第八章多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．8.1 多元函数的概念一、主要内容回顾二、基本考试题型及配套例题 题型I 判断题 （1）若lim (,)x y kx f x y A→=→=，则A y x f y x =→→),(lim 00． （ ）（2）若),(lim 0y x f y y x x →→存在，),(lim 00y x g y y x x →→都不存在，则)],(),([lim 00y x g y x f y y x x +→→不存在． （ ）解 （1）错． （2）对． 题型II 填空题 （1）函数224arctanyx xy z --=的定义域是_____________．（2）222200sin()lim _____x y x y x y →→+=+． 解（１） 22040x x y ≠⎧⎪⎨-->⎪⎩ ，所以}0,4|),{(22≠<+=x y x y x D ．（２）222200sin()lim 1x y x y x y →→+=+．题型III 计算题 （1）求xy x xy 100)1(lim -→→；（2）求22001sinlim y x xy y x +→→．解 （1）xy x xy 100)1(lim -→→＝1)(])1[(lim 01100==--→→e xy yxy y x（2） 因为xyy x xy ≤+≤221sin0，且0lim 00=→→xy y x由夹逼法则知，01sin lim 2200=+→→y x xy y x ．题型IV 证明题 （1） 证明yx y x y x +-→→00lim不存在．（2） 证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在)0,0(的连续性． 证 （1）因为 )1(11lim lim00-≠+-=+-=+-→=→k kkkx x kx x y x y x x kxy x ，所以yx y x y x +-→→00lim不存在．（2） 因为202222y x yx xy +≤+≤，02lim2200=+→→y x y x ，所以)0,0(0lim220f yx xy y x ==+→→，函数(,)f x y 在)0,0(处连续．三、习题选解（习题8－1） 4．确定下列函数的定义域： （1）z = （2）z =（3）z =； （4（5）ln(1)z x y =--； （6）arcsin yz x =；（7）222ln(1)u x y z =---； （8）u =解（1）222210x y a b--≥ 即22221x y a b+≤，函数的定义域为2222{(,)|1}x y D x y a b=-≤．（2）0x y x y +>⎧⎨->⎩，x y x -<<，函数的定义域为{(,)|}D x y y x =<． （3）0x ，函数的定义域为2{(,)|0,0}D x y x y x =≤<+∞≤≤．（4）2222220220x y xx x y x x y ⎧+-≥⎪--⎨⎪--≠⎩，即2222020x y x x x y ⎧+-≥⎪⎨-->⎪⎩ 或2222020x y x x x y ⎧+-≤⎪⎨--<⎪⎩．由2222020x y x x x y ⎧+-≥⎪⎨-->⎪⎩知222x x y x≤+<，而2222020x y x x x y ⎧+-≤⎪⎨--<⎪⎩无解．所以，函数的定义域为22{(,)|2}D x y x x y x =≤+<．（5）22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪⎪-->⎨⎪--≠⎪⎩，函数定义域为222{(,)|01,4}D x y xy y x =<+<≤．（6）1yx≤，函数定义域为{(,)|1}yD x y x=≤．（7）22210xy z --->，即2221xy z ++<，函数定义域为222{(,)|1}D x y x y z =++<．（8）10z ≤≠⎪⎩，222xy z +≤，函数的定义域为222{(,)|0,0}D x y xy z z =≤+≤≠．5．求下列极限： （1）22123lim x y xy x y x y→→++； （2）012lim x y →→（3）x y →→； （4）222200sin3()lim x y x y x y →→++；（5）221limx y x y →∞→∞+； （6）22001limx y x y →→+．解 （1）3103lim 2221=++→→y x y x xy y x ．（2）621arcsinarcsin lim 22210π==+→→y x y x ．（3）211)11(lim11lim000=-+++=-+→→→→xy xy xy xy xy y x y x ．（4）3)(3sin lim222200=++→→y x y x y x ．（5）01lim22=+∞→∞→y x y x ．（6）因为 0)(lim 2200=+→→y x y x ，所以+∞=+→→2201limyx y x ．6．证明下列极限不存在： （1）00limx y x y x y→→+-； （2）36200limx y x y x y →→+．证 (1)因为)1(11lim0≠-+=-+=→k kky x y x kxy x ，所以y x y x y x -+→→00lim不存在．