浙江省舟山中学苏教版高中数学选修2-1课件：2.2为什么截口曲线是椭圆？ (共14张PPT)

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高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析

2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足P A ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6，化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？提示：由两点间距离公式得 x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程1．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20][例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎨⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫3π4，2π. (2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4. [一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k ＝－1可化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4，即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5.由⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22.∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)．由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1.由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)．解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4，所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43，所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。

高中数学苏教版选修2-1课件： 2.2.2 椭圆的几何性质课件1

B
D
F1 O F2 C A x
设椭圆方程为 x2 a2

y2 b2
1(a
b
0) .
由题意知 AC=439，BD=2384，F2C= F2D=6371.
a-c=OA-OF2= F2A=439+6371=6810，
a+c=OB-OF2= F2B=2384+6371=8755，
解得 a=7782.5，c=972.5.
需要构造一个“稳定”的量来表示偏心率，最后发现
(aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a

c) c)

(a (a

c) c)

c a
的值和椭圆大小无关却能很好地刻画椭圆的扁平程度，因此，大家就
c 选择了 a 表示离心率。
例 2.我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球的
中心（简称“地心”） F2 为焦点的椭
y
圆.已知它的近地点 A （离地面最近
离心率跟天文学家有关，并且在天文学中广泛应用。
16世纪时天文学家发现太阳系的八大行星
都是绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行，
这些轨道偏离太阳的程度称为“偏心率”，
a+c
A1
其中在近日点处离太阳最近，偏离距离为a-c，
P
a-c
F2
A2
在远日点处离太阳最远，偏离距离为a+c，这两
个值不仅和运行轨道的扁平程度有关，还受轨道大小的影响，人们
所以 b a2 c2 (a c)(a c) 7722.
因此，卫星运行的轨道方程是
x2 77832

y2 77222
1.
标准方程
图形

苏教版高中数学选修(2-1)课件椭圆及其标准方程.pptx

1。画椭圆
1取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
若继续拉远两个端点的距离，直到把绳子拉直，又会得到什么图形？
另外，如果将这两个点的距离拉大，使其大于绳子的长度那又有怎样的结果呢？
归纳总结：当绳长大于两定点的距离时，
轨迹是椭圆；当绳长等于两定点的距离时，
轨迹是以这两个定点为端点的线段；当绳长小于两定点的距离时，
没有轨迹.
2椭圆的定义：
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和
等于常数( 大于新疆王新敞奎屯
) 的点的轨迹是椭圆．
F1F2
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
4
（2） 25x216 y2400 y轴上； 0,3
（3 ）x2 y2 1(mn0)X轴上； mn ,0 mn
练习：
x2 y2 (1) 在椭圆 1中, a=_3__,b=_2__,
94
焦点位于__x__轴上，焦点坐标是(___5_,0_)_, (__5_,0_).
(2) 在椭圆16x2 7 y2 112 中，a=_4__, b=__7_,
间的距离叫做椭圆的焦距.
3.椭圆标准方程的推导
(1)复习回顾:求曲线方程的一般步骤是怎么样的?
建系设点列式坐标代换化简证明
(2)如何建系,使求出的方程最简呢?
有两种方案:
Y
Y
M
F1
M
F1
0 F2
X
0
X
方案一
F2 方案二
选定方案一:
(1)建系如图所示,以F1, F2所在的直线为x轴,以线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.

浙江省舟山中学苏教版高中数学选修2-1课件：2.2为什么截口曲线是椭圆？ (共14张PPT)

在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢；爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信

高中数学选修2-1精品课件1：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

【提示】不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据 x2 与 y2 的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若 x2 项的分母大，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的分母较大，则焦点在 y 轴上．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ya22＋bx22＝1(a＞b＞0)
【自主解答】由椭圆方程知，a2＝25，b2＝745，∴c2
＝245，∴c＝52，2c＝5.
在△PF1F2 中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
焦点
(－c,0)与(c,0) (0，－c)与 (0，c)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
互动探究
题型一：求椭圆的标准方程
例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
第二章圆锥曲线与方程 §2.2.1 椭圆的标准方程(一)
高中数学选修2-1·同步课件
自主导学
1.了解椭圆标准方程的推
导．
课标解读
2．理解椭圆的定义和椭圆的标准方程．(重点) 3．掌握用定义和待定系数
法求椭圆的标准方程．(重
点、难点)
知识点1：椭圆的定义
【问题导思】 1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1课件： 2.2.1 椭圆的标准方程课件

答案: x2 (1).

