高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第50课 线面平行与面面平行 文
高考数学大一轮复习 第九章 第50课 线面平行与面面平行要点导学
【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学要点导学各个击破线面平行的判定与证明如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE∥平面BCF.图(1) 图(2)(例1)[思维引导]将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如ADDB=AEEC.[证明]在等边三角形ABC中,AD=AE,所以ADDB=AEEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC平面BCF, 所以DE∥平面BCF.(2014·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点,求证:AP∥平面BEF.(变式1) [证明]设AC∩BE=O,连接OF,CE.由于E为AD的中点,AB=BC=12AD,AD∥BC.所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,AP∥OF.又OF平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2,CD=3,点M,N分别是PA,PB的中点.(变式2)(1) 求证:MN∥平面PCD;(2) 求证:四边形MNCD是直角梯形.[证明](1) 因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.因为CD∥AB,所以MN∥CD.又因为CD 平面PCD,MN ⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.(2) 因为MN=12AB=1,ED=3,所以MN≠CD,又MN∥CD,所以四边形MNCD是梯形.因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,又因为PD⊥底面ABCD,CD平面ABCD, 所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.因为MD平面PAD,所以CD⊥MD,所以四边形MNCD是直角梯形.线面平行的性质的应用(2014·泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中点,F为线段AC上一点.若EF∥平面PBD,求AFFC的值.(例2)[思维引导]通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EF∥PO来确定点F的位置,求出AFFC的值.[解答]设AC∩BD=O,连接PO.因为EF∥平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD∩平面PAC=PO,且EF平面PAC,所以EF∥PO,又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC,即AFFC=3.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平行四边形,求证:AC∥平面EFGH.(变式) [证明]如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EF∥HG.又HG平面ACD,EF⊄平面ACD,所以EF∥平面ACD.又EF平面ABC,平面ABC∩平面ADC=AC,所以EF∥AC.又EF平面EFGH,AC⊄平面EFGH,所以AC∥平面EFGH.面面平行的判定(2014·江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,且AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.(例3)[思维引导]分别证MN∥平面BCE和BC∥平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.[证明]因为N是AB的中点,△ABD为正三角形,所以DN⊥AB.因为BC⊥AB,所以DN∥BC.因为BC平面BCE,DN⊄平面BCE,所以BC∥平面BCE.又因为M为AE的中点,所以MN∥BE.因为MN⊄平面BCE,BE平面BCE,所以MN∥平面BCE,因为MN∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE.[精要点评]在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DN∥BC 和MN∥BE得出平面DMN∥平面BEC.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面ABC1∥平面MNQ.(变式)[证明]在△B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QN∥BC1,又因为QN⊄平面ABC1,BC1平面ABC1,所以QN∥平面ABC1.在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MN∥AB,又MN⊄平面ABC1,AB平面ABC1,所以MN∥平面ABC1.又因为QN∩MN=N,QN,MN平面MNQ,所以平面MNQ∥平面ABC1.直线与平面平行的探索问题(2014·四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.(例4)[思维引导]对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.[解答]线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE∥平面A1MC.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM.设O为A1C,AC1的交点,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD∥AC,且MD=12AC,OE∥AC,且OE=12AC,所以MD OE.从而四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在点M,使得直线DE∥平面A1MC.[精要点评]“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系.(2014·蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB ∥CD,AC=3,AB=2BC=2,AC⊥FB.(变式)(1) 求证:AC⊥平面FBC.(2) 线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?并证明你的结论.[解答](1) 在△ABC中,AC=3,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为 AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2) 线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,连接MN.因为CDEF为正方形,所以N为CE中点,所以 EA∥MN.因为MN平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABC,EF∥AB,FG ∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.(范题赏析)[思维引导]要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可.[规范答题]连接AF,因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,所以△ABC∽△EFG.(4分)由AB=2EF,得BC=2FG.所以FG∥BC,则FG=12BC. (6分)在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点,所以AM∥BC,且AM=12BC. (8分)所以FG∥AM,且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,所以GM∥FA.(10分)又FA平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.(14分)1. 平面α内的两条直线a,b都平行于平面β,则α和β的位置关系是. [答案]平行或相交2. 若直线a∥b,a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系为.[答案]b∥α或bα[解析]很容易漏掉bα的情况,这一点很值得注意.3. (2014·泰州中学模拟)给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,真命题有.(填序号)[答案]①③④[解析]由面面垂直的判定定理可知①正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故②错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即③正确;根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故④正确.4. (2014·济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动点,点M为D1C 的中点.若点E是AB的中点,求证:直线ME∥平面ADD1A1.(第4题)[证明]取DD1的中点N,连接MN,AN,则MN∥CD,且MN=12CD,AE∥CD,且AE=12CD,所以MN AE,所以四边形MNAE为平行四边形,故ME∥AN. 因为AN平面ADD1A1,ME⊄平面ADD1A1,所以ME∥平面AD1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第99-100页).。
