第二章 动量传输分析基础 (2)
第二章 动量传输基本方程.
2.1 流体运动的描述
研究方法－－（2）欧拉法 欧拉法以流场中某一空间点作研究对象，分析该点 以及该点与其他点之间物理量随时间的变化过程来研究 流体运动情况的。因此，凡是表征流体运动特征的物理 量都可表示为时间 τ 和空间x、y、z的函数。 z着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在流体空间的 每一个点上，描述出流体运动随时间变化的状况。 z每一空间点的运动 整个流场的运动状况。 z以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究流体速度 在空间的分布。 z欧拉法把流体视为连续介质，用场论的方法研究流体流 动，是一套最重要的研究方案。我们将采用它来研究动 量传输。
第二章 动量传输的基本方程
2.1 流体运动的描述 2.2 连续性方程 2.3 理想流体动量传输微分方程－欧拉方程 2.4 实际流体动量传输方程－纳维尔-斯托克斯方程 2.5 柏努利方程 2.6 柏努利方程的应用 小结
2.1 流体运动的描述
引入场的概念——物理量在空间的分布 流场的概念
流场是指充满运动流体的空间。运动参数表 示流体运动特征的所有物理量，如速度、密度、 压力、粘性力等。流体动力学研究流体质点的运 动参数随时间及空间位置变化的规律。
v v ′(M ′,τ + Δτ ) v v (M , τ )
M′
v ∂v ∂τ
)+
Δτ → 0
M
lim v (M ′ , τ
v dv v (M , τ + Δ τ ) − v (M , τ = lim Δτ dτ Δτ → 0
) − v (M , τ )
Δτ
v v MM ′ v (M ′, τ ) − v (M , τ ) ∂v (M , τ ) v lim lim = Δτ → 0 Δτ MM ′ → 0 ∂S MM ′
化工传递过程 第二章 动量传递
§2-2运动方程
2.奈维-斯托克斯(Navier—Stokes)方程 在以应力表示的粘性流体的运动方程中,共有9个表面应力, 其 中3个法向应力; 即 xx、 yy、 zz 。6个剪应力, 即
yx、 zx xz、 yz xy、 zy A
由力学的知识可知，对于旋转轴
线所产生的力矩应该等于流体微
描述应力与形变 速率之间关系的 方程
§2-2运动方程
法向应力
流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流动 时, 这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体的压力， 它使流体微元承受压缩，发生体积形变；其二由流体的粘性作用引起， 它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩发生线性形变。
同理y方向质量流率之差：
( u y
(uy )
y
dy)dxdz
u y dxdz
(uy )
y
dxdydz
z方向质量流率之差
(uz
(uz )
z
dz)dxdy
u z dxdy
(uz )
z
dxdydz
( ) 微元体积内累积的质量流率＝ dxdydz
§2-1连续性方程
根据质量守恒定律
（输出的质量流率）—（输入的质量流率）＋累积的质量速率＝0
流体场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx，
dy，dz，在某一瞬时流过微元体的流速分别为ux，uy，uz，
密度为ρ。
以x方向为例：
y
(x,y,z)
输入的质量流率 uxdydz
输出的质量流率
[ux
(ux
x
)
dx]dydz
质量流率之差 (ux ) dxdydz
x
z
动量传递原理
动量传递原理动量传递原理是物理学中一个基本的原理，它是描述物体运动的重要定律之一。
根据动量传递原理，当两个物体发生相互作用时，它们之间的动量总和在作用前后保持不变。
这意味着，如果一个物体的动量增加，那么另一个物体的动量就会相应减少，它们之间的动量交换是相互影响的结果。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
动量的大小等于物体质量乘以速度，即动量=质量× 速度。
当一个物体具有较大的质量和较大的速度时，它的动量将更大。
根据牛顿第二定律，物体的动量变化率等于作用在物体上的力，这就是动量传递原理的基础。
动量传递原理在日常生活中有许多实际应用。
例如，当我们踢足球时，足球的动量将转移到另一个物体上，比如球门或其他球员的身体上。
足球运动员在踢球时会利用自己的身体质量和速度，将足球尽可能地击出较高的速度，从而使球进入球门。
在这个过程中，足球和踢球者之间的动量交换是相互影响的结果，根据动量传递原理，足球的动量增加，而踢球者的动量减少。
除了足球运动，动量传递原理在交通运输中也有重要的应用。
当汽车发生碰撞时，车辆之间的动量交换会影响碰撞后的车辆状态。
根据动量传递原理，如果两辆车以相同的速度相撞，它们之间的动量交换将是相等的。
然而，由于车辆的质量不同，碰撞后车辆的速度将有所不同。
较大质量的车辆将减少较小质量车辆的速度，而较小质量的车辆将增加较大质量车辆的速度。
这种动量传递的结果会影响事故中车辆的受损程度以及乘客的安全。
动量传递原理也对运动中的抛射物有重要影响。
当一个物体以一定的速度被抛出时，它的动量将传递给抛出物。
比如投掷运动中的铅球、标枪等，投掷者通过利用自己的力量将物体抛出，从而使物体获得一定的速度和动量。
根据动量传递原理，投掷者的身体将减少动量，而投掷物体将增加动量，这使得物体能够飞行更远。
总结起来，动量传递原理是描述物体运动状态变化的基本定律之一。
根据这个原理，当两个物体发生相互作用时，它们之间的动量总和在作用前后保持不变。
动量的传输
质量守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律
连续性方程
伯努力方程
纳维尔—斯托克斯方程 欧拉方程
1流体流动的起因
自然流动