y2
1
(2) y 2 x 2 1
16 1
16 1
小结：
y
M(x, y)
F1
O F2
x
y
F1
M
o
x
F2
1、椭圆的定义. 2、字母a,b,c之间的大小关系. 3、在求椭圆方程的关键是什么?
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
星系中的椭圆
——仙女座星系
青藏铁路昆仑山隧道
——“传说中的”飞碟
问题的提出：
若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖M把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？
思考
1.在椭圆形成的过程中，细绳思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/18
最新中小学教学课件
23
谢谢欣赏！
椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a
(2a>2c)
M
F2
F1
小结：椭圆的定义需要注意以下几点
1.平面上----这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C
思考：
1.当2a>2c时,轨迹是（椭圆） 2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端点的线段．

优化方案数学精品课件(苏教版选修2-1)2.2.2 椭圆的几何性质

y (2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程 2＋ 4b x2 ＝1. b2 36 4 代入点 A(2，－6)坐标得： 2＋ 2＝ 1， 4b b ∴b2＝13，∴a2＝52. y 2 x2 ∴椭圆的方程为：＋＝1. 52 13 x2 y 2 总之，所求椭圆的标准方程为＋＝ 148 37 y2 x2 1 或＋＝1. 52 13
接近于1 ，椭圆越扁； 2．椭圆的离心率越________
接近于0Байду номын сангаас，椭圆越接近于圆．椭圆的离心率越________
问题探究
1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
c 提示：可以，由于 e＝a，又 c＝ a2－b2，故 a2－b2 c e＝a＝ a ＝ b2 1－ 2. a
2．如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a ，b，c，e对应的线段或量？
【名师点评】求椭圆的标准方程主要是围绕椭圆几何性质中的几个量：a、b、c、e来罗列条件，通过其联系从而求出标准方程．
自我挑战 1 (1) 已知椭圆的一个焦点 F(2 3，0)，且过点 A(－2 3，1)，求椭圆的标准方程． (2)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e 3 5 3 ＝，经过点 A( ，－2)，求椭圆的标 5 2 准方程． (3)已知椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴，过点 A(－4,0)，B(0,5)，求椭圆的标准方程．
2
x2 y 2 法二：设椭圆方程为：＋＝ 1(m>0， m n n>0，m≠n)， 4 由已知椭圆过点 A(2，－6)，所以有＋ m 36 ＝1.① n 由题设知 a＝2b，∴ m＝2 n，② 或 n＝2 m，③ 由①②可解得：n＝37，∴m＝148. 由①③可解得：m＝13，∴n＝52.

【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：2.2.1椭圆的标准方程课件(25张)

典例展示
例1判定下列椭圆标准方程焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标。
x2 y2 ( 1 ) 1 25 16
答：在x轴。（-3，0）和（3，0）答：在y轴。（0，-5）和（0，5）
x2 y2 (2 ) 1 144 169
2 2
x y ( 3 ) 2 2 1 答：在y轴。（0，-1）和（0，1） m m 1
2
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程（1）
目标：
1 理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。
2 掌握椭圆的标准方程.
数学实验
[1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形
观察做图过程： [1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。 [2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。 M
F1
F2
M
F
1
F
2
请思考:
1.视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距
离之和符合什么条件，其轨迹是椭圆？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
[一]椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |=2C）的点的轨迹叫椭圆。
2 2 2 2 2 2 x + c + y = 4 aa 4 x c + y x c + y 2 2 2 2 a c x = a xc + y 设 P( x，y )是椭圆上任意一点 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 a c x + a ya = a c

高中数学苏教版选修2-1课件：2.2.2椭圆的几何性质

y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
由
x =a
o
x
y = -b
2、顶点： ①、称为椭圆的顶点：

【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：2.2.2椭圆的几何性质课件(15张)2

x y 2 1(a b 0) 2 a2 b2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
请同学们阅读课本P34，回答下列问题：
问题1:
上的任意一点，则 x,y能否取任意值？
2 2 x y 2 1 ( ab0 ) 2 问题2：椭圆 a 有何对称性? b
2 2 x y 2 1 ( ab0 ) 设 P( x, y) 是椭圆 a 2 b
y
B2
A1 F1
o
B1
F2

A2
x
3、椭圆的顶点: 2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
y
B 2 0, b
a,0
A1 F1
a b
o
a c
a,0
F2
A2
x
B 1 0,b
问题4:
圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？
( a , 0 ), 0 , b
c,0
( 0 , a ), b , 0
0,c
同前同前
长半轴长为 a , 短半轴长为b . a b
e
c a
a2=b2+c2
同前
例1、已知椭圆方程为4x2+9y2=36,
它的长轴长是： 6 焦距是：
2 5
.短轴长是：离心率等于：
如何根据椭圆方程判断出曲线的对称性?
问题3：什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半轴长？椭圆有几个顶点？
1、范围：
a x a, b y b
椭圆落在 x 组成的矩形中. a , y b y
B2
A1 F1