《直线与平面平行》课件
的稳定性和美观性。
02
建筑测量
在建筑测量中，直线与平面平行的概念对于确定建筑物是否垂直和水平
非常重要。测量师使用铅锤和水平仪等工具来确保建筑物的基础、柱子
和横梁等结构与地面平行。
03
建筑结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面平行的概念对于评估结构的稳定性和安
全性至关重要。工程师使用这些概念来分析建筑物的支撑结构和受力情
电子设备制造
在电子设备制造中，直线与平面平行的概念对于确保电子设备的精确度和质量非常重要。制造商使用这些概念来控制 装配和焊接过程，以确保电子元件的放置和连接正确。
电子设备维修
在电子设备维修中，直线与平面平行的概念对于检查和调整电子元件的位置非常重要。维修人员使用这 些概念来检查设备的平行度和垂直度，以确保设备的正常运行和性能。
文字描述
如果一条直线与一个平面平行， 那么这条直线与此平面内的任何 直线都平行。
解释
这个定理说明了直线与平面平行 的条件，即直线必须与平面内的 所有直线都平行，才能判定该直 线与该平面平行。
直线与平面平行判定定理的数学公式
数学公式
若直线$l$与平面$alpha$平行，则对于任意直线$m$在平面$alpha$上，都有 $l parallel m$。
02
若直线$l$与平面$alpha$平行， 则对于任意点$P$在平面$alpha$ 上，有$l cap P = emptyset$。
直线与平面平行性质定理的图形解释
当直线与平面平行时，该直线与平面 内的所有直线都保持平行关系，没有 交点。
在图形中，可以标出一些具体的点来 解释该性质定理，例如选择平面上的 一些点并观察它们是否与直线有交点 。
可以通过作一条与已知直线平行的直 线来验证该性质定理，观察新作的直 线是否与平面内的其他直线平行且无 交点。
第50讲 空间中的平行关系
第八单元
立体几何
第50讲
空间中ห้องสมุดไป่ตู้平行关系
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定 义． 2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行 的方法，能正确判断空间直线与平面平行 、平面与平面 平行． 3．能正确运用“空间直线与平面平行” “平面与平 面平行”进行逻辑推理．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
解： (1)点 F， G， H 的位置如图所示． (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下： 因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 BC∥FG，BC＝FG. 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH， 所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B，所以平面 BEG∥平面 ACH.
答案：C
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
4．下列命题中不正确的是(
)
A. 两个平面平行， 其中一个平面内的直线必平行于另一个 平面 B. 两个平行平面同时和第三个平面相交， 其交线一定平行 C. 一直线与两平行平面中的一个相交， 这条直线必与另一 个相交 D．一直线与两平行平面中的一个平行 ，这条直线必与另 一个平行
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．下列命题错误的是( 面，则这两个平面平行
)
A ．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
江苏省高考数学一轮复习第九章立体几何初步第50课立体几何综合课件苏教版
分类解密 空间中的平行与垂直问题 (2017·苏北四市一模)如图(1)，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 D，E 分 别为 BC，B1C1 的中点，点 F 在棱 CC1 上，且 EF⊥C1D.
(例 1(1))
(1) 求证：直线 A1E∥平面 ADC1； 【解答】方法一：如图(2)，连接 ED.因为 D，E 分别为 BC，B1C1 的中点，所以 B1E∥BD 且 B1E＝BD，
知识梳理 1. 证明线面平行的关键点： (1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直 线； (2) 利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行 四边形、寻找比例式证明两直线平行； (3) 注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．
2. 证明线面垂直的关键点： (1) 解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，把握平面图 形中的一些线线垂直关系的灵活应用，这是证明空间垂直关系的基础； (2) 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个 证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
又平面 SAD⊥平面 ABCD，平面 SAD∩平面 ABCD＝AD，
CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥平面 SAD.
(例 3(1))
(2) 求证：PQ∥平面 SCD； 【解答】如图(2)，连接 PM，QM.
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第50讲 空间角及计算
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2 又 B1C1＝ A1C2 ＋ A B 1 1 1＝2， 2 所以 B1E＝ C1E2－B1C1 ＝2，
文数
1 1 1 从而 V 三棱锥 C1A1B1E＝ S△A1B1E×A1C1＝ × 3 3 2 2 ×2× 2× 2＝ . 3
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文数
【拓展演练1】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条 棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所 成的角的大小是 .
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文数
2．四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若 CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于( A ) A．30° C．60° B．45° D．90°
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文数
解析：取 AD 的中点 G，连接 EG、GF，则 GE＝CD，GE ＝AB， 因为 CD＝2AB， 所以 GE＝2GF， 因为 EF⊥AB， 所以 EF⊥GF，所以∠GEF＝30° .
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文数
解析：如图，取 BC 的中点 N，连接 B1N、AN， 则 AN⊥平面 B1C， 所以 B1N 是 AB1 在平面 B1C 上的射影． 由几何知识易得 B1N⊥BM. 所以 AB1⊥BM.
