线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
用线性矩阵不等式方法求解控制理论问题_张怡
（ａ）包覆不完全
（ｂ）形成间隙
图 １ 粘结剂对炸药的润湿状况
（２）对于水悬浮法，造粒过程有水存在，此时发生 自动铺展的条件为：△Ｇ＝ γＥＢ＋ γＢＷ－ γＥＷ＜ ０。 式中：γＥＢ、γＢＷ、γＥＷ 分别为炸药－ 粘结剂、粘结剂－ 水、炸 药－ 水界面张力。如果粘结剂满足在空气中能够完全 润湿炸药的条件，则上式可整理为：
－ １／２ － １／２
其中，λｍａｘ （Ｘ，Ｙ） 表示矩阵Ｙ ＸＹ 的最大特征值。
ＧＥＶＰ是半凸（ｑｕａｓｉｃｏｎｖｅｘ） 优化问题。
－１
（４）凸问题 （ＣＰ）：ｍｉｎｌｏｄｅｔ Ａ（Ｘ） ， ｓ．ｔ Ａ（Ｘ） ＞ ０，
Ｂ（Ｘ） ＞ ０。
（９）
这里Ａ、Ｂ是仿射依赖于变量Ｘ的对称矩阵，注意当Ａ＞０
－１
等式问题。
在非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的许
多问题中，常常用到矩阵的Ｓｃｈｕｒ补性质定理。
# $ 定理（Ｓｃｈｕｒ补）线性矩阵不等式：
Ｑ（Ｘ） Ｓ（Ｔ Ｘ）
Ｓ（Ｘ） Ｒ（Ｘ）
（３）
其中Ｑ（Ｘ）＝Ｑ（Ｘ）Ｔ，Ｒ（Ｘ）＝Ｒ（Ｘ）Ｔ，Ｓ（Ｘ）是等价于非线性矩阵
不等式： Ｒ（Ｘ） ＞ ０，Ｑ（Ｘ）－ Ｓ（Ｘ）Ｒ（Ｘ）－１Ｓ（Ｘ）Ｔ＞ ０。 （４）
该步骤，直至收敛到问题的最优解。该算法虽简单，但
ห้องสมุดไป่ตู้
效率不高，仅适用于较小规模问题。
１９８８年，Ｎｅｓｔｅｒｏｖ和Ｎｅｍｉｒｏｖｓｋｉｉ提出了内点法，用
来求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，取得
了良好的效果。其基本思想是：运用约束集定义一个
凸的障碍函数，将其附加到原问题的目标函数中，以
一个无约束优化问题代替原有的约束优化问题，运用
控制系统中的鲁棒性分析与设计
控制系统中的鲁棒性分析与设计在控制系统中，鲁棒性是指控制系统对于参数变化、外部干扰、测量噪声等不确定性因素的稳定性和性能表现。
鲁棒性分析与设计主要目的是提高控制系统的稳定性、鲁棒性和性能，以适应实际工程环境中的不确定性。
1. 鲁棒性分析鲁棒性分析是控制系统设计的重要环节。
它可以帮助工程师评估以及量化控制系统对于参数变化、干扰和噪声的容忍程度。
以下是一些常用的鲁棒性分析方法：1.1 系统感度函数分析系统感度函数是用来描述控制系统输出对于参数变化的敏感程度。
通过分析系统感度函数，可以确定系统的脆弱性和稳定性。
系统感度函数分析常用于评估系统的稳定性边界、参数不确定性边界和鲁棒性边界。
1.2 线性矩阵不等式(LMI)方法线性矩阵不等式方法是一种基于数学理论的鲁棒性分析方法。
它通过建立一系列矩阵不等式，来刻画控制系统的稳定性和性能。
LMI方法在控制系统设计中被广泛应用，它不仅可以评估系统的鲁棒性，还可以用于设计鲁棒控制器。
1.3 干扰分析干扰是控制系统中常见的不确定因素，对系统的性能和稳定性产生重要影响。
干扰分析可以帮助工程师了解系统对于不同干扰的响应，并根据需要采取相应的措施来改进系统鲁棒性。