（2）因为226301lim 3kk yx yx kx y x +=+=→，所以26300limyx y x y x +→→不存在．8.2 偏导数与全微分一、主要内容回顾二、基本考试题型及配套例题 题型I 判断题（1）若),(y x f 在点),(y x 处连续，则偏导数y zx z ∂∂∂∂,一定存在． （ ） （2）若),(y x f 在点),(y x 处可微，则偏导数yz x z ∂∂∂∂,一定连续． （ ） 解 （１）错． （２）错． 题型II 计算题（1） 设)ln(xy yz x=，求yx z x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,及dz ．（2） 讨论函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点)0,0(处的可导性，连续性与可微性．解 （1）xy xy y y y xy y xy y y xzx x xx1)ln(ln 1)ln(ln +=⋅+=∂∂．yy xy xy y z x x 1)ln(1+=∂∂-．2222]2)ln([ln ln 1ln 1)1)ln(ln (ln x y x xy y y y y x y y x x y xy y y y x zx xx x xx-+=-++=∂∂． 211111ln ln()ln()ln [ln ln()ln()ln 1]x x x x x zxy y xy y xy y y y y x y xy xy y x y-----∂=+++=+++∂∂．dy yy xy xy dx x y xy y y dy y z dx x z dz x x x x ]1)ln([]1)ln(ln [1+++=∂∂+∂∂=-．（3） 因为)0,0()0,0(lim )0,0(0=∆-∆+=→∆xf x f f x x ，)0,0()0,0(lim)0,0(0=∆-∆+=→∆yf y f f y y ，所以),(y x f 在)0,0(处两个偏导数都存在． 又22201limk k y x xy kxy x +=+=→，故 在)0,0(处的极限不存在，从而),(y x f 在)0,0(处不连续． 而22)()(])0,0()0,0([y x y x f y f x ff y x ∆+∆∆∆=∆=∆+∆-∆当0,0→∆→∆y x 时，上式极限不存在，因而不是ρ的高阶无穷小，故),(y x f 在)0,0(处不可微．三、习题选解（习题8－2）1． 求下列函数的偏导数： （1）44224z x y x y =+-； （2）z =（3）22sin()x yz exy +=； （4）ln tan x z y =； （5）z = （6）(1)yz xy =+；（7）yzu x =； （8）u =解 （1）2384xy xxz-=∂∂，yx y yz2384-=∂∂．（2）)ln(21)ln(2xy x xy xy y xz ==∂∂，)ln(21)ln(2xy y xy xyx yz ==∂∂．（3）)cos()sin(22222xy y e xy exzy x yx +++=∂∂，)cos(2)sin(22222xy xye xy exz y x yx +++=∂∂．（4）)2csc(21sec cot 2yxy y y x yxx z =⋅⋅=∂∂，)2csc(2)(sec cot 222y x yx y x y x yxy z -=-⋅=∂∂．（5）222222222221yx y y x x y x y x x xy x xz+=+-++-+=∂∂，)(1222222222y x y xy y x xy x y x y xxz +-=+-++-=∂∂．（6）121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz．为求zy∂∂，方程(1)yz xy =+两边取对数，得)1ln(ln xy y z +=， 两边对y 求导，得 11ln(1)1z xy y x z y xy∂=++⋅∂+，所以 (1)[ln(1)]1y z xyxy xy y xy∂=+++∂+．（7）1-=∂∂z yx zy x u ，x x zz x x y u z yz yln 11ln =⋅=∂∂，x x zy z y x x z uz yz y ln )(ln 22-=-=∂∂（8）222zy x x xu++=∂∂ ，222zy x y yu++=∂∂，222zy x z zu ++=∂∂．2．设(,)f x y =xy f f ．解2225),(yx xy x f x ---=，2225),(yx y y x f y ---=1)3,22(-=x f ，243)3,22(-=y f．3．曲线1z y ⎧⎪=⎨=⎪⎩在处的切线与x 轴正向所成的倾斜角是多少？ 解221yx x z x ++=，设切线与x 轴正向的倾斜角为α， 则31)1,1(tan ==x z α，6πα=． 4．(,)(f x y x y =+-(,1)xf x ．解 因为(,1)f x x =，所以 (,1)1x f x =．5．证明函数u =22220u ux y ∂∂+=∂∂．证2222221yx xy x x yx x u+=+⋅+=∂∂，2222221yx y y x y yx y u +=+⋅+=∂∂2222222222222)()(2y x x y y x x y x x u +-=+-+=∂∂，2222222222222)()(2y x y x y x y y x y u +-=+-+=∂∂2222=∂∂+∂∂yu xu ．