流体流动类型 强制流动 自然流动起因：流体密度不同，浮力
强制流动起因：外力作用
2 稳定流动与不稳定流动
流场中运动参数不随时间而变化的流动 称为稳定流动。 流场中运动参数随时间而变化的流动， 称为不稳定流动。
对对于于稳非定稳流定动流，动流，场流中场速中度速与度压与力压的力分的布分：布：
uxx= uxx(x, y, z), t) uyy= uyy(x, y, z), t) uzz= uzz(x, y, z), t) P= P(x, y, z), t)
3流场运动描述的两种方法 (1)流场、运动参数的定义
图1-4 牛顿流体与非牛顿流体
例2
长度为L=30㎝的两个 同心圆管，其半径分
r2 r1
V
别为r1=15cm , r2=15.5cm ，
缝隙之间充满某种液体，
如图（1-2）所示。外管
被固定，内管以n=60r/min转速旋转，已知作用在它上
面的外力距为M=0.98N·m，试确定此流体的（由于间
隙厚度与圆柱周长相比为小量，故假定其间速度分布为 直线型）。
xWn为液体混合物中各组分的质量百分率，%
对于气体混合物，密度 m的计算式：
m xVi Vi kg/m3, i=1, … , n
式中： V1 ，V2，…… ， Vn为气体混合物中 各组分的密度，kg/m3；xV1，xV2 ， …… ， xVn
为气体混合物中各组分的体积百分率，%
1.2.2 流体的比容定义与表达式
稳定流动时,经过同一点的流线始终 不变,且流线上质点的迹线与流线重合
化工基础第2章动量传递
m A x A B x B n xn
M m M1 x1 M 2 x2 M n xn
PM m m RT
3、流体的连续性 把流体看作是由无数微团（质点）所组成的 连续介质，流体所占的空间全部为这种连续 介质所充满。 强调：1）在宏观上，流体质点是连续的； 2）流体质点的运动也是连续的。
或:
P P2 1 Z1 Z2 g g
称为流体静力学方程
工程上将单位重量的流体所具有的能量称做压头,
单位为:m液柱。 流体静力学的意义：
在静止的流体内部，位压头和静压头之和为常数
P2 P0 gh
结论： 1） 静止流体内部任一点 的压强是液面深度的函数； 2）同一静止流体，同一水 平面上，各点压强相等； 3）当液面上方的压强变化 时，液面内部各点的压强都 要变化。
P l 2 hf 8f g d 2g
该式为阻力通式，也称Finning公式 f 称为沿程阻力系数，8 f称为摩擦系数 3、沿程阻力计算
h f h f直 h f局
1）直管阻力计算
2 2 F1 P r F P r 1 2 2
F 2rl d
dr
两边同除mg 得：
Z1
1
2
2g
P P 1 Z2 2 2 g 2 g g
2
理想流体的伯努力方程
３、伯努力方程的意义和适用范围
意义： 1）理想流体在导管中作稳定流动时，导管任一截面 的总能量或总压头为一常数； 2）机械能中各项可相互转化。
对实际流体，
P 2 P2 1 Z1 H Z2 hf 2 g g 2 g g
液体： 1 2 3 则
动量传输的微分方程教学教材
4.层流与湍流
雷诺实验(1883)
流场显示
1. 经典实验
哈根实验(1839) 阻力测量
林格伦实验(1957) 热线测速
2. 雷诺数
Re Vd
μ
V 流速，d 特征长度，ρ、μ 流体密度、粘度
圆管临界雷诺数 Recr 2300
5.内流与外流
按流场是否被固体边界包围分类
内流
管道流（不可压缩流体） 喷管流（可压缩流体） 明渠流 流体机械
同理：如固定t ，可得到不同流体质点在空间的位置分布
速度：
x
xx（ ' a， b， c， t） t
y
yy（ ' a， b， c， t） t
z
zz（ ' a， b， c， t） t
加速度：
ax tx t22 xx（ '' a， b， c， t） ay ty t22 yy（ '' a， b， c， t）
但是不同时刻流体指点经过空间某一固定点的速度则是可以 观测的，所以欧拉法中不选择位置而是以速度作为描述流体在 空间变化的变量，研究其在空间的分布。
实际研究问题时，区分清楚哪个质点处于哪个空间点上对多 数问题是没有任何意义的，只要稿清楚在某一时刻流体在其存 在区域内各个空间点上的速度分布就行了。
具体如下：一流体质点在t1时刻过某一空间点有一运动参量，另一质点在t2时刻过同一空间点 有另一运动参量，可见对流场中某个任意固定空间点，运动参量是随t 发生变化，统计流场中 所有固定空间点时，则全部流场中的运动参量是空间坐标和时间的函数 A(x,y,z,t)
❖ 1.流场：流体质点运动的全部空间。 ❖ 2.流场分类：
通道流场（径流流场）：径直流动过程中没有遇到 障碍物的流场. 绕流流场：遇到障碍物，流体要分流绕流的流场 ❖ 3.运动参量：指用以表示流体运动特征的一切物理 量。
备课_动量传输(Chapter_2)-(2016)
离心力场+重力场：
x y gz ) pa [A] p ( 2 2
2 2 2 2
求算液体中任意点的静 压力与点位置的关系。
[B]
z
2r 2
2g
C
等压面(抛物面)方程, 等压面 高度与回转半径 r 的关系。 自由表面高度与回转半径 r 的关系。 h0：轴心处自由表面高度
U U U dx dy dz ) x y z
const 对不可压缩流体，
dp dU (
（2-3）
U U U X, Y, Z x y z
U质量力的势函数。
2、2不同情况下静止流体的等压面和静压力
等压面：由压力相同的连续点组成的面,dp=0
等压面的微分方程：
Xdx Ydy Zdz
dp
等压面特性：
0 （2-4）
等压面与质量力处处正交
Xdx Ydy Zdz 0 矢量形式：F ds 0
等压面不能相交 两种不同流体处于平衡状态时，相互接触分界面是 等压面
dp
2.2.1重力场中静止流体的等压面和静压力
2
(R r )
2 2 0
2.2.3
重力场、离心力场共同作用时相对静止流体 的等压面和静压力
（1）等压面方程推导：
作用在微元体上力：离心力和重力
X 2 r cos 2 x, 2 2 Y r sin y, Z g
代入等压面微分方程（2-4）得：