常用的干扰分析方法包括频域分析、时域分析和能量分析等。
2. 鲁棒性设计鲁棒性设计旨在采取控制策略和控制器结构，使得控制系统对于不确定性因素具有较好的稳定性和性能。
以下是一些常见的鲁棒性设计方法：2.1 鲁棒控制器设计鲁棒控制器设计是指根据鲁棒性需求，设计出满足控制系统鲁棒性要求的控制器。
常用的鲁棒控制器设计方法包括H∞控制、μ合成、鲁棒PID控制等。
这些方法都是基于数学理论，可用于设计满足鲁棒性和性能要求的控制器。
2.2 鲁棒优化设计鲁棒优化设计是指结合鲁棒控制与优化方法，兼顾控制系统的稳定性和性能。
通过优化设计，可以在满足鲁棒性要求的前提下，使系统的性能指标达到最优。
鲁棒优化设计方法包括H∞优化、线性二次调节器和状态反馈等。
线性矩阵不等式及其在随机控制中的应用
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａ ｎ ｒ ａ ｅ ｒｆｒ ｌｔｄ ａ ｏ ｖ ｘ叩 一 ｓ ｒ ｃ ： ｕ ｅ ｏ ｔ ｔ ｏ ｌｍｓｆ ｍ ｔ ｈ ｓｉ ｃ ｎ ｍｌ ｈ ｏ ｙ ｃ ｎ ｂ ｏｍｕａｅ ｓｃ ｎ ｅ Ｏ ｉ ａ ｐ ｒ ｈ ｏ ｃ ｔ ｅ
Ｗ ＡＮＧ ｉ ｇ Ｚ Ｐ ｎ ， ＨＡＮＧ ｅ ｇ ｌｉ Ｃｈ ｎ —ｅ
（ｃｏｌ ｆ ｌ ｔ ｎ ｆ ｍ ｔ ｎａｄＣ ｎｏ Ｅ ｇ ｅｒ ｇＳａｄｎ ｓｔｅｏ Ｉｇｔ ｎｕｔ ，ｎｎ２０５ ，ｈ ａ Ｓｈｏ ｏＥｅ ｒ ｉ Ｉ ｏ ａｏ ｎ ｏｔ ｌ ｎｉ ｅｎ ，ｈｎｏｇ ｎｔｕ ｆｊｈ ＩｄｓｙＪ ａ ５３３ Ｃ ｉ ） ｃｏ ｃｎ ｒ ｉ ｒ ｎ ｉ Ｉ ｉｔ ｒ ｉ ｎ
文章编号 ：０４ ４ ８ （０７ ０ —０ １ —０ １０ — ２０２０ ） １ ０８ ３
线 性 矩 阵不等 式及 其在 随机 控 制 中的应 用
王 平， 张成 磊
（ 山东轻工业学 院 电子信息与控制工程学院 ， …东 济南 ２０５ ） ５３３
摘要 ： 随机控制理论 中许多重要的问题 ， 都可转化为线性矩阵不等式 （Ｍ ） Ｌ Ｉ约束 的凸优化 问题 ， 而使其在数值 上 从 易于求解 。本文阐述 了线性矩阵不等式 方法的基本概念和内容 ， 并介绍 了有关算法 及计算 软件 ， 举例说 明其 最后
问题本 身是有 解 的 ， 找 不 出问 题 的解 。这 给 实 际 也
（） １的决策变 量 。 Ｆ
已知的实对称阵。显然 Ｆ ） （ 是变量 各元素的仿
射 函数 ， 外 式 （） 味着 Ｆ（ 是 一 个 负定 矩 阵 ， 另 １意 ） 即对 所有 的非零 向量 Ｈ ， （ ｕ＜ ∈ ｕ’ ） ０或 Ｆ（ Ｆ ） 的最 大特 征 值 小 于 零 。所 有 满 足 线 性 矩 阵 不 等 式
线性矩阵不等式及其在控制系统中的应用
线性矩阵不等式及其在控制系统中的应用
何军红;吴旭光;穆向阳
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2001(023)010
【摘要】详细综述了LMI在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容.给出了上述控制问题的LMI描述及相关求解方法,最后并指出了LMI进一步的应用研究方向.
