非等间距GM_1_1_幂模型及其工程应用_王正新

均值生成序列 Z
（ 1）
（ tk ） 。
（ 0）
1 ） 定 义 5： 设 X x
（ 0）
（ t k ） 为 非 等 间 距 序 列，
（ 1）
{
^ x（ 1） （ t1 ） ^ x （ tk ） － ^ x （ t k －1 ） Δt k
（ 1） （ 1）
k =1 k = 2， 3， …， n （ 7）
1 ） 幂模型及其工程应用 非等间距 GM （ 1 ，
1 2 2 王正新 ，党耀国 ，刘思峰 （ 1． 浙江财经学院经济与国际贸易学院 ， 杭州 310018 ； 2． 南京航空航天大学经济与管理学院， 南京 210016 ）
［ 1 ） 幂模型。 以平均相对 摘要］ 针对工程中大量存在的非等间距序列的建模问题 ， 提出了非等间距 GM（ 1 ， 误差绝对值最小 化 为 目 标 ， 以 模 型 参 数 之 间 的 关 系 为 约 束， 构建了一个非线性优化模型实现非等间距 GM（ 1 ， 1 ） 幂模型的参数估计。结果表明， 非等间距 GM（ 1 ，1 ） 幂模型的形式较为灵活 ， 非等间距 GM （ 1 ，1 ） 模型和灰色 Verhulst 模型均是非等间距 GM （ 1 ，1 ） 幂模型的特殊情形， 幂指数的优化有利于提高建模精度 。 1 ） 幂模型的有效性与实用性 。 最后通过一个工程实例验证了非等间距 GM（ 1 ， ［ 1 ） 幂模型； 参数优化 关键词］ 灰色系统； 非等间距序列； GM（ 1 ， ［ 中图分类号］ N941． 5 ［ 文献标识码］ A ［ 文章编号］ 1009 － 1742 （ 2012 ） 07 － 0098 － 05
x （ 0） （ t k ） 为灰导数， Z （ 1） （ t k ） 为灰导数背景值， 则称 （ t k ） + aZ
（ 1）
（ tk ） = b ( Z
（ tk ）
)γ
（ 2）
2． 3
1 ） 幂模型的灰色微分方程 为非等间距 GM （ 1 ， （ 为了更好地区别模型中的发展系数 a ， 文章用 γ 16］ 表示文献［ 中的 α ） 。
a =
Σ k =2
n
( z （ 1） )2
n
（ tk ）
n
) 2γ
Σ k =2
( z （ 1）
（ tk ）
)2
－ －
(Σ
n
(z
（ 1）
k =2 n
（ tk ）
) γ +1
)
n
（ 8）
2
b =
Σ k =2
( z （ 1）
（ tk ）
Σ k =2
x （ 0） （ t k ） ( z （ 1） （ t k ）
n
)γ
Σ k =2
)2
( z （ 1）
（ tk ）
(z
) γ +1
x （ 0） （ t k ） z （ 1） （ t k ） （ 1）
（ tk ）
) 2γ
Σ k =2
( z （ 1）
（ tk ）
－
(Σ
n
（ 1）
k =2
（ tk ）
)
（ 9）
2
以平均相对误差最小化为目标， 以参数之间的 关系为约束条件， 可建立以下优化模型， 以便求出最 珚= MinΔ
( z （ 1）
（ 1）
1 ） 幂模型的白化方程。 为非等间距 GM（ 1 ， T ^ 如定理 1 所述， ^ =［ 4 ） 定理 2 ： 设 B， Y， a a a， b］ BT Y ， 1 ） 幂模型的白 则非等间距 GM （ 1 ， 化方程的解为： ^ （ 1） （ t） = x 若以 x
（ 1）
X （ 1） （ t k ） 为 为非等间距序列， ^ = ( a， X （ 0） （ t k ） 的 1 － AGO 序列， a 则称 b) T ， dx （ 1） ( t ) + ax （ 1） ( t ) = b ( x （ 1） ( t ) ) γ dt （ 4）
)
，k =
)
2， 3， …， n 。则称序列 Z （ 1） （ t k ） =
1
前言
近年来， 灰色系统预测方法
［1 ， 2 ］
GM（ 1 ， 1 ） 幂模型［1］ 是一种重要的非线性灰色 可以通过寻找与实际数据最匹配的幂指数 ， 从 模型， 被广泛应用于 而使得模型能够较好地反映数据的非线性特征 。但 是自从邓聚龙教授提出该模型以来， 人们对它的关 16］中首次提出了经典 GM 注甚少。 笔者在文献［ （ 1， 1 ） 幂模型的求解方法， 研究了模型解 的 性 质。 1 ） 幂模型还难以被应用到工程中 目前， 经典 GM（ 1 ， 大量存在的非等间距序列的建模中 。文章将首先分 在此基础上将经典 析非等间 距 序 列 的 生 成 方 法， ［16 ］ GM（ 1 ， 1 ） 幂模型 拓展为非等间距 GM （ 1 ， 1 ） 幂模 1） 型， 并研究模型中参数的优化问题。 由于 GM （ 1 ， 1 ） 幂模型的 模型和灰色 Verhulst 模型均是 GM （ 1 ， 特殊形式。因此， 只要能够通过恰当的手段找到非等 1 ） 幂模型的最优幂指数， 间距 GM（ 1， 其建模精度一 1 ） 模型和灰色 Verhulst 定可以超越非等间距 GM （ 1， 模型。
