人教版高中物理必修2向心加速度
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5-5 向心加速度
一 向心加速度
1.向心加速度的定义： 任何做匀速圆周运动的物体， 加速度都指向圆心， 这个加速度被称为向心加速度。 2.向心加速度的公式：an =
ν r
2
= rω 2
3.向心加速度的方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。 4.向心加速度的效果：匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δ ν 就是由于速度 方向的变化产生的。 5.向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变的快慢 6.圆周运动的性质：不论加速度an 的大小是否变化，an 的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加 速运动。 【例 1】关于向心加速度的说法正确的是（ A.向心加速度越大，物体速率变化越快 C.向心加速度的方向始终与速度方向垂直 【例 2】下列说法中正确的是（ ） B.向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的 D.向心加速度只改变速度的方向 ） B.向心加速度的方向保持不变 D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 ） ） B.向心加速度的大小与轨道半径成反比 D.在匀速圆周运动中向心加速度是横梁
）
B.在赤道和北极附近的物体的角速度相同，但赤道上物体的向心加速度大 C.赤道和北极附近的物体的向心加速度一样大 D.赤道和地球内部物体的向心加速度一样大 7.如图，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有 A、B、C 三点，这三点所在处半径关系为rA ＞rB = rC ， 则这三点的向心加速度aA 、aB 、aC 的关系是（ A. aA = aB = aC C. aC ＜aA ＜aB B. aC ＞aA ＞aB D. aC = aB ＞aA
9.在航空竞赛场里，由一系列路标塔指示飞机的飞行路径。在飞机转变方向时，飞行员能承受的最大向 心加速度大小约为 6g（g 为重力加速度） 。设一飞机以 150m/s 的速度飞行，当加速度为 6g 时，其路 标塔转弯半径应该为多少？
10.用一根细绳栓一物体，使它在距水平地面高 h＝1.8m 处的水平面内做匀速圆周运动，轨道的圆周半 径 r＝1m。 细绳在某一时刻突然被拉断， 物体飞出后， 落地点到圆周运动轨道圆心的水平距离 s＝3m， 则物体做匀速圆周运动的线速度为多大？向心加速度多大？
【例 10】如图所示，摩擦轮 A 和 B 通过中介轮 C 进行传动，A 为主动 轮，A 的半径为 20cm，B 的半径为 10cm，A、B 两轮边缘上的点，角速 度之比为 ；向心加速度之比为 。
【例 11】质量相等的 A、B 两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内通过的弧长之比为 2:3，而转 过角度之比为 3:2，则 A、B 两质点周期之比为 ；向心加速度之比为 。
3.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直面内做圆周运动，关于小球运动到 P 点 时的加速度方向，下列图中可能的是（ ）
4.一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4m/s，转动周期为 2s，则（ A.角速度为 0.5rad/s C.轨迹半径为π m
4
）
B.转速为 0.5r/s D.加速度大小为4π m/s 2 ）
ν r
2
= rω 2 = ω ν ，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动。要注意的是变速圆周运动的线速度
和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度。要求某一时刻的向心加速度， 必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。 【例 5】由于地球的自转，比较位于赤道上的物体 1 与位于北纬 60°的物体 2，则（ A.它们的角速度之比为ω1 ：ω2 = 2：1 C.它们的向心加速度之比a1 ：a2 = 2：1 ）
【例 8】物体做半径为 R 的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为an 、ω、ν和 T。下列关系式不正确的是（ A.ω =
an R
） an R C.an = ων D.T = 2π
an R
B.ν =
【例 9】甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为 3:4，在相同的时间里甲转过 60 圈时，乙 转过 45 圈，则它们的向心加速度之比为（ A.3:4 B.4:3 C.4:9 ） D.9:16
A.向心加速度是描述角速度变化的快慢的 C.向心加速度总是与速度方向垂直 【例 3】下列关于向心加速度的说法中正确的是（ A.向心加速度的方向时刻变化 C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 【例 4】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ A.由an =
ν r
2
知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C.匀速圆周运动不属于匀速运动 D.向心加速度越大，物体速率变化越快
二 向心加速度的几种表达式
1.不同形式的各种表达式 （1）对应线速度：an =
ν r
2
（2）对应角速度：an = rω 2
（3）对应周期：an =
4π T2
2
r
