最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第6讲_幂函数与二次函数

合集下载

清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷新课标人教版

清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷新课标人教版本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1．15cot 15tan +的值是 ( )A ．2B ．32+C ．4D ．334 2．设数列{a n }是等比数列，2,51211==q a ，则a 4与a 10的等比中项为( ) A ．41 B ．81 C ．41± D ．81±3．过点(2，－2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．12422=-y x B ．12422=-x y C ．14222=-y x D ．14222=-x y4．若不等式：)40(342≤≤-+>+m m x mx x 恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．31≤≤-xB ．1-≤xC ．3≥xD ．31>-<x x 或5．若数列{a n }是等差数列，首项0,0,02042032042031<⋅>+<a a a a a ，使前n 项和S n <0的最大自然数n 是( ) A ．405B ．406C ．407D ．4086．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A=2∠B ，则BB 3sin sin 等于( ) A ．cb B ．bc C ．ab D ．ca 7．过椭圆的一个焦点F (－c ，0)，倾斜角为43arccos 的直线，交椭圆于A 、B 两点，若|AF |:|BF|=1:3，那么椭圆的离心率e = ( ) A ．31B ．32C ．33D ．328．已知直线l ：m x y +-=21与曲线C ：|4|2112x y -+=仅有三个交点，则m 的取值范围是( )A ．)12,12(+-B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9．在复平面内，复数1ii+对应的点位于第象限． 10．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是-80，则实数a 的值是．11．已知22,05302-+⎩⎨⎧≥+-≤-y x y x y x 则的最大值是．12．曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是． 13．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直．其中真命题的个数是．14．)6,2(),817,1(N M ，点P 是曲线4422+-=x x y 上的动点，则|MP |+|NP |的最小值为．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题10分) 已知向量m = (1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m n ⋅= - 1． (1) 求向量；(2) 设向量))23(cos 2,(cos ),0,1(2xx -==π向量，其中320π<<x ，若0=⋅，试求||b n + 的取值范围．16．(本题满分10分) 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响．(1) 求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2) 求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3) 设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明 ∥PA 平面EDB ； (II) 证明⊥PB 平面EFD ；(III) 求二面角D -PB -C 的大小．18．(本小题12分) 已知数列{a n }满足.81),2(12241=≥-+⋅=-a n a a n n n 且 (1) 求数列的前三项：a 1，a 2，a 3； (2) 是否存在一个实数λ，使得数列}2{nn a λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； (3) 求数列{a n }的前n 项和S n ．附加题：(本小题14分)已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 是此椭圆的一动点，并且21PF PF ⋅ 的取值范围是].34,34[-(1) 求此椭圆的方程；(2) 点A 是椭圆的右顶点，直线y = x 与椭圆交于B 、C 两点(C 在第一象限内)，又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足0||||21=⋅⎫⎛F F CQ CP ，求证：向量共线．[参考答案]1-5 C D D D A 6-8 A D D9、四 10、-2 11、 2 12 、43 13、3 14 83315、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分(2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分))32cos(,(cos )1)23(cos 2,(cos 2x x x x -=--=+ππ4分 2)234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+ππ 6分 )]23cos(2[cos 211)]234cos(2[cos 211x x x x --+=-++=ππ )32cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π++=--+=x x x x 8分 35323320ππππ<+<⇒<<x x ， 45||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分故25||22<+≤ 10分 16、 (1)63(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)ξ 3 4 … k… P27125 162625…233123()()55k k C --…17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO，而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA //平面EDB ． (2) 证明：∵PD⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥，∵PD=DC，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的中线，∴PC DE ⊥． ① 同样由PD⊥底面ABCD ，得PD⊥BC．∵底面ABCD 是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC ．而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ．而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB⊥平面EFD ．(3) 解：由(2)知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角．由(2)知，DB PD EF DE ⊥⊥,．设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===，a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=，a PC DE 2221==．在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=．在EFD Rt ∆中，233622sin ===a a DF DE EFD ，∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =． (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG ．依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ． ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa，且(,0,),(,0,)22a aPA a a EG =-=-．∴EG PA 2=，这表明PA//EG ．而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB ． (2)证明：依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a PB -=．又(0,,)22a aDE =，故022022=-+=⋅a a ． ∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD ． (3)解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ．从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===．所以00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---．由条件PB EF ⊥知，0=⋅PB FE ，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ，且(,,)366a a a FE =--，2(,,)333a a aFD =---∴03233222=+--=⋅a a a ，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵691892222a a a a =+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，aa a a FD 369499||222=++=，∴2136666cos 2=⋅==a a a EFD ． ∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．(或用法向量求)18、解：(1) 由3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n同理可得 a 2 = 13， a 1 = 5. 3分 (2) 假设存在的实数λ符合题意，则nn n n n n n a a a a 2222111λλλ--=+-+--- nn n 211212λλ+-=--=必是与n 无关的常数，则.1021-=⇒=+λλn7分故存在实数λ= -1，使得数列}21{n λ+为等差数列.(3) 由(2) 知数列}21{n n a -是公差d = 1的等差数列12)1(11)1(21211+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴nn nn n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22+ 4×23+…+(n +1)·2n +12S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1⇒相减整理得： S n = n (2n +1+1) 12分附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -，其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=则，).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=从而.),(),(2202020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅ 2分由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以，即.222122b PF PF a b ≤⋅≤- 3分又已知343421≤⋅≤-PF PF ， 4分所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.34,4,34,34222222b a b a b 从而椭圆的方程是.143422=+y x (2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+=⋅+||||,0||||(21的平分线平行，所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴.由).1,1(,1,1,,143422C y x x y y x ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+解得不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为-k ，因此PC 和QC 的方程分别为)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，其中⎪⎩⎪⎨⎧=++-=≠.1434,1)1(,022y x x k y k 由消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k 9分 ∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.从而222231163,31163kk k x k k k x Q P +-+=+--=同理， 10分从而直线PQ 的斜率为.313112231)13(22)(222=+--+-=--+=--=kk k k k k x x k x x k x x y y k Q P Q P Q P Q P PQ11分又知A (2，0) ，B (－1，－1) ，所以,312101AB PQ AB k k k =∴=----=12分与向量∴共线。