x, y, z方向受力平衡： Fx' Fx 0, Fy' Fy 0, Fz' Fz 0,
p gx X x p gy Y y p gz Z z
动量传输基本定律讲解
连续性方程
伯努力方程
纳维尔—斯托克斯方程
欧拉方程
1流体流动的起因
自然流动
流体流动类型 强制流动 自然流动起因：流体密度不同，浮力
强制流动起因：外力作用
2 稳定流动与不稳定流动
流场中运动参数不随时间而变化的流动 称为稳定流动。 流场中运动参数随时间而变化的流动， 称为不稳定流动。
对对于于稳非定稳流定动流，动流，场流中场速中度速与度压与力压的力分的布分：布：
柱坐标系：
上流体质点的速度方向。
特点:非稳定流动时,经过同一点的流线其空 间方位与形状随时间不同而异
稳定流动时,经过同一点的流线始终不 变,且流线上质点的迹线与流线重合
流线不能相交也不能转折
5流管、流束及流量 1）流管及流束定义
流管：在通过流场内任一封闭周线
上流u′各束点：的在流流线管构内成取一一个微管元状曲流表面管面积。dA
uuxx== uuxx((xx,, yy,, zz), t) uuyy== uuyy((xx,, yy,, zz), t) uuzz== uuzz((xx,, yy,, zz), t) PP== PP((xx,, yy,, zz), t)
3流场运动描述的两种方法 (1)流场、运动参数的定义
充满运动流体的空间称为流场 表示流体运动的特征的一切物理量称为运动参数
第二章动量传输的基本定律
2.1流体流动的基本特征 2.2流体流动的连续性方程 2.3 实际流体的动量平衡微分方程 2.4理想流体动量平衡微分方程 2.5流体机械能平衡方程 2.6流体静压力平衡方程 2.7流速、流量的测量
2.1流体流动的基本特征 流体动力学的基础 （三大守恒定律）
质量守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律
动量传递的原理和应用
动量传递的原理和应用1. 什么是动量传递动量传递是物理学中的一个概念，它描述的是一个物体的运动对另一个物体产生的影响。
根据牛顿第三定律，物体间的相互作用力相等、方向相反，在碰撞或交互作用的过程中，物体的动量可以相互传递。
2. 动量传递的原理动量是一个物体的质量乘以其速度，即动量 = 质量 × 速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于作用于物体上的合力除以物体的质量，也可以表示为力 = 质量 × 加速度。
在一个封闭系统中，如果两个物体发生碰撞或交互作用，根据动量守恒定律，系统的总动量在碰撞前后保持不变。
即，两个物体的动量之和在碰撞前后保持相等。
3. 动量传递的应用3.1 汽车碰撞在汽车碰撞中，动量传递的原理被广泛应用。
当两辆汽车发生碰撞时，它们之间的作用力产生了相互传递的动量，这决定了碰撞的结果和车辆的变形。
理解这个原理可以帮助工程师设计更安全的汽车结构，以保护乘客。
3.2 运动员的冲量在体育运动中，运动员的冲量可以通过动量传递的原理来解释。
例如，击球运动中，当运动员将球击出去时，他们的力量会传递给球，使球产生动量。
这个动量使球以一定的速度飞离球拍。
3.3 火箭的推进原理在航天领域中，动量传递的原理也被应用于火箭的推进过程。
火箭通过燃烧燃料产生高速气体的喷射，在喷射气体的反作用力下获得了动量，从而推进火箭前进。
3.4 碰撞实验动量传递的原理在物理实验中也得到了广泛应用。
碰撞实验可以通过测量物体的动量和速度来验证动量守恒定律。
通过控制实验条件，可以研究不同材料和形状的物体在碰撞中如何相互作用。
4. 总结动量传递的原理是物理学中一个重要的概念，它描述了物体间相互作用过程中的动量变化。
通过理解动量传递的原理，人们可以应用它来解释各种现象并进行相关的工程设计和实验研究。
汽车碰撞、运动员的冲量、火箭推进以及碰撞实验都是动量传递原理的应用实例。
通过不断深入研究动量传递的原理，我们可以更好地理解物理世界的运动规律。
传输原理课件-2_动量传输基本方程
流入控制
控制体的
合外力冲量 体的动量 体的动量 动量增量
Xdxdydz
p dxdydz x
vxvx dxdydz
x
vxvy dxdydz y
vx dxdydz
vxvz dxdydz
z
X
p x
vx
x
vxvx
y
vxvy
z
vx
vz
xx yx zx
x y z
x
通过EFGH面流出
vxvx
vxvx
x
dxdydz
净流出的动量
vxvx dxdydz
x
2. 动量传输基本方程
2.2.2 动量守恒定律与欧拉方程
18
单位时间作用 单位时间 单位时间 单位时间
vx
在控制体上的
流出控制
流入控制
控制体的
合外力冲量 体的动量 体的动量 动量增量
x方向
密度场 ρ =f（x ，y， z， τ）
2. 动量传输基本方程
4
2.1.2 稳定流动与非稳定流动
据流场中各参数是否随时间的变化，可将流场 分为稳定流场和不稳定流场。 依据 ∂η/ ∂τ 是否为零来判断： 当∂η/ ∂τ=0 为稳定流动；否则为不稳定流动
η为所有流动参数。 如：流速、压力、密度
稳定流动
同一瞬时流
场中连续的 a：va
不同位置质 b：vb
点的流动方 c：vc
向线
d：vd
b a
d
c
vc
2. 动量传输基本方程
7
•流线的性质：
通过流场内的任何空间点，都有一条流线，在整 个空间中就有一组曲线族，亦称流线族 流线是不能相交的，即某一瞬间通过任一空间上， 只能有一条流线．（反证）
动量传递(2)
其意义可用图表示。 经d时间后，A-A’向前移动的距离为ux d，B-B’向前移 动的距离为，u x du x dy ) d (
dy
d
15
流体微元变化的角度为d，因d较小，可认为它与其正 切值相等，
(u x d tan( d ) du dy
x
dy ) d u x d dy
25
所以，x方向的奈维斯托克斯方程可以表示为
Du
x
D
Pd x
(
ux
2
x
2
ux
2
y
2
ux
2
z
2
)
同理
Du D
Du D
y
Pd y
Pd z
(
uy
2
x
2
2
uy
2
y
2
2
uy
2
z
2
2
)
z
(