（4）对应转速：an = 4π 2 n2 r （5）推导公式：an = ω ν 2.理解 （1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比， 也与线速度的平方成正比。随频率的增加或周期的减小而增大。 （2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。 （3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。 （4） an 与 r 的关系图像， 如图所示， 由an − r图像可以看出： an 与 r 成正比还是反比， 要看ω 恒定或ν 恒定。 3.向心加速度公式也适用于非匀速直线运动 an =
B.它们的线速度之比ν1 ：ν2 = 2：1 D.它们的向心加速度之比为a1 ：a2 = 4：1
【例 6】如图所示为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的 1.5 倍。A、B 分别为大轮和小轮边缘 上的点。在压路机前进时（ ）
A.A、B 两点的线速度之比为νA ：νB = 1：1 B.A、B 两点的线速度之比为ν ：ωB = 3：2 D.A、B 两点的向心加速度之比为aA ：aB = 2：3 【例 7】如图所示，O1 为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1 ，O2 为从动轮的轴心，轮半径为r2 ，r3 为 固定在从动轮上的小轮半径。已知r2 = 2r1 ，r3 = 1.5r1 。若 A、B、C 分别是三个轮边缘上的点，则质点 A、B、C 的向心加速度之比是（假设皮带不打滑） （ A.1:2:3 C.8:4:3 B.2:4:3 D.3:6:2 ）
【课后作业】
1.做匀速圆周运动的两物体甲和乙， 它们的向心加速度分别为a1 和a2 ， 且a1 ＞a2 ， 下列判断正确的是 （ A.甲的线速度大于乙的线速度 C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小 B.甲的角速度比乙的角速度小 D.甲的速度比乙的速度变化快 ）
2.甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的 2 倍，若甲球的转速是 30r/min，乙球的转速是 15r/min，则两小球的向心加速度之比为（ A.1:1 B.2:1 C.8:1 D.4:1 ）
5.如图所示，A、B 为咬合传动的两齿轮，若R A = 2R B ，则 A、B 两轮边缘上两点的（ A.角速度之比为 2:1 C.周期之比为 1:2 B.向心加速度之比为 1:2 D.转速之比为 2:1
6.由于地球的自转，下列关于向心加速度的说法正确的是（ A.在地球表面各处的向心加速度都指向地心
L
）
8.小金属球的质量为 m，用长为 L 的轻悬线固定于 O 点，在 O 点的正下方2 处钉有一颗钉子 P，把悬线沿 水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉 子后的瞬间（设线没有断） （ A.小球的角速度突然增大 C.小球的向心加速度突然增大 ） B.小球的线速度突然减小到零 D.小球的线速度突然增大
一 向心加速度
1.向心加速度的定义： 任何做匀速圆周运动的物体， 加速度都指向圆心， 这个加速度被称为向心加速度。 2.向心加速度的公式：an =
ν r
2
= rω 2
3.向心加速度的方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。 4.向心加速度的效果：匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δ ν 就是由于速度 方向的变化产生的。 5.向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变的快慢 6.圆周运动的性质：不论加速度an 的大小是否变化，an 的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加 速运动。 【例 1】关于向心加速度的说法正确的是（ A.向心加速度越大，物体速率变化越快 C.向心加速度的方向始终与速度方向垂直 【例 2】下列说法中正确的是（ ） B.向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的 D.向心加速度只改变速度的方向 ） B.向心加速度的方向保持不变 D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 ） ） B.向心加速度的大小与轨道半径成反比 D.在匀速圆周运动中向心加速度是横梁
）
B.在赤道和北极附近的物体的角速度相同，但赤道上物体的向心加速度大 C.赤道和北极附近的物体的向心加速度一样大 D.赤道和地球内部物体的向心加速度一样大 7.如图，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有 A、B、C 三点，这三点所在处半径关系为rA ＞rB = rC ， 则这三点的向心加速度aA 、aB 、aC 的关系是（ A. aA = aB = aC C. aC ＜aA ＜aB B. aC ＞aA ＞aB D. aC = aB ＞aA
9.在航空竞赛场里，由一系列路标塔指示飞机的飞行路径。在飞机转变方向时，飞行员能承受的最大向 心加速度大小约为 6g（g 为重力加速度） 。设一飞机以 150m/s 的速度飞行，当加速度为 6g 时，其路 标塔转弯半径应该为多少？
10.用一根细绳栓一物体，使它在距水平地面高 h＝1.8m 处的水平面内做匀速圆周运动，轨道的圆周半 径 r＝1m。 细绳在某一时刻突然被拉断， 物体飞出后， 落地点到圆周运动轨道圆心的水平距离 s＝3m， 则物体做匀速圆周运动的线速度为多大？向心加速度多大？
【例 10】如图所示，摩擦轮 A 和 B 通过中介轮 C 进行传动，A 为主动 轮，A 的半径为 20cm，B 的半径为 10cm，A、B 两轮边缘上的点，角速 度之比为 ；向心加速度之比为 。