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

题型三函数的奇偶性与对称性
例3 (多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝ f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A.f(x＋2)＝f(x)
√B.函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称 √C.函数y＝f(x＋1)是偶函数
D.f(2－x)＝f(x－1)
对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错；对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，B对；对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对；对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即 f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错.
√D.[－1,0]∪[1,3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
(1)
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增， ∴f(0)<f 12<f(1)，即 f(6)<f 121<f(－7).
思维升华
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

取特殊值，令 a＝4，b＝2，c＝14，
1
1
则ac＝44 ，bc＝24 ，
∴ac>bc，故A错误；
1
9
1
3
abc＝4× 24＝ 24，bac＝2× 4＝4 2，2
∴abc>bac，故B错误； logac＝log414＝－1，logbc＝log214＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.
思维升华
求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
跟踪训练2 (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3
≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c
√B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
思维升华
利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12 ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知 1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第3节

. . .第3节等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q. 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 65.(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2， ∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 1考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.(2)数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.答案(1)B(2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】(1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1·a6·a11＝－33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b3＋b91－a4·a8的值是()A.－ 3B.－1C.－33 D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝________.解析(1)依题意得，a36＝(－3)3，a6＝－3，3b6＝7π，b6＝7π3，b3＋b91－a4·a8＝2b61－a26＝－7π3，故tanb3＋b91－a4·a8＝tan⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tanπ3＝－ 3.(2)法一由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.法二因为{a n}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a 3a＝7 3.答案(1)A(2)7 3考点三等比数列的判定与证明【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n}的前n项和S n＝1＋λa n，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列.(2)解由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A.2B.4C. 2D.2 2解析在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B4.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A5.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2解析根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5. 答案 57.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案 12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 022 三、解答题9.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ， ∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.10.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n －1)2 B.12(9n －1) C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n－1).答案 B12.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22，∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2.最新人教版初中数学精品资料设计最新人教版初中数学精品资料设计 11 答案 a n ＝n （n ＋1）213.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.。

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
定义
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间I上单
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么
就称函数f(x)在区间I上单调递减
调递增
知识梳理
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)
上为增函数.( × ) (4)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
教材改编题
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是
A.y＝x2－1
B.y＝x3
C.y＝2x
√D.y＝－x＋2
教材改编题
2.y＝xx－－12在[3,4]上的最大值为
√A.2
3 B.2
5 C.2 D.4
y＝xx－－12＝x－x－2＋2 1＝x－1 2＋1， ∵y＝x－1 2＋1值，最大值为3－1 2＋1＝2.
教材改编题
3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 13的x的取值范围是___12_，__32_ _.
方法二 f′(x)＝ax′x－x1－－1a2xx－1′＝ax－x－11－2 ax＝－x－a12. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
思维升华
确定函数单调性的四种方法 (1)定义法； (2)导数法； (3)图象法； (4)性质法.

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞).( × ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
教材改编题
1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
A.不确定
B.0
√C.1
D.2
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
教材改编题
2.计算：27－23＋－1 － 3 2 － 2＝__1___.
原式＝33－23
＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
教材改编题
3.若指数函数 f(x) ＝ax(a>0，且a≠1) 在 [ －1,1]上的最大值为 2 ，则a ＝ __2_或__12___.
若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若 0<a<1，则 f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得 a＝12.
第
二部分
探究核心题型
题型一指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(－1.8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93
＝1＋
2 3
2
27 8
2
3
10
3
92
＝1＋232·322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.
3
(2)
1 4
1 2
4ab1 0.12 a3b3
1 2
3
1 4
1 2
4ab1 0.12 a3b3

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第1讲_函数及其表示

第二篇函数与基本初等函数I第1讲函数及其表示A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各对函数中，是同一个函数的是( )．A．f(x)＝x2，g(x)＝3x3B．f(x)＝|x|x，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x<0C．f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝(2n－1x)2n－1，n∈N*D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x x＋解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；对于选项C，由于当n∈N*时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x x＋的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )．A．y＝1sin xB．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin x x解析函数y＝13x的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin xx的定义域相同，故选D.答案 D3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]的值为的值是________．解析∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发现g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1.答案 1 26．函数y＝x＋1－x－1的值域为________．解析函数定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，当x≥1时是减函数，∴0<y＝2x＋1＋x－1≤22＝ 2.故函数的值域为(0，2]．答案(0，2]三、解答题(共25分)7．(12分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝1－2x－1的定义域为集合N，求：(1)集合M，N；(2)集合M∩N，M∪N.解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}．(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. 8．(13分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )． A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图可知0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b，∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.故应选C. 答案 C2．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2的解析式为( )． A ．f (x )＝4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]解析 ∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x 2|x －2|－2.注意到定义域：⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|≠2⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x ≠0且x ≠4⇒x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f (x )＝1－x 21＋x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.解析因为f (x )＝1－x 21＋x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1－x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＝0. 答案 04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案 (－1，2－1) 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤x ≤2，x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )． (1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数y ＝h (x )的图象并指出h (x )的最小值．解 (1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ax ，1≤x ≤2，－a x －1，2<x ≤3，当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ；当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)；若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ，故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ；当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a . 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a <0，1－a ，0≤a ≤12，a ，12<a ≤1，2a －1，a >1.(2)画出y ＝h (x )的图象，如图所示，数形结合可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.6．(13分)(2012·江苏)设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．解 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n2(或n ＋12)，所以f (n )＝⎩⎨⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.。

