2017考研数学：曲线拐点的判别方法分析

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《高等数学》曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。

函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。

例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。

一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。

曲线的这种性图143-- 质就是曲线的凹凸性。

因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。

)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。

通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。

当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。

与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。

)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内（1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的；（2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。

考研数学曲线凹凸性及拐点典型题型分析

考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析来源：文都教育在考研数学中，高等数学导数的应用部分有多个考点，其中之一是曲线的凹凸性和拐点。

凹凸性和拐点是函数图形的一种特性，从几何意义上讲，凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，而拐点则是指曲线的弯曲方向发生改变的点，从代数意义上讲，凹函数或凸函数就是指二阶导数不变号的函数，当然，这里说的不变号一般是相对于某一个区间而言的。

下面文都考研蔡老师对曲线的凹凸性及拐点的判断方法和典型题型做些分析总结，供考研的同学复习时参考。

一、凹凸性和拐点的判断方法1. 凹凸性判断方法：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，则当()0f x ''>时，()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；当()0f x ''<时，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的。

2、拐点判断方法：先求出()0f x ''=的点和二阶导数不存在的点0x ，若函数()f x 在点0x 的左、右邻域内的二阶导数存在并且符号相反，则00(,())x f x 是曲线的拐点。

二、典型题型分析例1. 设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t =++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点。

解：由0dy dx=，得1t =±，22234(1)d y t dx t =+，222211110,022t t d y d y dx dx =-==-<=>，极大值为(1)1y -=，极小值为51()33y =-；令2210,03d y t x dx ===得，；当2200d y t dx<<时，，得凸区间为1(,)3-∞，当2200d y t dx>>时，，得凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33. 注：本题是考研数学2011年数二(16)真题。

拐点的判断方法

拐点的判断方法
拐点的判断方法要根据具体的情况来确定，以下是几种常见的判断方法：
1. 斜率法：对于曲线上的两个相邻的点，计算它们的斜率。

如果斜率从正数逐渐变为负数，或者从负数逐渐变为正数，那么这个点就可能是拐点。

2. 二阶导数法：对曲线的函数进行求导，得到一阶导数。

然后再对一阶导数再次求导，得到二阶导数。

如果二阶导数在某个点上变号（从正数变为负数或从负数变为正数），那么这个点就可能是拐点。

3. 曲率法：曲率是曲线在某一点处的曲率半径的倒数。

如果曲线在某个点的曲率突然增大或减小，那么这个点就可能是拐点。

需要注意的是，这些方法只是一般情况下的判断方法，对于复杂或特殊的曲线，可能需要更加细致的分析和计算，甚至使用数值方法来确定拐点的位置。

另外，在使用这些方法时要注意误差的产生，尤其是在计算导数和曲率时，数值计算可能会引入一定的误差。

拐点的3个判断方法

拐点的3个判断方法
拐点是统计学中一个非常重要的概念，可用于检测数据变化的开始点。

拐点的判断方法有很多种，下面主要介绍三种：
1. 通过回归分析的方法来判断拐点：通过回归分析的方法拟合曲线，再经过根据拟合曲线的曲率来判断拐点的位置。

如果当前曲率发生变化，则说明该点是拐点。

在使用回归分析判断拐点时，可以考虑选用最小二乘法进行拟合，并利用F-Test和T-Test确定系数检验的显著性水平。

2. 通过求导方程来判断拐点：求导方程能衡量函数的变化速率，如果函数的一阶导数改变时，则说明此处是拐点。

可以先以拟合函数的样式，按照求导的规则求出函数的一阶导数，如果一阶导数的极值点和拐点的位置重合，则说明该点为拐点。

3. 通过对比不同的拐点检测算法，通过观察曲线的变化，也可以判断拐点的位置。

常用的拐点检测算法有：转折点算法、偏差算法、突变点算法等。

转折点算法是根据曲线模型中的转折点拟合曲线，求出原始曲线上的拐点。

偏差算法是对曲线上的数据点进行拟合，找出偏差最大的多个点。

突变点算法是通过计算两个数据点之间的斜率，发现斜率突变处，即为拐点位置。

什么是拐点线？拐点线的画法和应用

什么是拐点线？拐点线的画法和应用
(内容来源于鹿希武先生所编写的《趋势交易法》）
拐点的概念来源于通道理论，任何一段上升趋势或下降趋势，都可以假定它在一个小的通道当中运行，价格运行趋势整个局限于两条平行线之间。

要想把握住市场的趋势，就要随时关注市场的转折点－拐点。

1．拐点和拐点线：
拐点，是指上升趋势与下降趋势的分界点。

也就是价位运行中与外延线的平行线－拐点线－接触或将接触的理论点。

绘制拐点线的原则是：要找下，先画上；要找上，先画下。

如果要找上边的拐点，就要先找下边的线，然后将下边的线平行移动至所要的位置；
如果要找下边的拐点，就要先找上边的线，然后将上边的线平行移动至所要的位置。

（1）上升趋势：
在上升趋势中，要想找到价位向下的回调目标（拐点），按照'要找下，先画上'的原则，首先在上升通道的上边找出通道的外延线，将外延线平移后得到拐点线，就可以确立回调的理论拐点的位置。

如图51 所示。

图 51
在上升趋势中，要想找到价位向上恢复上升的理论目标（拐点），按照'要找上，先画下'的原则，首先在上升通道的下边找出通道的外延线，将外延线平移后得到拐点线，就可以确立恢复上升的理论拐点的位置。

