数学奥林匹克初中训练题67

合集下载

初中数学奥林匹克竞赛题包括答案.docx

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。

初中数学奥赛练习题

数学奥林匹克初中训练题一、选择题1。

若正整数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足ax=b+c ，by=a+c ，cz=a+b,则乘积xyz 可能的取值个数为（ )。

(A ）2 (B)3 (C ）4 (D ）无数多2.如图,在△ABC 中,∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3。

则sin ∠BAC=（）。

(A)12/13 (B ）4 3 /9 (C)2 6/5 （D ）432+ 3。

满足方程11610145=+-+++-+x x x x 的实数解x 的个数为( ）.（A ）1 (B)2 (C)4 （D ）无数多4.如图，在单位正方形ABCD 中，以边AB 为直径向形内作半圆，自点C 、D 分别作半圆的切线CE 、DF(E 、F 为切点）.则线段EF 的长为（）.(A)5/3 （B ）3/5 （C)3 /2 （D ）2/3二、填空题1。

设|a|〉1，化简（a+1-a 2）4+2(1-2a 2)（a+1-a 2)2+3的结果是 .2.a 1,a 2，…,a 10分别表示1,2，3，4,5,6,7，8，9,0这十个数码，由此作成两个五位数m=54321a a a a a ,n=109876a a a a a 0(m 〉n).则m —n 的最小值是 .3。

如图，在Rt △ABC 中,BC=3，AC=4,AB=5,其内切圆为⊙O 。

过OA 、OB 、OC 与⊙O 的交点M 、N 、K 分别作⊙O 的切线，与△ABC 的三边分别交于A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2.则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的面积是。

4。

若用6张1×2的纸片覆盖一张3×4的方格表，则不同的盖法有种.三、已知a i、b i(i=1，2,3）为实数,且a21—a22—a23与b21-b22—b23中至少有一个是正数.证明：关于x的一元二次方程x2+2（a1b1-a2b2—a3b3）x+(a21-a22-a23)(b21—b22-b23）=0①必有实根。

初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)

初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则三点在同一直线上。

解析：AB的解析式为y= 3x+3，当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D。

2、边长为整数，周长为20的三角形个数是8个。

解析：设三角形的三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，a≥7，又b+c＞a，2a＜20a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C。

3、N=++，则N的个位数字是9.解析：的个位数字为3，的个位数字为9，的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C。

4、P为正方形ABCD内一点，若解析：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A。

易得△P’AB≌△PBC，则P’A=PC，设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’，则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=22k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2，∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135°选B。

5、在函数y= -x（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-4，y2）（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2.解析：-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2.又∵（-1，y1）在第二象限，而（2，y3）在第四象限，∴y3＜y1，选C。

6、已知a+b+c≠0，且c=a=b。

解析：由c=a=b，可得a=b=c，代入a+b+c≠0中，得3a≠0，∴a≠0，选D。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。

b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。

两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2式x2x，与。

，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。

C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。

个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。

，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

数学奥林匹克初中训练题_120_

由于 △ACD △BQD , △CDQ △ADB , 从而 ,
CD CA DQ CQ = , = . DQ BQ BD AB
2
两式相乘得
CQ CD CA CQ CQ CA = ・ = ・ = . BQ BD BQ AB BQ AB
2
c
= 0.
所以 ,
于是 , 1 -
1
a
=1 -
1
b
=1 -
1
c
= 0.
故
=
2 007 x + 2 008 y + 2 009 z + 2 010w
k(
则 x1 + x2 + x3 = . 4. 已知 a、 b、 c 是 △AB C 的三边长 , 且满足条件 2 2 2 2a 2b 2c 2 = b, 2 = c, 2 = a. 1 +a 1 +b 1 +c 则 △AB C 的面积为 .
BD BQ = . CD CQ 2
2
所以 , a = b = c = 1. 因此 , S △AB C =
3 . 4
第二试
( 1 ) 由题设知 c、一、 a - b + c、 4a - 2b + c 都是整数 . 因此 , a - b = ( a - b + c) - c 与 4 a - 2 b = ( 4 a - 2 b + c) - c 都是整数 . 进而 , 2 a = ( 4 a - 2 b ) - 2 ( a - b) 及 2 b = ( 4 a - 2 b) - 4 ( a - b) 都是整数 . 所以 , 当 x 为偶数时 (不妨设 x = 2 k ) , 2 y = 4 ak - 2 bk + c为整数 ; 当 x 为奇数时 (不妨设 x = 2 k + 1 ) , 2 y = a ( 2k + 1) - b ( 2k + 1) + c 2 = 4 ak + 4 ak - 2 bk + ( a - b + c) 仍为整数 . ( 2 ) 因为当 x = 0 时 , y = c, 所以 , c 必为整数 , 但 a、 b不一定是整数 . 1 2 1 1 如函数 y = x + x +1 = x ( x +1) +1, 2 2 2 当 x 为任何整数时 , y 的值都是整数 . 但此函数中的二次项、一次项的系数并不是整数 .