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第4讲_指数与指数函数

第4讲指数与指数函数A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )． A ．0B.33C ．1 D. 3解析由题意有3a＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.答案 D2．(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析 a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A3．(2013·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析 y ＝(a －1)2x－a2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y＝(a －1)2x－a2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为( )． A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，a －x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，146．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x ，f x ，－2－f x ，f x＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x，x >0，－2－2x ，x <0.而当x >0时，－1<－2－x<0，则12<2－2－x <1.而当x <0时，－1<－2x<0，则－1<－2－2x<－12.则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－x＋2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－2x 2x 1＋x 2＋，∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．8．(13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A.12B.14C ．2D ．4解析由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)．答案 C2．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，且f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析由已知得f (1)＝21＋1＝3，故 f (f (1))>3a 2⇔f (3)>3a 2⇔32＋6a >3a 2.解得－1<a <3. 答案 (－1,3)4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a∈R )．(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.(2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0，∴a －2×2x ≥0恒成立，∴a ≥2×2x .∵2x ∈[1,2]，∴a ≥4.6．(13分)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第8讲_函数与方程

第8讲函数与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x －x的零点是唯一的．答案 B2．(2013·泰州模拟)设f(x)＝e x＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4，∴f′(x)＝e x＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.答案 C3．(2013·石家庄期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3. 答案 C4．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1.根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2，可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点，又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，f x －，x >0，g (x )＝f (x )－x －a ，若函数g (x )有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析设n 为自然数，则当n <x ≤n ＋1时，f (x )＝(x －n －1)2，则当x >0时，函数f (x )的图象是以1为周期重复出现．而函数y ＝x ＋a 是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a ＝1)时与函数f (x )的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a 的取值范围为a <1. 答案 (－∞，1)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1，得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎨⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎨⎧x >0，log 2x ＝12.得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解 (1)如图所示． (2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈，1]，1－1x ，x ∈，＋，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围．解由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a . (1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4，∴a ＝3.(2)法一 ①当g (－1)＝－a －1＝0，a ＝－1时，g (x )＝f ′(x )的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g (1)＝7－a ＝0，a ＝7时，f ′(x )的零点x ＝－73∉(－1,1)，不合题意；③当g (1)g (－1)<0时，－1<a <7；④当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋3a ，－1<－23<1，g ，g －时，－43≤a <－1.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.法二 g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.或者又等价于当x ∈(－1,1)时，求值域． a ＝3x 2＋4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－43∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∴函数f (x )只有一个零点．答案 B2．(2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )． A ．5B ．6C ．7D ．8解析由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，144．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2ex ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )． (1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点．②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c3a.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a <0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f，f －，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12.(2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件.。

高三数学一轮复习第六章第6课时练习理新人教A版试题

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．答案： B2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0 D．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案： D3．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b解析： ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b .答案： A4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2. 答案： C5．对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n解析：对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ”，选C.答案： C6．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值X 围解析： ∵要证P ＜Q ，只需证P 2＜Q 2，只需证2a ＋7＋2aa ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只需证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，只需证0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．答案： C二、填空题7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是______________．解析： ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b8．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2.答案： a 2＞b 2＋c 29．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是________．解析：方法一：a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b －(a 2＋b 2)＝a (1－a )＋b (1－b )＞0，∴a ＋b 最大．方法二：特值法，取a ＝12，b ＝18，计算比较大小．答案： a ＋b三、解答题10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解析： (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.【解析方法代码108001080】证明：要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证ca ＋b ＋a b ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac . ∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1. 从而原式得证．12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.【解析方法代码108001081】解析： (1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n －1. 因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2 ＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1) ＝－5·2n ＋4·2n＝－2n ＜0，所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.。

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第2节 (2)

...第2节等差数列及其前n项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(m，n∈N*).(2)等差数列的前n项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *). 3.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).4.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.[常用结论与微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A .－1B .0C .1D .6解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.答案 B3.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A .100B .99C .98D .97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.答案 C4.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为______.解析由题意知d ＜0且⎩⎨⎧a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎨⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 5.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 180考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52. (2)设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧2a 1＋7d ＝24，①6a 1＋15d ＝48，②解得d ＝4.答案 (1)C (2)C规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( )A.172B.192 C .10 D .12(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解析 (1)由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝192.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)B (2)30考点二等差数列的判定与证明(典例迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2). 又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解.(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0.∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0.即1S n －1S n －1＝12. 又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列. (2)解由(1)知1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 规律方法等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立.考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2018·贵阳质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( )A .88B .48C .96D .176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A .63B .45C .36D .27解析 (1)依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝11×162＝88. (2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列.即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.答案 (1)A (2)B规律方法等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列.【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A .13B .12C .11D .10(2)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________. 解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13. (2)因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 故a 6b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941.答案 (1)A (2)1941考点四等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A .5B .6C .7D .8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 (1)法一由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大.法二由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 (1)C (2)130规律方法求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】 (1)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A .5B .6C .5或6D .11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)C (2)110基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( )A .20B .24C .28D .34 解析由已知，得a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，∴a 15＝a 2＋13d ＝－2＋13×2＝24.答案 B2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A .10B .20C .30D .40 解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 A3.(2018·郑州质检)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A .－45B .－54 C.413 D.134解析设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由已知，得14＝1＋3d ，解得d ＝－14，所以1a 10＝1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－54，即a 10＝－45. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A .－24B .－3C .3D .8 解析根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 A5.(2018·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( )A .S 9＝0B .S 5最小C .S 3＝S 6D .a 5＝0解析由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.答案 607.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 198.已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 解析因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋a 6＝21. 答案 21三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.(2018·桂林、百色、崇左调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋3n 4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·石家庄模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )A .36B .6C .4D .2解析在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立.故a 6·a 7的最大值为4. 答案 C12.(2018·河南百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________.解析根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋（i －1）×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6. 答案 613.(2018·康杰中学、晋城一中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *).(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，①2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，当n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，则当n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第4节 (2)