【总页数】7页(P25-30,110)
【作者】何军红;吴旭光;穆向阳
【作者单位】中国航天科工集团二院210所;西北工业大学航海学院;西安石油学院【正文语种】中文
【中图分类】TP272
【相关文献】
1.线性矩阵不等式在冷却水温度控制系统中的应用 [J], 盛安冬;赵兰姝;吕太全;张萍萍
2.线性矩阵不等式及其在随机控制中的应用 [J], 王平;张成磊
3.线性矩阵不等式在鲁棒稳定性分析中的应用 [J], 许晶;隋晶;安学文
4.线性矩阵不等式工具箱在控制论仿真中的应用 [J], 孙桂芝
5.线性矩阵不等式及其在细胞神经网络保性能控制中的应用 [J], 江梅;何汉林因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
LMI线性矩阵不等式
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
基于线性矩阵不等式的结构摄动系统H∞鲁棒控制
基于线性矩阵不等式的结构摄动系统H∞鲁棒控制
基于线性矩阵不等式的结构摄动系统H∞鲁棒控制
研究具有结构摄动系统的鲁棒H∞动态输出反馈控制问题.结构摄动系统的二次稳定解等价于辅助线性时不变系统H∞标准设计问题的解.基于线性矩阵不等式(LMI)方法,给出了用3个线性矩阵不等式表征的这一问题的可解条件.通过求解3个线性矩阵不等式便可获得鲁棒控制解.该方法应用于某型双转子涡喷发动机稳态控制器的设计,取得了预期的效果.
作者：谢光华曾庆福 Xie Guanghua Zeng Qingfu 作者单位：西北工业大学数据处理中心,西安,710072 刊名：推进技术ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF PROPULSION TECHNOLOGY 年，卷(期)：1999 20(4) 分类号：V233.7 关键词：航空发动机控制系统动态控制鲁棒控制。
性矩阵不等式及在控制理论中的应用
3 期 张家凡 ,郑 晓 ,胡志刚 : 线性矩阵不等式及在控制理论中的应用
57
algorit hm) [ 13 ] ; 还有功能与 Matlab 类似的免费软件 Scilab ( 该软件可以从其网页 http :/ / www - rocq. inria. f r/ scilab 上下载) ,其采用一种原 - 对偶内点法 (primal - dual interior - point algorit hm) 。 这二种软
m
) y ) = F0 + F (λ x + (1 - λ
i =1
∑(λx
i i
i
+ (1 -
λ ) y i ) Fi
m
) F0 + λ = λF0 + ( 1 - λ
m
j =1
∑x F
) + (1 - λ
i =1
∑y F
i
i
) F ( y ) > 0 证毕 。 = λF ( x ) + ( 1 - λ
x 的仿射函数 。 这是一个准凸 ( quasiconvex) 问题
[6 ]
1 . 2 . 2 性质 ( 2) 有限个 L M I 凸集的交集也是凸
集 , 并可以等价地用一个 L M I 表示 。 以两 个 L M I 凸 集 为 例 说 明 。 设 F( x) > 0 ,
G ( x ) > 0 , 它们的交集表示为{ x | F ( x ) > 0 } ∩ { x | G ( x ) > 0 } , 它可等价地由单个 L M I 表示 , 即 x: F( x) O O G( x)
56
武 汉 工 业 学 院 学 报 2002 年
基于线性矩阵不等式的鲁棒模型预测控制(硕士论文)200726
吉林大学硕士学位论文
4.1.2 结构反馈不确定性 ................................................................................27 4.2 基于线性矩阵不等式的预测控制 ...............................................................28 4.2.1 鲁棒无约束 MPC ...................................................................................28 4.2.2 鲁棒约束 MPC .......................................................................................33 4.3 应用 ...............................................................................................................40 4.3.1 三容系统的物理模型 ............................................................................40 4.3.2 仿真结果分析 ........................................................................................43 4.4 本章小结 .......................................................................................................45 