如图52 所示。

图 52。

函数的凸性与拐点的判定

函数的凸性与拐点的判定函数的凸性与拐点的判断是数学中重要的概念。

凸函数在很多领域都有广泛的应用，并且通过判断函数的凸性和拐点，可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特点。

一、凸函数的定义与性质凸函数是指定义在一个实数区间上的函数，在这个区间的任意两点上的连线都在或者在函数图像的下方。

定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，则对于区间内任意两个实数x1,x2以及0≤λ≤1，有如下性质：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)从凸函数的定义可以得出以下性质：1. 任意两点的连线总在或者在函数图像下方；2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数，则对于[a,b]的任意子区间[a',b']，f(x)在[a',b']上也是凸函数；3. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数，则在区间[a,b]上的任意点x处，函数的导数f'(x)递增或为常数（不变）。

二、凹函数与拐点的定义与性质凹函数是凸函数的逆概念，也即函数在定义域中的每一条弦都在或者在函数图像的上方。

定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，则对于区间内任意两个实数x1,x2以及0≤λ≤1，有如下性质：f(λx1 + (1-λ)x2) ≥ λf(x1) + (1-λ)f(x2)凹函数和凸函数的性质相似，有以下凹函数的性质：1. 任意两点的连线总在或者在函数图像上方；2. 若函数f(x)在[a,b]上是凹函数，则对于[a,b]的任意子区间[a',b']，f(x)在[a',b']上也是凹函数；3. 若函数f(x)在[a,b]上是凹函数，则在区间[a,b]上的任意点x处，函数的导数f'(x)递减或为常数（不变）。

三、拐点的判定方法拐点是函数的图像在某一点处由凸转为凹，或由凹转为凸的点。

拐点的判定方法如下：1. 设函数f(x)在[a,b]上有定义，并且在[a,b]的某点x处二阶导数f''(x)存在；2. 若在点x处f''(x)>0，即f(x)在点x处凸，则x为函数f(x)的拐点；3. 若在点x处f''(x)<0，即f(x)在点x处凹，则x为函数f(x)的拐点；4. 若在点x处f''(x)=0，则x可能是函数f(x)的拐点，需进一步判定。

曲线拐点识别算法

曲线拐点识别算法简介曲线拐点识别算法是一种用于识别曲线数据中的拐点（即曲线发生突变或转折的点）的方法。

在很多领域中，如金融、工程、医学等，对于曲线的拐点进行准确的识别和分析具有重要意义。

通过识别拐点，可以帮助人们发现异常情况、预测趋势变化等。

本文将介绍曲线拐点识别算法的原理、常用方法以及应用场景，并对其中一种经典算法进行详细说明。

原理曲线拐点识别算法基于以下原理：在平滑连续的曲线上，当曲线发生突变或转折时，其导数也会出现明显的变化。

因此，通过分析曲线上某个点处导数的变化情况，可以判断该点是否为拐点。

常用方法1. 线性回归线性回归是一种常见且简单的方法，用于找到最佳直线以逼近给定数据集。

在曲线拐点识别中，可以通过适当选择数据集的子集，并对其进行线性回归分析来确定拐点位置。

具体步骤如下：1.将曲线数据集分成多个子集（通常是相等长度的窗口）；2.对每个子集进行线性回归，得到拟合直线的斜率；3.计算每个子集的斜率变化，找到最大变化的子集对应的位置，即为拐点位置。

2. 方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。

在曲线拐点识别中，可以通过方差分析来确定曲线上某个点是否为拐点。

具体步骤如下：1.将曲线数据按照某种方式划分成若干组（如等间距划分）；2.对每组数据进行方差分析，计算组内方差和组间方差；3.比较组内方差和组间方差的大小关系，如果组内方差较小且组间方差较大，则该点可能是一个拐点。

3. 斜率变化法斜率变化法是一种直观且简单的方法，通过计算曲线上相邻两点之间斜率的变化情况来确定拐点位置。

具体步骤如下：1.计算相邻两点的斜率，即曲线在该点处的导数；2.计算相邻两点斜率的变化情况，如差值、百分比变化等；3.找到斜率变化最大的位置，即为拐点位置。

应用场景曲线拐点识别算法在许多领域中都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 股票市场分析股票价格曲线中的拐点往往代表着股票价格发生重大变化的时刻。