［9 ， 10 ］
。现
1） 有的非等间距灰色预测模型主要是经典 GM （ 1 ， 模型和灰色 Verhulst 模型的简单推广， 模型改进主 要集中在背景值的优化。邓聚龙教授在分析非等间 距序列的灰导数及其背景值的基础上， 提出了非等 1 ） 模型 间距 GM（ 1 ，
［11 ］
。文献［ 12］ 13］ 利用文献［ 优
z （ 1 ） （ t2 ） z （ 1 ） （ t3 ） z
（ 1）
则称序列 X （ 0） （ t k ） =
（ tn ）
（ t1 ） ， x
（ 0）
（ t2 ） ， …， x
（ 0）
（ tn ）
)
为
（ 1） 非等间距序列 X （ t k ） 的一阶累减还原 （ 1 － IAGO， 1 － inverse AGO） 序列。 4 ） 定义 4 ： 设序列 X （ 1） （ t k ） 为一阶累加生成序 （ 1） 若 z （ t k ） = 0 ． 5 ( x （ 1） （ t k ） + x （ 1） （ t k －1 ） 列，
3 ） 定义 3 ： 设序列 X （ 1） （ t k ） 如定义 2 所述， 若 x （ 0） （ t k ） =
， 1 1 1
{
x （ 1 ） （ t1 ） x （ 1） （ t k ） － x （ 1） （ t k －1 ） Δt k
( x （ 0）
k = 1 k = 2， 3， …， n，
（ t2 ） ， z （ 1 ） （ t3 ） ， …， z （ 1） （ t n ）
为
= （ B T B）
－1
非等间距序列 X （ t k ） 的紧邻均值生成序列。 2． 2 非等间距 GM（ 1 ， 1 ） 幂模型的建立 1］的定义， 根据邓聚龙教授关于灰导数［ 可以 ： 得到非等间距序列的灰导数为 δ（ t k ） =
98 中国工程科学
及均值生成的定义。 1 ） 定义 1 ： 设序列 X （ 0） （ t k ） = 则称序列 X
（ 0）
( x （ 0）
（ t1 ） ， x （ 0 ） （ t2 ） ， …， x （ 0） （ t n ）
)
，
1 ） 模型； 当 γ = 0 时， 式（ 2 ） 为非等间距 GM（ 1 ， = 2 ， （ 2 ） Verhulst 当γ 时 式 则为非等间距灰色 模 。 ， ， 型 由此可见 只要处理好幂指数 γ 的选取问题 非 等间距 GM （ 1 ，1 ） 幂模型完全可以覆盖非等间距 GM（ 1 ， 1 ） 模型和灰色 Verhulst 模型的应用范围， 并 超越它们的预测精度。 ^ = ( a， 2 ） 定理 1 ： 若 a 1） b ) T 为非等间距 GM（ 1 ， 1 ） 幂模型参 幂模型的参数向量， 则非等间距 GM （ 1 ， 数的最小二乘估计为： ^ = ( B T B ) －1 B T Y a （ 3） x （ t2 ） （ 0） x （ t3 ） Y = 式（ 3 ） 中， （ 0） x （ tn ） － － B = － 3 ） 定义 6 ： 设 X
（ 0） （ 0）
k = 2， 3， …， n， 若间距 Δt k = t k － t k －1 ≠ const ， （ t k ） 为非等间距序列。 k = 1 k = 2， 3， …， n ，则 称 2 ） 定义 2 ： 设序列 X （ 0） （ t k ） 为非等间距序列， 若 x
（ 1）
（ tk ） =
k
(
b + ce － （ 1 － γ） at a
)
1 1 －γ
（ 5）
x
（ 1）
（ tk ） － x Δt k
k －1
（ 1）
（ t k －1 ）
=
（ t k ） 为初始值， 1） 幂 非等间距 GM（ 1 ， ： 模型的时间响应序列为 ^ （ 1） ( t ) = x
k
x Σ i =1
（ 0）
（ t i ） Δt i － Δt k
［ 收稿日期］ 2010 － 09 － 16 ［ 71071077 ） 基金项目］ 国家自然科学基金项目 （ 71101132 ，
序列生成是灰色系统建模的前提和基础， 笔者 首先给出非等间距序列的灰色累加生成 、 累减还原
［ 作者简介］ 王正新（ 1981 —） ， 男， 江苏高邮市人， 浙江财经学院讲师， 博士， 研究方向为灰色系统理论、 优化与决策； E － mail： jenkin226@ 163． com