. . .第4节数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知识梳理1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[常用结论与微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A .9B .15C .18D .30解析由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A .2n ＋n 2－1B .2n ＋1＋n 2－1C .2n ＋1＋n 2－2D .2n ＋n －2解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C4.(必修5P47BT4改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和S n ＝2 0182 019，则n 等于________.解析 a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.令n n ＋1＝2 0182 019，得n ＝2 018. 答案 2 0185.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 解析由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝4，所以2a n ＝(f (0)＋f (1))＋⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋(f (1)＋f (0))＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1). 答案 a n ＝2(n ＋1)考点一公式法求和【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2. (1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解 (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎨⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎨⎧q ＝－5，d ＝8.∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.规律方法 1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【训练1】 (2017·北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12.考点二分组转化法求和【例2】 (2018·济南质量预测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练2】 (2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列. 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.考点三裂项相消法求和【例3】 (2018·长沙模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n .求最小的正整数n ，使得S n >2 0182 019. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，令1－12n ＋1>2 0182 019，解得n >1 009，故取n ＝1 010.规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练3】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四错位相减法求和(易错警示)【例4】 (必修5P61AT4(3))求和：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1. 解当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，② ①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n .③ 即S n ＝1－x n （1－x ）2－nx n1－x.规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.易错警示 (1)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.(2)在利用等比数列求和公式求和时，应注意分清是n 项还是n －1项. 【训练4】 (2018·江西百校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，得S nn ＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5. 解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足. 故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.基础巩固题组(建议用时：25分钟) 一、选择题1.等差数列{a n}中，已知公差d＝12，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝()A.50B.75C.100D.125解析a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×12＝75.答案 B2.数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A.9B.8C.17D.16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案 A3.数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A.200B.－200C.400D.－400解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，S6＝5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.答案 C5.(2018·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令a n＝1f（n＋1）＋f（n），n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 017＝()A. 2 016－1B. 2 017－1C. 2 018－1D. 2 018＋1解析由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1. 答案 C 二、填空题6.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1). 答案 n (n ＋1)7.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析由a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，又a n >0，所以a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，故S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －18.(2018·衡水质检)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [（2a ＋c ）b ＋（2c ＋a ）d ＋（d －b ）]6个.假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________.解析各层木桶长与宽的木桶数自上而下组成一等差数列，且公差为1，根据题意得，a ＝2，b ＝1，c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，n ＝15，则木桶的个数为 15[（2×2＋16）×1＋（2×16＋2）×15＋（15－1）]6＝1 360(个).答案 1 360三、解答题9.(2018·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2， ∴{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由(1)得b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n ＋(2n ＋1)，所以T n ＝2×(4＋42＋…＋4n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)＝2×4（1－4n ）1－4＋n （3＋2n ＋1）2＝83(4n －1)＋n 2＋2n . 10.(2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和. 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，则2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n 3（2n ＋3）. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·华中师大联盟质量测评)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23 D .(－∞，1] 解析由已知，a n ＋(－1)n ＝[3＋(－1)1]·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －(－1)n .当n 为偶数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1)＝2n ＋1－2，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1＋1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1，得λ≤2n ＋1－22n ＋1＋1＝1－32n ＋1＋1对n ∈N *恒成立，∴λ≤23；当n 为奇数时， a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1－1)＝2n ＋1－1， a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1－1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1得，λ≤2n ＋1－12n ＋1－1＝1，对n ∈N *恒成立，综上可知λ≤23.答案 C12.(2017·成都诊断)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.解析因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.答案 7813.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎨⎧a 1＝1，a 2＝3. 又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，同时a 2＝3a 1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，此时T 2符合，T 1不符合，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。