关于曲线拐点的判别法

文章编号：６１— １７２０）２— ０９—０１７８２（０７００１２
Ｖ１６Ｎ．ｏ．，ｏ２Ａｒ，０７ｐ．２０
关于曲线拐点的判别法
范建华，李
摘
杰
（商丘职业技术学院计算机系，河南商丘，７００４６０）要：否定了文［］１中的定理Ｃ，且对定理１进行了修改，并通过对不同教材中拐点的判别法进行比较、分
相反，（０ｆ））为曲线Ｙ＝ｆｘ的拐点．则ｘ，（０）【（）
定理Ｂ】设Ｙｆｘ在点ｘ可导，ｕ（。内二阶可导．［＝（）。在。ｘ）若在ｕ＋ｘ）ｕ－ｘ）０。和０。上（）（（ｘ的符号相
反，（。ｆＸ）为曲线Ｙ＝ｆＸ的拐点．则Ｘ，。）（（）
易受其害的人数不多，直到传染的速率达到其最高峰的某一时刻ｔｔ时，＝。传染的速率一直在增长着．此后，仍然易受感染的人数以愈来愈慢的速度在增长．因此（。ｆｔ）ｔ（）是一个拐点，，。且实际上是图象上的一个很特殊的点．到目前为止，于判别曲线拐点的方法已有很多．［］出了关于判别曲线拐点的方法，而由例关文１给然１可知，［］文１中定理ｃ不正确，为此我们对文［］１中的定理１进行了修改并予以证明，并给出了一些新的
结论．
１预备知识
定理１２舢 ’ 若Ｙｆｘ在点）二阶可导，（。ｆｘ）为曲线Ｙｆｘ的拐点的必要条件是ｆＸ）０［｛］＝（）【０则ｘ，ｏ）（＝（）＂ｏ＝．（

函数与导数极值点与拐点的判定方法

函数与导数极值点与拐点的判定方法函数与导数极值点与拐点的判定方法是高等数学中重要的概念和技巧。

通过了解这些判定方法，我们可以更好地理解函数的行为和性质。

本文将介绍常见的函数极值点和拐点的判定方法。

一、函数极值点的判定方法1. 函数极值点的定义在数学中，函数的极值点是指函数在某一区间内取得的最大值和最小值的点。

如果函数在某点处取得最大值，则称该点为函数的极大值点；如果函数在某点处取得最小值，则称该点为函数的极小值点。

2. 函数极值点的判定条件常用的函数极值点的判定方法有以下几种：- 导数法：首先求函数的导数，然后解方程求导函数的零点，即为函数的可能极值点。

接着，利用导数的增减性来判定这些可能极值点是否为极大值点或极小值点。

- 二阶导数法：求函数的二阶导数，在极值点处，一阶导数为0且二阶导数大于0的点为极小值点，二阶导数小于0的点为极大值点。

- 拐点法：求函数的二阶导数，如果二阶导数为0，则该点可能是函数的拐点。

二、函数拐点的判定方法1. 函数拐点的定义在数学中，函数的拐点是指函数图像曲线从凹向上凸或从凸向下凹的点。

拐点是函数图像中曲率发生变化的点，也是函数二阶导数为0的点。

2. 函数拐点的判定条件常用的函数拐点的判定方法有以下几种：- 二阶导数法：求函数的二阶导数，然后解方程求二阶导函数的零点，即为函数的可能拐点。

接着，利用二阶导数的增减性来判定这些可能拐点是否为真正的拐点。

- 导数法：求函数的导数，然后求导函数的极值点，再求对应的原函数的极值点，即为可能的拐点。

- 三阶导数法：求函数的三阶导数，在拐点处，三阶导数为0的点可能是函数的拐点。

三、具体例子下面以一个具体的例子来演示如何应用函数与导数极值点与拐点的判定方法：例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，请判断函数的极值点和拐点。

解答：1. 初始化极值点和拐点为空集合。

2. 求函数f(x)的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9。

函数的极值和拐点的求解方法

函数的极值和拐点的求解方法随着科技的不断发展，数学在我们的生活中扮演了越来越重要的角色。

而函数的极值和拐点则是数学中的重要概念，对于解决实际问题有着重要的意义。

本文将探讨关于函数的极值和拐点的求解方法。

一、函数极值的概念首先，我们需要了解函数的极值的概念。

在数学中，一个函数的极值是指在其定义域中函数值最大或最小的点。

其中，最大值点称为函数的极大值点，最小值点则称为函数的极小值点。

二、求解函数的极值那么如何求解函数的极值呢？常见的方法包括使用导数法、配方法、综合法等。

下面我们逐一介绍这些方法。

1. 导数法导数法是求解函数极值的常用方法。

其基本思想是，函数的导数表示了函数的变化率，当导数为0时，函数在该处取极值。

以一元函数为例，如果函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则：（1）当f''(x0)<0时，f(x)在x0处取极大值；（2）当f''(x0)>0时，f(x)在x0处取极小值；（3）当f''(x0)=0时，不能确定f(x)在x0处是否取极值。

2. 配方法配方法是一种简单直观的求解函数极值的方法。

其基本思想是将函数拆分成一个平方项和一个常数项的差，利用平方项的性质求解极值。

一般地，当函数f(x)可写成以下形式：f(x) = a(x-b)^2 + c其中，a、b、c为常数。

我们可以通过求导方式求解，也可以通过配方法求解。

配方法的具体步骤如下：（1）通过一次项与常数项合并，确定平方项的系数a；（2）将平方项表示成完全平方的形式，即：a(x-b)^2 + c + d其中，d为相应差部分；（3）通过相应差部分的性质，求解函数极值。