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二
直线和平面所成的角
【例2】如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底
面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝ 2 AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所 成的角的大小．
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文数
(2)如图，连接 CQ，DP. 因为 Q 为 AB 的中点， 且 AC＝BC，所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC，EB∥DC， 所以 EB⊥平面 ABC. 因此 CQ⊥EB，又 AB∩EB＝B， 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC，又 PQ＝ EB＝DC， 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形，
高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版
② a b P
⇒α∥β
a
b
判定定 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定 平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l
l
⇒α∥β
⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;
立体几何---线面平行
直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号语言：a a a、b u a,a//b n a//a.要点诠释：(1)用该定理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面a外，即a a a；②直线b在平面a内，即b u a；③直线a,b平行，即a〃b.这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．(2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.图形语言：j n符号语言：若au a、b u a,ab=A，且a//p、b//p，则a//p.要点诠释：(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行n面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证：AC//平面EFG,BD//平面EFG.例2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ,如右图.求证：PQ〃平面CBE.【变式1】在正方体ABCD—ABCD中，O是正方形ABCD的中心，求证：AO//面BCD.11111111111【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF〃平面PEC.【变式3】如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF〃平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.类型二、平面与平面平行的判定例3.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1,求证：平面AB1D1〃平面BDC1.例4.如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.求证：平面AMN〃平面EFDB.【变式1】点P是^ABC所在平面外一点，G,G,G分别是△PBC,△APC,△ABP的重心，求123证：面GGG//面ABC.123【变式2】如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1c l中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB〃平面ADC1.【变式3】已知在正方体ABCD—A'B'C'D'中，M,N分别是A'D',A'B'的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论.【巩固练习】1．下列说法中正确的是（）A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a、b、c中，a u a,b,c u a，则平面a、p的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合3.已知m,n是两条不重合的直线，a、p是两个不重合的平面，给出下列三个命题：「m//p[m与n异面「m//n①\n m//n:②\n n与p相交；③\n m//a。
2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第9单元第50讲 空间中的垂直关系
解 析 ： 1 因 为 A B B C ， B C B C 1， A B B C 1 B， 所 以 B C 平 面 A B C 1 . 又 因 为 B C 平 面 A B C， 所 以 平 面 A B C 平 面 A B C1 .
2 在 A A1 C 1中 ，
D
B .③ ④ D .② ③
4 .已 知 ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， m ， n 是 平 面 及之外的两条不同直线，给出四个论断： ① m n； ② ； ③ n ； ④ m . 以其中三个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的
1 定 义 ： 如 果 直 线 l 与 平 面 内 的 每 一 条 直 线 都 垂
直 ， 就 说 直 线 l与 平 面 互 相 垂 直 ， 记 作 ① _ _ _ _ _ . 特 别 提 醒 ： 若 已 知 l ， 则 l垂 直 于 平 面 内 的 所
定义
有直线，即“线 面 线 线”．
评析： 明面面垂直的关键是证明线面垂 证 直，证明线面垂直的关键是证明线线垂直．
素 材 2 .已 知 ， ， a， 求证：a .
解析： 如图所示， 设 b， c， 过 平 面 内 一 点 P作 P A b 于 点 A， 作 P B c 于 点 B . 因 为 ， 所 以 P A .又 a， 所 以 P A a .同 理 可 证 P B a . 因 为 P B P A P， P A ， P B ， 所 以 a .
2 四 棱 锥 底 面 为 一 梯 形 ， 高 为 P 到 面
A B C D的 距 离 ．
第九章 第48课 线面平行与面面平行
所以 EF∥平面 PBC. 又因为 DE∩EF＝E， 所以平面 DEF∥平面 PBC， 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行．
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(例 3)
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第九章
立体几何初步
(2016· 南昌模拟改编)如图， 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， M 是 A1C1 的中点， 平面 AB1M∥平面 BC1N，AC∩平面 BC1N＝N.求证：N 为 AC 的中点．
第7页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第九章
立体几何初步
平行 ． 4. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相______ 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 5. 直线与平面平行的判定定理：________________________________________
线平行，那么这条直线和这个平面平行 ___________________________________．
(例 2)
所以 MN∥CF，又因为 MN⊄平面 EBC，CF⊂平面 EBC， 所以直线 MN∥平面 EBC.
第14页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第九章
立体几何初步
【精要点评】(1) 线线平行⇔线面平行．(2) 找平行关系时，常借助三角形的中 位线与边的平行关系，或借助平行四边形边的平行关系．有时还可以借助两平面平行 的关系来证明线面平行．(3) 证明线面平行时务必要说清三点：两线平行；一线在面 外；一线在面内．
(例2)
第13页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第九章
立体几何初步
【解答】如图，取 BE 中点 F，连接 CF，MF. 又因为 M 是 AE 的中点， 所以 MF 是△EAB 的中位线，
2021版高考数学一轮复习第九章立体几何第三节平行关系ppt课件文北师大版
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.直线与平面平行的判定与性质
2.平面与平面平行的判定与性质
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直 线.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) (6)平行于同一条直线的两个平面平行. ( )
【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊈α,a⊈β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l, a α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a α,a∥l,b β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除C.
2.(必修2P35习题A组T2改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊈α,则b∥α 【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平 面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.
