控制理论的其它分支：最优控制与自适应控制.ppt

迹xd，则J可以取为
J
1 2
tf t0
(x

xd
)T
(x

xd
)dt
除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的，
以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出
整齐的解析解。
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最优控制问题有四个关键点： （1）受控对象为动态系统； （2）初始与终端条件（时间和状态）； （3）性能指标； （4）容许控制。 而最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用或控 制规律，使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某 种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到 最小值或者是最大值。
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针对不同的具体问题，J一般可以取为不同的具体形式，如：
①最短时间问题
J
tf t0
dt

tf
t0
②线性二次最优控制问题
J 1 t f (xTQx uT Ru)dt 2 t0
③线性伺服器问题
如果要求给定的系统状态x跟踪或者尽可能地接近目标轨
x f (x(t),u(t),t)
如果是线性时不变系统，则可以表示为
x Ax(t) Bu(t)
性能指标：尽管我们不能为各种各样的最优控制问题规定
一个性能指标的统一格式，但是通常情况下如下形式的性能指 标可以概括一般：
J
(x(t f ), t f )
tf t0
L(x(t), u(t), t)dt
dy Tp dt y K pu
两边从t1到t2积分，可得
Tp[ y(t1) y(t2)]
t2 t1
y(t)dt K p
t2 u(t)dt
t1
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以采样周期h对u(t)， y(t)采样，当h相对于Tp足够小时：
t2
t2
向。拦截火箭的最大推力是一有限值fmax，瞬时推力f(t)应满
足
0 f (t) fmax
至于单位向量u，它可以表示为
u 2 uTu 1
其中|u|表示向量u的长度，有 u u12 u22 u32 也就是说，u的幅值为1，其方向不受限制。
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J
tf t0
C1
f (t) dt
(a)
问题归结为选择f(t)、u(t)和tf ，除实现拦截外还要使规定的
性能指标为最小，此即在性能指标(a)意义下的最优拦截问
题。
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上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
实际应用背景
v
例1：飞船的月球软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力 方向相反的推力f，赖以控制飞船实现 软着陆(落到月球表面上时速度为零)。 要求选择一最好发动机推力程序f(t)， 使燃料消耗最少。
h g
月球
设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。 月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃 料分别为M和F。
我国的探月计划：
绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ；
落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器；
回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。
最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
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例：加热炉温度控制系统设计
1）常规控制器设计方法：
被控对象：
dy C dt q qs
其物理意义为：单位时间炉温升高所用的热量等于单位时间 内流入炉子热量与流出炉子热量之差。其中：
C 炉 子热 容量 ；
y 炉 温；
qs 单 位 时 间 内 流 出 炉 子 的热 量 ； a 散 热系 数；
于是，拦截器与目标的相对运动方程可写为
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x v

v

a(t)

f (t) m(t)
u
初始条件为
m


f (t) C
x(t0 ) x0, v(t0 ) v0, m(t0 ) m0
为实现拦截，既要控制拦截器的推力大小，又要改变推力方
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于是控制系统的开环传函为
Go (s)

Gp (s)Gc (s)

K pK 1 Tis
Tis 1 Tps
，
取Ti
Tp，则
则闭环传函为
Go (s)

KpK Ti s
G(s) Go (s) 1 1
1 Go (s) 1 1 1 Tp s
Go (s)
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自某t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
其中k为一常数。
h v
v

f m

g
m kf
要求控制飞船从初始状态
h(0) h0, v(0) v0, m(0) M F
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即
Tp[ y(t1) y(t2 )] h y(ih) K ph u(ih)
(1)
式中
i t1
i t1
t2
y(ih) 时刻t1至时刻t2所有输出采样数据之和；
i t1 t2
u(ih) 时刻t1至时刻t2所有控制量采样数据之和；
i t1
同理，用时刻t2至时刻t3区间的采样数据有
K pu
加热炉传递函数：
Gp (s)

Y (s) U (s)

Kp 1 Tps
如果对加热炉温度控制的设计目标是使理想的闭环传函为
Y (s) 1 Gm (s) U (s) 1 Tms ,Tm 0
选择PI（比例积分）控制器
Gc
(s)

K
1

1 Ti s

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J m(t f )
为最大的数学问题。
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例2：防天拦截问题
所谓防天拦截是指发射火箭拦击对方洲际导弹或其它
航天武器。 设x(t)、v(t)分别表示拦截器L与目标M的相对位置和
相对速度向量。a(t)是包括空气动力与地心引力所引起的 加速度在内的相对加速度向量，它是x、v的函数，既然位 置和速度向量是由运动微分方程所确定的时间函数，因此 相对加速度也可以看成时间的函数。设m(t)是拦截器的质 量，f(t)是其推力的大小。用u表示拦截器推力方向的单位 向量。C是有效喷气速度，可视为常数。
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在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控 制品质。为此，需要设计一种特殊的控制系统，它能够自 动地补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化， 这就是自适应控制。而自适应控制器的特点就是它能修正 自己的特性以响应过程和扰动的动力学特性变化。
h(t f ) 0, v(t f ) 0
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控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即
0 f (t) fmax
满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止一 种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，易见，问题可 归结为求
控制理论的其它分支：
最优控制与自适应控制
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最优控制
Optimal Control
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最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。
要求控制拦截器从相对于目标的初始状态出发，于某末态
时刻tf与目标相遇（实现拦截），即
且应满足
x(t f ) 0
m(t f ) me
这里， me是燃料耗尽后拦截火箭的质量。 一般说来，达到上述控制目标的f(t)、u(t)和tf并非唯一。 为了实现快速拦截，并尽可能地节省燃料，可综合考虑
这两种要求，取性能指标为
q 单 位 时 间 内 流 入 炉 子 的热 量 ，q K1u u 控 制量 （ 如 电热 炉的 加热 功率 ）
K1 系 数
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于是有：C
dy dt

K1u

ay,
令
Tp

C a
,Kp

K1 a
,
则
Tp
dy dt

y

控制量u(t)
输出量y(t)
控制器
被控对象
自适应器
自适应系统主要由控制器、被控对象、自适应器及反馈 控制回路和自适应回路组成。
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