uz x
上式即为Navier-Stockes方程的通用表达式，又称为实 际流体的运动微分方程式。
23
各项含义： 左侧：单位体积流体所受的惯性力； 右侧第一项：单位体积流体的质量力； 第二项：单位体积流体表面上的净压力； 第三项：单位体积流体表面上的净粘 滞力； N-S方程的适用条件： 层流(因为引进了牛顿粘性定率)； 牛顿型流体(因为作为常数处理)； 不可压缩流体
§2.3 运动微分方程(奈维－斯托 克斯方程Navier－Stockes)
2.3.1应用于流体的动量定律 将动量定律应用于流体微团的一般形式
大连理工大学 本科 传递过程课件 第2章_
（1）质量力
质量力是指作用在整个微元体上的外力，又叫体积力，与质量大小有关，而与 周围流体的存在无关，是一种非接触力，如重力、静电力等。传递课程只考虑重 力。
x方向：Xdxdydz y方向： Ydxdydz
z方向： Zdxdydz
(2 - 3a)
X、Y、Z是作用在单位质量
(2 - 3b)
(2 - 3c)
(2 - 5a) (2 - 5b)
u x u z zx x z
(2 - 5c)
（2）法向应力表达式
法向应力表达式（推导过程可参见《讲义》p309的附录A）：
Du x xx yx zx u x 2 u x u y u z X (2 - 5a) xx p 2 D x y z x 3 x y z Du y xy yy zy Y (2 - 5b) u y 2 u x u y u z D x y z yy p 2 y 3 x y z yz zz Du z Z xz (2 - 5c) D x y z u z 2 u x u y u z zz p 2 z 3 x y z ux u y yx xy y x 对于理想流体，μ=0，故: xx yy zz p u u
3.以应力表示的运动微分方程
将式（2-3）和（2-4）代入式（2-2）并简化，可得
Y dxdydz (2-3b) Z dxdydz (2-3c)
xx yx zx ( )dxdydz (2-4a) x y z ( xy yy zy )dxdydz (2-4b) x y z ( xz yz zz )dxdydz (2-4c) x y z
第二章 动量传输分析基础 (2)
2.0 本章主要内容导读
本章是整个动量传输的理论分析基础，包括流体运动学(fluid kinematics)和流体动力学(fluid dynamics) 两大部分内容(图 2-1)。
流体运动学和流体动力学都是研究流体运动规律的科学， 但是两者有所区别。 流体运动学研究流体的运动规律， 如速度、 加速度、变形等运动参数的变化规律。流体运动学不涉及引起运动的力和力矩，普遍适用于可压缩流体/不可压缩流体、理 想流体/粘性流体。流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数和所受作用力之间的关系，理论基础 是三大守恒定律(质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律)。
根据随体导数的概念，雷诺输运定理可以视为“流体系统的随体导数(系统广延参数对时间的总变化率)等于流体系统广 延参数的区域导数和对流导数的代数和” 。 根据上述随体导数的概念可以对第一章中的不可压缩流体进行进一步说明。 根据定义， 不可压缩流体是指在压力作用下
4
流体密度场的相对变化可以忽略不计的一类流体，也就是说流体密度的随体导数近似为零，即
式中，最后两项分别称为区域导数(domain derivative)/局部导数/时变导数/当地导数和对流导数(convective derivative)/位变导数/迁移导数。因此，随体导数等于区域导数和对流导数的代数和，其中区域导数反映了 时间变化对物理量 A 的影响，对流导数反映了空间变化对物理量 A 的影响。
欧拉描述中的速度场可以直接表示为
v v (r , τ ) v ( x, y, z, ) v ( x(a, b, c, ), y (a, b, c, ), z (a, b, c, ), )
因此，加速度场可以表示为
a
第二章 动量传输的基本方程
x y
不可压缩流体：
v r (v r ) 1 (v ) (v z ) ＋ ＋ 0 r河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r r z
球坐标系中的连续方程
1 ( v sin ) 1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) ＋ ＋ 2 0 t r sin r sin r r
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流管与流束
流管：在流场内任意取封 闭曲线 l ，通过曲线上每 一点连续地作流线 l ，则 流线族构成一管状表面； 非稳定流时，流管随时间 改变；稳定流时，流管随 时间不变；流管上各点流 速都在其切线方向，而不 穿过流管表面。
l dA
定律 a) b) c) 物质不灭定律（质量守恒定律） 牛顿第二运动定律（F＝ma） 连续方程 动量方程（N-S 方程、欧拉方程） 方程式
热力学第一定律（能量守恒定律） 能量方程（伯努利方程）
静止的流体与理想流体可不考虑粘性； 但通常运动的流体必须考虑粘性，即；在研究流体的动力学时， 除了考虑质量力和压力的作用外，还要考虑粘性力的作用（压 缩性）。
A A
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
v dA
2.2 连续性方程
z
单位时间 单位时间输入 单位时间输出 微元体内 微元体的质量 微元体的质量 积累的质量
dy1
2
3
x dydz
z rd dr r x d rsind
y
d
不可压缩流体:
1 (v sin ) 1 1 (v r r ) ＋ ＋ 2 0 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r sin r sin r r
冶金 ——传输原理总复习.
