平稳时间序列分析
时间序列分析平稳性自相关与移动平均的计算公式
时间序列分析平稳性自相关与移动平均的计算公式时间序列分析是一种用于研究时间上观察到的数据模式、趋势和周期性的统计方法。
其中，平稳性、自相关和移动平均是时间序列分析中的重要概念和计算公式。
本文将对这些概念进行详细介绍并给出相应的计算公式。
1. 平稳性平稳性是指时间序列在统计特性上的稳定性，即均值和方差不随时间变化。
平稳序列有利于预测和建模。
时间序列通过一阶差分可以检验平稳性，即将序列中的每个元素与其前一个元素相减，若差分后的序列是平稳序列，则原序列为平稳序列。
2. 自相关自相关是指序列中的一个观测值与其之前的观测值之间的相关性。
自相关函数（ACF）是一种表示自相关程度的函数，可以用来衡量序列的相关性。
自相关函数的计算公式如下：\[ACF(h) = \frac{Cov(X_t, X_{t-h})}{Var(X_t)}\]其中，\(X_t\)表示序列的观测值，\(X_{t-h}\)表示观测值在时刻\(t-h\)的值，\(Cov(X_t, X_{t-h})\)表示两者的协方差，\(Var(X_t)\)表示序列的方差。
3. 移动平均移动平均是一种平滑序列的方法，可以消除随机噪声，突出序列的趋势。
移动平均的计算公式如下：\[MA_t = \frac{1}{k}\sum_{i=t-k+1}^{t}X_i\]其中，\(MA_t\)表示移动平均值，\(X_i\)表示时间序列中的观测值，\(k\)表示移动窗口的大小。
综上所述，时间序列分析中的平稳性、自相关和移动平均是在研究序列特性、趋势和周期性时经常用到的概念和计算公式。
熟练运用这些公式可以帮助我们理解和预测时间序列的行为，对于数据分析、经济预测等领域具有重要的应用价值。
注：本文所给出的计算公式仅为一般情况下的理论表达，实际应用中可能会根据具体问题的需要进行适当的调整和改进。
在实际操作中，可以借助计算机软件和编程语言来计算和分析时间序列数据。
平稳时间序列的判断条件
平稳时间序列的判断条件平稳时间序列是指在时间维度上具有平稳性的序列，即其统计特性不随时间的推移而发生变化。
平稳时间序列的判断条件包括以下几个方面：1. 均值平稳：时间序列的均值不随时间的推移而发生变化。
2. 方差平稳：时间序列的方差不随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数平稳：时间序列的自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
4. 偏自相关函数平稳：时间序列的偏自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
如果一个时间序列满足以上四个条件，则可以认为它是平稳时间序列。
在实际应用中，可以通过计算时间序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数来判断其是否平稳。
如果一个时间序列不满足平稳条件，可以考虑以下几种处理方法：1. 差分法：对时间序列进行差分处理，即计算相邻两个时间点之间的差值。
通过多次差分，可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
例如，对于一个非平稳的时间序列 $X_t$，可以计算其一阶差分 $D(X_t) = X_t - X_{t-1}$，如果一阶差分仍然不平稳，可以继续计算二阶差分、三阶差分等，直到得到一个平稳的时间序列。
2. 季节性调整：如果时间序列存在季节性波动，可以使用季节性调整方法将季节性因素去除，从而使时间序列变得平稳。
季节性调整方法包括季节性指数平滑法、季节性差分法等。
3. 单位根检验：可以使用单位根检验来判断时间序列是否存在单位根。
如果时间序列存在单位根，则说明它是非平稳的；如果不存在单位根，则说明它是平稳的。
常用的单位根检验方法包括ADF 检验、PP 检验等。
4. 模型拟合：如果时间序列不满足平稳条件，可以尝试使用非平稳时间序列模型进行拟合，如自回归求和移动平均（ARIMA）模型、广义自回归条件异方差（GARCH）模型等。
这些模型可以捕捉时间序列的非平稳特征，从而更好地描述时间序列的变化规律。
需要根据具体情况选择合适的处理方法，以便更好地分析和预测时间序列。
第2章 平稳时间序列分析
zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，用于研究随时间变化的数据。
它基于一个核心假设，即数据的均值和方差在随时间推移的过程中保持不变。
线性平稳时间序列可以用数学模型来描述，通常使用自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型或自回归滑动平均（ARMA）模型。
这些模型基于该系列在某一时间点的值与该系列在过去时间点的值之间的线性关系。
为了进行线性平稳时间序列分析，首先需要检验数据是否满足平稳性的假设。
常用的检验方法包括ADF检验和单位根检验。
若数据不满足平稳性的假设，则需要通过差分操作将其转化为平稳时间序列。
在得到平稳的时间序列后，可以使用最小二乘法对时间序列进行模型拟合。
通过对数据进行模型拟合，我们可以得到模型的系数以及误差项的信息。
利用这些信息，可以进行时间序列的预测和分析。
在预测方面，线性平稳时间序列分析可以利用过去的观测值来预测未来的值。
预测方法包括简单的移动平均法和指数平滑法，以及更复杂的AR、MA和ARMA模型。
在分析时间序列方面，线性平稳时间序列分析可以通过模型的系数和误差项的信息来揭示数据的特征和规律。
例如，可以用模型的系数来检验是否存在滞后效应，用误差项的信息来检验模型的拟合程度。
总之，线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，可以帮助我们研究随时间变化的数据。
通过对数据进行模型拟合、预测和分析，我们可以揭示数据的特征和规律，从而提供决策支持和预测能力。
线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，它广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