【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：2.2.2椭圆的几何性质课件(16张)

b
a ≤ x ≤ a
b ≤ y ≤ b
合作探究（二）
用什么样的量来刻画椭圆的 “扁”的程度呢？
再看椭圆
离心率（eccentricity）
B2
y
b
O
a c
F2
A2
x
c 越大, 椭圆越扁
a 不变
c 越小, 椭圆越接近于圆焦距 2c c e 长轴长 2a a
离心率就是天文学中的偏心率，它是制约各类（不同高度）空间飞行体轨道寿命的关键因素之一.
用代数方法研究几何性质
03
得到了什么结论？
范围、对称性、顶点、离心率
课后作业
1、完成课本36页：练习2，3，4；
2、根据本节课的学习，结合你的体会, 写一篇题为《魅力无限的椭圆》的小
论文，格式不限．
谢谢观看！
谢谢热情指导，
敬请批评指正！
合作探究（一）
画椭圆
看椭圆
椭圆的几何性质
江苏省宜兴市第一中学平面解析几何
的主要任务就是用代数的方法研究几何问题！
笛卡尔
对称性
x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b y
2 2
F1
O
F2
x
关于x轴、 y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点(vertex ): 对称轴与椭圆的交点
3 3 2 2 y 25 x 25 x , 根据将方程变形为 y 5 5
算出椭圆第一象限内的几个点坐标：
x y
0 1 2
2.75
y
3
2.4
4
5
3 2.94
1.8 0
B2
A1
O

苏教版数学选修2-1课件：第2章 2.2.1 椭圆的标准方程

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y2 x2 (2) 法一：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)．由椭圆的定义知 2a＝
3 2 5 2 －＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 5 2 －－ 2 ＋ 2 2 ＝2
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【自主解答】 1(a>b>0)．
x2 y2 (1) ①若椭圆的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 2＋ 2 ＝ a b
∵c＝1，点 P(－ 5，0)在椭圆上， 5 2 2 2 2＝1， a ＝5， x y ∴a 解得 2 故椭圆的标准方程为＋＝1. 5 4 2 2 b ＝4. a －b ＝1，
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
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[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

苏教版数学选修2-1讲义：第2章 2.2.2 椭圆的几何性质

2.2.2椭圆的几何性质
1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
2．掌握椭圆的离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点)
3．会用椭圆及性质处理一些实际问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1椭圆的简单几何性质
阅读教材P34，完成下列问题.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()
(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．()
(4)椭圆x2
2＋y
2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．()
【解析】(1)x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；
(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；
(4)椭圆x2
2＋y
2＝1中，a＝2，故x的范围是[－2，2]，故错误．
【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×
教材整理2离心率
阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．
1．定义：焦距与长轴长的比c
a叫做椭圆的离心率．
2．范围：e＝c
a∈(0,1)．
3．作用：
当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．
填空：
(1)椭圆x2
4＋
y2
3＝1的离心率是________．。

苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析

2．2.2椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由y2b2＝1－x2a2≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4，得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ，得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2，即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通]1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . (2)将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则1PF u u u r ＝(－c －x ，－y )，2PF u u u r＝(c －x ，－y )， 1PF u u u r ·2PF u u u r＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF u u u r ·2PF u u u r)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a＝1 700＋2×1 800＋200，∴a＝2 750.又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.∴e＝ca ＝3752 750＝322.答案：3 228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝ 3.∴P点的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)，同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|y P|≤2c·b＝23(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P (－c ，b 2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。

高二数学选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质

典型例题
例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，点P为直线x＝3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和 3.5，求椭圆的方程.
y
x 2 4y2 1 25 75
P
F1 O
F2
x
第二十二页，编辑于星期一：一点二十一分。
典型例题
例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它
到直线l：x 25的距离之比等于 4，
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点F 的距离与它到直线l的距离之比等于常数
e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l
M
H
F
动画
第八页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
直线 x a2 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的c 准线，相应于焦点
F1(－c，0)的准线方程是 x a2
y
c
x
典型例题
例1 若椭圆 x2 y2 1上一点P到
100 36
椭圆左准线的距离为10，求点P到椭
圆右焦点的距离.
12
第二十页，编辑于星期一：一点二十一分。
典型例题
例2 已知椭圆的两条准线方程为
y＝±9，离心率为 1 ，求此椭圆的标准
方程.
3
x2 y2 1
89
第二十一页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆
的焦半径公式.
|MF1|＝a＋ex0 |MF2|＝a－ex0
第十八页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
椭圆
y2 a2
x2 b2
1a
b
0的焦半径公式是

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析

2．2.2椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由y2b2＝1－x2a2≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23][例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝ca＝4 5 9.[一点通]求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4，得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ，得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2，即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通]1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . (2)将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则由已知得2a ＋2c ＝4b .即a ＋c ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF ·2PF 的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF ·2PF )max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375. ∴e ＝c a ＝3752 750＝322.答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝ 3.∴P 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)，同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝23(km 2)，所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km 2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.①由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1.7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a.设P (－c ，b 2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。

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