________，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k kn q p C -合作探究一：期望定义某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？1上述问题如何解决？为什么2如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗?二．概念形成一般地,若离散型随机变量的概率分布为…………则称___________为的数学期望或均值,数学期望又简称为____________合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？ E=·+·+…+·+…即：________________________即学即练: 练习1：离散型随机变量的概率分布1 100P 0.01 0.99求的期望。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》教案2
2.3.1 离散型随机变量的数学期望知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望或期望。
过程与方法：理解公式“E （aξ+b ）=aEξ+b”，以及“若ξB （n,p ），则Eξ=np”。
能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的数学期望或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的数学期望或期望的概念。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出数学期望或期望。
教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出。
若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
5. 分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量。
如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）。
人教A版高中数学选修全册学案离散型随机变量
2． 1．1离散型随机变量教学目标：知识目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出3 件以上次品”又如何用X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536；D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.。
三段式学案3 ：2.3.1离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望【学习目标】1.了解加权平均的意义，学会根据离散型随机变量的分布列计算均值；2.理解离散型随机变量的均值含义；3.熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。
【学习重难点】1.了解随机变量均值的含义；2.二项分布随机变量均值公式的推导。
探究案问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？【继续探究】问题1： 如果混合糖果中每粒糖果的质量都相等，我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1颗糖果，这颗糖果的单价X 的分布列是多少？问题2：如果你买了1kg 这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实 际价值刚好是23元吗？新知1：均值或数学期望： 若离散型随机变量X 的分布列为：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p则称 ）（X E 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 ．它与随机变量本身有相同的单位．试一试：已知随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 P0.10.20.30.20.10.1求）（X E ．新知2：离散型随机变量期望的性质：若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且()E aX b += ． 特别的，（1）0a =时，()E b = ；（2）当1a =时，()E X b += ． （3）当0b =时，()E aX = ．注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ；联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越 总体均值．※ 典型例题例1已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P121316且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2，求a 的值．练习1：随机变量X 的分布列为则E (5X+4)等于新知3：几种分布的期望①若X 服从两点分布，则=)(X E ； ②若X ～),(p n B ，则=)(X E ．例2．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．练习2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值．例3．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．练习3．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．【总结提升】1．随机变量的均值；2．几种分布的期望．训练案1．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.2．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.3．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．4.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．5．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策，那么应选择哪一种决策方案？盈利状况方案盈利(万元)概率购买股票投资房地产巨大成功 0.3 10 8 中等成功 0.5 3 4 失败 0.2－5－4答案例1【解析】 E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.练习1. 【解析】∵E (X )=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E (5X+4)=5E (X )+4=11+4=15.例2.【解析】(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B 1(4,)2． ∴P (ξ＝0)＝04411()216C ⨯=，P (ξ＝1)＝1441()2C ⨯＝14，P (ξ＝2)＝2441()2C ⨯＝38， P (ξ＝3)＝3441()2C ⨯＝14，P (ξ＝4)＝4441()2C ⨯＝116. 其分布列为(2)∵ξ～B 1(4,)2，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100元． 即所求变量η的期望为2100元．练习2：【解析】 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X 1和X 2，则X 1～B (20,0.9)，X 2～B (20,0.25)，所以E (X 1)＝20×0.9＝18，E (X 2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X 1和5X 2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E (5X 1)＝5E (X 1)＝5×18＝90，E (5X 2)＝5E (X 2)＝5×5＝25.例3：【解析】从10件产品中任取3件，共有310C 种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337k kC C -，其中k ＝0,1,2,3. ∴P (X ＝k )＝337310k kC C C -，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 练习3：【解析】(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p ，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为2(1)p -，由题意知1－2(1)p -＝0.36，解得p ＝0.2. (2)解出该题的人数ξ的可能取值为0,1,2， 故分布列为∴E (ξ)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.训练案1.