该方法基于数据的均值和方差在时间推移过程中保持不变的假设，旨在研究随时间变化的数据及其内在规律，以便进行预测、决策支持和其他分析。
在线性平稳时间序列分析中，首先需要检验数据是否符合平稳性的假设。
平稳性是指数据的均值和方差不随时间变化而发生显著变化。
为了检验平稳性，在实际应用中常常使用单位根检验或ADF检验等方法。
时间序列分析中的平稳性与非平稳性
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
平稳时间序列模型的性质概述
平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。
具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。
这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。
这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。
3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。
这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。
4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。
这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。
根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。
常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。
总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。
通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。
平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。
在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。
首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。
这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。
例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的现象。
在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。
平稳时间序列与非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。
本文将讨论平稳时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。
一、平稳时间序列的定义及特征平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计特征在不同时刻保持不变。
平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。
3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而不依赖于具体的时间点。
二、非平稳时间序列的定义及特征非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会随时间发生变化。
非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。
2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内的季节变化。
3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间的间隔，还依赖于具体的时间点。
三、分析方法的区别针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的选择。
对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列进行建模和预测。
对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转换方法来处理。
常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。
此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分解模型等。
平稳的时间序列满足的三个条件
平稳的时间序列满足的三个条件平稳时间序列是指其统计特征在时间移动中保持恒定的一类时间序列。
平稳性是时间序列分析中最基本、最重要的概念之一，对于理解和预测时间序列数据具有重要意义。
平稳时间序列的分析方法可以用于经济、金融、自然科学、社会科学等领域的研究。
平稳时间序列满足的三个条件是：1.均值不随时间变化：平稳时间序列的均值在时间移动中保持不变。
即在序列的任意一段时间内，该段时间的均值与整个序列的均值相等。
这意味着序列的总体趋势不随时间发生变化，可以看作是一个平稳的随机过程。
2.方差不随时间变化：平稳时间序列的方差在时间移动中保持不变。
方差是描述序列数据波动性大小的度量，如果方差不随时间变化，则说明序列的波动性保持稳定，不会随着时间的推移而发生明显的变化。
3.自协方差不随时间变化：平稳时间序列的自协方差在时间移动中保持不变。
自协方差是描述时间序列自身之间相关性的度量，如果自协方差不随时间变化，则说明序列的内部相关性保持稳定，序列中的观测值之间的相关性不会随着时间的推移而发生明显的变化。
这三个条件合起来就构成了平稳时间序列的基本特征，也被称为严平稳性。