７．求下列函数的二阶偏导数： （1）arcsin()z xy =； （2）ln(z x =．解（1）2)(1xy y x z -=∂∂，2)(1xy x yz-=∂∂．232322222])(1[)(1)(1xy xyxy xy xy y xz -=----=∂∂，232322222])(1[)(1)(1xy yx xy xy y x x yz -=----=∂∂．xy z xy xy xy y x yxy yx z∂∂∂=-=-----=∂∂∂223222222])(1[1)(1)(1)(1．（2）22222211yx y x x y x xx z+=++++=∂∂， )(22222222y x x y x yy x x y x yy z +++=+++=∂∂，2322222222)(y x x y x y x x x z +-=++-=∂∂，x y z y x y yx y x y yx z∂∂∂=+-=++-=∂∂∂2232222222)(．22zy∂=∂2222222()(x yx =++８．（1）设ln()z x xy =，求32zx y∂∂∂；（2）设33sin sin z x y yx=+，求43z x y∂∂∂．解 （1）1)ln()ln(+=+=∂∂xy xyy x xy x z， xxy y x z 122==∂∂，23=∂∂∂yx z ．（2）xy y xxzcos sin 332+=∂∂， x y y x x z sin sin 6322-=∂∂， xy y xz cos sin 6333-=∂∂， xy y yx z cos 3cos 6234-=∂∂∂．９． 求函数2223z x y =+在点(10,8)处当0.2,0.3x y ∆=∆=时的全增量及全微分．解75.22]83102[])3.08(3)2.010(2[2222=⋅+⋅-+++=∆z ， 40|4)8,10(10===x x x z ，48|6)8,10(8===y y y z，4.223.0482.040=⨯+⨯=dz ．１０．求函数1)z =当0.03,0.02x y ∆=∆=-时在点(1,1)处的全微分．解31131)1,1()1,1(4332=-+=-y x x z x ，41141)1,1()1,1(4343=-+=-y x y zy005.0)02.0(4103.031=-⨯+⨯=dz ．11．求函数23z x y =在点(2,－1)处的全微分． 解4|2)1,2()1,2(3-==--xy z x ，12|3)1,2()1,2(22==--y xzydydx dz 124+-=12．求下列函数的全微分： （1）z =（2）cos xz ey=；（3）y x z e=； （4）()yz xy =； （5）yzu x =； （6）()zu xy =．解（1）22yx x zx+=，22yx y zy+=dyyx y dx yx x dz 2222+++=（2）ydye ydx e dy yz dx x z dz x xsin cos -=∂∂+∂∂=（3）dye x dx e xy dy x e dx x y e dy y z dx x z dz x yx yx yx y 11)(22+-=+-=∂∂+∂∂= （4）)ln(ln xy y z =，xy x y xy y z z +=∂∂)ln(1，]1)[ln()(+=∂∂xy xy y zydy xy xy dx xy y dy yzdx x z dz y y ]1)[ln()()(12++=∂∂+∂∂=-（5）xdzyx xdy zx dx yzx dz zudy y u dx x u du yz yz yz ln ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-（6）dzxy xy dy xy xz dx xy yz dz zu dy y u dx x u du z z z )ln()()()(11++=∂∂+∂∂+∂∂=--13．计算1)的近似值．解 设)1ln(),(43-+=y x y x f ，取1,1,0.03,0.02x y x y ==∆=∆=- 则 31131)1,1()1,1(4332=-+=-y x x z x ，41141)1,1()1,1(4343=-+=-y x y zy ，005.0)02.0(4103.031=-⨯+⨯=dz ． 故005.0)1,1()98.0,03.1(=+=dz f f ．8.3 多元复合函数求导法则一、主要内容回顾二、基本考试题型及配套例题 题型I 计算题（1）设)3sin(z xy u +=，其中),(y x z z =由方程132=-xz yz 确定，求xu∂∂． （2）设),(y x z z =是由方程333axyz z =-确定，求yx z ∂∂∂2．（3）设)()(1y x yf xy f xz ++=，其中f 具有二阶连续导数，求22x z ∂∂．解 （1）方程132=-xz yz两边对x 求导，03223=∂∂--∂∂xz xz zxzyz ,得 2332xz yz z x z -=∂∂．