【易错点索引】 序号
易错警示
典题索引
1 证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误
考点二、T2
2
利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的 平面
考点二、T1
3
证明面面平行时忽略两直线相交致误
高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第50课 线面平行与面面平行 文
第50课线面平行与面面平行(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系为.【答案】a∥平面α或a⊂平面α2.(必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为.【答案】平行3.(必修2P41练习1改编)已知两个命题：p：平行于同一条直线的两个平面平行；q：垂直于同一条直线的两个平面平行.则真命题为，假命题为.【答案】q p4.(必修2P32练习3改编)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是；AA1与平面BCC1B1的位置关系是；AC与平面ACC1A1的位置关系是.(第4题)【答案】平行相交线在面内【解析】直线与平面的位置关系有三种：平行、相交、线在面内.1.一条直线和一个平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a αa∩α=A a∥α图形表示2.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.3.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β=a图形表示4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 【要点导学】要点导学各个击破线面基本位置关系的真假判断例1 (2014·常州模拟)给出下列命题：①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中为假命题的是.(填序号)【思维引导】判断命题的真假与否的前提是正确理解各个定理，关键在于灵活转化各种线面关系，还要熟悉各种关于线面的常见关系.解决问题时不要先“想当然”，而要多些“逆反思维”.【答案】②③④【解析】易知①正确；对于②，直线a可能与平面α相交，此时它们有公共点；对于③，两个平面平行的必要条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；对于④，b与c还可能相交或异面.【精要点评】判断此类命题真假的常见方法有：(1)根据一些已有定理直接进行判定或证明；(2)利用常见模型进行判断；(3)举反例判断.变式(2015·镇江期末改编)设α，β为互不重合的平面，m，n是互不相同的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若m⊂α，m∥β，α∩β=n，则n∥m.其中正确的命题为.(填序号)【答案】④【解析】对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n还可能异面，故③错误.线面平行的判定与证明例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD.(例2)【思维引导】证明线面平行可以取PD的中点M，构造平行四边形AEFM；也可以构造三角形，找到中位线，再找平行关系；还可以先证明面面平行，再证线面平行.【解答】方法一：如图(1)，取PD的中点M，连接FM，AM，因为点F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM=12CD.因为四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA=12CD，所以FM∥EA，且FM=EA，所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.图(1) 图(2)(例2)方法二：如图(2)，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE.又AE=EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE=NE.又点F为PC的中点，所以EF∥NP.⊄平面PAD，又NP⊂平面PAD，EF所以EF∥平面PAD.⇔线线平行.(2)找平行关系时，常借助三角形的中位线与边的【精要点评】(1)线面平行平行关系，或借助平行四边形边的平行关系.有时还可以借助两平面平行的关系来证明线面平行.(3)证明线面平行时务必要说清三点：两线平行；一线在面外；一线在面内.变式1 (2015·南京、盐城一模改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点.求证：OE∥平面BCC1B1.(变式1(1))【解答】如图(2)，连接BC1，B1C，设BC1∩B1C=F，连接OF.因为O，F分别是B1D和B1C的中点，(变式1(2))所以OF ∥DC，且OF=12DC.又因为E为AB的中点，所以EB∥DC，且EB=12DC，从而OF∥EB，且OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF.又因为OE ⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.变式2 (2015·宿迁一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形.若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.(变式2)【解答】因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l.面面平行的判定与证明例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面BDC1∥平面AB1D1.(例3)【思维引导】要证明面面平行可以寻找线线平行和线面平行，即由判定定理，在一个平面内找两条相交线平行于另一个平面.【解答】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.同理可证，B1D1∥平面BDC1.又因为AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1内，所以平面AB1D1∥平面BDC1.【精要点评】(1)把面面平行问题转化为线面平行问题，利用面面平行的判定定理来证明面面平行.(2)在立体几何中，常常通过线线、线面、面面间位置关系的转化，使问题得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，往往能找到解决问题的突破口.(3)证明面面平行的方法：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β.变式如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点.求证：平面EB1D1∥平面FBD.(变式(1))【解答】如图(2)，取B1B的中点G，连接EG，C1G.因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，(变式(2))所以四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥ED1.又四边形GBFC1也是平行四边形，所以C1G∥BF，所以ED1∥BF，又ED1⊄平面FBD，BF⊂平面FBD，所以ED1∥平面FBD.又B1D1∥BD，且B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以B1D1∥平面FBD.又因为ED1∩B1D1=D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.直线与平面平行的探索问题例4 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥平面BCC1B1.设E是B1C1上的一点，当11B EEC的值为多少时，A1E∥平面ADC1?请给出证明.(例4)【思维引导】对于求某个特殊位置上的点这类问题，一种办法是先猜想出定点的位置，然后证明；另一种办法是可先假定存在这个点，然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.【解答】当11B EEC=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.证明如下：由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D，E分别是BC，B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B=DE.又B1B∥AA1，且B1B=AA1，所以DE∥AA1，且DE=AA1.所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD.又EA1⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.【精要点评】“探索”在于由未知到已知，由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形或关系的平行性质.题目的本质仍是线与面的平行关系.变式如图(1)，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?(变式(1))【解答】如图(2)，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.(变式(2))又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC.又因为EC=2FB=2，所以OM FB12EC，所以四边形OMBF为矩形，故BM∥OF.又BM⊄平面AEF，OF⊂平面AEF，所以BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点.1.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是.【答案】平行或异面【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面.2.(2015·安徽卷改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是.(填序号)①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.【答案】④【解析】①中平面α与β还可能相交；②中直线m与n可以平行、相交或异面；③中在α内可以存在与β平行的直线.只有④正确.3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调改编)如图，在四面体ABCD中， M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点.求证：CD∥平面MNQ.(第3题)【解答】在△ADC中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD.⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，又CD所以CD∥平面MNQ.4.如图(1)，已知正方形ABCD和梯形BDEF所在平面相交于直线BD，且BD=2EF，求证：DE∥平面ACF.(第4题(1))【解答】如图(2)，设AC∩BD=O，连接FO.因为四边形ABCD是正方形，(第4题(2))所以O是BD的中点.因为BD=2EF，所以DO EF，所以四边形DOFE是平行四边形，所以DE∥OF.⊄平面ACF，又因为DEOF⊂平面AFC，所以DE∥平面ACF.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第99~100页.【检测与评估】第50课线面平行与面面平行一、填空题1.如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α的交点个数是.2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为.3.在长方体的所有面中，互相平行的面共有对.4.过两条异面直线中的一条可以作个平面与另一条直线平行.5.若直线l上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是.6.给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中为真命题是.(填序号)7.下列命题中正确的是.(填序号)①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两直线可以相交.8.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于点B1的点，F为线段BB1上异于点B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是.(填序号)(第8题)① EH∥FG；②四边形EFGH是矩形；③Ω是棱柱；④Ω是棱台.二、解答题9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段A1A，C1B的中点，求证：EF∥平面ABC.(第9题)10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.(第10题)11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱AA1，CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB=4AF.若M为线段BE上一点，试确定点M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·苏北四市期末)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC.若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.(第12题)【检测与评估答案】第50课线面平行与面面平行1. 0或1【解析】直线l在平面α外，有两种情况，一种情况为l∥α，此时没有交点；另一种情况是l∩α=A，此时有且只有一个交点.2.a3. 34. 1【解析】结合线面平行的判定定理可得.5.平行或l⊂α【解析】由于直线l上有三个相异点到平面α的距离相等，所以直线l与平面α可以平行或者l⊂α.6.④7.③④【解析】当a∩α=A时，a⊄α，故①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错误；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任意一条直线都无公共点，故③正确；长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，故④正确.8.④【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1.又EH⊄平面BCC1B1.所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以①③正确，④错误；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以②也正确.9.如图，取BC的中点G，连接AG，FG.因为F为C1B的中点，所以FG∥C1C且FG=12C1C.在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A C1C，且E为A1A的中点，所以FG EA，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG.因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(第9题)10.如图，连接SB，SD.因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1.又因为EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.(第10题)11.连接AE，在BE上取点M，使BE=4ME，连接FM，B1M，FB1.在△BEA中，因为BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE.又在平面AA1C1C中，易证C1D∥AE，所以C1D∥FM.因为C1D⊄平面B1FM，FM⊂平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM.12.在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又因为l⊥平面ABC，所以l∥PD.又因为l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC.。
2021年高考数学大一轮复习 第九章 第50课 线面平行与面面平行检测评估
2021年高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行检测评估一、填空题1. 在长方体的所有表面中,互相平行的面共有对.2. 已知α∥β,aα,bβ,那么a,b两直线的交点个数为.3. 已知a,b为两条不同的直线,α为平面,若a∥α且b∥α,则a,b的位置关系为.4. 下列命题中正确命题的个数为.①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.5. 在下列条件中,可判定平面α与平面β平行的是.(填序号)①α,β都垂直于平面γ;②α内不共线的三个点到β的距离相等;③l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β;④l,m是两异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.6. 设l,m,n表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,mα,nβ,则α∥β;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是.7. (xx·皖西七校联考)若α,β是两个不重合的平面,则下列条件中能推出α∥β的是.(填序号)①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,aα,bβ,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,aα,bβ,a∥β,b∥α.8. (xx·宿州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E∈PC,F∈PB,=3,=λ,若AF∥平面BDE,则λ的值为.(第8题)二、解答题9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.若M 为PA的中点,求证:DM∥平面PBC.(第9题)10. (xx·皖西七校联考)如图(1),已知圆O的直径AB=4,点C,D为圆O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为的中点.将圆O沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图(2)).(1) 求证:OF∥AC.