如果一个时间序列不满足以上条件，我们称其为非平稳时间序列。
为了更加形象地理解平稳时间序列的概念，可以举一个例子来说明。
假设我们对某商店的每日销售额进行观察，我们可以假设这个时间序列是平稳的。
如果这个商店的每日销售额持续增长，那么这个时间序列就不满足平稳性的第一个条件，即均值不随时间变化。
同样，如果商店的销售额的波动性在时间推移中发生变化，那么这个时间序列就不满足平稳性的第二个条件，即方差不随时间变化。
另外，如果商店的销售额与前一天的销售额相关性在时间推移中发生变化，那么这个时间序列就不满足平稳性的第三个条件，即自协方差不随时间变化。
在实际应用中，对平稳时间序列的研究有助于我们理解序列的规律和特征，进而可以对未来的数据进行预测和决策。
平稳时间序列的分析方法包括自回归移动平均（ARMA）模型、自回归集成滑动平均（ARIMA）模型、指数平滑模型等。
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验时间序列分析是一种应用广泛的统计分析方法，用于研究随时间变化的数据序列的规律性和特征。
时间序列数据是按照时间顺序排列的观测值序列，常见的包括股票价格、气温、销售额等。
时间序列分析的基本概念是对时间序列数据进行模型拟合和预测。
它的主要目的是揭示数据的内在规律和特征，为未来的预测和决策提供依据。
下面将介绍时间序列分析的基本概念和时间序列的平稳性检验。
一、时间序列分析的基本概念1. 趋势分析：指时间序列数据在长期内的增长或下降趋势。
趋势分析可以采用移动平均法和指数平滑法等方法进行预测和拟合。
2. 季节性分析：指时间序列数据在短期内的重复周期。
季节性分析可以使用季节指数法和季节自回归移动平均法等方法来对季节性进行分析和预测。
3. 循环分析：指时间序列数据在长期内的周期性波动。
循环分析可以利用时间序列的滞后项构建循环指标，并对周期性进行拟合和预测。
4. 不规则分量分析：指不能被趋势、季节性和循环等因素解释的随机变动。
不规则分量包含各种无法归类的随机因素，可以通过随机过程模型进行分析和预测。
二、时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的基本要求，平稳性包括严平稳和弱平稳两个概念。
严平稳要求时间序列的联合概率分布不随时间的变化而改变，即均值和方差等参数在时间序列的不同阶段保持不变。
严平稳序列可以使用统计工具进行参数估计和假设检验。
弱平稳是指时间序列的均值和自相关性不随时间的变化而改变，但方差可能会随时间的变化而改变。
弱平稳序列可以通过差分进行处理，将非平稳序列转化为平稳序列。
进行时间序列的平稳性检验可以使用统计学方法，常用的方法包括ADF检验、单位根检验和KPSS检验等。
这些方法通过检验序列的单位根特征或自回归模型的稳定性来判断序列的平稳性。
ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是一种常用的平稳性检验方法，其原理是对序列进行单位根检验，并根据检验统计量与临界值的比较来判断序列的平稳性。
平稳时间序列分析
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---M221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
方法性工具 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x 记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t px ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇ 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t nx x B-=5.)!(!!,)1()1(0i n i n CB C B i niinni in-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分ARMA 模型的性质 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t πΛ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφεAR(p)模型有三个限制条件： 条件一：0≠pφ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。
时间序列分析--第三章平稳时间序列分析
2019/9/23
课件
25
Green函数递推公式
原理 xt( BG )x(tB )tt (B)G(B)t t
方法
待定系数法
递推公式
2019/9/23
G G0j 1k j1kGjk， j1,2, ,其中 k 0k ,k ,kpp
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
2019/9/23
课件
10
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
2019/9/23
课件
38
例3.5:— (4 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
自相关系数不规则衰减
2019/9/23
课件
39
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变量 的 xt1,xt2, ,xtk1 条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变 量的干扰之后， x 对 tk x影t 响的相关度量。用数 学语言描述就是
2019/9/23
课件
29
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1k11k0
平稳AR(1)模型的方差为
0
2
1 12
协方差函数的递推公式为
k
1k
2 112
,k1
2019/9/23
课件
第三章平稳时间序列分析