故32cos(3)3cos(3)23u f f z z y xy z xy z x x z x yz xz ∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂-323co s (3)()23z xy z y yz xz =++- （2） 设333),,(a xyz zz y x F --=，则yzFx3=，xzFy3=，xyz Fy332-=， 2z xy yz F F x zz x -=-=∂∂，2zxy xz FF y zzy -=-=∂∂．2222522223()()(2)()()()z z z yxy z yz x z z yzx y z z y y x y y xy zxy z xy z ∂∂+---∂∂-∂∂===∂∂∂---． （3）)()(1)(12y x f y y xy f x xy f xxz +'+'+-=∂∂，2232221()()()()()()z z y yf xy f xy y f xy f xy y yf x y x x x x x x x∂∂∂''''''==--+++∂∂∂23222()()()()y y f xy f xy f xy yf x y x x x'''''=-+++．题型II 证明题设)(u xF xy z +=，而)(,u F x yu =为可导函数，证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂证2()()()()()z y yy F u xF u y F u F u x x x∂''=++-=+-∂，1()()z x xF u x F u y x∂''=+=+∂，所以(()())(())2()z z yxy x y F u F u y x F u xy F u z xy x y x∂∂''+=+-++=+=+∂∂．三、习题选解（习题8－3 ） 1． 求下列函数的偏导数： （1）22z u v uv =-，其中cos ,sin u x y v x y ==；（2）arcsin()z x y u =++，其中sin()u xy =； （3）(,)z f u v =，其中u v x y==+；（4）22(,)xy z f xy e =-．解（1）22(2)cos (2)sin z z u z vuv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-．22(2)(sin )(2)sin z z u z vuv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂333[cos sin sin 2(sin cos )]x y y y y y =+-+．（２）cos()z f u fy xy x u x x∂∂∂∂=+∂∂∂∂．cos()z f u f xy y u y y ∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂．（3）vfu f xy y v f xyy uf x v v f x u u f x z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂22．vfu f xy x v f xy x u f y v v f y u u f x z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂22．（4）设xye v y xu =-=,22，则v f ye u f x x vv f x u u f x z xy ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2， 2xy z f u f v f f y xe y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂．2． 求下列函数的全导数： （1）2u vz e -=，其中2sin ,,u t v t ==；（2）arcsin()z u v =-，其中33,4u t v t ==；（3）arctan()z xy =，其中xy e =．解 （1）3222sin 22cos 23(cos 6)u vu v t t f du f dv dz et e t e t t u dt v dt---∂∂=+=-=-∂∂． （2）22312f du f dv dz t u dt v dt ∂∂=+=∂∂（3）222(1)1()1()1()x xx f dy f x y x e dz e y dx x xy xy xe ∂∂+=+=+=∂∂+++．3．设(,),z f u v u v ==2222()()()()z z z z uv x y∂∂∂∂+=+∂∂∂∂．证2321v z u z x v v z x u u z x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， 21)23(v z u z x v v z x u u z x z ∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，222222)()(]21)23([)2321()()(vz u z v z u z v z u z y z x z ∂∂+∂∂=∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂．4．(,),arctany u f r r xθθ===．