2021年高考数学一轮总复习 2-6 指数与指数函数练习新人教A版

2021年高考数学一轮总复习 2-6 指数与指数函数练习新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－22；－342＝4－34×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6－22＝622＝32>0，∴3－2≠6－22；－342<0，4－34×2>0，∴－342≠4－34×2.答案 A2．下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1 D ．y ＝1－2x答案 B3．(xx·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析由对数的运算性质得2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x·2lg y.答案 D4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析若a <0，则由f (a )<1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，∴－3<a <0；若a ≥0，则由f (a )<1得a <1，∴0≤a <1.综上a 的取值范围是－3<a <1，选C.答案 C5．(xx·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝a (2x －12)－2x ，令2x－12＝0，得x ＝－1，y ＝－12，∴这个定点是(－1，－12)．答案 C6．(xx·烟台模拟)已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )解析由f (4)·g (－4)<0知a 2·log a 4<0， ∴log a 4<0.∴0<a <1.∴f (x )为减函数，因此可排除A 、C ，而g (x )在x >0时也为减函数，故选B. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)解析答案－23 8．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析 f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧132x －4，x ≥2，134－2x，x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．答案 [2，＋∞)9．(xx·杭州模拟)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12 －3·2x＋5的最大值为________．解析令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4. 又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案52三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝32x －1－19. 解 (1)显然定义域为R ， ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2， ∵y ＝3x为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12.此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0. 即函数的值域为[0，＋∞)．11．(xx·西安模拟)已知函数f (x )＝a －12x＋1： (1)求证：无论a 为何实数f (x )总是增函数； (2)确定a 的值，使f (x )为奇函数； (3)当f (x )为奇函数时，求f (x )的值域．解(3)由(2)知f (x )＝12－12x ＋1.∵2x＋1>1，∴0<12x ＋1<1.∴－12<12－12x ＋1<12.∴f (x )的值域为(－12，12)．12．(xx·汕头一模)已知函数f 1(x )＝e|x －a |，f 2(x )＝e bx.(1)若f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )－bf 2(－x )，是否存在a ，b ∈R ，y ＝f (x )为偶函数．如果存在，请举例并证明你的结论；如果不存在，请说明理由；(2)若a ＝2，b ＝1，求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在R 上的单调区间．解 (1)存在a ＝0，b ＝－1使y ＝f (x )为偶函数．证明如下：当a ＝0，b ＝－1时，f (x )＝e |x |＋e －x＋e x，x ∈R ， ∴f (－x )＝e|－x |＋e x ＋e －x＝f (x )，∴y ＝f (x )为偶函数．(注：a ＝0，b ＝0也可以)(2)∵g (x )＝e |x －2|＋e x＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －2＋e xx ≥2，e 2－x ＋e xx <2，①当x ≥2时，g (x )＝ex －2＋e x ，∴g ′(x )＝ex －2＋e x>0.∴y ＝g (x )在[2，＋∞)上为增函数． ②当x <2时，g (x )＝e 2－x＋e x，则g ′(x )＝－e2－x＋e x，令g ′(x )＝0得到x ＝1.(ⅰ)当x <1时，g ′(x )<0，∴y ＝g (x )在(－∞，1)上为减函数； (ⅱ)当1≤x <2时，g ′(x )>0，∴y ＝g (x )在[1,2)上为增函数．综上所述：y ＝g (x )的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1)．%Ez37279 919F 醟23606 5C36 尶32814 802E耮K29411 72E3 狣xM727094 69D6 槖9[&。

高三数学一轮复习第六章第7课时练习理新人教A版试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于( )A．1 B．2C．3 D．0解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.答案：C2．一个关于自然数nnn＝k(k≥1且k∈N*n＝kD．以上都不对解析：此题证的是对n答案：B3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除〞的第二步是( )A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，此题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确．答案：B4．数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( ) A．3n－2 B．n2C．3n－1D．4n－3解析：计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜a n＝n2.故应选B.答案：B5．以下代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )解析： (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝nk ∈N *都成立．答案： D6．1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为()A ．a ＝12，b ＝c ＝14 B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a 、b 、c解析： ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －b ＋c 1＋2×3＝322a －b ＋c1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34解得a ＝12，b ＝c ＝14.答案： A二、填空题 7．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )＞n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.解析： ∵f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f (2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.答案： 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋18．如图，这是一个正六边形的序列：那么第n 个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，…，其边数构成等差数列，那么第(n )图的边数为a n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1.答案： 5n ＋19．在各项为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，那么a 3＝________，猜想数列{a n }的通项公式为________．解析：由S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 可计算出a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. 由a 1，a 2，a 3可归纳猜想出a n ＝n －n －1.答案： 3－ 2 n －n －1三、解答题10．设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n ·[f (n )－1](n ≥2，n ∈N *).【解析方法代码108001082】证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎣⎡⎦⎤1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k 时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f k ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．11．数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．解析：由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2＞x 4＞x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n(2)假设当n ＝kx 2k ＞x 2k ＋2.易知x 2k ＞0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3 ＝x 2k ＋3－x 2k ＋11＋x 2k ＋11＋x 2k ＋3＝x 2k －x 2k ＋21＋x 2k 1＋x 2k ＋11＋x 2k ＋21＋x 2k ＋3＞0，即x 2(k ＋1)＞x 2(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k12．点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上.【解析方法代码108001083】解析： (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13. a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13. ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，那么当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．。

高三数学一轮复习第六章第5课时练习理新人教A版试题

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.答案： C2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 答案： B3．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C. 答案： C4．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.答案： B5．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补(大前提)∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角(小前提)∠A ＋∠B ＝180°(结论)答案： A6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1]( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)答案： A二、填空题7．(2011·某某模拟)有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是“________________.”(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)答案：若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列(或填：若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ＋b n ＋1＋b n ＋2}是公比为q 的等比数列)8．若例1可以改为直线分平面成几部分问题．若三条直线两两相交且不过同一点时，可将平面分成________部分；若四条直线两两相交且任何三条不过同一点可将平面分成________部分，以此类推n 条直线的情况下，将平面分成________部分．解析： n ＝2时，分成4部分；n ＝3时，分成7部分；n ＝4时，分成11部分．以此类推知a n ＝a n －1＋n ，故用累加法可得a n ＝n 2＋n ＋22.答案： 7 11 n 2＋n ＋229．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________. 解析：由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 答案： 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题10．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．解析： (1)两个角是对顶角，则两角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角．结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论11．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34； sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34；sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34；…. 由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．解析：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34. 证明：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°) ＝sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34. 12．已知数列8·112·32，8·232·52，8·352·72，…，8n 2n －122n ＋12，…，S n 为其前n 项和． (1)计算S 1、S 2、S 3的值，并推测S n 的公式．(2)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，计算a 1、a 2、a 3的值，并推测计算数列{a n }的通项公式.【解析方法代码108001079】解析： (1)计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，由此推测S n ＝2n ＋12－12n ＋12(n ∈N *)． (2)由题意，得a n ＋22＝2S n ，当n ＝1时，a 1＝S 1，解得a 1＝2，a 2＝6，a 3＝10，由此推测a n ＝4n －2(n ∈N *)．。