第一章动量传输的基本概念 1．流体的概念物质不能抵抗切向力，在切向力的作用下可以无限地变形，这种变形称为流动，这类物质称为流体，其变形的速度即流动速度与切向力的大小有关，气体和液体都属于流体。
2 连续介质流体是在空间上和时间上连续分布的物质。
3流体的主要物理性质密度；比容（比体积）；相对密度；重度（会换算） 4.流体的粘性在作相对运动的两流体层的接触面上，存在一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体层作相对运动，流体的这种性质叫做流体的粘性，由粘性产生的作用力叫做粘性力或内摩擦力。
1) 由于分子作不规则运动时，各流体层之间互有分子迁移掺混，快层分子进入慢层时给慢层以向前的碰撞，交换能量，使慢层加速，慢层分子迁移到快层时，给快层以向后碰撞，形成阻力而使快层减速。
这就是分子不规则运动的动量交换形成的粘性阻力。
2) 当相邻流体层有相对运动时，快层分子的引力拖动慢层，而慢层分子的引力阻滞快层，这就是两层流体之间吸引力所形成的阻力。
5.牛顿粘性定律在稳定状态下，单位面积上的粘性力（粘性切应力、内摩擦应力）为dydv x yx μτ±==A Fτyx 说明动量传输的方向（y 向）和所讨论的速度分量（x 向）。
符号表示动量是从流体的高速流层传向低速流层。
动力粘度μ，单位Pa·s 运动粘度η，单位m 2/s 。
ρμη=例题1-16.温度对粘度的影响粘度是流体的重要属性，它是流体温度和压强的函数。
在工程常用温度和压强范围内，温度对流体的粘度影响很大，粘度主要依温度而定，压强对粘性的影响不大。
当温度升高时，一般液体的粘度随之降低；但是，气体则与其相反，当温度升高时粘度增大。
这是因为液体的粘性主要是由分子间的吸引力造成的，当温度升高时，分子间的吸引力减小，μ值就要降低；而造成气体粘性的主要原因是气体内部分子的杂乱运动，它使得速度不同的相邻气体层之间发生质量和动量的交换，当温度升高时，气体分子杂乱运动的速度加大，速度不同的相邻气体层之间的质量和动量交换随之加剧，所以μ值将增大。
动量传输的基本方程与应用
动量传输的基本方程与应用提要：以动量传输理论为基础, 将流体的动量传输分为黏性传输与紊流传输, 并对运动流体进行动量传输规律的研究, 得到了一系列动量传输的基本方程, 并简要介绍了其应用.关键词：动量, 传输, 拈性, 紊流, 应用1 前言传输现象为流体动力、传热及传质过程的统称, 也称传输理论, 它是自然界和工程技术中普遍存在的现象, 在传输过程中所传递的物质量一般为质量、能量和动量等.. 动量传输流体流动即动量传输现象是自然界及工程技术中普遍存在的现象，与大多数金属的提取和精炼过程有着密切的联系：冶金中的化学反应，往往也同时伴随着热量的传输和质量的传输，而这些现象都是在物质的流动过程中发牛的，也就是说，传热与传质过程与流体流动特性密切相关。
例如，冶金中高温炉的供风与水冷装置，炉内气体流动规律、贮槽中液位高度的确定、烟道中烟气的流动阻力及烟道设计、管路的设汁计算、流态化反应器床层阻力的计算等等，都与流体的流动有关；而流体流动过程中流速的变化即反映动墩的变化，因此，研究流体流动及动址传输，掌握其有关规律性，对冶金设备的设计勺改进以及冶金过程的优化与控制具有重要意义。
动量传输是研究流体在外界作用下运动规律的科学，即流体力学，它的研究对象是流体(即液体和气体)。
之所以称之为动量传输．是因为从传输的观点来看，它与热量传输和质量传输在传输的机理、过程、物理数学模型等方面具有类比性和统一性。
用动量传输的观点讨论流体的流动问题，不仅有利于传输理论的和谐，而且可以揭示三传现象类似的本质与内涵。
动量传输理论属于流体动力学范畴, 是以流体在流动条件下的动量传递过程为主要研究对象, 由于物系内部存在速度梯度, 从而导致了实际流体内部动量的传输.根据动量传输过程的起因和进行的条件, 可把它分为两类: 粘性传输和紊流传输.粘性动量传输是由流体分子的微观运动所产生的粘性作用. 是在流体运动或变形条件下进行的, 传输的结果在流体中产生切应力, 故它又称为分子传输; 紊流动量传输是宏观流体微团的由旋涡混合造成的紊流混掺运动引起的动量传输, 故又称对流动量传输.紊流传输的结果使得在流体中产生了雷诺切应力. 显然, 对于粘性流体的紊流运动, 在其内部则同时存在着粘性动量传输和紊流动量传输过程.2 动量传输的基本方程2.1 动量传输基本方程的一般形式流体作为一类物质的形态, 它必须遵循自然界关于物质运动的普遍原理. 现在对运动流体进行动量传输规律的研究, 因此它必然要遵循动量守恒原理, 即动量定理.所以动量传输基本方程的一般形式就是以动量定理为依据并由此而针对控制体导出的, 通常称为动量方程.2.1.1 积分形式在流场中任取一个体积为v , 控制面面积为A 的控制体. 如图1 所示. 