证明222221()()()()u u u u xy r r θ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂．证θθ∂∂+-∂∂+=+-∂∂++∂∂=∂∂u y x y r u yx x xy x yuyx xrux u 22222222)(1， θθ∂∂+-∂∂+=+∂∂++∂∂=∂∂u y x x r u yx y xy x u yx y ru x u 2222222)(11，22222222()()))u u y u x u x y x y x y θθ∂∂∂∂+=+-∂∂∂∂++222222211()()()()u u u u r r x y r θθ∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂+．5．求由下列方程确定的函数()y x 的导数dy dx：（1）2222xxy y a +-=；（2）yxxy =．解（1）设2222),(a y xy x y x F --+=， 则yx F y x F y x 22,22-=+=，从而xy y x F F dx dy y x -+=-=．（2）设xy yx FFdx dy yx -+=-=xy y x y x F -=),(，则 11ln ,ln ---=-=x y y x y x xy x x F y y yx F ，故11ln ln -----=-=x y x y y x xy x x y y yx F F dx dy ．6．求由下列方程确定的函数(,)z z x y =的偏导数： （1）2222221x y z a b c ++=； （2）222coscos cos 1x y z ++=．解（1）设1),,(222222-++=c z by ax z y x F ，则2222,2,2czF by F ax F z y x ===，从而zb yc F F y zza x c F F x z z y z x 2222,-=-=∂∂-=-=∂∂． （2）设1cos cos cos ),,(222-++=z y x z y x F ，则,2sin sin cos 2x x x Fx-=-=同理 z F y F z y 2sin ,2sin -=-=，从而zy F F y zzxF F x z z y z x 2sin 2sin ,2sin 2sin -=-=∂∂-=-=∂∂．8.4 偏导数的几何应用一、主要内容回顾二、基本考试题型及配套例题 题型I 计算题 （1）求空间曲线23421,31,41t z t y tx ===上相应于1=t 处的切线及法平面方程．（2）求曲面3=+-xy z e z在(2,1,0)处的切平面及法线方程．解 （1）tz t y tx ='='=',,23，切向量为}1,1,1{，切点为)21,31,41(，切线方程为121131141-=-=-z y x ．法平面方程为0213141=-+-+-z y x ，即1213=++z y x ．（2） 设3),,(-+-=xy z e z y x F z，则1,,-===z z y xe F x F y F，法向量为 {1,2,0}，切平面方程为 0)1(2)2(=-+-y x ，即042=-+y x ．法线方程为2112z y x =-=-．三、习题选解（习题8－4）1．求下列各曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=，在2t π=时；（2）cos ,sin ,x a t y a t z bt ===，在2t π=时；（3）21,,1t t x y z t t t+===+，在1t =时． 解（1）2cos 2,sin ,cos 1tdt dz t dt dy t dt dx ==-=，切点坐标为(2π-，切线的方向向量为{s =，切线方程为 22211112-=-=+-z y x π．法平面方程为)22(2112=-+-++-z y x π，即0422=--++πz y x ．（2）b dtdzt a dt dy t a dt dx ==-=,cos ,sin ， 切点坐标为(0,,)2b a π，切向量为s {,0,}a b =-， 切线方程为bbz a y a x2π-=-=-． 法平面方程为)2(=-+-bz b ax π，即22=+-b bz ax π．（3）t dtdz t dt dy t dtdx2,1,)1(122=-=+=，切点坐标为)1,2,21(，切线的方向向量为1{,1,2}4s =-， 切线方程为21124121-=--=-z y x ．法平面方程为 0)1(2)2()21(41=-+---z y x 即011682=-+-z y x ．2．求下列各曲面在指定点处的切平面与法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）2850xxy x z --++=在点(2,1,3)-处；（3）221z xy =+-在点(2,1,4)处．解（1）设222(,,)327F x y z x y z =+--，则zF y F x F z y x2,2,6-===，在)1,1,3(处，{18,2,2}n =-，切平面方程为)1(2)1(2)3(18=---+-z y x ，即279=--+z y x ．