t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
(时间管理)第章平稳时间序列分析
（时间管理）第章平稳时间序列分析第3章平稳时间序列分析本章教学内容和要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解且掌握ARMA模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模和预测。
本章教学重点和难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模和预测。
计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时）教学方法和手段：课堂讲授和上机操作§3.1方法性工具壹个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是壹个蕴含着关联信息的平稳序列。
于统计上，我么通常是建立壹个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。
ARMA(autoregressionmovingaverage)模型是目前最常用的壹个平稳序列拟合模型。
时间序列分析中壹些常用的方法性工具能够使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。
壹、差分运算（壹）p阶差分相距壹期的俩个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。
记▽为的1阶差分：▽对1阶差分后的序列再进行壹次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2为的2阶差分：▽2=▽-▽以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行壹次1阶差分运算称为p阶差分。
记▽p为的p阶差分：▽p=▽p-1-▽p-1（二）k步差分相距k期的俩个序列值之间的减法运算称为k步差分运算。
记▽k为的k步差分：▽k=例：简单的序列：：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，1阶差分：▽▽……▽，即1阶差分序列▽：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，2阶差分：▽2=▽-▽=3▽2=▽-▽=22……▽2=▽-▽=-40即2阶差分序列▽2：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，2步差分：▽2▽2……▽2即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28二、延迟算子（滞后算子）（壹）定义延迟算子类似于壹个时间指针，当前序列值乘以壹个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了壹个时刻。
时间序列分析中的平稳性检验
时间序列分析中的平稳性检验时间序列分析是统计学中重要的研究领域，它用于研究随时间变化的数据，并预测未来的趋势。
平稳性检验是时间序列分析的关键步骤之一，它用于确定时间序列数据是否具有平稳性。
本文将介绍时间序列分析中的平稳性检验的基本概念、方法和应用。
一、平稳性的概念在时间序列分析中，平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内保持不变。
具体而言，平稳性要求时间序列的均值、方差和自相关函数在时间上不发生显著的变化。
如果时间序列数据具有平稳性，那么我们可以利用历史数据对未来进行可靠的预测。
二、平稳性检验的方法为了检验时间序列数据的平稳性，常用的方法包括观察法、单位根检验和ADF检验。
1. 观察法观察法是最简单的平稳性检验方法，它通过观察时间序列数据的图表和统计指标来判断数据是否具有平稳性。
如果时间序列数据的均值和方差在不同时间段内保持相对稳定，且自相关函数衰减较快，那么可以初步认为数据具有平稳性。
2. 单位根检验单位根检验是一种常用的平稳性检验方法，它基于时间序列数据是否具有单位根来判断数据的平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验、PP检验和KPSS 检验。
其中，ADF检验是最常用的单位根检验方法之一。
3. ADF检验ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller回归模型来判断时间序列数据是否具有单位根。
ADF检验的原假设是时间序列数据具有单位根，即非平稳性；备择假设是时间序列数据不具有单位根，即平稳性。
ADF检验的关键统计量是ADF统计量，它的值与临界值进行比较来判断数据的平稳性。
如果ADF统计量的值小于临界值，那么可以拒绝原假设，认为数据具有平稳性；如果ADF统计量的值大于临界值，那么接受原假设，认为数据不具有平稳性。
三、平稳性检验的应用平稳性检验在时间序列分析中具有广泛的应用。
首先，平稳性检验是进行时间序列建模的前提条件，只有具有平稳性的数据才能进行可靠的建模和预测。
第3章平稳时间序列分析
时间序列分析
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
• 自相关函数呈现出“伪周期”性
• 理论偏自相关函数
⎧2 ,k =1 ⎪3 ⎪ φkk = ⎨−0.5 , k = 2 ⎪0 ,k ≥ 3 ⎪ ⎩
• 样本偏自相关图
时间序列分析
(2) X t = − X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随 机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全 能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动 序列和格林函数便可确定系统的响应 拟合AR(p)模型的过程也就是使相关序列独立 化的过程.