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。

两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

初中数学奥林匹克试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-9D. √02. 已知 a + b = 0，且 a > 0，则下列结论正确的是（）A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定3. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 30°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°4. 若等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则第10项an等于（）A. 19B. 20C. 21D. 225. 下列函数中，有最大值的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = x + 16. 若一个正方形的对角线长为10cm，则其面积是（）A. 25cm²B. 50cm²C. 100cm²D. 200cm²7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，-3），则点P关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，-3）8. 下列各式中，能表示反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = √x9. 在等腰三角形ABC中，若底边BC的长度为8cm，腰AB的长度为10cm，则高AD 的长度是（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm10. 若一个正三角形的边长为a，则其面积S是（）A. (√3/4)a²B. (√3/2)a²C. (√3/3)a²D. (√3/6)a²二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等比数列{an}中，a1 = 2，q = 3，则第5项an等于______。

12. 在△ABC中，若∠A = 40°，∠B = 50°，则∠C的度数是______。

初中奥林匹克数学竞赛训练题(7套)

数学奥林匹克初中训练题第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第二试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边B 小 C 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么()A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是()A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。

两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么()A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有()A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

这四种说法中，不正确的说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是()A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

初中数学奥林匹克模拟试卷1-10套

数学奥林匹克模拟试卷（一）一、选择题：1、已知311=-=-b b a a ，且3>+b a ，则33ab b a -的值是（）。

（A ）521（B ）1321（C ）533（D ）13332、如果二次函数()522++++=k x k x y 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k 值应为（）（A ）4>k 或5.-<k （B ）45-<<-k （C ）4.-≥k 或5-≤k （D ）45-≤≤-k3、如图，∆ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC 于F ，则ABCAEF S S ∆∆:的值为（）（A ）A sin （B ）A cos （C ）A 2sin （D ）A 2cos4、方程1997111=+y x 的正整数解的组数为（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）大于等于45、P 为∆ABC 内一点，PA 、PB 、PC 把∆ABC 的面积分成三等分，则P 点是∆ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）垂心（D ）重心6、抛物线122++=bx x y 与直线ab ax y 22+=的图象至多有一个交点，则的最大值是（）（A ）1（B ）23（C ）22（D ）0 二、填空题：1、已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000，则此四数的和是_________。

2、如果c yz b xz a xy ===,,，而且它们都不等于0，则222z y x ++=_________。

AB CE F A B CED G3、若抛物线()242+++=a x ax y 全在x 轴的上方，a 的范围是_________。

4、如图，在图形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，E 为BC 重点，GE ⊥BC 于，交DA 延长线于G ，DC=17cm ，AB=25cm ，BC=10cm ，则CE=_________。