法线方程为 111193--=-=-z y x ． （２） 设58),,(2++--=z x xy xz y x F ，则1,,82=-=--=z y x F x F y x F在)1,3,2(-处，{1,2,1}=--n ． 切平面方程为 (2)2(3)10x y z ---++-=，即52=+-+z y x ．法线方程为112312-=-+=--z y x ．（3）yz x zy x2,2==，则{4,2.1}=-n ．切平面方程为 0)4()1(2)2(4=---+-z y x ，即624=--+z y x法线方程为 142142--=-=-z y x ．3． 在曲线23,y x z x ==上求出使该点的切线平行于平面24x y z ++=的点．解23,2x dxdzx dx dy ==，设在参数为x 处的点的切线的方向向量与平面的法线向量垂直，则0322112=+⨯+⨯xx ，解得31,1-=-=x x ， 切点为)1,1,1(--和)271,91,31(--． 4． 求曲线2226x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩在点(1,2,1)-处的切线与法平面方程． 解 设6),,(222-++=z y x z y x F ，则zF y F x Fz y x2,2,2===s 为曲线在切点的切向量，1n 为球面在(1,2,1)-的法向量，2n 为平面的法向量，1224266111=⨯=-=-+i j ks n n i k，切线方程为 110211-=+=--z y x ， 法平面方程为)1()1(=-+--z x ，即=-z x ．5． 求曲面22221xy z ++=上平行于平面20x y z -+=的切平面方程． 解 设曲面上),,(z y x 处的切平面平行于平面，令12),,(222-++=z y xz y x F ，则切平面的法向量为}2,4,2{z y x ，且t zy x ==-=221412， 而),,(z y x 在曲面上，从而1)4(2)2(222=+-+t tt ，解之得1122±=t ，此时切点为，(-．将及(-代入20x y z D -++=中，得D =．切平面方程为1122±=+-z y x ．6．求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦． 解 设163),,(222-++=z y x z y x F ，则zF y F x Fz y x2,2,6===，{6,4,6}n =--，2236)4()6(6cos 222=+-+-=γ．7．求arctan x z y =曲面在点(1,1,)4π处的法向量与坐标轴的夹角． 解222)(11y x yyx y z x +=+=，2222)(1y x xyx y xz y +-=+-=，法向量为}1,21,21{-，1cos α-==，62cos ,61cos ==γβ，62arccos,61arccos),61arccos(==-=γβα．80)a >上作一点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于a ． 证 设a z y x z y x F -++=),,(，则zF yF xFz y x21,21,21===，)))0X x Y y Z z ---=．即111=-++a Z zY y X x ．它在三坐标轴上的截距分别为azZ ay Y ax X ===,,．从而aZ Y X =++．8.5 多元函数的极值及应用一、主要内容回顾二、基本考试题型及配套例题 题型I 选择题 （1）满足0),(00=y x fx 且0),(00=y x fy 的点),(00y x一定是 （ ）A 驻点B 极值点C 最大值点D 最小值点 （2）二元函数223333y x y x z --+=的极小值点是 （ ）A (0,0)B (2,2)C (0,2)D (2,0)解：（１）Ａ．（２）Ｂ．22360,360x y z x x z y y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩的驻点为0,20,2x x y y ==⎧⎨==⎩， 66xz x ''=-，0xyz=，66yyzy =-，在()0,0点，Ａ＝－６，Ｂ＝０，Ｃ＝６，20B AC ∆=-<，极大值点， 在()0,2点，Ａ＝－６，Ｂ＝０，Ｃ＝６，2B AC ∆=->，非极值点， 在()2,2点，Ａ＝６，Ｂ＝０，Ｃ＝６，2BAC ∆=-<，极小值点，在()2,0点，Ａ＝６，Ｂ＝０，Ｃ＝－６，2BAC ∆=->，非极值点．题型II 应用题（1）设长方体内接于半径为R 的半球，问长方体各边长是多少时其体积最大？最大体积是多少？ （2）求函数)2(),(22y y x ey x f x++=的极值．解（1）设球心在原点，长方体在第一卦限的顶点为),,(z y x P ，则长方体的长、宽、高分别为z y x ,2,2，其体积为xyz V 4=，而2222R z y x =++，故 2224y x R xy V --=．令440,440,x yV V ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩解之得3R y x ==，此时3R z =．即当长方体的长、宽、高分别为3,32,32R R R 时，体积最大，最大体积为3934R V =．