3. 综合法综合法是求解函数极值的一种综合方法。

它针对各个方法的优点进行结合，用来处理无法通过其他方法求解的复杂函数。

其基本思想是，利用函数的性质，在确定函数的形式后，采用合适的方法求解。

三、函数的拐点除了函数的极值外，函数的拐点也是一个重要的概念。

函数拐点及经验分析

函数拐点及经验分析【引言】在数学分析中，函数的拐点是一个非常重要的概念，它与函数的单调性、函数的极值及存在性、函数曲线的凸凹性等相关联。

在实际应用中，拐点可以用来分析一些物理现象或经济现象的特征。

本文将从数学分析的角度，对函数拐点进行探讨，并对一些实例进行分析。

【正文】1. 函数最值与拐点的关系对于单调函数而言，函数最值只可能在函数的端点或折点处取到。

所谓折点，即是函数的一个拐点，在这个点处，函数的单调性发生了变化。

如图所示，函数f(x)在x = a处有一个折点。

当f(x)的单调性由减少转为增加时，称x = a是一个右拐点；当f(x)的单调性由增加转为减少时，称x = a是一个左拐点。

折点的存在与函数的二阶导数密切相关，即如果函数f(x)的二阶导数存在，当f"(x) = 0或不存在时，就可能出现一个拐点。

具体地说，如果f"(x)在x = a处存在且f"(a) > 0，则函数在x = a处有一个右拐点；如果f"(x)在x = a处存在且f"(a) < 0，则函数在x = a 处有一个左拐点。

2. 实例分析(1) 函数y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1这是一个三次函数，我们可以先求出它的一阶和二阶导数：y' = 3x^2 – 6x + 2y'' = 6x – 6令y'' = 0，得到x = 1，因此x = 1是函数的拐点。

当x < 1时，y'' < 0，即函数单调递减；当x > 1时，y'' > 0，即函数单调递增。

因此，x = 1是一个右拐点。

(2) 函数y = x^4 – 4x^3 + 6x^2这是一个四次函数，我们可以先求出它的一阶和二阶导数：y' = 4x^3 – 12x^2 + 12xy'' = 12x^2 – 24x + 12令y'' = 0，得到x = 1，则x = 1是函数的拐点。

如何判断趋势拐点线或导航拐点线

如何判断趋势拐点线或导航拐点线
上一篇文章讲到什么是趋势拐点线、什么是导航拐点线，今天我们一起来看一下，如何判断趋势拐点线或者导航拐点线。

我们可以通过找出之前的下降趋势的最后一个区间跨度，与目前上升趋势或者下降趋势确定的最大区间跨度进行比较，如果两个区间为同级别区间，绘制的拐点线就是趋势拐点线，否则就是导航拐点线（如果目前趋势的区间与前面趋势的区间对比为同级别、扩张或者是升级区间，绘制的拐点线一定是趋势拐点线）。

我们一起来看个案例：
我们先来找出上升趋势中最大的区间，并根据这个最大的区间绘制出上升趋势的拐点线，如下图所示。

上图中，绘制的拐点线是趋势拐点线还是导航拐点线呢？
我们可以通过找出之前的下降趋势的最后一个区间跨度，与目前上升趋势确定的最大的区间跨度进行比较，如果两个区间为同级别区间，绘制的拐点线就是趋势拐点线，否则就是导航拐点线。

下图中，下降趋势最后一个区间的值为15，目前的上升趋势的最大区间5，不是同级别区间，因此绘制的拐点线是导航拐点线，下图是之后的走势图。

由上图可以看出，目前的上升子浪结构是钻石7浪结构，预示价格将很快展开回调，下图是之后的走势图。

由上图可以看出，价格已经突破了我们绘制的导航拐点线，预示上升趋势的子浪已经完成，主趋势的浪1 已经可以确立，目前运行在浪 2 中是大概率事件，下图是之后的走势图。

上图中，出现的区间26与之前的下降趋势的区间15 为扩张区间，26/15=1.73；可以推测目前的区间26为主趋势区间，那么现在我们绘制的拐点线就是趋势拐点线，如下图所示。