第五章 不确定系统的准最小最大 MPC 算法 ....................................................46 5.1 问题的描述 ...................................................................................................46 5.2 MPC 问题 .......................................................................................................47 5.2.1 问题 1（P1） 无约束准最小最大 MPC..............................................48 5.2.2 问题 2（P2） 约束准最小最大 MPC..................................................50 5.3 仿真结果分析 ...............................................................................................55 5.4 本章小结 .......................................................................................................57 第六章 全文总结 ...................................................................................................58 参考文献 .................................................................................................................60 致 摘 谢 .....................................................................................................................66 要 .....................................................................................................................67
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式1. 引言控制论是研究如何通过调节输入信号以改变和稳定系统行为的理论。
矩阵不等式是控制论中常用的分析工具之一。
它是由一组矩阵构成的不等式关系，用于描述系统的稳定性、性能和鲁棒性等方面的要求。
本文将介绍控制论常用的矩阵不等式及其应用领域。
首先，我们将介绍矩阵不等式的基本概念和定义。
然后，我们将讨论矩阵不等式在系统稳定性分析、性能指标设计和鲁棒控制中的应用。
最后，我们将总结矩阵不等式的优缺点，并展望其未来的发展方向。
2. 矩阵不等式的基本概念和定义矩阵不等式是一种关于矩阵的不等式关系，常用于描述系统的稳定性和性能等要求。
下面是一些常见的矩阵不等式的定义：定义1：对于给定的实对称矩阵A和正定矩阵P，不等式A^T P + PA < 0称为Lyapunov不等式。
Lyapunov不等式在系统稳定性分析中特别重要。
通过求解Lyapunov不等式，可以判断系统的稳定性，并设计稳定控制器。
定义2：对于给定的实对称矩阵A、B和正定矩阵Q，不等式A^T Q + QA - B^T B < 0称为Riccati不等式。
Riccati不等式广泛应用于线性二次型控制问题中。
通过求解Riccati不等式，可以设计最优的状态反馈控制器，使系统具有最小的性能指标。
定义3：对于给定的实对称矩阵A和不等式约束矩阵C，不等式AC + CA^T < 0称为LMI不等式。
LMI不等式是一种常见的矩阵不等式形式，广泛应用于鲁棒控制和优化问题中。
通过求解LMI不等式，可以设计稳定控制器，并满足一定的性能指标和鲁棒性要求。
3. 矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用系统稳定性是控制论中的一个重要问题。
矩阵不等式在系统稳定性分析中起到关键作用。
下面介绍两种常见的矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用。
Lyapunov不等式的应用在系统稳定性分析中，Lyapunov不等式常用于判断系统的渐进稳定性。
对于给定的系统描述矩阵A，存在一个实对称矩阵P满足Lyapunov不等式，当且仅当系统是渐进稳定的。
线性矩阵不等式在控制系统设计中的应用研究
线性矩阵不等式在控制系统设计中的应用研究线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）是指一个多变量方程系统，其中包含了一个矩阵不等式，这种不等式通常用来求解有关控制和优化的问题。
在控制系统设计中，LMI被广泛应用于控制器设计和系统稳定性分析等方面。