（2）令222(,)(2421)0(,)(22)0x x xyf x y e x y y f x y e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩， 解之得驻点)1,21(-，xyy x xy x xx e y x f y e y x f y y x e y x f 22222),(),1(4),(,0)12(4),(=+==+++=，4,2,0,022<-=∆==>=e e C B e A ，所以函数(,)f x y 在)1,21(-取得极小值2)1,21(ef -=-． 三、习题选解（习题8－5 ） 1．求下列函数的极值： （1）22(1)z x y =+-； （2）222z xxy y x y =-+-+-；（3）333z xy xy =+-；（4）5020,(0,0)z xy x y xy=++>>．解（1）令⎩⎨⎧=-===0)1(202y zx z yx ，解得驻点为(0,1)．2)1,0(,0)1,0(,02)1,0(====>==yy xy xx z C z B z A ,42<-=-=∆AC B ，函数的极小值为0)1,0(=z ．（2）令⎩⎨⎧=--==++-=012022y x zy x zyx ，解得驻点为(1,0)，2)0,1(,0)0,1(,02)0,1(-====<-==yy xy xx z C z B z A ，42<-=-=∆AC B ，函数有极小值1)0,1(=z ． （3）令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y z y x z y x ，解得驻点为(0,0)和(1,1)，yz z x z yy xy xx 6,3,6=-==，对(0,0)，0,3,0=-==C B A ，09>=∆，不是极值点； 对(1,1),6,3,6=-==C B A ,27-=∆,1)1,1(-=z 为函数的极大值．（4）令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=02005022y x z xy z y x ，解得驻点为 (5,2)，3340,1,100y z z x z yy xy xx ===．5,1,32===C B A ，0∆<，30)2,5(=z 为函数的极小值．2．将给定的正数a 分为三个正数之和，问这三个数各为多少时，它们的乘积最大？解（1）设分成的三个正数为y x a y x --,,，则积为)(y x a xy z --=， 令02,0222=--==--=xy x ax z y xy ay zy x．得3a y x ==，即当分成的三个数相等时积最大． 3．求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体．解 设长方体在第一卦限的顶点坐标为),,(z y x ， 则2222a z y x=++， 222y x a xy xyz V --==，222222=---+--=yx a x xyy x a y V x ， 0222222=---+--=yx a y xyy x a x V x ，解联立方程得驻点)3,3(a a，此时3a z =．即边长均为32a 的立方体体积最大．4．从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解 设直角三角形的一条直角边为x ，则另一条直角边为22x l -，此时周长为l x l x s +-+=22， 0122=--='xl x s 得2l x =，即为等腰直角三角形时周长最大．5．制作一个容积为V 的无盖圆柱形容器，容器的高和底半径各为多少时，所用材料最省？解 设容器的高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=，rV r rh r A 2222+=+=πππ，222=-='rV r A π得3πVr =，此时3πVr h ==．当高和底半径相等时，所用材料最少．6．有一宽为24cm 的长方形铁板，把它的两边折起来，做成一个断面为等腰梯形的水槽，问折起来的各面的宽及其倾斜角为多少时，才能使水槽断面积最大？解 设折起来的边长为x ，倾角为α，则梯形的下底长为x 224-，上底长为αcos 2224x x --，高为αsin x ，断面面积为ααααααcos sin sin 2sin 24sin )224cos 2224(2122x x x x x x x A +-=-++-=，)20,120(πα≤<<<x令⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+-=0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222ααααααααx x x A x x A y x解之得8,3==x πα． 依题意知面积的最大值一定存在，又函数在定义区域内只有一个驻点，所以当8,3==x πα时断面面积最大．复习题八3．计算下列各题： （1）设2ln()z x y =+，求222,z zx yx ∂∂∂∂∂．（2）设xzzy =，求dz ．（3）已知22(,)f x y x y x y +-=-，求(,)(,)f x y f x y x y ∂∂+∂∂．