(2) 在上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.(第10题)11. 如图,在三棱锥P-ABC中,BC⊥平面PAB.已知PA=AB,点D,E分别为PB,BC的中点.(1) 求证:AD⊥平面PBC;(2) 若点F在线段AC上,满足AD∥平面PEF,求的值.(第11题)第50课线面平行与面面平行1. 32. 03. 平行、相交或异面4. 1 解析:若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α,是错误的,因为直线l还可能与平面相交;若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行,是错误的,因为直线l可能与平面α内的直线成异面直线;如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行,是错误的,因为另一条直线可能在平面内;若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点,是正确的,因为直线l与平面α平行,则直线l与平面α无公共点.5. ④6. 1 解析:①错误,α与β可能平行,也可能相交,要判断两个平面平行,需要两个平面内的两条相交直线互相平行;②中当直线lα时,不成立,故②错;③中,三条直线还有可能相交于一点,不成立;④正确.所以正确的命题只有1个.7. ①④解析:垂直于同一直线的两个平面互相平行,故当a⊥α,a⊥β时,α∥β,①正确;若γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,也可能相交,此时α,β的交线与γ垂直,故②错;若αα,bβ,α∥β,b∥a,则α与β可能平行,也可能相交,此时a,b均与交线平行,故③错;对于④,存在两条异面直线a,b,aα,bβ,α∥β,b∥α,可将α内的直线平移到β内的直线c,则有相交直线b,c都与平面α平行,根据面面平行的判定定理,可得④正确.8. 2 解析:由于AF∥平面BDE,所以过点A作AH∥OE,交PC于点H,连接FH,AH,即可得平面AFH∥平面BED,所以可得FH∥BE,所以==1,所以EC=EH.又PE=3EC,所以PH=2HE,又因为==2,所以λ=2.9. 如图,取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,因为M是PA中点,所以MN∥AB,MN=AB.(第9题)由AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,易求得AB=6,所以MN=3.又CD∥AB,CD=3,所以MN∥CD,MN=CD,所以四边形MNCD为平行四边形,所以DM∥CN.又DM⊄平面PBC,CN平面PBC,所以DM∥平面PBC.10. (1) 如图,连接CO,(第10题)因为∠CAB=45°,所以CO⊥AB,又因为F为的中点,所以∠FOB=45°,所以OF∥AC.(2) 取的中点G,连接OG,FG,则∠BOG=∠BAD=60°,故OG∥AD,所以OG∥平面ACD.由(1)得OF∥AC,知OF∥平面ACD,又OG∩OF=O,所以平面OFG∥平面ACD,则FG∥平面ACD,因此,在上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为的中点.11. (1) 因为BC⊥平面PAB,AD平面PAB,(第11题)所以BC⊥AD.因为PA=AB,D为PB的中点,所以AD⊥PB.因为PB∩BC=B,所以AD⊥平面PBC.(2) 如图,连接DC,交PE于点G,连接FG.因为AD∥平面PEF,AD平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG, 所以AD∥FG.因为D为PB的中点,E为BC的中点,连接DE,则DE为△BPC的中位线,所以△DEG∽△CPG,所以==,所以==. 30216 7608 瘈S26282 66AA 暪)28961 7121 無D;28153 6DF9 淹27707 6C3B 氻23688 5C88 岈CW 20393 4FA9 侩。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第九章 9.4《直线.平面的平行判定及其性质》人教版必修
答案：B
第九章 立体几何初步
考点二 线面平等位置关系的判定 【案例2】 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧 面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F. 求证：EF∥平面ABCD.
关键提示：要证EF∥平面ABCD，需在平面ABCD 内寻找一条直线与EF平行，而平面ABCD内现有的直线 与EF均不平行，故要设法作出来．
第九章 立体几何初步
证明：分别过E、F作EM∥BB1，FN∥CC1，分别交 AB、BC于M、N，连结MN.
因为BB1∥CC1，所以EM∥FN. 因为B1E＝C1F，AB1＝BC1， 所以AE＝BF. 由 EM∥BB1 得AABE1＝BEBM1.
由 FN∥CC1 得BBCF1＝CFCN1. 所以EM＝FN，于是四边形EFNM是平行四边形， 所以EF∥MN.又因为MN⊂平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD.
第九章 立体几何初步
第九章 立体几何初步
1．直线与平面平行 (1)定义：如果_一__条__直__线__和__一__个__平__面__没__有__公__共__点__， 则这条直线和这个平面平行． (2)判定方法： ①定义．
第九章 立体几何初步
第九章 立体几何初步
2．平面与平面平行 (1)定义：_如__果__两__个__平__面__没__有__公__共__点__，就说这两个平面互 相平行． (2)判定方法： ①定义．
A．0
B．1
C．2
D．3
第九章 立体几何初步
解析：①②③均是错的，①中直线l可以与平面α相 交；②中l与平面α内的无数条直线平行，而不是所有的； ③确定线面平行时，先说明此直线不在平面内．
答案：B
第九章 立体几何初步
高考数学第一轮复习知识讲解-巧证线面平行与面面平行(文)-人教A版
考纲导读：命题的热点，主要考查线面平行、线面垂直的判定，考查线面与面面的位置关系的相互转化，题型以解答题为主。
2. 命题切入点：一是以选择题或填空题的形式考查线面位置关系的判定；二是以解答题的形式考查线面平行与垂直的证明。
【考向预测】线面平行与面面平行是高考必考考点，也是高考热点和重点之一，未来几年的高考中仍会重点考查，可以在填空题中直接考查线面平行与面面平行有关命题的真假判断，通常是符号语言的命题判断；同时会以解答题的形式考查线面平行、面面平行，常以棱柱、棱锥、棱台为载体，具有一定的综合性，一般为中档题。
【解题关键】掌握定义、定理、基本方法！考点精讲：一、空间两直线的位置关系二、直线与平面的位置关系三、平面与平面的位置关系提分宝典：【易错警示】1. 线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
2. 记准线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的条件和结论，既要掌握文字语言的叙述，又要掌握图形语言和符号语言的叙述。
例题已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中________。
（填写判断正确的序号）（1）不一定存在与a平行的直线（2）只有两条与a平行的直线（3）存在无数条与a平行的直线（4）存在唯一一条与a平行的直线思路分析：因为a与点B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线。
答案：（4）综合练习（答题时间：30分钟）一、选择题1. 设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A. m∥β且l1∥αB. m∥l1且n∥l2C. m∥β且n∥βD. m∥β且n∥l22. 已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题。
如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，CD，B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A. AM与PC是异面直线B. AM⊥PCC. AM∥平面BC1ND. 四边形AMC1N为正方形*4. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面。
2020届高考数学总复习第九章立体几何初步第四节直线、平面平行的判定及其性质课件文新人教版
D1D，
所以BB1∥D1D，
又因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，
所以BB1＝DD1， 故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1， 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以BD∥平面 AB1D1.
角度 线面平行性质定理的应用
【例2】如图所示，四边形ABCD是平行 四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平 面BMD于GH.
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有 特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否 正确．
考点2 直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 角度 直线与平面平行的判定 【例1】 如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点 D，D1分别为AC，A1C1的中点．证明： (1)AD1∥平面BDC1； (2)BD∥平面AB1D1.