则根据动量定理:控制体内流体动量对时间的变化率等于作用在控制体上所有外力(包括质量力和表面力)的矢量和, 写成数学表达式为对于定常流动，上式则可改写为：上述两式就是以积分形式表示的惯性坐标系中流体动量传输基本方程的一般形式, 应用它可以研究流体与固体之间相互作用力的间题, 例如测量物型阻力, 计算冲击力等.2.1.2 微分形式通过对动量守恒的微分运算, 可以进一步探讨流动系统内部动量传输规律. 解决传输过程中的机理间题, 从而导出流体运动所遵循的基本方程.把用应力张量形式表示为. 并根据推广的高斯定理.( l) 式可改写为运用微分理论和连续性方程, 则上式又可改写为：则其意义更加明确了, 实际上它就是牛顿第二定律在流体力学中的具体应用.式( 4) 就是以微分形式表示的惯性坐标系中流体动量传输基本方程的一般形式.2.2 粘性流体动量传输基本方程对粘性流体进行动量守恒的运算, 可以得到其动量传输的基本方程, 即纳维—斯托克司方程, 它表述了流体流动条件下的动量与作用力之间的平衡与转换关系.式(4)是以应力形式表示的动量通量式, 假定流体满足粘性动量传输基本定律即广义牛顿内摩擦定律把上式代入式( 4 ), 可得一般枯性流体动量传输基本方程, 即纳维—斯托克司方程为它是在动量传输过程中导出大量具有实用意义结果的基础方程.对于不可压缩流体, 式( 6) 又可简化为应用上述方程并根据具体的定解条件使之进一步简化后, 可以解决层流、势流、缝隙流、地下水渗流、动压润滑等间题, 并且计算结果与实验结果基本吻合.2.3 理想流体动量传输基本方程理想流体是指忽略粘性的流体, 虽然实际流体均具有一定粘性, 但在处理某些流动问题时, 可以近似视为理想流体.通过对粘性流体动量传输基本方程在理想条件下进行简化和变换, 可以得到理想流体动量传输基本方程.2 .3 1 欧拉运动微分方程对于式( 7 ), 因故简化后可得理想流体的动量平衡方程. 即欧拉运动微分方程它建立了作用在理想流体上的力与加速度之间的关系, 是研究理想流体各种运动规律的基础.如果认为流体正压. 且质量力有势. 则运用矢量分析的基本关系可把式( 8) 改写为这便是理想正压流体在有势力场作用下的运动方程, 应用它可以求解有关流体动力学问题.2 .3 2 柯西—拉格朗日积分对于理想流体的欧拉运动微分方程, 存在着一个初积分. 利甩它可以得到运动的思想流体的压力分布规律, 但是不可能在普遍的情况下, 而仅能在特殊的条件下求解.本节的柯西—拉格朗日积分和下节的伯努利积分便是其中的两个特殊解.对于有势流动, 把式( 9) 再简化可得运动方程的柯西—拉格朗日积分为应用它可以求解某些非定常流动问题, 如流管放水、水下球面胀缩运动、管道中液体振动等.2 .3 .3伯努利积分以流线微元点乘式(9 ) 的各项, 并根据矢量运算法则积分后, 可以得到.如果认为流体作定常流动, 则把上式再简化后即得运动方程的伯努利积分为根据不同的条件,P和U 这两个函数有不同的表达形式, 从而也可以得到伯努利积分的不同的具体形式, 这些公式统称为伯努利方程.如果把沿流线的伯努利方程向实际流体总流推广的话, 则可以得到实际流体总流的伯努利方程, 应用它可以研究大量的流体内流和出流问题, 并进行流动阻力和能量损失的计算等.上述诸方程在分析理想流体的运动和解决实际间题中具有十分重要的作用和广泛的应用.2.4 紊流动盘传输基本方程在紊流条件下, 考虑到其动量传输由粘性传输和由于紊流流体质点脉动而引起的附加动量传输所组成的, 于是根据紊流动量传输基本定律和粘性流体动量传输基本方程, 可得紊流动量传输的基本方程, 即雷诺方程为对于流体的紊流运动, 我们实际上考虑的是紊流的时均特性.因此, 式( 1 3 ) 中的各物理量均表示在紊流运动中所取的时均值, 只是为了方便起见, 而把表示时均参数的符号“一”省略掉了.上式在直角坐标系中的形式为把式〔1 3 ) 与式( ”比较, 可知增加了附加的动量传输即雷诺应力项此时方程不再封闭, 因此很难用简化的或近似的解析方法对实际的紊流运动进行研究和定量的描述, 因为雷诺应力与速度梯度的关系还不甚明了.常用的方法是对描述紊流流动的动量传输基本方程中的雷诺应力项. 提出各种半径验的假设作为使之封闭的补充偏微分方程. 然后利用初始和边界条件求解, 这种方法是由雷诺于1 9 7 0年提出的, 称为模式理论.而目前对于研究紊流动量传输规律常用的是普朗特的混合长理论, 实际上也就是O一1方程模式.根据这一理论，雷诺应力可表示为于是无须补充附加的偏微分方程就可使雷诺方程达到封闭, 尽管该方程模式有一定的缺点, 但仍能解决大量的流体力学问题.由于紊流运动的复杂性, 所以研究紊流动量传输的基本方程还是有待商讨的, 不过应用式( 14 )、( 1 5 ) 对于研究射流、边界层类型等间题还是可行的, 并且能得到一定程度的近似结里.3 结束语动量传输过程所涉及的内容与许多工程领域有着密切的联系, 它们不仅在机械、动力、化工等工程技术领域中出现, 而且也在生物医学工程、航空航天工程等领域中经常遇到.从上面的分析讨论可知, 有相当部分内容已经成功地应用于工程生产实际中.备注：通过老师的悉心教导，强化加深了同学们对于传输理论的理解，了解了许多有关动量传输，质量传输，热量传输的问题和方案。