清华附中第二学期高三数学理科第一次统练试卷新课标人教版

清华附中第二学期高三数学理科第一次统练试卷新课标人教版本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1．已知集合{}(){}21,lg 10A x y x B y y x ==-==+，则有 ( )A ．AB B ．AB C ．A B = D ．RA B =2．已知复数z ii -+=11，则1 + z + z 2 + z 3 + z 4的值是 ( ) A ．1 B ．- 1 C ．i D ．- i 3．已知a ，m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列五个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β ③若α∥β，β∥γ，则α∥γ ④若β⊥α，a ⊥α，则a ∥β ⑤若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 其中正确命题的个数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．已知函数)6cos()6sin(ππ++=x x y ，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( )A ．6,2ππ=xB ．12,2ππ=xC ．6,ππ=xD ．12,ππ=x5．设等比数列{a n }(公比q > 1)，若14765=++a a a ，64765=a a a 则987a a a ++= ( ) A ．40 B ．56 C ．90 D ．1056．函数g (x )图象与函数f (x ) = lg(1)x -的反函数的图象关于原点对称，则函数g (x ) 图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．7．若向量n a = (cos2n θ，sin n θ)，n b = (1，2sin n θ)，则数列{(n a ⋅n b )2- 1} ( )A ．既是等差数列又是等比数列B ．既不是等差数列又不是等比数列C ．是等比数列D ．是等差数列8．设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的x 1 ∈ D ，存在唯一的x 2 ∈ D ，使得12()()2f x f x C +=(C 为常数)成立，则称函数y = f (x )在D 上的均值为C ，给出四个函数：① y = x 3；② y = 4sin x ；③ y = lg x ；④ y = 2x．则在其定义域上均值为2的所有函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．()622x x -展开式中5x 的系数是．(用数字作答)10．若球的表面积为16π，则与球心距离为3的平面截球所得的圆面面积为． 11．圆04222=+-++m y x y x 的面积是4π，则m = ．12．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 (用数字作答)．13．已知A ∈ x 轴，B ∈ l ：y = x ，C (2，1)，ΔABC 周长的最小值为________．14．在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy = 60︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(x ，y )．(1) 若点P 的斜坐标为(2，－2)，则点P 到点O 的距离|PO | = _______；(2) 以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程为___________________ ．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(10分) 设a = (3sin x ，cos x )，b = (cos x ，cos x )，若函数f (x ) = a ⋅b + m (m ∈R )． (Ⅰ) 指出函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (Ⅱ) 当]3,6[ππ-∈x 时，函数f (x )的最小值为2，求此函数f (x )的最大值，并求此时的x的值．16．(10分)袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分．现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球．(I) 求连续取3次球，恰得3分的概率； (II) 求连续取2次球的得分ξ的分布列及期望．17．(12分) 已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP = AD = 1，AB = 2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．(I) 求证：AF //平面PEC ；(II) 求PC 与平面ABCD 所成角的大小； (III) 求二面角P —EC —D 的大小．18．(12分) 设A ，B 分别是直线25y =和25y =上的两个动点，并且||20AB =动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．(I) 求轨迹C 的方程；(II)若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．四、附加题：(14分) 设对于任意实数x 、y ，函数f (x )、g (x )满足1(1)()3f x f x +=，且f (0) = 3，g (x + y ) = g (x ) + 2y ，g (5) = 13，n ∈ N *．(Ι) 求数列{f (n )}、{g (n )}的通项公式；(ΙΙ) 设[()]2n nc g f n =，求数列{c n }的前n 项和S n ； (ΙΙΙ) 已知123lim 03n n n -→∞+=，设F (n ) = S n - 3n ，是否存在整数m 和M ，使得对任意正整数n 不等式m < F (n ) < M 恒成立？若存在，分别求出m 和M 的集合，并求出M - m 的最小值；若不存在，请说明理由．[参考答案]一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．C ； 7．D ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9． - 160 ．10． π ．11． 1 ．12． 28 ．131014．_2_；_x 2+ y 2+ xy -1 = 0．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(I)21)62sin(),(cos )cos ,sin 3()(+++=+⋅=m x m cox x x x x f π， f (x )的最小正周期是π，f (x )的单调递增区间是)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ………(5分)(II)1)62sin(21,65626,36≤+≤-≤+≤-∴≤≤-ππππππx x x 从而min 111sin(2),()2,26222x f x m π+=-=-++=当时即，52,()sin(2)62m f x x π∴==++，sin(2)1,2,6626x x x ππππ+=+==当即时，f (x )取到最大值27……………(10分)16．解：(I)设“3次均取得白球得3分”的事件为A ，则.1258525252)(=⨯⨯=A P …4分(II) 从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球，1次红球；2次均为红球三种情况，所以，ξ的可能取值为2、3、4．