下图是之后的走势。

函数拐点判别方法的探讨

函数拐点判别方法的探讨一、引言导数是研究一元函数的一个重要工具，它在许多方面都有非常重要的应用．要想准确地掌握函数的性态，研究函数的凸凹性无疑是不可缺少的．在研究过程中会遇到一类具有特殊性质的点——拐点，在该点两侧函数的凸凹性正好相反，即是曲线凸与凹的分界点．每个概念都有其产生的背景和原因，一个概念的确立，不但需要科学的总结和抽象，需要正确地反映或表现事物的本质或特点，还需要表达得简单、明确、容易理解和掌握．在不同的教材中关于“拐点”的名称各有不同，主要有拐点、扭转点以及变曲点．如菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中称之为变曲点，华罗庚的《高等数学引论》以及格列本卡等著的《数学分析教程》中称之为扭转点，而更多的常见教材中称之为拐点．在不同的教材中，关于拐点的定义也不尽相同．本文基于文[2]所给拐点定义，通过分析拐点的几何特性，根据一阶导数、二阶导数以及高阶导数的符号导出拐点的判别法；讨论实系数多项式函数与有理函数的拐点的判定方法．二、预备知识引理2-1（Darboux 定理）设()f x 在(,)a b 上可导，12,(,)x x a b ∈，如果12'()'()0f x f x ⋅<则在1x 和1x 之间至少存在一点ξ，使得'()0f ξ=．证明不妨设12,x x <12'()0,'()0,f x f x <>则1111()()'()lim 0,x x f x f x f x x x ++→-=<-2222()()'()lim 0x x f x f x f x x x --→-=>-．由极限保号性，112(,),x x x ∃∈使1111()()0,f x f x x x -<-从而11()()f x f x <，212(,),x x x ∃∈使2222()()0,f x f x x x ->-从而22()()f x f x <，因为()f x 在12[,]x x 上连续，所以()f x 在12[,]x x 上取到最小值．又11()()f x f x <，22()()f x f x <，于是()f x 必在12(,)x x 内取到最小值，即()f x 在12(,)x x 内至少存在一个极小值点ξ，由Fermat 引理知，'()0f ξ=．引理2-2 设函数()f x 在区间I 上存在二阶导数''(),f x 则()f x 在I 上是凸（或凹）函数的充分必要条件是：,''()0(''()0)x I f x f x ∀∈≥≤有或．定义2-1[2] 设()f x 在0(,)U x δ上连续，函数()f x 在0x 点的左、右侧上凹凸性正好相反，则称0x 为函数()f x 的拐点．三、函数拐点的判别法(一)函数()f x 在拐点0x 处没有切线（即0'()f x 不存在）或有垂直于x 轴的切线（即0'()f x =∞）定理3-1 设()f x 在0(,)U x δ上连续，在00(,)U x δ上二阶可导．若''()f x 在00(,)x x δ-与00(,)x x δ+上的符号相反，则点0x 是()f x 的拐点．证明因为()f x 在00(,)U x δ上二阶可导，''()f x 在00(,)x x δ-与00(,)x x δ+上的符号相反，由引理2-2，()f x 在0x 点的左、右侧上的凹凸性相反，故0x 为()f x 的拐点．例3-1 讨论函数,0()cos ,02x e x f x x x π⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的拐点．解显然()f x 在(,)2π-∞上连续．由00cos 1'(0)lim lim(sin )0x x x f x x+++→→-==-=， 01'(0)lim1x x e f x --→-==知， '(0)f 不存在．而,0'(),sin ,02x e x f x x x π⎧<⎪=⎨-<<⎪⎩,0''()cos ,02x e x f x x x π⎧<⎪=⎨-<<⎪⎩当0x <时，''()0;x f x e => 当0x >时，''()cos 0.f x x =-<由定理3-1，0x =是函数()f x 的拐点．例3-2 讨论函数13()(11)f x x x =-<<的拐点．解显然()f x 在(1,1)-上连续．当0x =时，13200301'(0)limlim x x x f xx →→-===+∞，当0x ≠时，253312'(),''()39f x x f x x --==-,当(0,1)x ∈时，''()0;f x <当(1,0)x ∈-时，''()0f x >，由定理3-1，0x =是函数()f x 的拐点．(二)函数()f x 在拐点0x 处有不垂直于x 轴的切线（即0'()f x 存在）定理3-2 设函数()f x 在0()U x 内有一阶连续导数，在00()U x 内二阶可导，且00(),x U x ∀∈有''()0f x ≠.若0'()'()f x f x -在00()U x -与00()U x +内保持相同的符号，则点0x 是函数()f x 的拐点．证明反证法．假设点0x 不是函数()f x 的拐点，则0000(,)(),U x U x δ∃⊂00(,),x U x δ∀∈有''()0f x >或''()0f x <. 不妨设''()0f x >．00(,),x U x δ∀∈当00(,)x U x δ-∈时，由Lagrange中值定理，0(,)x x ξ∃∈，使00'()'()''()()f x f x f x x ξ-=-.由于0''()0,0,f x x ξ>-<所以，0'()'()0f x f x -<；当00(,)x U x δ+∈时，由Lagrange中值定理，0(,)x x η∃∈，使00'()'()''()()f x f x f x x η-=-．由于0''()0,0,f x x η>->所以，0'()'()0f x f x ->；与已知条件矛盾，故点0x 是函数()f x 的拐点．推论3-3 设函数()f x 在0()U x 内有一阶连续导数，0'()0,f x =()f x 在00()U x 内二阶可导，且00(),x U x ∀∈有''()0f x ≠．若'()f x 在00()U x -与00()U x +内保持相同的符号，则点0x 是函数()f x 的拐点．例3-3 求曲线13sin y x x x =+的拐点．解记13()sin f x x x x =+，因为(0)0f =，所以1300sin ()'(0)limlim(1)1x x x f x f x x x →→==+=， 21331'()sin cos 13f x x x x x -=++，当0(0,)2x U π∈时，21331'()'(0)sin cos 0,3f x f x x x x --=+>由定理3-2，点(0,)是曲线13sin y x x x =+的拐点．定理3-4 设函数()f x 在0()U x 内有一阶连续导数，在00()U x 内二阶可导，且00(),x U x ∀∈有''()0f x ≠．若12,x x ∃：001020(),(),x U x x U x -+∈∈使1020['()'()]['()'()]0,f x f x f x f x --<则点0x 不是()f x 的拐点．证明不妨设10'()'()0f x f x ->，20'()'()0f x f x -<.由Lagrange 中值定理，1211022,:,x x x ξξξξ∃<<<<使 10110'()'()''()0,f x f x f x x ξ-=<-20220'()'()''()0,f x f x f x x ξ-=<-由引理1-1（Darboux 定理），00(),x U x ∀∈有''()0f x <，即函数()f x 在0x 点的左、右侧上都是凹的，故点0x 不是()f x 的拐点．定理3-5 设函数()f x 在0x 处连续且可导，如果在0x 处第一个不为零且高于二阶的导数是奇数阶的导数，那么点0x 是函数()f x 的拐点；如果是偶数阶的导数，那么点0x 不是函数()f x 的拐点．