初中数学奥林匹克训练题及答案

初中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.已知m 、n 是两个连续正整数，m<n ，且a=mn ，设x=m -a n a ++，y=m -a n a -+.下列说法正确的是( ).(A)x 为奇数，y 为偶数 (B)x 为偶数，y 为奇数 (C)x 、y 都为奇数 (D)x 、y 都为偶数2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ).(A)Δ=16S 2 (B)Δ=-16S 2 (C)Δ=16S (D)Δ=-16S 3.设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分.则ab12-的值为( ). (A)6 +2 -1 (B) 6- 2+1 (C) 6- 2-1 (D) 6+2+14.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD ·CE 与S 的大小关系为( ).(A)S=AD·CE(B)S>AD·CE(C)S<AD ·CE(D)无法确定5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 6.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ).(A)R=5，r=2 (B)R=4，r=3/2(C)R=4，r=2 (D)R=5，r=3/2 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则αββα33+的值为 .2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 .3.AD 、BE 、CF 为△ABC 的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF ，则∠BAC 的度数为 .4.下列四个命题:①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形;④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中，正确命题的序号是.第二试一、(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.二、(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.求使不等式S△BGF ·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.三、(25分)已知(x+1y2+)(y+1x2+)=1.求证:x+y=0.初中数学奥林匹克训练题参考答案第一试一、1.C.x=n+m=m+m+1=2m+1，y=n-m=1.所以，x 、y 都是奇数. 2.B. 因为Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2=(b 2+c 2-a 2+2bc)(b 2+c 2-a 2-2bc) =[(b+c)2-a 2][(b-c)2-a 2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a). 记p=21 (a+b+c)，所以，Δ=2p·2(p-a)·2(p-c)[-2(p-b)]=-16p(p-a)(p-b)(p-c).由海伦公式知S 2=p(p-a)(p-b)(p-c). 故Δ=-16S 2.3.B.4.A.设BC=a ，CA=b ，AB=c.由题意知AD+AC=BC+CE=21 (a+b+c).故AD=21 (a+c-b)，CE=21 (b+c-a).则AD ·CE=41 (a+c-b)(b+c-a)=41[c 2-(a-b)2]=41(c 2-a 2-b 2)+12ab.由∠ACB=90°，知a 2+b 2=c 2，S=21ab.于是，AD ·CE=S.5.C.由题意知只能是△PAB ∽△PCA.则有PA/PC=PB/PA=AB/AC=8/6=4/3.故PB=34PA ，PB=PC+BC=PC+7，PA=34PC.又PA 2=PB ·PCPC=9. 6.D.辅助线如图.由题意知OA 2=OE 2+AE 2.设AB=2x ，则AE=x. 于是，R 2=[2x-(R-2r)]2+x 2.化简得5x 2-4(R-2r)x+4(r 2-Rr)=0.①要使AB 为有理数，只要x 为有理数，也即方程①的Δ=[-4(R-2r)]2-4×5×4(r2-Rr)=16(R 2+Rr-r 2)为完全平方式，也即只需R 2+Rr-r 2为完全平方式. 经验证知，只有选项(D)符合题意. 二、1.-7. 令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2+β2.由已知有α+β=-1，αβ=-1.故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.① A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.②由式①、②得A=-4-3=-7. 2.1 009 020. 注意到a i b i =41[(a i +b i )2-(a i -b i )2]，a i +b i =(1+2 008)×1 004/1 004=2 009.要使a i b i 的值最大，须a i -b i 的值最小，而a i -b i 的最小值为1，此时a i +b i =2 009，a i -b i =1.于是，a i =1 005，b i =1 004，此时，a i b i 的最大值为1 005×1 004=1 009 020. 3.60°.记BC=a ，CA=b ，AB=c.由内角平分线定理知 BD=cb ac +，CD=cb ab +，BF=ba ac +，CE=ca ab +.由BD+BF=CD+CE ，.