LMI在控制器设计中的应用可以归结为两个重要的方面：鲁棒性设计和优化设计。
在鲁棒性设计方面，LMI可以用来设计具有抗干扰和不确定性的控制器。
控制系统通常受到外界干扰和模型不确定性的影响，为了保证系统的稳定性和性能，控制器必须能够对干扰和不确定性做出有效的响应。
LMI可以将这些要求用矩阵不等式的形式表示出来，然后通过数值优化方法求解得到最优控制器参数。
优化设计方面，LMI可以用来设计控制器以满足某些性能指标。
例如，在运动控制中，系统的性能要求通常是以某些运动特性来刻画的，如速度、位置和加速度等。
LMI可以将这些性能指标表示为矩阵不等式的形式，然后使用优化算法寻找满足这些性能要求的最优控制器。
在系统稳定性分析方面，LMI也有广泛的应用。
在控制系统中，系统的稳定性通常是指系统输出的误差在时间趋近无穷时趋于零。
LMI可以用来判断系统是否是稳定的，或者设计满足系统稳定性要求的控制器。
具体而言，LMI可以将系统稳定性条件转化为矩阵不等式的形式，然后使用数值方法求解得到这些不等式的解。
除了控制器设计和系统稳定性分析，LMI在其他方面也有很多应用。
例如，在信号处理和图像处理中，LMI可以用来设计滤波器和模型预测控制器。
在机器学习和数据挖掘中，LMI可以用来求解最优化问题和优化参数。
尽管LMI在控制系统设计和优化领域有广泛的应用，但其实现也面临着一些难点。
首先，LMI是一种数值算法，具有计算复杂度高和收敛速度慢的问题。
其次，LMI是一种基于矩阵不等式的方法，需要有效地处理矩阵维数和元素类型等问题。
此外，LMI也需要解决模型不确定性和系统非线性等实际问题。
线性矩阵不等式在控制工程中的应用
线性矩阵不等式在控制工程中的应用线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，简称LMI）是一种常见且重要的数学工具，它在控制工程领域中得到广泛应用。
本文将着重介绍LMI的基本概念、应用场景以及在控制工程中的具体应用。
一、LMI的基本概念LMI是一种线性约束条件下的矩阵不等式，一般形式为：P > 0（表示矩阵P是正定的），或F(A, B, C) > 0（表示关于矩阵A、B、C的函数F大于零）。
LMI的解集是所有满足该矩阵不等式条件的矩阵组成的集合。
LMI问题通常可以通过利用凸优化方法进行求解。
二、LMI的应用场景LMI广泛应用于控制工程领域，其中最主要的应用场景包括：1. 系统稳定性分析与设计：通过构建LMI来分析系统的稳定性，并设计稳定控制器，以确保系统在不同工况下具有良好的稳定性。
2. 鲁棒控制设计：在存在不确定性或测量噪声的情况下，通过LMI技术设计鲁棒控制器，使系统具有鲁棒性能。
3. 最优控制设计：通过最小化LMI问题的目标函数，优化控制设计，实现系统的最优性能。
4. 过程控制与优化：利用LMI技术设计控制器，通过对系统的状态变量、输入变量进行优化，实现过程控制与优化。
5. 非线性控制器设计：通过线性化方法将非线性系统线性化，并将其表示为LMI形式，从而设计出最优的线性控制器。
三、LMI在控制工程中的具体应用1. 鲁棒控制：对于具有不确定性的系统，通过建立LMI，设计鲁棒控制器，以提高系统的稳定性和鲁棒性能。
2. H∞控制：利用LMI方法设计H∞控制器，使系统对不确定性和噪声具有良好的鲁棒性能，同时最小化系统对外界干扰的敏感度。
3. 状态反馈控制：通过LMI技术设计状态反馈控制器，实现系统状态的稳定性和快速响应。
4. 参数估计：利用LMI方法设计参数估计器，对系统的未知参数进行在线估计，以提高系统的自适应性能。
5. 面向网络控制系统的设计：通过LMI技术，设计满足网络控制系统带宽约束的控制器，以保证系统的稳定性和性能。
线性矩阵不等式
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中的 S11 是 r×r 维的。假定 S11 是非奇异的，则 S11 S21S111S12 称为 S11 在 S 中的 Schur
补。以下引理给出了矩阵的 Schur 补性质。
引理 2.1.1
对给定的对称矩阵
S
S11 S21
S12 S22
，其中
S11
是
r×r
维的。以下三个条
件是等价的：
（ⅰ） S 0
（ⅱ） S110, S22 S1T2S111S12 0
（ⅲ）
S 22
0,
S11
S12
S
S 1 T
22 12
0
在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：
AT P PA PBR 1BT P Q0
(2.1.6)
其中：A, B, Q QT 0 , R RT 0 是给定的适当维数的常数矩阵，P 是对称矩阵变量，
NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量，左、右
外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因 子L（﹒）和R（﹒）是具有相同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等 式较小的一边，例如对线性矩阵不等式X>0，X称为是 不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0< X.。
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