（4）设22(,)y z f xy x=+，其中f 有一阶偏导数，求,z zx y∂∂∂∂． （5）设22z u v uv =-，cos ,sin u x y v x y ==，求,z zx y∂∂∂∂． （6）求曲面ln()1ze z x y -++=在点(1,2,0)-处的切平面方程．解（1）21y x x z +=∂∂；2222)(1y x xz +-=∂∂；222)(2y x y y x z +-=∂∂∂．（2）设zxy zz y x F -=),,(，则y y xz zFzy yFz z xF z x z xln ,,ln 11-=∂∂-=∂∂=∂∂--， dy yy xz zy dx y y xz zz dy y z dx x z dz zx z z x x ln ln ln 111-+--=∂∂+∂∂=---．（3）令y x v y x u -=+=,，则uv v u f =),(，u vf v u f =∂∂=∂∂,，v u v fu f +=∂∂+∂∂， 从而y x yf x f +=∂∂+∂∂． （4）设xy v y xu =+=,22，vf x y u f x x vv f x u u f x z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂22，vf x u f y y v v f y u u f x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂12．（5）22(2)cos (2)sin z z u z vuv v y uuv yx u x v x∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，22(2)(sin )(2)sin z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂333[cos sin sin 2(sin cos )]x y y y y y =+-+．（6）设1)ln(),,(-++-=y x z ez y x F z，1,1,1-=+=+=z z y x e F yx F y x F ，)0,2,1(,1)0,2,1(,1)0,2,1(=-=-=-z y x F F F ，切平面方程为 0)2()1(=-++y x ，即01=-+y x ．4．应用题：（2）已知矩形的周长为2P ，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，求所得圆柱体体积为最大的矩形．解 （2）设矩形的一边为x ，则另一边为x p -，绕x p -边旋转构成的圆柱体积为)(2x p x V -=π．322=-='x px V ππ，32p x =，即矩形的边长分别为32p ，3p ，且绕短边旋转时所得体积最大．本章测试题一、判断题1． 若函数),(y x f 在),(00y x处的两个偏导数都存在，则),(y x f 在),(00y x处连续．2． 若A y x f kxy x ==→),(lim 0，则A y x f y x =→→),(lim 00．3． 若xy zy x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22．二、填空题 1．函数22ln(4)z x y =--________．2．________)1(lim _______,)sin(lim 1020=+=→→→→y y x y x xy xxy y ．3． 设yx z =，则_______________,)0,1(_______,)0,1(===dz z zy x ．三、求)ln(2y x z +=的各二阶偏导数．四、在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出该法线方程．五、在平面xOy 上求一点，使它到0162,0,0=-+==y x y x 三直线的距离的平方和最小．测试题答案一、 错，错，对． 二、 1. 4122<+<y x ； 2. 4，1； 3. 0, 0，xdyx dx yxy y ln 1+-．三、 解222,1y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂，2222)(1y x x z +-=∂∂，22222222)(22)(22)(2y x y x y x yy y x yz +-=+⋅-+=∂∂，x y zy x y y x z ∂∂∂=+-=∂∂∂2222)(2．四、 解x yz y x z=∂∂=∂∂,，法线的方向向量为n =}1,,{-x y ,它与已知平面的法向量平行， 所以1131-==x y ，解之得3,1,3==-=-=xy z y x ．所求点的坐标为(-3,-1,3)， 法线方程为 133113-=+=+z y x ．五、 解设所求点的坐标为),(y x ，它到三直线的距离的平方和为z ，则 5)162(222-+++=y x y x z ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂05)162(4205)162(22y x y yz y x x x z，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51658y x ．)516,58(是惟一驻点，)516,58(即为所求．。