去分母并化简得a 2c+2ac 2+2bc 2+c 3=a 2b+2ab 2+2b 2c+b 3，即 (c-b)(a 2+2ac+2ab+b 2+c 2+3bc)=0.显然a 2+2ac+2ab+2bc+b 2+c 2+bc=(a+b+c)2+bc>0. 于是，c-b=0，即b=c.同理，当CD+CE=AE+AF 时，有c=a.所以，a=b=c ，△ABC 为等边三角形. 故∠BAC=60°. 4.④.命题①、②、③可分别给出如下反例:命题①:如图5(a)中的四边形ABCD ，其中，△ABD △CDE.命题②:如图5(b)，作等腰△ADE ，延长底边ED 到任意点O ，以O 为对角线的交点可作出 ABCE ，而此时四边形ABCD 满足条件AD=(AE=)BC ，且AO=CO ，但不是平行四边形.命题③:如图5(c)中的四边形ABCD ，其中，A 、C 是BD 垂直平分线上的任意两点.图5 以下证明命题④是正确的.如图5(d)，已知∠BAD=∠DCB ，且OB=OD.以点O 为中心，将△ABD 逆时针旋转180°.因为OB=OD ，所以，点D 与B 重合，点B 与D 重合，点A 与射线OC 上某点A 1重合.如果A 1不是C ，则∠BA 1D>∠BCD(A 1在线段OC 内部)或∠BA 1D<∠BCD(A 1在OC 的延长线上)，都与∠BA 1D=∠BAD=∠BCD 矛盾，从而，A 1即是C ，即OA=OA 1=OC.所以，四边形ABCD 是平行四边形. 第二试一、记BC=a ，CA=b ，AB=c.如图，作∠BAC 的平分线AD ，则∠BAD=∠DAC=∠B ，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.故△ACD △BCA.于是，b/a=CD/b.①又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而，cb b +=BDCD CD + =aCD .②由式①、②得ac b +=ba .故a 2=b(b+c).若(b ，c)=d ，则由式①知d|a ，故不妨设(b ，c)=1.于是，可令 b=m 2，b+c=n 2.则a=mn ，c=n 2-m 2.由∠A>∠B>∠C ，知a>b>c ，即mn>m 2>n 2-m 2. 故m<n<2 m.③又m 、n 为正整数，从而，2m-m>1，即m>2 +1.④设△ABC 的面积为S ，由海伦公式知 S=41n(n+m)(n-m)·n)-n)(2m (2m +.由式④知m ≥3.又由式③容易验证:当3≤m ≤7时，只有m=5时，n=6，n)-n)(2m (2m + =8(有理数)，此时， S=14×6×11×1×8=132.下证当m ≥8，n ≥9时，S>162. 由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m-2m)=(6-32)m 2>(6-42)m 2=(2-2)2m 2，n(n+m)(n-m)>n(1+22n)×1=21 (2+ 2)n 2.由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n 2(2- 2)m=14n 2则当m ≥8，n ≥9时，有S>162.故S 的最小值为132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11时，△ABC 面积最小，最小值为132.二、如图，设AF/AB=x ，AE/AC=y.则0<x 、y<1.在△ABE 中，由梅涅劳斯定理有BG/GE·EC/CA·AF/FB=1..从而，u 2+(t-2)u+2t=0在[0，2]内有实根，则Δ=(t-2)2-8t ≥0 t ≥6+42或t ≤6-42.从而t ≤6-4 2. 所以，tmax=6-4 2，此时u=22 -2.因此，当u=22-2，x=y ，即x=y=2-1时，(S △BFG ·S △CEG /S 2△ABC )max=41(6-4 2)2=17-122.故k ≥17-122，kmin=17-12 2.三、用反证法证明.(1)先证x=0时y=0，或y=0时x=0.如若不然，假设x=0时，y>0.则 (x+1y 2+)(y+1x 2+)=1y 2+ (y+1)>1，与已知矛盾.当x=0，y<0时，又有 (x+1y 2+)(y+1x 2+)=1y 2+ (y+1)<12y 2+-y (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y 2<1，与已知矛盾.故x=0时，y=0. 同理，y=0时，x=0.(2)再证x ≠0，y ≠0时，x+y=0.为此先证xy<0. 如若不然，则x>0，y>0或x<0，y<0.当x>0，y>0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)>1，与已知矛盾.当x<0，y<0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)=y)-1x x)(-1y ()y -1)(x x -1(y 222222++++=y)-1x x)(-1y ()x -(y -122222++≤y)-1x x)(-1y (122++.但(1y 2+-x>1，1x 2+-y>1，则y)-1x x)(-1y (122++<1，与已知矛盾.从而，xy<0. 以下分两种情形讨论.(i)若x+y>0，由于原式关于x 、y 对称，不妨设x>0，y<0.则x>-y ，x2>y2，有(x+1y 2+)(y+1x 2+)>(1y 2+-y)(1y 2++y)=1，与已知矛盾.同理，当x<0，y>0时，也与已知矛盾. (ii)若x+y<0，不妨设x>0，y<0.则x<-y ，x 2<y 2，有(x+1y 2+)(y+1x 2+)<(1y 2+-y)(1y 2++y)=1，与已知矛盾.由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立. 因此，x+y=0. 综上知x+y=0.。