基于线性矩阵不等式的不确定非线性系统H_控制
·57·文章编号：1006-1576（2006）09-0057-03基于线性矩阵不等式的不确定非线性系统H ∞控制樊春霞（南京邮电大学 自动化学院，江苏 南京 210003）摘要：不确定非线性系统的H ∞状态反馈控制采用T -S 模糊模型。
利用线性矩阵不等式设计控制器。
且充分注意各子系统间相互作用，得到H ∞状态反馈控制器存在的矩阵条件。
并给出设计不确定非线性系统H ∞状态反馈控制器的系统化方法。
以Lorenz 系统为例进行数值仿真，结果表明该控制器能使受控系统达到H ∞性能指标。
关键词：非线性系统；不确定性；H ∞控制；T -S 模糊模型；线性矩阵不等式 中图分类号：TP273.4 文献标识码：AUncertain Nonlinear H ∞ System Control Based on Linear Matrix InequalityFAN Chun-xia(College of Automation, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003, China)Abstract: The H ∞ state feedback control of uncertain nonlinear system adopted T-S fuzzy model. The linear matrix inequality was used to design controller. Effect among subsystems was considered and sufficient condition of fuzzy H ∞ state feedback controller existing was obtained. And the design method for the H ∞ state feedback controller of uncertain nonlinear system . Finally, Lorenz system was taken as an example to demonstrate the validity of proposed controller.Keywords: Non-linear system; Uncertainties; H ∞controller; T-S fuzzy model; Linear matrix inequality0 引言基于T -S 模糊模型的控制器结构简单，能控制复杂的非线性系统。
矩阵理论在控制系统中的应用 - 济南大学
矩阵理论在控制系统中的应用崔士军学院：控制学院 专业：控制理论与控制工程 学号：2009010201摘要：本文主要介绍矩阵理论在控制领域中的应用，主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，即给定线性定常系统的自治方程，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。
是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。
一.问题的提出：为了定量地和精确地确定出控制系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。
需要从其数学模型出发，分析系统运动过程和状态。
1. 线性系统状态方程：从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u ，来求解方程（1）和（2）的解，即系统响应。
解的存在性和唯一条件如果系统A(t)、B(t)的所有元在时间定义区间[ ]上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[ ]上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。
2. 连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析给定线性定常系统的自治方程：并称其为矩阵指数函数。
[])2(0)0(:)1()()()(:0000≥=+=∈=+=t x x Bu A t t t x t x u t B t A x x x x 时不变时变ααt t ,0αt t ,0k k k k At tA t A At I e n n n n A n x t x x A ∑∞==+++=⨯⨯≥==0!122!21,0,)1(0)0( 的矩阵函数定义常阵为维状态向量为其中x x由（1）所描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为：3. 解的含义：（1）如果将 t 取为某个固定值，那么零输入响应 , 即为状态空间中由初始状态 经线性变换 所导出的一个变换点。
因此系统的自由运动就是由初态出发，并由 的各时刻的变换点所组成的一条轨迹。
（2）自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数 所唯一地决定。
线性矩阵不等式的使用
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
线性矩阵不等式研究
线性矩阵不等式研究[摘要] 近年来，由于线性矩阵不等式（LMI）的优良性质以及解法的突破，使其在控制系统的分析和设计得到了广泛的重视和应用。