时间序列分析
• 平稳性的Green函数判别法
欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j → ∞时，有G j → 0
ρ k 减小，且以指数速度减小，越来越与0接近，
这种现象称为拖尾.
时间序列分析
4、AR(1)的PACF （1） PACF的求解
AR (1)的 PACF 按照 PACF的递推公式有：
ρ 2 − ρ1φ11 φ12 − φ12 φ11 = ρ1； φ 22 = = =0 2 1 − ρ1φ11 1 − φ1 φ21 = φ11 − φ 22φ11 = φ1 ρ 3 − ρ 2φ 21 − ρ1φ 22 φ13 − φ12φ1 − 0 = =0 φ33 = 2 1 − ρ1φ 21 − ρ 2φ 22 1 − φ1 − 0
时间序列分析
（三）AR(1)的统计特征
1、 AR(1)的方差：
• 平稳AR(1)模型的传递形式为
∞ ∞ at i Xt = = ∑ (φ1 B) at = ∑ φ1i at −i 1 − φ1 B i =0 i =0
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
时间序列分析第三章平稳时间序列分析轴表示序列取值。
时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。
如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图2图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：（1）由图一我们可以知道序列样本的序列均值为-0.06595，标准差为1.561613，观察值个数为84个。
（2）根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数，综轴表示延迟时期数，用水平方向的垂线表示自相关系数的大小。
我们发现样本自相关图延迟3阶之后，自相关系数都落入2倍标准差范围以内，而且自相关系数向0.03衰减的速度非常快，延迟5阶之后自相关系数即在0.03值附近波动。
这是一个短期相关的样本自相关图。
所以根据样本自相关图的相关性质，可以认为该序列平稳。
（3）根据图五的检验结果我们知道，在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小（<0.0001），所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.999%）断定该序列样本属于非白噪声序列。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8minicp=(0:5)q=(0:5);run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果3某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对该序列建模。
建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是统计学中一个重要的研究领域，在经济学、金融学、统计学等领域中具有广泛的应用。
本文将从概念、特征、建模和预测四个方面展开，详细介绍线性平稳时间序列分析的基本内容。
一、概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据观测值的集合，线性平稳时间序列是指其均值、方差和自相关函数在时间上保持不变。
线性平稳时间序列可以用公式表示为：Yt = μ + εt其中，Yt是时间t的观测值，μ是时间序列的均值，εt是时间t的随机波动项。
二、特征线性平稳时间序列具有以下几个重要特征：1. 均值不变性：时间序列的均值在时间上保持不变，即E(Yt) = μ。
2. 方差不变性：时间序列的方差在时间上保持不变，即Var(Yt) = σ^2。
3. 自相关性：时间序列中观测值之间存在相关性，即时间序列的自相关函数具有一定的模式。
4. 白噪声：时间序列中的随机波动项εt是一个均值为零、方差为常数的随机变量。
三、建模线性平稳时间序列的建模是对时间序列数据进行拟合，以寻找其内在的规律和趋势。
常用的线性平稳时间序列模型主要有AR（自回归模型）、MA（移动平均模型）和ARMA（自回归移动平均模型）等。
1. AR模型：自回归模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻之间存在相关性的假设。
AR模型的阶数p表示过去p个时刻的观测值对当前观测值的影响。
2. MA模型：移动平均模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻的随机波动项之间存在相关性的假设。
MA模型的阶数q表示过去q个时刻的随机波动项对当前观测值的影响。
3. ARMA模型：自回归移动平均模型是结合了AR模型和MA 模型的特点，既考虑了时间序列观测值的自相关性，又考虑了时间序列随机波动项的相关性。
四、预测线性平稳时间序列的预测是利用已有的时间序列数据预测未来的观测值。
常用的线性平稳时间序列预测模型主要有AR、MA和ARMA等。
1. AR模型：通过对过去p个时刻的观测值进行线性组合，预测当前观测值。
趋势平稳的的时间序列
趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。
在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。
趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。
2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。
3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。