证明设函数()f x 在0x 处连续且可导，在00()U x 内有直到n 阶的连续导数，且(1)000''()'''()()0,n f x f x f x -====……利用Taylor 公式，对''()f x 在0x 处展开得：(1)()(3)(2)000000()(2)0()()''()''()'''()()()()(3)!(2)!()(),(2)!n n n n n n f x f f x f x f x x x x x x x n n f x x n ξξ----=+-++-+---=--…因为()()n fξ在00()U x 不变号，不妨设()()0n fξ>，则()()0(2)!n f n ξ>-． (1)当n 为奇数时，若00()x U x -∈，则(2)0()0n x x --<，即''()0f x <；若00()x U x +∈，则(2)0()0n x x -->，即''()0f x >.由定理3-1可知，点0x 是函数()f x 的拐点．(2)当n 为偶数时，若00()x U x -∈，则(2)0()0n x x -->，即''()0f x >；若00()x U x +∈，则(2)0()0n x x -->，即'()0f x >.由引理2-2和定义2-1可知，点0x 不是函数()f x 的拐点．例3-4 求函数7()1f x x =+的拐点.解显然函数7()1f x x =+在定义域内7阶可导，且仅当0x =时，(6)(7)'(0)''(0)'''(0)(0)0,(0)7!0,f f f f f ======>……由定理3-5知，0x =函数7()1f x x =+的拐点. 例3-5 判断曲线68y x =-是否存在拐点．解显然函数68y x =-在定义域内6阶可导，且仅当0x =时， (5)(6)''(0)'''(0)(0)0,(0)6!0f f f f =====>……，由定理3-5知，曲线68y x =-不存在拐点．(三)实系数多项式函数与有理函数的拐点的判定引理3-6 设函数()f x 在0()U x 内二阶可导，且0''()0f x =．若导数''()f x 可分解为两个函数的乘积，即''()()()f x g x h x =，其中00()0,()0g x h x =≠，且函数()h x 在0x 点连续，则1）当()g x 在0x 左、右两侧异号时，0x 是函数()f x 的拐点； 2）当()g x 在0x 左、右两侧同号时，0x 不是函数()f x 的拐点．证明由0()0h x ≠，不妨设0()0h x >，因为()h x 在0x 点连续，所以由极限保号性知，0000(,)x x x δδ∀∈-+，有()0h x >．1）当()g x 在0x 左、右两侧异号时，10δ∃>，使()g x 在010(,)x x δ-与001(,)x x δ+内的符号相反，若取01min{,}δδδ=，则'()()()f x g x h x =在00(,)x x δ-与00(,)x x δ+内的符号相反．由定理3-1知，点0x 是()f x 的拐点．2）当()g x 在0x 左、右两侧同号时，20δ∃>，使()g x 在020(,)x x δ-与002(,)x x δ+内的符号相同，若取02min{,}δδδ=，则'()()()f x g x h x =在00(,)x x δ-与00(,)x x δ+内的符号相同．所以，点0x 不是()f x 的拐点．定理3-7 设有实系数多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ (3)n ≥，其中10,,,n n a a a - 全是实数，则二阶导数''()f x 在()f x 的定义域内的奇次根是()f x 的拐点，偶次根不是()f x 的拐点．证明因为232''()(1)62n n f x n n a x a x a -=-+++1122111(1)()()()()s t m k m k n s t t n n a x b x b x d x e x d x e =---++++……所以，函数''()f x 的根是12,,,s b b b ，对于点(1,2,,)i b i s =…,设()()i m i g x x b =-，11111112211()(1)()()()()()()i i s tm m m m n i i s k k t t h x n n a x b x b x b x b x d x e x d x e -+-+=-----++++………其中，()0,()0,()i i g b h b h x =≠在点i b 连续．由引理3-6可知，当i m 为奇数时，()g x 在i b 左、右两侧异号，i b 是()f x 的拐点；当i m 为偶数时，()g x 在i b 左、右两侧同号，i b 不是()f x 的拐点．例3-6 判断函数54326()5865f x x x x x =-+-的拐点．解函数54326()5865f x x x x x =-+-的定义域为R ， 432'()6202412f x x x x x =-+-， 32''()24604812f x x x x =-+-2124(1)()2x x =--令''()0f x =，得1211,2x x ==因为11x =是''()f x 的二重根，212x =是''()f x 的单根，所以，1不是函数()f x 的拐点，12是函数()f x 的拐点．定理3-8 若函数()f x 的二阶导数''()f x 是一个有理函数，即''()()/()f x P x Q x =，其中()P x ，()Q x 是实系数多项式，则多项式()()P x Q x 在()f x 的定义域内的奇次根是()f x 的拐点,偶次根不是()f x 的拐点．证明由''()()/()f x P x Q x =，其中()P x ，()Q x 是实系数多项式．设()P x 有(0)n n ≥个根, 分别为1,,n αα ，()Q x 有(0)m m ≥个根, 分别为1,,m ββ ，则''()f x 的定义域为1{,,}m I ββ=R ．显然，x I ∀∈，()/()P x Q x 与()()P x Q x 符号相同．若利用()()P x Q x 的根1,,n αα ，1,,m ββ 把实数域R 划分为若干小开区间，则在每个小区间上()/()P x Q x 与()()P x Q x 符号相同．于是由定理3-7知，多项式()()P x Q x 在()f x 的定义域内的奇次根是()f x 的拐点,所以，偶次根不是()f x 的拐点．四、结束语本文基于拐点定义2-1，通过分析拐点的几何特性，根据一阶导数、二阶导数以及高阶导数的符号导出了拐点的若干判别法；讨论了实系数多项式函数与有理函数的拐点的判定方法．并用具体例子说明了所得拐点判别方法的有效性．参考文献[1] 陈纪修,於崇华,金路．数学分析（第二版）［M］．北京：高等教育出版社,2000．[2] 方企勤．数学分析（第一册）[M]．北京：高等教育出版社，1986．[3] 赵振海．关于拐点的定义[J]．高等数学研究，2002，5（3）：25-26．[4] 同济大学数学教研组编．高等数学（下册）[M]．北京：高等教育出版，1996．[5] Γ·M·菲赫金哥尔茨．微积分学教程（第一卷）（第8版）[M]．北京：高等教育出版社，2006．[6] 黄英．利用导数的因子判断极值点和拐点[J]．楚雄师范学院学报，2002,17（6）：24—25,35．[7] 程丽．函数的高阶导数与拐点[J]．丽水学院学报,2004,5（10）：31-33．[8] M·K·格列本卡，C·H·诺渥舍诺夫．数学分析教程[M]．北京：高等教育出版社，1957．[9] 潘劲松．曲线的拐点与导数的关系[J]．廊坊师范学院学报(自然科学版),2008，6（12）：7-9．致谢本论文是在导师马合保副教授精心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到最终的定稿，马老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者．。