本文主要推导和证明现行矩阵不等式的一个性质，这个性质可以于应用解决凸优化问题。
[关键词] 线性矩阵不等式凸集1.背景分析在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其他众多被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。
有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和综合，因此必须进行适当的简化。
因此，线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。
在过去的10 余年内,由于线性矩阵不等式(LMI) 的优良性质以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。
在此之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccati 方程或其不等式的方法来解决的。
但是解Riccati 方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。
有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。
这给实际应用问题的解决带来极大不便,而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。
在解线性矩阵不等式时,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。
控制系统中时滞的存在往往导致系统的不稳定和较差的系统性能。
因此,时滞系统包括不确定时滞系统的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。
关于LMI 技术在时滞系统方面的研究,经过许多学者的努力, 取得了较多的研究成果。
2.线性矩阵不等式一个线性矩阵不等式就是具有形式（2.1）的一个表达式。
其中是个实数变量，称为线性矩阵不等式（2.1）的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量，是一组给定的实对称矩阵，（2.1）式中的不等号“”指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或者的最大特征值小于零。
如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。
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2 线性矩阵不等式的介绍
一个线性矩阵不等式具有如下形式 :
F ( x) = F0 + x 1 F1 + … + x m Fm < 0 (1)
式中 , x 1 , …, x m 是 m 个实数变量 ,称为是线性矩
阵不等式 (1) 的决策变量 , x = ( x 1 , …, x m ) T ∈
Rm 是由决策变量构成的向量 , 称为决策向量 。Fi
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程方法的上述不足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
在控制 、辨识和信号处理等领域中 ,许多问题 都可以转化成用线性矩阵不等式来描述的优化问 题 。这里介绍 3 类标准的线性矩阵不等式问题及 其求解 :一是可行性问题 (L M IP) ;二是特征值问 题 ( EV P) ; 三 是 广 义 特 征 值 问 题 ( GEV P) 。在 MA TLAB 软件的线性矩阵不等式工具箱 (L M I Toolbox) 中给出了 3 类问题的求解器 。控制系统 中的一些性能指标 、稳定性判据可以转化为 L M I 的 3 类标准问题 ,其原因是由于一方面 Lyapunov 方法易得到凸的或拟凸的条件 ,另一方面 L M I 本 身能表示范围广泛的不同类凸约束 。
等 ;俞 立 (19612) ,男 ,浙江杭州人 ,浙江工业大学教授 ,博士 ,主要从事鲁棒控制 、时滞系统的分析与控制等研究 。
·146 ·
控 制 工 程 第 10 卷
阵的 Schur 补性质 ,一些非线性矩阵不等式可以 转化成线性矩阵不等式 。从而利用现有的软件 Matlab 中的 L M I 工具箱可以直接对问题求解 。
=
F
T i
∈ Rn ×n , i
= 0 ,1 , …, m , 是一组给定的实
对称矩阵 ,式 (1) 中的“ < ”指的是矩阵 F ( x) 是负
定的 ,即对所有非零的向量 v ∈ Rn , vT F ( x) v < 0 或 F ( x) 的最大特征值小于零 。所有满足线性矩 阵不等式 (1) 的 x 的全体构成一个凸集 。
3 基于 LMI 的不确定系统鲁棒控制器与 滤波器的设计
不确定系统的鲁棒控制与滤波问题的提出基 于如下考虑 。
①被控 对 象 不 是 由 一 个 确 定 的 模 型 来 描 述 的 ,仅仅知道模型属于某个已知的模型集合 ;
②外部信号包括干扰信号和传感器噪声等不 是具有已知特性的信号 ,仅仅知道其属于某个已
给出矩阵的 Schur 补引理及其性质 。