(完整版)初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案).doc

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100 元，三年后负债600 元．求每人每年收入多少？S 的末四位数字的和是多少？4．一个人以 3 千米 / 小时的速度上坡，以 6 千米 / 小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数．8．若两个整数 x，y 使 x2 +xy+y2能被 9 整除，证明： x 和 y 能被 3 整除．9．如图 1－95 所示．在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD的中点为 M，N，MN的延长线与 AB边交于 P 点．求证：△ PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000( 元) ．所以 S 的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当 b≥ a＞ 0 或 b≤a＜0 时，等式成立．4．设上坡路程为 x 千米，下坡路程为y 千米．依题意则有由②有 2x+y=20，③由①有 y=12-x ．将之代入③得2x+12-x=20 ．所以x=8( 千米 ) ，于是 y=4( 千米 ) ．5．第 n 项为所以6．设 p=30q＋r ，0≤r ＜30．因为 p 为质数，故 r ≠0，即 0＜ r ＜30．假设 r 为合数，由于 r ＜ 30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5．再由 p=30q＋r知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时， p 不是质数，矛盾．所以， r 一定不是合数．7．设由①式得 (2p-1)(2q-1)=mpq ，即(4-m)pq+1=2(p+q) ．可知 m＜4．由①， m＞ 0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究 p，q．(1)若 m=1时，有解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若 m=2时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故m=2时无解．(3)若 m=3时，有解之得故p ＋q=8．8．因为 x2+xy+y2 =(x-y) 2+3xy．由题设， 9｜(x 2+xy＋y2) ，所以 3｜(x 2＋xy＋y2) ，从而 3｜ (x-y) 2．因为 3 是质数，故 3｜(x-y) ．进而 9｜ (x-y) 2．由上式又可知，9｜3xy，故 3｜xy．所以 3｜x 或 3｜ y．若 3｜x，结合 3(x-y) ，便得 3｜y；若 3｜y，同理可得， 3｜x．9．连结 AN，CN，如图 1－103 所示．因为 N是 BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋ S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋ S△DNP．由于 M，N 分别为 AC， BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S △AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知 3x2-x=1 ，求 6x3+7x2-5x ＋ 2000 的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图 1－96 所示．已知 CB⊥AB，CE平分∠ BCD，DE平分∠ CDA，∠1＋∠ 2=90°．求证： DA⊥ AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为求 a2＋b2＋ c2的值．5．求方程｜ xy｜- ｜2x｜ +｜ y｜ =4 的整数解．6．王平买了年利率 7.11 ％的三年期和年利率为 7.86 ％的五年期国库券共 35000 元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？ ( 一年期定期储蓄年利率为 5.22 ％ )7．对 k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程 3x＋ 4y＋13z=57 的整数解．9．小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20 分、8 分、3 分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式 =2x(3x 2-x)+3(3x 2 -x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利 4× 100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利 (4 ＋ x) 元，但每天卖出为 (100-10x) 件．如果设每天获利为 y 元，则y＝(4 ＋ x)(100-10x)=400 ＋ 100x-40x-10x 2=-10(x 2-6x ＋9) ＋90＋ 400=-10(x-3) 2＋490．