拐点（数学用语）—搜狗百科

拐点（数学用语）—搜狗百科可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f''(x)的正负发生变化的点，f''(a)异号（由正变负或由负变正）或者不存在。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。

拐点定义（根据高等数学同济7版上册第147页）一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I 内的点）。

如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上（或之下），则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹（或对应地，凸）的。

在假设二阶导函数f'(x)存在的情况下，当a0[或对应地f'(x)<0]成立，为图形是凹（或对应地，凸）的充分条件。

拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’（x0)=0。

拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

否则（即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。

若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x）的拐点。

另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但f''(x)=12x^2在整个定义域内恒大于0，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点，且整个函数在R上是凹的。

拐点的求法（摘录自高等数学同济5版上册第149页）可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：⑴求f''(x)；⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

什么是拐点拐点概述

什么是拐点拐点概述拐点是一个数学术语，在曲线上表示发生明显变化的点。

拐点也称为转折点，是函数图像中出现的一个特殊点，它具有明显的变化特征。

在拐点处，曲线的斜率发生突变，或者说曲线的凹凸性质发生改变。

拐点通常是解析几何和微积分中重要的概念。

拐点的概念可以从几何和微积分两个角度进行理解。

从几何的角度来看，拐点表示曲线发生弯曲的地方，即在拐点处曲线的曲率发生改变。

拐点通常是曲线由凸向凹或由凹向凸转变的位置。

在几何上，拐点将曲线分成两部分，它是两条不同弯曲方向的分界线。

从微积分的角度来看，拐点是函数图像的二阶导数等于零且存在交叉二阶导数的点。

二阶导数表示函数的曲率，而交叉二阶导数表示曲线的凹凸性质。

在拐点处，函数的二阶导数等于零，表示曲线的斜率变化率为零，此时曲线的凹凸性质发生改变。

如果函数图像二阶导数在拐点处存在交叉点，说明曲线在拐点处由凸向凹或由凹向凸转变。

拐点的存在可以通过以下几个条件来判断：1.函数的一阶导数存在且连续。

2.函数的二阶导数存在且在拐点处等于零。

3.函数的二阶导数在拐点处存在交叉点。

通过这些条件，我们可以确定一个函数是否存在拐点，并且可以找到拐点的位置。

拐点在实际问题中具有重要的应用。

以经济学为例，经济增长曲线通常会出现拐点。

在经济增长的初期阶段，经济增长曲线是向上凸起的，这代表着经济增长速度的加速。

然而，当经济发展到一定阶段时，经济增长曲线会出现拐点，此时经济增长速度会逐渐减缓。

拐点的出现通常代表着经济的结构性变化，例如资源的耗尽、技术的变革等。

在物理学中，拐点也广泛应用于曲线的运动分析。

例如，当火箭发射时，曲线表示了火箭的高度随时间的变化。

在火箭的运动过程中，可能会发生拐点，这表明火箭从上升转为下降或者从下降转为上升。

总之，拐点是一个重要的数学概念，在几何和微积分中具有重要意义。

通过分析拐点，我们可以了解曲线的凹凸性质和变化趋势，它们在经济学、物理学和其他领域都具有广泛的应用。

高数中的拐点

高数中的拐点高数作为大学数学的一门重要课程，对于理工科学生来说是不可或缺的一部分。

在学习高数的过程中，我们经常会遇到一个重要的数学概念——拐点。

拐点在函数图像中具有重要的意义和作用，本文将从拐点的定义、判定条件、应用等方面进行探讨。

一、拐点的定义拐点（也称为拐点）是函数图像上的一个特殊点，其定义如下：对于函数y=y(y)，若在某一点y=y0 处，函数的凹凸性发生改变，则称该点为函数图像上的拐点。

