1.2极坐标系(第二课时)

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1.2 极坐标系课件-高中数学人教A版选修4-4 (共17张PPT)

问题3：已知角终边上有一点 P(1, 3) 如何求角的大小及点P到原点距离？
1.互化条件
(1)极点就是坐标原点; (2)极轴为x的正半轴；
(3)具有相同的单位长度.
M(x,y)
2.互化公式
M(,)
. x
y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标 O x
x2 y2
y
X
tan y (x 0)
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2] 点的直角坐标与极坐标互化？
x y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标
x2 y2 tan y (x 0)
x
谢谢各位老师的聆听！
O
X
这样就建立了一个极坐标系
问题1:类比直角坐标系确定点只需知道横纵坐标，那么在极坐标中如何确定一点的位置？
引入距离和方位角
x
二、极坐标的表示方法
(1)极径：对于极坐标平面上任意点M到极点O
的距离|OM|叫点M的极径，用表示，=|OM|
（；2）以极轴为始边旋转到射线OM的角 MOX叫点M的极角，记为MOX，= ;
a(1 sin )
极坐标系
如何确定以下两船的位置关系呢？
（1）距离： 12海里（2）方向：
发生故障!!!
拯救船
20º
O
x
云南大学北门
银杏大道
从这往南走100米！
一、极坐标系的建立
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点。
(2)从极点O引一条射线OX，叫做极轴。
(3)选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（以逆时针方向旋转为正角）
(3)有序数对（，）就叫做M的极坐标

1.2极坐标系(2)

x′＝kx，设变换公式为 y′＝hy，
解
代入方程 2x′－y′＝4，得
2kx－hy＝4 与方程 x－2y＝2 比较，将其变形为 2x－4y＝4，比较系数知，k＝1，h＝4.
x′＝x， ∴伸缩变换公式为 y′＝4y.
注：此变换过程可叙述为：把直线 x－2y＝2 上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍，可得到直线 2x′－y′＝ 4.
2 2 2
x＝x′， 1 y＝4y′，
y ′2 把椭圆 x′ ＋＝1 变成圆 x2＋y2＝1. 16
2
如下图所示
变式 2
x′＝5x，已知伸缩变换 y′＝4y，
曲线 C 在此变换下变为
x′2 y′2 椭圆＋＝1，求曲线 C 的方程． 25 16
x′＝5x，将变换公式 y′＝4y
2 2
x′2 y′2 所以，圆 x ＋y ＝4 经过伸缩变换后变成椭圆＋＝1. 16 64
2 2
例2
x′＝x，已知伸缩变换公式 y′＝4y，
曲线 C 在此变换下变
2 y ′ 为 x′2＋＝1，求曲线 C 的方程． 16
分析
已知变换公式及变换后的曲线方程，求原方程，可
直接把变换公式代入已知方程即可．解
• 2．对伸缩变换的理解
• (1)把y＝sinx的图象每个点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y＝sin2x的图象，其解析式确是2倍的关系，形式正好相反．反过来，把y＝sin2x的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则得到y＝sinx的图象 • 如下图所示
(2)在伸缩变换公式中，点(x， y)在原函数的图象上，点(x′， y′)在伸缩变换后的图象上，因此，点(x，y)满足原来的曲线方程，点(x′，y′)满足变换后的曲线方程.

高中数学第1章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件

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二极坐标系
第二课时极坐标和直角坐标的互化
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考纲定位
重难突破
1.掌握点的极坐标与直角重点：点的极坐标与直角
坐标的互化公式.
坐标的互相转化.
2.能进行点的极坐标与直难点：将点的直角坐标转
角坐标的互相转化.
化为极坐标.
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极坐标与直角坐标互化的应用
[典例] 在极坐标系中，点2，π3和圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心的距离为(
)
A. 3
B．2
C. 1＋π92
D. 4＋π92
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[解析] 方法一 ∵(x－1)2＋y2＝1 的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2 ＝ 22＋12－2×2×1×cosπ3＝ 4＋1－2＝ 3. 方法二将点(2，π3)化为直角坐标是(1， 3) 又(x－1)2＋y2＝1 的圆心的坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3. [答案] A
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探究二点的直角坐标化为极坐标
[例 2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，

1.2 极坐标系课件(人教A选修4-4)(2)

只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )．又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．
解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).