所以当 x=3 时， y 最大 =490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为 490 元．3．因为 CE平分∠ BCD，DE平分∠ ADC及∠ 1＋∠ 2=90° ( 图 1－104) ，所以∠ ADC＋∠ BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为AB⊥ BC，②由①，② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2 +c2=34．5．｜ x｜｜ y｜-2 ｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜( ｜y｜-2)+( ｜ y｜ -2)=2 ，所以 ( ｜ x｜ +1)( ｜y｜-2)=2 ．因为｜ x｜＋ 1＞0，且 x， y 都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x 元和 y 元，则因为y=35000-x ，所以 x(1 ＋0.0711 ×3)(1 ＋0.0522) 2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x ＋ 48755-1.393x=47761 ，所以 0.0497x=994 ，所以 x=20000( 元) ，y=35000-20000=15000( 元) ．7．因为(k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所6 / 18当 k=1，m≠4 时，①无解．所以， k≠1，m为任何实数，或k=1， m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m ．原方程的通解为其中 n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x， y， z 个，则消去 y，得 12x-5z=180．它的解是 x=90-5t ， z=180-12t ．代入原方程，得 y=-230 ＋ 17t ．故 x=90-5t ， y=-230+17t ，z=180-12t ．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有 1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20 个．初一奥数三1．解关于 x 的方程2．解方程其中 a＋b＋c≠0．3．求 (8x 3-6x 2+4x-7) 3(2x 5 -3) 2的展开式中各系数之和．4．液一桶，倒出8 升后用水灌，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌，的度72％，求桶的容量．5．足 [-1.77x]=-2x 的自然数 x 共有几个？里 [x] 表示不超 x 的最大整数，例如 [-5.6]=-6 ，[3]=3 ．6． P 是△ ABC内一点．求： P 到△ ABC三点的距离和与三角形周之比的取范．7．甲乙两人同从西两站相向步行，相会，甲比乙多行24 千米，甲 9 小到站，乙16 小到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，下去，最后得到19，1997，1999，原来的三个数能否是2， 2， 2？9．有 n 个数 x1， x2，⋯， x n，其中每一个不是 +1 就是 -1 ，且求： n 是 4 的倍数．解答：1．化得 6(a-1)x=3-6b+4ab ，当 a≠ 1 ，2．将原方程形由此可解得 x=a＋b+c．3．当 x=1 ， (8-6+4-7) 3(2-1) 2=1．即所求展开式中各系数之和1．依题意得去分母、化简得 7x2-300x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，5 ．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知 [-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以[0.23x]=0．又因为 x 为自然数，所以0≤ 0.23x ＜1，经试验，可知x 可取 1，2，3，4，共 4 个．6．如图 1－ 105 所示．在△ PBC中有 BC＜ PB＋PC，①延长 BP交 AC于 D．易证 PB＋PC＜ AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜ PA＋PB＜AC＋ AB．⑤③＋④＋⑤得 AB＋ BC＋CA＜2(PA＋PB＋ PC)＜ 2(AB＋ BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x 千米 / 小时，乙步行速度为y 千米 / 小时，则所求距离为(9x+16y) 千米．依题意得由①得 16y2 =9x2，③由②得 16y=24＋9x，将之代入③得即(24 ＋9x) 2=(12x) 2．解之得于是所以两站距离为 9×8＋16×6=168(千米 ) ．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数( 数值可以改变，但奇偶性不变 ) ，所以，不可能变为 19， 1997， 1999 这三个奇数．。

