高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数 新人教A版必修1

2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= 的图象如图.
x,12 y=x-1
探究2:幂函数图象不可能出现在第几象限? 答案:第四象限.这是因为y=xα中当x>0时,y不可能小于0.
3.幂函数的性质
y=x
y=x2
定义域 R 值域 R
奇偶性 奇
单调性
R [0,+∞)
解析:设幂函数的解析式为 y=xα,
将(3, 3 )代入解析式得
3α=
3
,解得α=
1
,所以
y=
1
x2
.故选
D.
2
题型二 幂函数的图象 【例2】 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
解析:(1)设幂函数的解析式为 y=xa, 因为幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),所以 2=4a,解得 a= 1 ,
偶 x∈[0,+∞) 时, 增 函数; x∈(-∞,0] 时, 减 函数
y=x3
1
y= x 2
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
奇
非奇非偶
增 函数 增 函数
y=x-1
{x|x≠0} {y|y≠0}
奇 x∈(0,+∞) 时, 减 函数; x∈(-∞,0) 时,减函数
自我检测
1.(概念)下列函数中是幂函数的为( B )
解:由题意得
m2 m2 2n
2m 1 0, 3 0,
2
1,
解得
m
n
3, 3. 2
【备用例 1】 幂函数 y=f(x)经过点(3, 3 ),则 f(x)是( ) (A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 (B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 (C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 (D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
(D)-2
解析:(2)由幂函数的定义可知m2-3m+3=1, 即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.
方法技巧 幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数, 底数为自变量,系数为1.
即时训练 1-1:已知 y=(m2+2m-2) xm2 1 +2n-3 是定义域为 R 的幂函数,求 m,n 的值.
7
(1)-
7
88
和-
1 9
8
;
(2)(-2)-3 和(-2.5)-3;
7
解:(1)-
7
88
=-
1 8
8
,函数
y=
x
7 8
在(0,+∞)上为增函数,
7
7
7
又
1 8
>
1 9
,则
1 8
8
>
1 9
8
,从而-
8
7 8
<-
1 8 9
.
(2)幂函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数, 因为0>-2>-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3.
2 ⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:(1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数 不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.
m1
(2)已知 f(x)=(m2-3m+3) x 3 为幂函数,则 m 等于( )
(A)1 (B)2 (C)1 或 2
1
①y=axm(a,m 为非零常数,且 a≠1);②y= x 3 +x2;③y=xπ;④y=(x-1)3
(A)①③④
(B)③
(C)③④ (D)全不是
1
2.(概念)函数 y=(m2+2m-2) xm1 是幂函数,则 m 等于( B )
(A)1
(B)-3 (C)-3 或 1 (D)2
3.(求解析式)幂函数的图象过点(2,
x
题型三 幂函数的性质
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小.
(1)( 2 )0.5 与( 1 )0.5; (2)(- 2 )-1 与(- 3 )-1;
5
3
3
5
解:(1)因为幂函数 y=x0.5 在(0,+∞)上是单调递增的,
又 2 > 1 ,所以( 2 )0.5>( 1 )0.5.
53
5
3
(2)因为幂函数 y=x-1 在(-∞,0)上是单调递减的,
x
答案:
这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点(1,1).这 类函数称为幂函数.
知识探究
1.幂函数的概念 一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中 x是自变量, α是常数. 探究1:幂函数与指数函数的自变量有何区别?
答案:幂函数是形如y=xα(α∈R),自变量在底数上,而指数函数是形如y=ax (a>0且a≠1),自变量在指数上.
2 所以 y= x ,其定义域为[0,+∞),且是增函数, 当 0<x<1 时,其图象在直线 y=x 的上方.对照选项,故选 C.
(2)(2017·江西高一月考)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc, y=xd在同一坐标系 中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( ) (A)d >c>b>a (B)a>b>c>d (C)d >c>a>b (D)a>b>d>c
(3)1.1-0.1 和 1.2-0.1;
2
(4)4. 15
,3.
8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
解:(3)幂函数 y=x-0.1 在(0,+∞)上为减函数, 因为 0<1.1<1.2,所以 1.1-0.1>1.2-0.1.
(4)因为
2
4. 15
2
> 15
=1,0<3.
8
2 3<12 3=1,(-1.9)
又- 2 <- 3 ,所以(- 2 )-1>(- 3 )-1.
35
3
5
3
2
(3)
2 3
4
与
3 4
3
.
2
3
解:(3)因为函数
y1=(
2 3
)x 为
R
上的减函数,又
3 4
>
2 3
,所以
2 3 3
>
2 3
4
.
2
2
又因为函数
y2=
2
x3
在(0,+∞)上是增函数,且
3 4
>
2 3
,所以
3 4
(A)y=x-1 (C)y=x2
1
(B)y= x 2 (D)y=x3
2 ),则该幂函数的解析式为(
B)
5
4.(图象特征)函数 y= x 3 的图象大致是图中的( B )
5.(单调性)若f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增,则α的取值范围为 . 答案:(0,+∞)
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 幂函数的概念 【例 1】 (1)下列函数:①y=x3;②y=( 1 )x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;
3 5
<0,所以(-1.9)
3 5
<3.
8
2 3
<
2
4. 15 .
【备用例 3】
已知幂函数
f(x)=
xm2
1
m
(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
解:(1)m2+m=m(m+1),m∈N*, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, 所以 m(m+1)为偶数. 令 m2+m=2k,k∈N*,则 f(x)= 2k x .
所以函数
f(x)=
xm2
1
m
(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.
(2)若该函数还经过点(2, 2 ),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实 数 a 的取值范围.
解:(2)因为函数 f(x)经过点(2,
2 ),所以
2
=
2 m2 m 1
,即
1
22
=
2.3 幂函数
课标要求: 1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数 y=x,y=x2,y=x3,
y=
1
,y=
1
x2
的图象,并通过图象了解幂函数的图象和性质.3.能正确应用幂
x
函数的知识解决相关问题.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入 请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x, y=x2,y= 1 的图象,并观察它们的共同特点.
即时训练2-1:在下列四个图形中,y= x 的12 图象大致是( ) 解析:函数y= x 12的定义域为(0,+∞),是减函数.故选D.
【备用例 2】 如图,函数 y= 1 ,y=x,y=1 的图象和直线 x=1 将平面直角坐标系的 x
第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数 f(x)的图象经过的部分 是④⑧,则 f(x)可能是( )
2
m2
1
m
.
所以 m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.又因为 m∈N*,所以 m=1.