【例 11】质量相等的 A、B 两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内通过的弧长之比为 2:3，而转 过角度之比为 3:2，则 A、B 两质点周期之比为 ；向心加速度之比为 。
3.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直面内做圆周运动，关于小球运动到 P 点 时的加速度方向，下列图中可能的是（ ）
4.一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4m/s，转动周期为 2s，则（ A.角速度为 0.5rad/s C.轨迹半径为π m
4
）
B.转速为 0.5r/s D.加速度大小为4π m/s 2 ）
ν r
2
= rω 2 = ω ν ，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动。要注意的是变速圆周运动的线速度
和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度。要求某一时刻的向心加速度， 必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。 【例 5】由于地球的自转，比较位于赤道上的物体 1 与位于北纬 60°的物体 2，则（ A.它们的角速度之比为ω1 ：ω2 = 2：1 C.它们的向心加速度之比a1 ：a2 = 2：1 ）
【例 8】物体做半径为 R 的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为an 、ω、ν和 T。下列关系式不正确的是（ A.ω =
an R
） an R C.an = ων D.T = 2π
an R
B.ν =
【例 9】甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为 3:4，在相同的时间里甲转过 60 圈时，乙 转过 45 圈，则它们的向心加速度之比为（ A.3:4 B.4:3 C.4:9 ） D.9:16
A.向心加速度是描述角速度变化的快慢的 C.向心加速度总是与速度方向垂直 【例 3】下列关于向心加速度的说法中正确的是（ A.向心加速度的方向时刻变化 C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 【例 4】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ A.由an =
ν r
2
知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C.匀速圆周运动不属于匀速运动 D.向心加速度越大，物体速率变化越快
二 向心加速度的几种表达式
1.不同形式的各种表达式 （1）对应线速度：an =
ν r
2
（2）对应角速度：an = rω 2
（3）对应周期：an =
4π T2
2
r
（4）对应转速：an = 4π 2 n2 r （5）推导公式：an = ω ν 2.理解 （1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比， 也与线速度的平方成正比。随频率的增加或周期的减小而增大。 （2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。 （3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。 （4） an 与 r 的关系图像， 如图所示， 由an − r图像可以看出： an 与 r 成正比还是反比， 要看ω 恒定或ν 恒定。 3.向心加速度公式也适用于非匀速直线运动 an =
B.它们的线速度之比ν1 ：ν2 = 2：1 D.它们的向心加速度之比为a1 ：a2 = 4：1
【例 6】如图所示为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的 1.5 倍。A、B 分别为大轮和小轮边缘 上的点。在压路机前进时（ ）
A.A、B 两点的线速度之比为νA ：νB = 1：1 B.A、B 两点的线速度之比为ν ：ωB = 3：2 D.A、B 两点的向心加速度之比为aA ：aB = 2：3 【例 7】如图所示，O1 为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1 ，O2 为从动轮的轴心，轮半径为r2 ，r3 为 固定在从动轮上的小轮半径。已知r2 = 2r1 ，r3 = 1.5r1 。若 A、B、C 分别是三个轮边缘上的点，则质点 A、B、C 的向心加速度之比是（假设皮带不打滑） （ A.1:2:3 C.8:4:3 B.2:4:3 D.3:6:2 ）
【课后作业】
1.做匀速圆周运动的两物体甲和乙， 它们的向心加速度分别为a1 和a2 ， 且a1 ＞a2 ， 下列判断正确的是 （ A.甲的线速度大于乙的线速度 C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小 B.甲的角速度比乙的角速度小 D.甲的速度比乙的速度变化快 ）
2.甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的 2 倍，若甲球的转速是 30r/min，乙球的转速是 15r/min，则两小球的向心加速度之比为（ A.1:1 B.2:1 C.8:1 D.4:1 ）
5.如图所示，A、B 为咬合传动的两齿轮，若R A = 2R B ，则 A、B 两轮边缘上两点的（ A.角速度之比为 2:1 C.周期之比为 1:2 B.向心加速度之比为 1:2 D.转速之比为 2:1
6.由于地球的自转，下列关于向心加速度的说法正确的是（ A.在地球表面各处的向心加速度都指向地心
L
）
8.小金属球的质量为 m，用长为 L 的轻悬线固定于 O 点，在 O 点的正下方2 处钉有一颗钉子 P，把悬线沿 水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉 子后的瞬间（设线没有断） （ A.小球的角速度突然增大 C.小球的向心加速度突然增大 ） B.小球的线速度突然减小到零 D.小球的线速度突然增大