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dt t ( v )t d
因此有
t dt 15C 10C (v )t 0C/day (12m/s) 5.2C/day d 1000km
(2) 和上一题类似有
t dt 15C 10C (v )t 2.5C/day (12m/s) 2.7C/day d 1000km
A A( x, y, z , ) A( x(a, b, c, ), y (a, b, c, ), z (a, b, c, ), )
式中：x、y、z、τ——欧拉变数/欧拉变量。
图 2-4 流体质点时空坐标的表示
定义随体导数(material derivative)/物质导数为流体质点物理量随时间的变化率。例如，流体质点的速 度和加速度分别等于该流体质点位置矢量和速度矢量的随体导数。 对拉格朗日法，同一流体质点的拉格朗日变数 a、b、c 不随时间 τ 变化，随体导数可以表示为
式中：a——加速度矢量。 v——速度矢量。 对欧拉法，同一流体质点的空间坐标 x、y、z 随时间 τ 变化，随体导数可以表示为
dA( x, y, z, ) A x A y A z A A A A A A vx vy vz (v ) A d x y z x y z
点(x, y)=(1, 2)处的加速度为
a (2.4975 x 0.165)i (2.4975 y 0.84) j 2.3325i 5.835 j
拉格朗日法和欧拉法从两种不同观点描述同一流体的运动，它们之间可以互相转换。例 2-2A 给出了 从欧拉法向拉格朗日法转换的一般步骤。 例 2-2A 欧拉法和拉格朗日法的转换 已知欧拉法描述的速度分布为
式中，最后两项分别称为区域导数(domain derivative)/局部导数/时变导数/当地导数和对流导数(convective derivative)/位变导数/迁移导数。因此，随体导数等于区域导数和对流导数的代数和，其中区域导数反映了 时间变化对物理量 A 的影响，对流导数反映了空间变化对物理量 A 的影响。
d (v ) 0 d
因此，不可压缩流体并不需要流体密度为常数。 当流体的密度(近似)保持为常数时，称该流体为不可压缩均质流体。对此类流体，密度的区域导数和对流导数均为零， 即
0 (v ) 0
本讲义中不严格区分不可压缩流体和不可压缩均质流体，而是将不可压缩流体视为不可压缩均质流体的简称。
雷诺输运定理可以用三维莱布尼兹定理进行证明。三维莱布尼兹定理可以表示为
d G G ( x, y, z , )dV dV G ( x, y, z, )(v n)dA d V ( ) V ( ) A ( )
令
G b
则有
B m
d d
V ( )
例 2-1A 加速度场的计算 一个稳态、不可压缩、二维流动的速度分布为
vx 1.3 x 0.85 y 0.2 v y 0.95 x 1.3 y 0.5
确定加速度场并给出点(x, y)=(1, 2)处的加速度。 解： 根据加速度场的定义有
5
a
v v v s v v v v vx vy vz x y z (1.3x 0.85 y 0.2)(1.3i 0.95 j ) (0.95 x 1.3 y 0.5)(0.85i 1.3 j ) (2.4975 x 0.165)i (2.4975 y 0.84) j
vx x v y y
初始条件为
x 0 a
y 0 b
确定拉格朗日法表示的速度场和加速度场。 解： 根据速度场的定义有
dx vx x d
图 2-1 第二章主要内容导读 教材中和本章相关的内容包括：1.2、1.4.2、第二章、3.1、3.2、3.3、4.1、4.3、5.1。
1
2.1 流体运动学
2.1.1 流场和速度场 在动量传输中，将流体质点运动的全部空间称为流场(flow field)。 根据连续介质模型，流场中充满了连续分布、运动的流体微团。在任意时刻，流体中的每一个点都对 应一个流体微团/流体质点，将每一个流体质点所具有的物理量(数量/矢量)定义在该时刻和空间点上，就形 成定义在连续时间和空间域上的数量场/矢量场。 速度场(velocity field)是动量传输中最基本的场，流场的许多性质都可以从速度场直接或间接导出，因 此速度场常常被等同于流场。
dA( a, b, c, ) A( a, b, c, ) d
拉格朗日法描述中的位置矢量可以表示为
r r (a, b, c, )
式中：r——位置矢量。 因此，速度场和加速度场可以分别表示为
dr (a, b, c, ) r (a, b, c, ) d 2 dv (a, b, c, ) d r (a, b, c, ) 2 r (a, b, c, ) a (a, b, c, ) d d 2 2 v (a, b, c, )