数学奥林匹克竞赛试卷初中

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 2B. 7C. 12D. 252. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm3. 已知函数y=2x+1，若x=3，则y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在下列各组数中，有最大公约数4的是（）A. 16，24B. 12，18C. 20，28D. 15，215. 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的体积是（）A. 60cm³B. 72cm³C. 80cm³D. 90cm³6. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）8. 下列各图中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.9. 下列各数中，有最小公倍数120的是（）A. 24，40B. 30，48C. 36，50D. 42，6010. 已知a²+b²=c²，则下列结论正确的是（）A. a、b、c都是正数B. a、b、c都是负数C. a、b、c都是整数D. a、b、c都是正整数二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为______。

12. 0.5+0.2+0.1+…+0.05+0.01+0.005+…+0.0005+0.0001的和为______。

13. 一个数的平方根是±2，那么这个数是______。

14. 下列各数中，是质数的是______。

15. 一个圆的半径增加了50%，那么这个圆的面积增加了______。

16. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的周长是______。

数学奥林匹克初中训练题(6套)综述

数学奥林匹克初中训练题(1)第一试一. 选择题 .( 每题 7 分,共 42 分)()1.已知 a3b3c33abc 3 ,则(a b)2(b c)2(a b)(b c) 的值为:a b c(A)1(B)2(C)3(D)4()2.规定” Δ”为有序实数对的运算, 假如(a, b)(c, d)( ac bd, ad bc ). 如果对随意实数a, b 都有 ( a, b)( x, y)( a,b), 则 (x, y) 为:(A) (0,1)(B)(1,0)(C)(1,0)(D) (0,1)()3.在ABC中 ,211, 则∠A:a b c(A) 必定是锐角(B)必定是直角(C)必定是钝角(D)非上述答案()4.以下五个命题 : ①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5; ②( a )2a; ③若点P(a, b)在第三象限,则点 P1 (a,b1)在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形; ⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 此中正确的命题的个数是:(A)2 个(B)3个(C)4个(D)5个()5.设 P 为等腰Rt ABC斜边 AB上或其延伸线上一点, S AP2BP2,那么:(A) S2CP 2(B)S2CP 2(C)S2CP 2(D)不确立()6.知足方程 x2y22( x y)xy 的全部正整数解有:(A) 一组(B)二组(C)三组(D)四组二. 填空题 .( 每题 7分,共28分 )1. 一辆客车 , 一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶, 在某一时辰 ,货车在中 , 客车在前 , 小轿车在后 , 且它们的距离相等.走了 10分钟 , 小轿车追上了货车 ; 又走了5分钟 , 小轿车追上了客车. 问再过分钟 , 货车追上了客车 .2. 若多项式P2a28ab 17b2 16 a 4b2070,那么 P 的最小值是.3. 如图 1,O∠ AOB内有必定点 P, 且 OP=10.∠ AOB=30,在 OA 上有一点Q,OB 上有一点 R.若PQR 周长最小 , 则最小周长是.4.已知二次函数yax 2 (a 1) 的图象上两点A,B的横坐标分别为1,2 ,O 是坐标原点 ,假如AOB 是直角三角形, 则AOB 的周长为第二试.一 .(20分 )已知实数a,b,c知足不等式ab c, bc a , ca b, 求a bc 的值 .二.(25 分) 如图2, 点 D 在 ABC 的边 BC 上 , 且与 B,C 不重合 , 过点D 作 AC 的平行线DE 交 AB 于 E, 作 AB 的平行线 DF 交 AC 于点 F. 又知 BC=5. (1) 设 ABC 的面积为 S. 若四边形 AEFD 的面积为 2S . 求5BD 长 .(2) 若 AC2AB, 且 DF 经过 ABC 的重心 G,求 E,F 两点的距离 .三 .(25 分 )已知定理 :”若三个大于 3 的质数 a, b, c 知足关系式 2a5b c ,则 a b c是整数 n 的倍数 .”试问 :上述定理中整数 n 的最大可能值是多少?并证明你的结论 .数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题 .( 每题 7 分,共 42 分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学惯用品. 