而每次取得红球的概率为53，每次取得白球的概率为52，每次取球的情况是彼此独立的．所以， 2512)53)(52()3(;254)52()2(12222======C P C P ξξ；.259)53()4(202===C P ξξ234P254 2512259所以，2.3254253252=⨯+⨯+⨯=ξE ．………………10分17．解法一：(I) 取PC 的中点O ，连结OF 、OE ．DC FO //∴，且.21DC FO =.//AE FO ∴ 又∵E 是AB 的中点，且AB = DC ，∴FO = AE ． ∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF //OE ．又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF //平面PEC ．…………………………………4分 (II) 连结AC ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角．在Rt ΔPAC 中，.5551tan ===∠AC PA PCA 即直线PC 与平面ABCD 所成角的大小为.55arctan………………8分 (III) 作AM ⊥CE ，交CE 延长线于M ，连结PM ．由三垂线定理，得PM ⊥CE ．∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角．由△AME ～△CBE ，可得22=AM ． .2221tan ==∠∴PMA ∴二面角P —EC —D 的大小为.2arctan ……………………12分解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，1，0)，D (0，1，0)，)21,21,0(F ，E (1，0，0)，P (0，0，1)． (I) 取PC 的中点O ，连结OE ．则).21,21,1(O1111(0,,),(0,,)2222AF EO ==，.//EO AF ∴又OE ⊂ 平面PEC ，AF ⊄ 平面PEC ，∴AF //平面PEC ．………………4分 (II) 由题意可得)1,1,2(-=PC ，且(0,0,1)PA =-是平面ABCD 的法向量，66||||,cos =⋅>=<PC AP PC PA ，即直线PC 与平面ABCD 所成角的大小为6………………9分 (III) 设(,,)m x y z =为平面PEC 的法向量，).10,1(),1,0,1(=-=EC PE则0,0.m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得⎩⎨⎧=+=-.0,0y x z x 令z = - 1，则m = (- 1，1，- 1)．……………………11分(0,0,1)PA =-是平面ABCD 的法向量，13cos ,||||3m PA m PA m PA ⋅<>===⋅∴二面角P —EC —D 的大小为.33arccos…………………………12分 18．解：(I) 设P (x ，y )，因为A 、B 分别为直线55y x =和255y x =-上的点，故可设1125()A x ，2225(,)B x ． ∵OP OA OB =+， ∴1212,25)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,5x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．………………………4分又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．…………………5分∴22542045y x +=．即曲线C 的方程为2212516x y +=．…………………6分(II) 设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM DN λ=，可得(x ，y - 16) = λ (s ，t - 16)．故x = λs ，y = 16 + λ (t - 16)．……………………………………8分∵M 、N 在曲线C 上，∴222221,2516(1616) 1.2516s t s t λλλ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩……………………………………9分消去s 得 222(16)(1616)11616t t λλλ--++=．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得17152t λλ-=．……………………………11分又 4t ≤， ∴171542λλ-≤．解得 3553λ≤≤(1≠λ)．故实数λ的取值范围是3553λ≤≤(1≠λ)．………………………………12分四、附加题：(本小题满分14分)设对于任意实数x 、y ，函数f (x )、g (x )满足1(1)()3f x f x +=，且f (0) = 3，g (x + y ) = g (x ) + 2y ，g (5) = 13，n ∈ N *．(Ι) 求数列{f (n )}、{g (n )}的通项公式；(ΙΙ) 设[()]2n nc g f n =，求数列{c n }的前n 项和S n ；(ΙΙΙ) 已知123lim03n n n -→∞+=，设F (n ) = S n - 3n ，是否存在整数m 和M ，使得对任意正整数n 不等式m < F (n ) < M 恒成立？若存在，分别求出m 和M 的集合，并求出M - m 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(Ι) 取x = n ，则)(31)1(n f n f =+．取x = 0，得1)0(31)1(==f f ．故{f (n )}是首项为1，公比为31的等比数列， ∴)(n f =131-⎪⎭⎫⎝⎛n ．取x = n ，y = 1，得g (n + 1) = g (n ) + 2 (n ∈ N *)，即g (n + 1) - g (n ) = 2． ∴{g (n )}是公差为2的等差数列．又g (5) = 13，因此g (n ) = 13 + 2(n - 5) = 2n + 3，即g (n ) = 2n + 3． ………………………………4分(ΙΙ) n c =)](2[n f n g =3)31(])31(2[11+=--n n n n g ．∴12n n S c c c =+++ =2)31(3)31(21++31114()()333n n n -++++，+=3131n S 23111112()3()(1)()()3333n n n n n -+++-++，两式相减得， 322111()33n S =+++111()()233n n n n -+-+ n n n n n n n n2)31(])31(1[232)31(311)31(1+--=+---=， ∴n n S nn n 3)31(23])31(1[49+--=11193119231()()33()44323443n n n n n n n ---+=--+=+-⋅．………………………9分 (ΙΙΙ)n S n F n 3)(-=19231()443n n -+=-⋅．∴123125111)()()()(1)()043433n n n n n F n F n n -+++-=-=+>（∴)(n F 为增函数，故1)1()(min ==F n F ．∵123lim03n n n -→∞+=，∴9lim ()4n F n →∞=，又1231()043n n -+⋅>， )(n F <49． ∴ 1≤)(n F <49．因此，当m < 1，且M ≥49时m < F (n ) < M 恒成立，∴ 存在整数m = 0，- 1，- 2，- 3，…，M = 3，4，5，6，…，使得对任意正整数n ，不等式m < F (n ) < M 恒成立．此时，m的集合是{0，- 1，- 2，- 3，…}，M的集合是{3，4，5，6，…}，且(M-m)min = 3．………………………………14分。