引 理 :对给定的对称矩阵 F ( x) ,以下 3 个
结论是等价的 。
(i) F ( x) < 0 ;
(3)
(ii) F11 ( x) < 0 ,
F22 ( x) - F1T2 ( x) F1-11 ( x) F12 ( x) < 0 ;
(4)
(iii) F22 ( x) < 0 ,
F11 ( x) - F12 ( x) F2-21 ( x) F1T2 ( x) < 0 。
(5)
注意到式 (4) 和式 (5) 中的第二个不等式是一个非
线性矩阵不等式 ,上述的等价关系说明了应用矩
收稿日期 : 2002 - 09 - 13 作者简介 : 高金凤 (19782) ,女 ,安徽巢湖人 ,浙江工业大学硕士研究生 ,主要研究方向为不确定系统的鲁棒控制与 NCS 的稳定性
在线性矩阵不等式使用之前 ,许多控制问题 是用 Riccati 不等式方法来解决的 ,而 Riccati 不等 式的求解带有一定的保守性 。Riccati 不等式是 二次矩阵不等式 ,所以将二次矩阵不等式转化成 线性矩阵不等式很有必要和意义 ,在此转化过程 中 ,矩阵的 Schur 补引理起着决定性的作用 。考 虑一个矩阵 F ( x) ∈ Rn ×n ,并将 F ( x) 进行分块
与此同时 ,不确定系统的鲁棒辨识与鲁棒估 计也得到了一定程度的发展 。早期的滤波器设计
第 2 期 高金凤等 : 线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
·147 ·
是基于 Riccati 方程的求解 ,但是矩阵 Riccati 方程 国内外众多学者都对基于 L M I 方法的各种控制 所求的 解 是 空 间 唯 一 的 点 。所 以 近 年 来 使 用 与滤波问题进行了由浅入深的研究 ,具有代表性 L M I 方法设计满足性能指标的滤波器得到广泛 的研究成果详见表 1 。表中不仅仅列举了基于 的应用[13 ] 。基于 L M I 方法的时域状态空间的不 L M I 的不确定系统的控制器与滤波器设计 ,还有 确定系统的分析与综合 ,具有能揭示系统的内部 L M I 技术应用在时滞系统 、非线性系统等方面的 结构和易于计算机辅助设计等优点而倍受重视 。 成果 。
2003 年 3 月 第10卷第2期
控制工程 Cont rol Engineering of China
Mar . 2 0 0 3 Vol. 10 ,No . 2
文章编号 : 167127848 (2003) 0220145205
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
高金凤 , 俞 立 , 王春平
(浙江工业大学 信息工程学院 , 浙江 杭州 310032)
知的信号集合 。 对于这两种情况 ,加拿大学者 Zames 于 1981
年提出了以控制系统的某些信号间的传函矩阵的 H ∞范数作为优化性能指标的设计思想[6 ] 。美国
学者 Doyle 于 1982 年针对 H ∞性能指标发展了 结构 奇 异 值 的 方 法 来 检 验 鲁 棒 性[7 ] 。1988 年 Doyle 等 人 在 全 美 控 制 会 议 上 发 表 的 著 名 的 D GKF 论文为标志 ,将 H ∞控制器的设计归结为 两个 Riccati 方程的求解[8 ] 。进入 20 世纪 90 年 代 ,L M I 技术引入到 H ∞鲁棒控制 ,L M I 的引入 不但降低了 H ∞控制的限制条件 , 而 且 扩 展 了 H ∞控制的研究领域[9 ] 。此后 ,解决鲁棒控制问
题比较成功和完善的 H ∞理论取得了长足的发 展 ,经历了从频域到时域 、从定常系统到时变系 统 、从线性系统到非线性系统 、从连续系统到离散 系统 、从无时滞系统到时滞系统以及从单目标到 多目标的控制等发展历程 。
随着不确定系统鲁棒二次镇定和 H ∞状态空 间理论研究所取得的突破性进展 ,保成本控制引 起许多学者的极大兴趣并得到了不少成果 。一个 实际控制系统仅仅具有稳定性是不够的 ,还必须 考虑其他的一些性能 。线性二次型最优控制理论 揭示了一个适当的二次型性能指标 ,能反映系统 的许多性能要求 。最初由 Chang 和 Peng[10 ]提出 了不 确 定 系 统 的 保 性 能 控 制 问 题 ( Guaranteed Cost Control 简称 GCC) ,其主要思想是对具有参 数不确定性的系统 ,设计一个控制律 ,不仅使得闭 环系统稳定 ,而且使得闭环系统的性能不超过某 个确定的上界 。近年来有许多学者针对这个问题 作了积极地探讨 ,典型的结论如文献[ 11 ] ,针对一 类范数有界的时变参数不确定性的离散时间线性 系统 ,设计其最优保性能状态反馈控制律 ,通过采 用线性矩阵不等式方法 ,导出了存在保性能控制 律的一个充分必要条件 ,文中与 Riccati 方程的方 法作了比较 ,结果说明 L M I 方法降低了闭环系统 性能指标的保性能值 。而文献[ 12 ]针对一类同时 带有状态和输入时滞不确定离散系统以及给定的 二次型性能函数 ,同样采用线性矩阵不等式的方 法 ,研究了使得闭环系统稳定和性能指标函数值 不超过某个特定的上界的控制律设计问题 。
①多目标控制器综合 ,包括 L Q G 综合 , H ∞ 综合和极点配置综合 。
②系统鲁棒性的分析和测试 ,包括检测时变 线性系统的二次稳定性 ,带有参数的 L yapunov 稳 定性 , 混 合 的 μ 分 析 以 及 带 有 非 线 性 成 分 的 Popov 准则 。