欧拉描述中的速度场可以直接表示为
v v (r , τ ) v ( x, y, z, ) v ( x(a, b, c, ), y (a, b, c, ), z (a, b, c, ), )
因此，加速度场可以表示为
a
dv ( x, y, z, ) v v v v v vx vy vz ( v )v d x y z
下面以直角坐标系为例，分析如何用拉格朗日法和欧拉法来描述流场特别是速度场和加速度场。 如图 2-4，对拉格朗日法)
式中：A——流体质点的相关物理量； a、b、c、τ——拉格朗日变数/拉格朗日变量。 对欧拉法，直角坐标下流体质点的相关物理量 A 可以表示为
表征流体运动的物理量，如流速、加速度、压力等统称为运动要素，它们是空间和时间的连续函数。
2.1.2 系统和控制体 在动量传输中，系统和控制体的概念可以进一步明确，即系统是某一确定流体质点集合的总体，控制 体是在流场中人为选择的用于研究的空间几何区域。
动量传输中的“系统”一词特指封闭系统。
在研究动量传输时，流体微团一直处于运动中，不能保证系统的质量不变。因此，在动量传输中一般 采用控制体进行分析。根据研究需要，控制体可以固定不动、移动或者变形(图 2-2)。
空间点本身并没有各种物理性质，但是根据连续介质模型，每一个空间点可以和一个流体质点相对应，因此将某一时刻 通过某一空间点的流体质点对应的物理性质作为该空间点在该时刻的物理性质。
例 2-1 描述方法的选择 确定下列几种情况下合适的流动描述方法。 (1)可以利用半导体制造技术制造嵌入硅晶片的微电子管(特征尺寸的数量级为微米级)，研究流过微电子管 的气流流动情况，已知气流所受压力约为 10-4atm。 (2)统计发现，在特定的日子里 Wrigley 棒球场中本垒打出现的比较多，建立空气流动模型研究其原因。 (3)作为一名紧急援救工程师，预测由于恐怖袭击造成的有毒气体在城市地铁系统中的传播情况。 解： 流体运动描述方法的选择原则如下：在连续介质模型不成立时使用分子模型描述，否则根据具体问题确定 是使用拉格朗日法还是使用欧拉法进行描述。 (1)理想气体在 10-4atm 真空中的平均分子自由程约为 0.7mm，远大于微电子管的特征尺寸。因此，连续介 质模型不成立，用分子模型进行描述比较合适。 (2)为了研究 Wrigley 棒球场中空气的流动特征，需要知道棒球场中空气对应的速度场随时间和空间的变化 规律，用欧拉法进行描述比较合适。 (3)为了预测污染流体的污染传播路径，必须对污染流体进行跟踪，用拉格朗日法进行描述比较合适。 3
2 动量传输分析基础
2.0 本章主要内容导读
本章是整个动量传输的理论分析基础，包括流体运动学(fluid kinematics)和流体动力学(fluid dynamics) 两大部分内容(图 2-1)。
流体运动学和流体动力学都是研究流体运动规律的科学， 但是两者有所区别。 流体运动学研究流体的运动规律， 如速度、 加速度、变形等运动参数的变化规律。流体运动学不涉及引起运动的力和力矩，普遍适用于可压缩流体/不可压缩流体、理 想流体/粘性流体。流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数和所受作用力之间的关系，理论基础 是三大守恒定律(质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律)。
根据随体导数的概念，雷诺输运定理可以视为“流体系统的随体导数(系统广延参数对时间的总变化率)等于流体系统广 延参数的区域导数和对流导数的代数和” 。 根据上述随体导数的概念可以对第一章中的不可压缩流体进行进一步说明。 根据定义， 不可压缩流体是指在压力作用下
4
流体密度场的相对变化可以忽略不计的一类流体，也就是说流体密度的随体导数近似为零，即
2.1.3 流体运动的描述 2.1.3.1 流体运动的描述方法 流体运动通常有两种描述方法：拉格朗日法(Lagrangian method)和欧拉法(Eulerian method)，分别由意 大利数学家 Joseph-Louis Lagrange 和瑞士数学家 Leonhard Euler 提出。拉格朗日法以运动着的流体质点为 研究对象， 通过描述流体质点的相关物理量和时间之间的函数关系来研究整个流场的运动， 和系统相对应； 欧拉法以空间点为研究对象，通过描述空间点的相关物理量和时间之间的函数关系来研究整个流场的运动， 和控制体相对应。
如无特殊说明，后续和控制体方法有关的分析均采用固定控制体。
图 2-2 不同类型的控制体
系统是普通物理和固体物理中最常用的概念，三大守恒定律都是以系统的形式给出。动量传输中通常 采用控制体进行分析，因此需要将系统形式表示的守恒定律变换为控制体形式表示的守恒定律，雷诺输运 定理(Reynolds transport theorem，RTT)可以实现这一目的(图 2-3)。
图 2-3 雷诺输运定理和系统、控制体的关系