1.2 极坐标系坐标的互化(第二课时)

2、平面直角坐标化为极坐标
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x
2 2 2
课后作业
1.课本12页第3，4，5题；
M（，）

XXBiblioteka 注意：极角一般是用弧度来表示
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标
表示，也可以用极坐标表示，那么，这
两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位.
y ρ
y
θ
x
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则
ρ
y
θ
x
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x
2 2 2
问题解析
2 例1 (1) 将点M的极坐标 (5, )化成直角坐标; 3 (2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
2 5 解: (1) x cos 5 cos , 3 2 2 5 3 y sin 5 sin . 3 2 5 5 3 ). 所以, 点M的直角坐标为 ( , 2 2
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x 2 y 2 ( 3 ) 2 (1) 2 2
7π 练习：1. (1)把点 A 的极坐标(2， )化成直角坐标； 6 (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．

数学选修4-4课件 1.2 极坐标系

【变式 1】 (2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐116π
D．2，136π
解析：根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，
【变式 2】若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)将 M 的极坐标8，23π化成直角坐标； (2)将 A 的极坐标4，53π化成直角坐标．解析：(1)由 x＝8cos23π＝－4，y＝8sin23π＝4 3.得 M 的直角坐标为(－4,4 3)．
x＝4cos53π＝2， (2)y＝4sin53π＝－2 3 . 即 A 的直角坐标为(2，－2 3)．
• 求点的极坐标的注意点 • 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画
平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中，点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ<2π的前提下，平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的，如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐标有无穷多个．
【例题 1】在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
第一讲
坐标系
• 1.2 极坐标系
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程
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课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业
课前教材预案
•要点一极坐标系的建立
• 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线 Ox，同时确逆定时针一方个向单位长度和计算角度的正方向(通常取___________为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)
分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0，－π<θ≤π)．

2017年高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第2课时极坐标和直角坐标的互化课件北师大版选修4-4

3－
32 2
＝ 4＋12＝4.
[规律方法] (1)|AB|除了利用两点间距离公式解决之外，由A，B两点在极坐标系上的位置．如图可知O，A，B在同一条直线上，故|AB|＝|OA|＋|OB|＝1＋3＝4.
(2)平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示．我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
1．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；③两坐标系中的长度单位相同．
(2)不作特殊说明，由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值．
由tanθ＝
y x
确定θ时，θ∈[0,2π)，注意x≠0时才能由上述公
式确定，同时结合x、y的符号确定θ所在象限，x＝0时，①若y
第二课时极坐标和直角坐标的互化
[学习目标]
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系． 2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 3．能够根据坐标转化解决某些数学问题.
[学法指要]
1．利用点的坐标互化公式解决问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．灵活运用互化公式求点的极(直角)坐标．(难点)
∴x2＋y2＝4.
①
又|AC|2＝|BC|2，
于是(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2，
即y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝± 2， ∴xy＝＝－2，2，或xy＝＝－2，2， ∴点C的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)． ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝74π或34π， ∴点C的极坐标为2，34π或2，74π.

高中数学《极坐标系的的概念(第二课时)》教学设计

《极坐标系的的概念（第二课时）》教学设计一、教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．（二）、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

选修4-4 1.2 极坐标系

题组一：说出下图中各点的极坐标

2
5 6
C E D O B A X

4

4 3
F
G
5 3
特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A ( 3, ) 6 3 D ( , ) 2 4

B ( 2, ) 2

C (1, ) 2

3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到 OM 的角度，叫做点M 的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M

X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。

高中数学课件-第三讲极坐标系2

M
o
﹚ A
x
例：在极坐标系中，求过点(2, ) 且与极轴的倾斜角为的直线的
4 极坐标方程 .
分析： π 在△OAP 中，∠APO＝θ－ 4 ，
由正弦定理 2 ＝ ρ ，
π
π
sin（θ－ 4 ） sin 4
π 得 ρsin(θ－ 4 )＝ 2.
又因为点 A(2，π)适合上式，故所求直线的极坐标方程为
3 延长交l为点B，求 | OA | 的最大值.
| OB |
64 36 5) y2 48x
已知点A为圆C : (x 1)2 y2 1上的动点，O为坐标原点，过点 P(0，4)作直线OA的垂线(当A,O重合时，直线 OA约定为y轴），垂足为 M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 1）求点M的轨迹的极坐标方程；
2）直线l的极坐标方程为： sin( ) 4,连接OA并
例：指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1) cos( ) 2;
3
(2) 2 cos 2 3; (3) 2 3 cos 6 sin 5 0; (4) 2 ;
1 sin (5) sin 3cos
这类题多采用化生为熟的方法，即常将极坐标方程化为普通方程，再进行判断.
(1)
方程f(,)=0； (2) 方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上。
则曲线C的方程是f(,)=0。
1、直线的极坐标方程
探究一：求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。
4 M
( 0)
4
4
o
x
变式：求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。
4
4
(
0)
和
5 (
4

1.2极坐标系

B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
课堂小结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数种。是因为极角引起的。
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。(ρ ,θ )
(ρ ,θ +2kπ)
[4]点与其极坐标一一对应的条件
课堂练习
1.已知极坐标 M (5, 4 ),下列所给出的不能表示点M的坐3标的是( C )
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为 A(2, ),B(
3
2, ),
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
4
A、正三角形
示平面上一点的位置的思想，就是极坐
标的基本思想。
试一试？
请大家回忆直角坐标系的建立过程，试着建立一个用距离与角度确定平面上一点位置的坐标系.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正方向（通常取逆时针

方向）。
O X
这样就建立的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
练习：指出下列各点在极坐标系中的位置
（4，π /4）（4，9π /4）（4，-7π /4）
A
π/4
O
X
想一想:
①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？