间图形的平行关系的简单 2016·全国卷Ⅱ，
命题.
T19(1)
核心素养
1.逻辑推理 2.直观想象 3.数学运算
1．共点，则称直线l与平面α平行．
(2)判定定理与性质定理.
定理
文字语言
图形表示 符号表示
平面外_一__条__直__线__与__此__平__面_ 判定 _内__的__一__条__直__线__平行，则 定理
(3)在B中，如图，连接MN，PN，
因为A，B，C为正方体所在棱的中点， 所以AB∥MN，AC∥PN， 因为MN∥DE，PN∥EF， 所以AB∥DE，AC∥EF， 因为AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF， 所以平面ABC∥平面DEF.故选B. 答案：(1)A (2)D (3)B
2022年高三数学高考一轮精品资料立体几何：第三课时《直线和平面平行》全国通用
第3课时 直线和平面平行1．直线和平面的位置关系 、 、 ．直线在平面内，有 公共点．直线和平面相交，有 公共点．直线和平面平行，有 公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2．直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．记忆口诀：线线平行 线面平行3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．记忆口诀：线面平行 线线平行例1．如图，1C 1M 1C 1C a CF BC 2522=+55=BF EFCB CG a x =BC BG b y =0 aa ＝4sin αab 例4．已知：ABC 中，ACB ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将ADE 折起使A 到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE ，M 是A'B 的中点，求证：ME∥面A'CD ． 证明：取A'C 的中点N ，连MN 、DN ， 则MN BC ，DE BC ∴MN DE ∴ME∥ND又ME 面A'CD ND 面A'CD∴ME∥面A'CD变式训练4： 2022年北京如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．1 求证：AC⊥BC 1；2 求证：AC 1∥平面CDB 1；3 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．解：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB＝5． ∴AC⊥BC，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC⊥BC 1； A D B BC A CB C A PM B A D C E P AE F B H GCD（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE∥AC 1∴DE 平面CDB 1，AC 1平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1；（3）∵DE∥AC 1，∴CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED ＝AC 1＝，CD ＝AB ＝，CE ＝CB 1＝2，∴co∠CED = 522252228=⨯⨯ ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为．1．证明直线和平面平行的方法有：1依定义采用反证法；2判定定理；3面面平行性质；4向量法．2．辅助线面是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．。
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第50课线面平行与面面平行(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系为.【答案】a∥平面α或a⊂平面α2.(必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为.【答案】平行3.(必修2P41练习1改编)已知两个命题：p：平行于同一条直线的两个平面平行；q：垂直于同一条直线的两个平面平行.则真命题为，假命题为.【答案】q p4.(必修2P32练习3改编)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是；AA1与平面BCC1B1的位置关系是；AC与平面ACC1A1的位置关系是.(第4题)【答案】平行相交线在面内【解析】直线与平面的位置关系有三种：平行、相交、线在面内.1.一条直线和一个平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a αa∩α=A a∥α图形表示2.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.3.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β=a图形表示4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 【要点导学】要点导学各个击破线面基本位置关系的真假判断例1 (2014·常州模拟)给出下列命题：①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中为假命题的是.(填序号)【思维引导】判断命题的真假与否的前提是正确理解各个定理，关键在于灵活转化各种线面关系，还要熟悉各种关于线面的常见关系.解决问题时不要先“想当然”，而要多些“逆反思维”.【答案】②③④【解析】易知①正确；对于②，直线a可能与平面α相交，此时它们有公共点；对于③，两个平面平行的必要条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；对于④，b与c还可能相交或异面.【精要点评】判断此类命题真假的常见方法有：(1)根据一些已有定理直接进行判定或证明；(2)利用常见模型进行判断；(3)举反例判断.变式(2015·镇江期末改编)设α，β为互不重合的平面，m，n是互不相同的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若m⊂α，m∥β，α∩β=n，则n∥m.其中正确的命题为.(填序号)【答案】④【解析】对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n还可能异面，故③错误.线面平行的判定与证明例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD.(例2)【思维引导】证明线面平行可以取PD的中点M，构造平行四边形AEFM；也可以构造三角形，找到中位线，再找平行关系；还可以先证明面面平行，再证线面平行.【解答】方法一：如图(1)，取PD的中点M，连接FM，AM，因为点F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM=1 2CD.因为四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA=12CD，所以FM∥EA，且FM=EA，所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.图(1) 图(2)(例2)方法二：如图(2)，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE.又AE=EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE=NE.又点F为PC的中点，所以EF∥NP.⊄平面PAD，又NP⊂平面PAD，EF所以EF∥平面PAD.⇔线线平行.(2)找平行关系时，常借助三角形的中位线与边的【精要点评】(1)线面平行平行关系，或借助平行四边形边的平行关系.有时还可以借助两平面平行的关系来证明线面平行.(3)证明线面平行时务必要说清三点：两线平行；一线在面外；一线在面内.变式1 (2015·南京、盐城一模改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点.求证：OE∥平面BCC1B1.(变式1(1))【解答】如图(2)，连接BC1，B1C，设BC1∩B1C=F，连接OF.因为O，F分别是B1D和B1C的中点，(变式1(2))所以OF∥DC，且OF=12DC.又因为E为AB的中点，所以EB∥DC，且EB=12DC，从而OF∥EB，且OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF.又因为OE ⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.变式2 (2015·宿迁一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形.若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.(变式2)【解答】因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l.面面平行的判定与证明例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面BDC1∥平面AB1D1.(例3)【思维引导】要证明面面平行可以寻找线线平行和线面平行，即由判定定理，在一个平面内找两条相交线平行于另一个平面.【解答】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.同理可证，B1D1∥平面BDC1.又因为AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1内，所以平面AB1D1∥平面BDC1.【精要点评】(1)把面面平行问题转化为线面平行问题，利用面面平行的判定定理来证明面面平行.(2)在立体几何中，常常通过线线、线面、面面间位置关系的转化，使问题得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，往往能找到解决问题的突破口.