也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。
这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。
4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。
也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。
趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。
以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。
在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。
2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。
在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。
3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。
在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。
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t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x 记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t px ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇ 3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t nx x B-=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件： 条件一：0≠pφ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。
这个限制条件实际上是要求随机干扰序列}{t ε为零均值白噪声序列。
条件三：t s Ex t s ∀=,0ε。
这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。
通常把AR(p)模型简记为：t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=--- 22110 (3.5) 当00=φ时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。
非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。
令 则{t y }为{t x }的中心化序列。
AR(p)模型又可以记为：t t x B ε=Φ)(，其中pp B B B B φφφ----=Φ 2211)(称为p 阶自回归系数多项式二、AR 模型平稳性判断P45【例3.1】 考察如下四个AR 模型的平稳性：拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳 1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型t t x B ε=Φ)(都可以视为一个非齐次线性差分方程。
则其齐次线性方程0)(=Φt x B 的特征方程为：02211=------p p p px x xφφφ设p λλλ,,,21 为齐次线性方程0)1()(221=----=Φt p p t x B B B x B φφφ 的p 个特征根。
所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p 个特征根p λλλ,,,21 都在单位圆内。
同时等价于：AR 模型的自回归系数多项式的根，即0)(=Φu 的根，都在单位圆外。
证明：设p λλλ,,,21 为齐次线性方程0)(=Φt x B 的p 个特征根，任取)2,1(,p i i ∈λ，带入特征方程： 把iiu λ1=带入0)(=ΦB 中，有根据这个性质，)(B Φ可以因子分解成：∏=-=Φpi iB B 1)1()(λ，于是可以得到非其次线性方程t t x B ε=Φ)(的一个特解：t pi iipi itttB k B B x ελλεε∑∏==-=-=Φ=111)1()(2、平稳域判别使得特征方程022110=-+------p t p t t t x x x x φφφφ 的所有特征根都在单位圆内的系数集合 被称为AR(p)模型的平稳域。
(1)AR(1)模型的平稳域AR(1)模型为：t t t x x εφ+=-1，其特征方程为：0=-φλ，特征根为：φλ=。
则AR （1）模型平稳的充要条件是1<φ,则AR(1)模型的平稳域是}11{<<-φ(2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：t t t t x x x εφφ++=--2211。
其特征方程为：0212=--φλφλ，特征根为：24,242211222111φφφλφφφλ-+=++=。
则AR （2）模型平稳的充要条件是：1121<<λλ且，从而有：因此可以导出：所以 AR(2)模型的平稳域：【例3.1续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR 模型的平稳性： 其中),0(~}{2εδεWN t 三、平稳AR 模型的统计性质 1、均值假如AR(p)满足了平稳性条件，于是)(22110t p t p t t t x x x E Ex εφφφφ+++++=--- (3.12)由平稳序列均值为常数的性质得：)(T t Ex t ∈∀=μ，因为),0(~}{2εδεWN t ，所以 (3.12)等价于特别对于中心化AR(p)模型有0=t Ex 。