若购铅笔 3 支 , 练习本 7 本 , 圆珠笔 1 支共需 3.15 元 ; 若购铅笔4 支,练习本 10 本, 圆珠笔 1 支共需4.2 元 . 现购铅笔 ,练习本 , 圆珠笔各 1 件,共需:元元元元( )2.三角形的三边 a,b,c 都是整数 , 且知足 abc bc caab a bc 7 , 则此三角形的面积等于:(A)3 2(C)3 2(B)4(D) 224( )3.如图 1,ABC 为正三角形 ,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形 AMPN,ABC 的周长分别是 m,n , 则有 :1 m 3 (B)2 m3 80% m m(A)n53n(C)83% (D) 78% 79%24nn( )4.知足 ( x3)2( y 3)26 的全部实数对( x, y) , 使y取最大值 , 此最大值x为 :(A) 32 2 (B)42 (C) 5 33 (D) 5 3( )5.设 p 37a 1 37b 1 37c137d1 . 此中 a,b,c, d 是正实数 , 且满足 ab c d 1. 则 p 知足 : (A) p ＞ 5(B) p ＜ 5 (C)p ＜2(D)p ＜ 3( )6.如图 2, 点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 ,OM ⊥ CD,N为 OM 的中点 .则 S ABN :S BCN 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二 . 填空题 .(每题 7 分 ,共 28 分)1. 若实数 x, y 知足 ( xx 2 1)( yy21)1则,x y.2.如图 3,CD 为直角 ABC 斜边 AB 上的高 ,DE ⊥AC.设p 1 p 2ADE, CDB, ABC 的周长分别是 p 1 , p 2 , p . 当p取最大值时 , ∠A= .3. 若函数 ykx 5 中自变量的取值范围是4kx kx 2 3一确实数 , 则实数 k 的取值范围是.4. 如图 4 所示 , 线段 AB 与 CD 都是⊙ O 中的弦 , 此中AB 108O , AB a, CD 36O ,CD b ,则⊙O的半径R=.第二试一.( 共 20分 ) n是一个三位数 , b是一个一位数 , 且a,a2b2都是整数 , 求a b 的b ab1最大值与最小值 .二.( 共 25分)如图 5, 在ABC中, ∠A=60O,O,I,H 分别是它的外心, 心里 , 垂心 . 试比较ABC的外接圆与IOH 的外接圆的大小, 证明你的论断 .x y z 3的全部三 .(共 25 分 )求方程组3y3z3x3整数解 .参照答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题( 四 )第一试三. 选择题 .( 每题 7 分,共 42 分)(1,0.2002,13 2 22),n n2)1.在,(3( n是大于 3 的整数 )这 5 个722数中 ,分数的个数为 :(A)2(B)3(C)4(D)5()2.如图 1,正方形 ABCD的面积为256,点 F 在 AD 上,点E在AB的延伸线上 ,Rt CEF 的面积为200,则 BE 的长为 :(A)10(B)11(C)12(D)15 ()3.已知a, b, c均为整数 ,且知足a2b2 c 23＜ ab3b 2c .则以 a b,c b 为根的一元二次方程是 :(A) x23x20(B) x2 2 x80(C) x24x50(D) x2 2 x30()4.如图 2,在 Rt ABC 中 ,AF 是高 ,∠ BAC=90 O,且BD=DC=FC=1, 则 AC 为:(A) 32(B)3(C)2(D)33()5.若k 2a b2c a2b cc b a,则k的值为 :(A)1(B)2(C)3(D) 非上述答案()6.设x0, y0,2 x y 6 ,则u 4x23xy y 2 6x 3y 的最大值是:(A)27(B)18(C)20(D) 不存在2四 . 填空题 .(每题7 分,共 28分)1.方程1x2110的实数根是.x21x23x2.如图 3,矩形 ABCD中 ,E,F分别是 BC,CD上的点 ,且SABE 2 , S C E F 3 ,S ADF,4则SAEF=.3.已知二次函数数时,都有为.y x2( a 1)x b (a, b为常数).当x 3 时, y 3; 当x为随意实y x .则抛物线的顶点到原点的距离4.如图 4,半径为2cm ,圆心角为90O的扇形 OAB 的AB上有一运动的点 P.从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H.设OPH 的心里为 I,当点 P 在AB上从点 A 运动到点 B 时 ,心里I 所经过的路径长为.第二试一.(20 分 ) 在一个面积为 1 的正方形中结构一个以下的小正方形 ; 将单位正方形的各边n均分 , 而后将每个顶点和它相对应极点最靠近的分点连接起来,如图5所示 . 若小正方形的面积恰为1, 求n的值 . 3281二 .(25 分)一条笔挺的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A, 距公路30km的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为 90km .一天某司机驾车从卫生站送一批抢救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最迅速度是60km / h ,在草地上行驶的最迅速度是30km / h .问司机应以如何的路线行驶,所用的行车时间最短 ?最短时间是多少 ?三.(25 分 )从 1，2，3，， 3919 中任取 2001 个数。