(3)证明面面平行的方法：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β.变式如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点.求证：平面EB1D1∥平面FBD.(变式(1))【解答】如图(2)，取B1B的中点G，连接EG，C1G.因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，(变式(2))所以四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥ED1.又四边形GBFC1也是平行四边形，所以C1G∥BF，所以ED1∥BF，又ED1⊄平面FBD，BF⊂平面FBD，所以ED1∥平面FBD.又B1D1∥BD，且B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以B1D1∥平面FBD.又因为ED1∩B1D1=D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.直线与平面平行的探索问题例4 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥平面BCC1B1.设E是B1C1上的一点，当11B EEC的值为多少时，A1E∥平面ADC1?请给出证明.(例4)【思维引导】对于求某个特殊位置上的点这类问题，一种办法是先猜想出定点的位置，然后证明；另一种办法是可先假定存在这个点，然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.【解答】当11B EEC=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.证明如下：由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D，E分别是BC，B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B=DE.又B1B∥AA1，且B1B=AA1，所以DE∥AA1，且DE=AA1.所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD.又EA1⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.【精要点评】“探索”在于由未知到已知，由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形或关系的平行性质.题目的本质仍是线与面的平行关系.变式如图(1)，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?(变式(1))【解答】如图(2)，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.(变式(2))又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC. 又因为EC=2FB=2，所以OM FB12EC，所以四边形OMBF为矩形，故BM∥OF.又BM⊄平面AEF，OF⊂平面AEF，所以BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点.1.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是.【答案】平行或异面【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面.2.(2015·安徽卷改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是.(填序号)①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.【答案】④【解析】①中平面α与β还可能相交；②中直线m与n可以平行、相交或异面；③中在α内可以存在与β平行的直线.只有④正确.3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调改编)如图，在四面体ABCD中， M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点.求证：CD∥平面MNQ.(第3题)【解答】在△ADC中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD.⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，又CD所以CD∥平面MNQ.4.如图(1)，已知正方形ABCD和梯形BDEF所在平面相交于直线BD，且BD=2EF，求证：DE∥平面ACF.(第4题(1))【解答】如图(2)，设AC∩BD=O，连接FO.因为四边形ABCD是正方形，(第4题(2))所以O是BD的中点.因为BD=2EF，所以DO EF，所以四边形DOFE是平行四边形，所以DE∥OF.⊄平面ACF，又因为DEOF⊂平面AFC，所以DE∥平面ACF.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第99~100页.【检测与评估】第50课线面平行与面面平行一、填空题1.如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α的交点个数是.2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为.3.在长方体的所有面中，互相平行的面共有对.4.过两条异面直线中的一条可以作个平面与另一条直线平行.5.若直线l上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是.6.给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中为真命题是.(填序号)7.下列命题中正确的是.(填序号)①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两直线可以相交.8.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于点B1的点，F为线段BB1上异于点B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是.(填序号)(第8题)① EH∥FG；②四边形EFGH是矩形；③Ω是棱柱；④Ω是棱台.二、解答题9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段A1A，C1B的中点，求证：EF∥平面ABC.(第9题)10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.(第10题)11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱AA1，CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB=4AF.若M为线段BE上一点，试确定点M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·苏北四市期末)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC.若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.(第12题)【检测与评估答案】第50课线面平行与面面平行1. 0或1【解析】直线l在平面α外，有两种情况，一种情况为l∥α，此时没有交点；另一种情况是l∩α=A，此时有且只有一个交点.2.a3. 34. 1【解析】结合线面平行的判定定理可得.5.平行或l⊂α【解析】由于直线l上有三个相异点到平面α的距离相等，所以直线l与平面α可以平行或者l⊂α.6.④7.③④【解析】当a∩α=A时，a⊄α，故①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错误；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任意一条直线都无公共点，故③正确；长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，故④正确.8.④【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1.又EH⊄平面BCC1B1.所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以①③正确，④错误；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以②也正确.9.如图，取BC的中点G，连接AG，FG.因为F为C1B的中点，所以FG∥C1C且FG=12C1C.在三棱柱ABC-A1B1C 1中，A1A C1C，且E为A1A的中点，所以FG EA，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG.因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(第9题)10.如图，连接SB，SD.因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1.又因为EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.(第10题)11.连接AE，在BE上取点M，使BE=4ME，连接FM，B1M，FB1.在△BEA中，因为BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE.又在平面AA1C1C中，易证C1D∥AE，所以C1D∥FM.因为C1D⊄平面B1FM，FM⊂平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM.12.在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又因为l⊥平面ABC，所以l∥PD.又因为l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC.。