【解析】 由题意，得a (1＋2＋3＋4)＋4b ＝1， 即10a ＋4b ＝1，再由E (X )＝3，得a ＋b ＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3， 解得b ＝0，a ＝110.故a ＋b ＝110.【答案】1102.【解析】 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1. ∴E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 【答案】 23.【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P10211021121∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.【答案】 474.【解析】 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”， 则A ＝A 1·A 2，P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.设A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，故EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.5.【解析】 设购买股票的盈利为X ，投资房地产的盈利为Y ， 则购买股票的盈利的数学期望E (X )＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2＝3＋1.5－1＝3.5. 投资房地产的盈利的数学期望E (Y )＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6. 因为E (Y )＞E (X )，所以投资房地产的平均盈利高，故选择投资房地产.。
高中数学新人教版B版精品教案《2.3.1 离散型随机变量的数学期望》
学生活动
设计意图
【课堂小结】
离散型随机变量的数学期望
常见离散型随机变量的数学期望
二点分布
二项分布
超几何分布
课堂小结，总结归纳本节课所学。
让学生完成课堂小结，帮助孩子加深记忆，锻炼归纳总结的能力，同时也是对学生听课效果的检验。
作业
教材P64A组1、2、3B组1、2
板书设计
离散型随机变量的数学期望
情感态度
与价值观
通过创设情境，激发学生学习数学的热情；
在深入学习中，体会所学与实际的紧密联系，体会数学之美，培养“用数学”的意识
重点
离散型随机变量的数学期望的概念及意义
难点
数学期望在解题中的应用
方法
讲、练相结合
教具
黑板，多媒体
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
【情境引入】
17世纪时，职业赌徒德·梅累曾向著名数学家帕斯卡提出了一个困扰他很久的分赌金的问题：甲乙两个赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？
教学目标基本完成，学生反应良好，思维活跃，思考达到一定深度。但课堂上个别环节有些耽误时间，如服从二项分布的随机变量的期望的推导，可以在课前利用一点时间来复习回顾。
例1解：设甲乙两人所付车费之和为X
一、数学期望X的可能取值为0,2,4,6,8
，
二、
两点分布 ，
二项分布 X的概率分布列为
X
0
2
4
6
8
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2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教
A 版选修2-3
【教学目标】
1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】
教学重点：离散型随机变量的期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离
散型、连续型）
5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为
()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n k k n n q p C k P -==)(ξ，
（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1
… k … n
P
n
n q p C 00
1
11-n n q p C … k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k
n k k n
q p C -＝
b(k；n，p)．
二、讲解新课
合作探究一：期望的定义
某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？
1．上述问题如何解决？为什么？
2．如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗?
∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等，∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18，24或36的概率分别为，和，若用表示这颗糖果的价格，则每千克混合糖
果的合理价格表示为18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）
概念形成
一般地,若离散型随机变量的概率分布为
则称
为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。
合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？
E=·+·+…+·+…
即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
即学即练: 练习1：离散型随机变量的概率分布
求的期望。
练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。
练习3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，
求他罚球一次得分ξ的期望
答案：99.01：3.5；0.7
合作探究三:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，你能求出
=ηE ？吗？
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …
+++n n p b ax )(…
＝+11(p x a +22p x …
++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …)
＝b aE +ξ，
即学即练：1、随机变量ξ的分布列是 0.3
(1)则Eξ= ？ . (2)若η=2ξ+1，则Eη= ？ 答案：2.4，5.8
熟记若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np
例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k ，服从二项分布。
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们
在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E 点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，这个公式。
思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分
即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0.2（p），当然，每次传输试验独立。
令X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求X的数学期望。
答案：2
例2见课本例3
即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。
6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销
所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
四、课堂练习：
ξ表示取出球的最大号码，1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以
Eξ=（）
则
A．4；B．5；C．4.5；D．4.75
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
答案：1.C2⑴0.7 ⑵1.4．⑶2.1.
归纳总结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
课后练习与提高
3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_________.
4.(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。
（1）求该同学得分不少于6分的概率；
（2）求X的分布列及数学期望。
答案：1.C 2.A 3.2/3 4.（1）7/24。