北京市清华附中2023届高三统练二数学试题

一、单选题二、多选题1. 设，为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足，则的面积为（）A．B ．2C．D ．12.过点作圆的切线，则切线方程为（）A．B．C．D ．或3. 设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝A ．5B ．6C ．7D ．84. 若复数满足，则的虚部是A．B．C．D．5. 甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（）A ．0.72B ．0.27C ．0.26D ．0.986.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（）A ．奇函数B ．在上单调递增C ．图象关于点对称D ．图象关于直线对称7.已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m 的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为B ．当离心率为时，的最大值为C ．存在点使得D ．的最小值为110. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（）北京市清华附中2023届高三统练二数学试题三、填空题四、解答题A ．存在点，使得B ．线段的长度的最大值是1C．当点与点重合时，多面体的体积为2D．点到截面的距离的最大值是11. 已知函数的部分图象如图所示.则（）A．B．在区间内有两个极值点C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D ．A ，B ，C 是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则12. 下列说法正确的是（）A ．相关系数可衡量两个变量之间线性关系的强弱，的值越接近于1，线性相关程度越强B ．在对两个分类变量进行独立性检验时，计算出的观测值为，已知，则可以在犯错误的概率不超过的前提下认为两个分类变量无关C ．一组容量为100的样本数据，按从小到大的顺序排列后第50，51个数据分别为13，14，则这组数据的中位数为D．相关指数可用来刻画一元回归模型的拟合效果，回归模型的越大，拟合效果越好13.函数的最大值是__________．14. 函数的零点个数是__________.15.如图，在直三棱柱中，，D ，E分别为，分如中点，则过点A ，D ，E 的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．16. 据统计，2016年“双十”天猫总成交金额突破1207亿元．某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：消费金额人数5101547男性消费情况：消费金额人数23102(1)计算的值；在抽出的100名且消费金额在（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”女性男性总计网购达人非网购达人总计附：0.100.050.0250.0102.7063.841 5.024 6.635（，其中）17. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．19. 已知函数.(1)若时，讨论函数的单调性；(2)若，过作切线，已知切线的斜率为，求证：.20. 给定三个平面向量．(1)求的大小；(2)若向量与向量共线，求实数的值．21. 如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于．的点，，圆的直径为9．（2）求二面角的平面角的正切值．。

北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题

一、单选题二、多选题1. 已知数列的通项公式为则数列的前项和的最小值为( )A．B．C．D．2. 已知，则的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．73.在复平面内，复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（）A ．1B ．243C ．64D ．05. 已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（）A．B．C．D．6. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A．B．C．D．7. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（）.A．B．C．D．8. 已知为定义在R 上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A．B．C．D．9. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A 表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B 表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C 表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（）A．B．事件与事件相互独立C ．与和为D ．事件A 与事件B 互斥10. 已知函数，是自然对数的底数，则（）A．的最大值为B．C ．若，则D ．对任意两个正实数，且，若，则北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题三、填空题四、解答题11.在平面直角坐标系中，设函数，则（）A．曲线上存在两点、，使得B ．曲线上任意一点处的切线都不可能经过原点C．曲线上任意一点处的切线与直线及轴围成的三角形的面积是定值D．过曲线上任意一点作直线及轴的垂线，垂足分别为、，则是定值12. 如图，已知正方体的棱长为2，M ､N 分别是､的中点，平面与棱的交点为E ，点F 为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A．B ．三棱锥体积为C ．若则平面D ．若，则直线与所成角的正弦值为13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.14. 的展开式中x 的系数为_____________．（用数字作答）15. 已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为______．16. 如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD,.（1）证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; （2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.17.等差数列中，，数列中，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求的最大值.18. 已知抛物线的焦点为F ，点Q 在抛物线C 上，点P 的坐标为，且满足（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且弦的中点M 在直线上，试求的面积的最大值.19.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是中点，是上的点，，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面平面.20. 在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．21. 某校现有学生1500人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测试，得分在之间，按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图，且已知．(1)求m、n的值；(2)估计该校数学测试的平均分；(3)估计该校数学分数在的人数．。

清华大学附中高三数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数$f(x) = \frac{2x}{x-1}$，则$f(-1)$的值为（）A. -2B. 2C. 1D. 无定义2. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z|$的值为（）A. $\sqrt{2}$B. 1C. $\sqrt{3}$D. 23. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = \sqrt{x}$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$4. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，且对于任意$n \geq 3$，都有$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A. $a_n = 2^n - 1$B. $a_n = 2^n + 1$C. $a_n = 2^{n-1} - 1$D. $a_n = 2^{n-1} + 1$5. 若直线$l$的方程为$x + 2y - 3 = 0$，则直线$l$与圆$x^2 + y^2 = 9$的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 重合6. 设向量$\vec{a} = (2, -3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. -5B. 5C. -10D. 107. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$S_5 = 15$，则数列$\{a_n\}$的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数$f(x) = \ln(x + 1)$，则$f'(x)$的值为（）A. $\frac{1}{x + 1}$B. $\frac{1}{x - 1}$C. $\frac{1}{x + 1} -\frac{1}{x - 1}$ D. $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$9. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x = -1$B. $x = 0$C. $x = 1$D. $x = 3$10. 设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则$q$的值为（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数），则$|z|^2 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第6讲_幂函数与二次函数

清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷 新课标 人教版

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章 第3节

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第1讲_函数及其表示

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第4讲_指数与指数函数

最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第8讲_函数与方程

高三数学一轮复习 第六章 第6课时练习 理 新人教A版 试题

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章 第2节 (2)

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章 第4节 (2)

2021年高考数学一轮总复习 2-6 指数与指数函数练习 新人教A版

高三数学一轮复习 第六章 第7课时练习 理 新人教A版 试题

高三数学一轮复习 第六章 第5课时练习 理 新人教A版 试题

清华附中第二学期高三数学理科第一次统练试卷 新课标 人教版

北京市清华附中2023届高三统练二数学试题

北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题

清华大学附中高三数学试卷

清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷新课标人教版

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第3节

高三数学一轮复习第六章第6课时练习理新人教A版试题

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第2节 (2)

高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章第4节 (2)

2021年高考数学一轮总复习 2-6 指数与指数函数练习新人教A版

高三数学一轮复习第六章第7课时练习理新人教A版试题

高三数学一轮复习第六章第5课时练习理新人教A版试题

清华附中第二学期高三数学理科第一次统练试卷新课标人教版