2、方差(1)Green 函数。
设p λλλ,,,21 为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：∑∑∑∑∑∑∞=-∞==-=∞=====-=Φ=001101ˆ)(1)(j jt j j p i j t j i i p i j t ji i t pi i i tt G k B k B k B x εελελελε模型 特征根判别平稳域判别结论 平稳 非平稳平稳非平稳(3.13) 其中∑===pi ji i jj k G 1),2,1( λ，系数）， 2,1(=j G j 称为Green 函数。
记jpi j B G ∑==1G(B)，则(3.13)简记为：t G (B)ε=t x (3.14)再将(3.14)带入AR(p)模型t t x B ε=Φ)(中，得到 Green 函数的递推公式为： 其中{,,0='≤>kpk pk k φφ(2)平稳AR 模型的方差。
对平稳AR 模型t G(B)ε=t x 两边就方差，有由于∑∞=∞<02j jG，这说明平稳序列}{t x 方差有界，等于常数∑∞=022j j G εσ【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。
AR(1)模型：∑∑∞=-∞===-=⇒=-010111)()1()1(j j t j t jj t t t t B B x x B εφεφφεεφGreen 函数为：),1,0(,1 ==j G j jφ，所以平稳AR(1)模型的方差为： 3、协方差函数在平稳模型t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=--- 22110等号两边同时乘)1(≥∀-k x k t ，再求期望，得 又由1,0)(≥∀=-k x E k t t ε，)(k t t k x x E -=γ，可以得到自协方差函数的递推公式： p k p k k k ---+++=γφγφγφγ 2211(3.17)【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。
平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：0111γφγφγk k k==-又由【例3.2】知，21201φσγε-=，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：1,12121≥∀-=k kk φσφγε 【例3.4】求平稳AR(2)模型的自协方差函数。
求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：1,2211≥∀+=--k k k k γφγφγ， 特别地，当k=1时，有12011γφγφγ+=，即0111γφφγ-=利用Green 函数可以推出AR(2)模型的协方差： 所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为： 4、自相关系数(1)平稳AR 模型自相关系数的推导公式。
由于0γγρk k=，式 (3.17)两边同时除以0γ，可以得到自相关系数的推导公式：p k p k k k ---+++=ρφρφρφρ 2211平稳AR(1)模型的自相关系数推导公式：0,1≥=k k k φρ平稳AR(2)模型的自相关系数推导公式：(2)自相关系数的性质。
平稳AR 模型自相关系数有连个显着的特性： 一、拖尾性 二、呈负指数衰减 5、偏自相关系数 (1)偏自相关系数的定义。
定义 3.3 对于平稳序列}{t x ，所谓滞后k 偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量121,,,+---k t t t x x x 条件下，或者在剔除中间k-1个随机变量121,,,+---k t t t x x x 的干扰后，t x x k t 对-的影响的相关度量。
(2)偏自相关系数的计算。
对于平稳序列}{t x ，用过去的k 期序列值121,,,+---k t t t x x x 对t x 作k 阶自回归拟合，即t k t kk t k t k t x x x x εφφφ++++=--- 2211 (3.12)式中，)(0,0)(t s x E E s t t <∀==εε。
在式(3.12)两边同时乘k t x -，并求期望，得1,2211≥∀+++=---l k l kk l k l k l ρφρφρφρ ，取前k 个方程构成的方程组：该方程组成为Yule —Walker 方程。
用矩阵表达111212111----k k k k ρρρρρρ ? kkk k φφφ 21 kρρρ 21=(3.27) 则DD kkk =φ，其中 D 为式 (3.27)的行列式，k D 为把D 中第k 个列向量换成(3.27)等号右边的自相关系数响亮后构成的行列式。
(3)偏自相关系数的截尾性。
平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p 步截尾性。
指p k kk >∀=,0φ，只要当k>p 时，0=k D 。
AR(1)模型的偏自相关系数为：=kkφ2,01,1≥=k k φAR(2)模型的偏自相关系数为：=kk φ 2,02,1221>=-k k φφφ3.2.2 MA 模型 一、定义定义 3.4 具有如下结构的模型称为q 阶移动平均(moving average)模型，简记为MA(q):ts E Var E x s t t t q qt q t t t ≠===≠---+=--,0)(,)(,0)(0211εεσεεθεθεθεμε(3.32)使用MA(q)模型需要满足两个限制条件： 条件一：0≠qθ，这个限制条件保证了模型的最高阶数为q 。