二、拐点的判定条件要判断函数图像上的某一点是否为拐点，需要找到函数的凹凸区间，并在区间内判断函数的凹凸性是否发生改变。

以下是判定拐点的具体条件：1. 凹凸性的判定条件：对于给定函数y=y(y)，其凹凸性的判定条件如下：- 若对于任意两点y1、y2（y1<y2），有y''(y)>0，则函数在区间 [y1,y2] 内是凹的；- 若对于任意两点y1、y2（y1<y2），有y''(y)<0，则函数在区间 [y1,y2] 内是凸的。

2. 拐点的判定条件：函数图像上的拐点具备以下两个条件：- 在拐点处函数存在；- 在拐点处函数的一阶导数y'(y) 存在。

三、拐点的应用拐点作为数学概念的一种重要应用，在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个拐点的应用实例：1. 曲线拟合：在数据分析和函数拟合中，拐点可以帮助我们确定数据的变化趋势。

通过寻找拐点，我们可以将曲线分段拟合，并进一步分析数据的特点和规律。

2. 优化问题：在优化问题中，拐点可以帮助我们确定函数的极值，并找到函数的最小值或最大值。

通过判定拐点，可以在问题求解过程中提供重要的指导和策略。

3. 经济学模型：在经济学模型中，拐点常常与需求和供给曲线相关，通过判定拐点可以确定市场的变化点，帮助经济学家预测市场走向和做出合理的决策。

四、拐点的举例分析为了更好地理解拐点的概念和应用，我们选取一个具体的函数进行分析。

微积分拐点的定义

微积分拐点的定义微积分拐点概念可以说是数学中最重要的概念之一，它描述了一个函数图像在某一点上凹凸变化的特性。

1. 拐点的定义：拐点（Inflexion Point）或者称为折点，是指一个函数图像的多次导数的对称性发生突变的点，它位于函数的曲线上，表示函数的单调性变化。

2. 拐点的判别：给定函数f(x)，判定函数在点a处是否为拐点的方法：（1）f(a)的一阶导数f'(a)，如果f'(a)=0，则点a可能为拐点；（2）如果f'(a)不等于0，则点a一定不是拐点；（3）f(a)的二阶导数f''(a)，如果f''(a)=0，则点a一定不是拐点；（4）如果f''(a)<0，则点a为凹点；（5）如果f''(a)>0，则点a为凸点。

3. 拐点的特点：（1）拐点是一个函数中变换最快的点，函数进入拐点时单调性发生变化；（2）拐点并不是函数最大最小值的点，它的特点是两侧的函数曲线的导数分别与点的导数方向相反；（3）有时当变量满足一定条件时，拐点也可能发生在函数最大最小值的点处；（4）拐点的重要性在于可以描述函数图象变化的性质，如曲线弯曲情况等，常用来指导最优化问题的求解；（5）对不等式或不定积分也有重要应用。

4. 拐点的应用：（1）在工程中，拐点可以用来质心法，用来计算集体的质心；（2）用于微分方程的求解，它的拐点可以用来帮助求解；（3）在信号和图像处理方面，拐点可以用来检测轮廓，例如拐点可以用来检测边缘和轮廓；（4）拐点也能够应用在优化问题中，可以帮助找出函数最优解；（5）在统计学中也会用到，它可以用来描述某一群人的特征分布。

计算拐点数目技巧

计算拐点数目技巧拐点数目是数学中一个重要的概念，用于描述函数图像中的拐点数量。

拐点是指函数曲线上的一个特殊点，它的左右两侧的曲线呈现不同的凹凸性。

在实际问题中，计算拐点数目可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而做出更准确的判断和预测。

本文将介绍一些计算拐点数目的技巧和方法。

一、寻找函数的拐点要计算一个函数的拐点数目，首先需要找到函数曲线上的拐点。

一个函数曲线的拐点通常满足以下条件：1. 曲线在拐点处的斜率发生突变；2. 曲线在拐点处的凹凸性发生变化。

针对这两个条件，我们可以通过以下方法来寻找函数的拐点。

1. 求导数我们需要求出函数的导数。

导数代表了函数在某一点上的斜率，通过求导数可以帮助我们找到函数曲线上斜率发生突变的点。

假设函数为f(x)，求导之后得到f'(x)。

然后，我们可以通过观察f'(x)的变化来寻找函数的拐点。

当f'(x)在某一点x处发生突变时，即f''(x)存在或者发生改变的地方，就可能是函数的拐点。

2. 求二阶导数为了确定f'(x)在某一点x处是否发生突变，我们需要求出f'(x)的导数f''(x)。

f''(x)代表了f'(x)的变化率，通过观察f''(x)的正负性和变化趋势，可以判断f'(x)的变化情况。

当f''(x)在某一点x处等于0，且f''(x)在x的左右两侧正负性发生变化时，就可以确定该点为函数的拐点。

二、计算拐点数目当我们找到了函数曲线上的拐点之后，就可以开始计算拐点数目了。

计算拐点数目的方法有两种：1. 直接计算通过观察函数曲线上的拐点，我们可以直接数出拐点的数量。

这种方法适用于简单的函数图像，但对于复杂的函数来说可能会比较困难。

2. 利用数学工具或软件对于复杂的函数，我们可以利用数学工具或软件来计算拐点数目。

通过输入函数表达式，这些工具会自动计算函数的拐点数目，并给出准确的结果。