9.5相似三角形判定定理的证明
鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》说课稿
鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》说课稿一. 教材分析鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》这一节，是在学生已经学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节课的主要任务是引导学生通过证明过程，理解和掌握相似三角形的判定定理。
教材通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中，自然地引入到相似三角形的判定定理的学习。
教材中提供了丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析在进入这一节的学习之前，学生已经学习了相似三角形的概念和性质，对相似三角形有了初步的认识。
但学生在学习过程中，可能对相似三角形的判定定理的理解和证明过程还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行引导和解答。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解和掌握相似三角形的判定定理，并能运用判定定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定定理的理解和运用。
2.教学难点：相似三角形的判定定理的证明过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法、讨论交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合学习平台、网络资源等现代教育技术手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考相似三角形的判定方法，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：介绍相似三角形的判定定理，并通过示例进行证明。
在此过程中，引导学生参与讨论，解答学生的疑惑。
3.练习巩固：给出一些练习题，让学生运用所学知识进行解答，巩固所学内容。
4.拓展延伸：引导学生思考相似三角形的判定定理在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
北师大版九年级数学上册第4章 相似三角形判定定理的证明
∴易得 AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵ = , = , ∴
∴ ∼ .
=
,
例 4: 在△ABC中,AB=AC,点 D,E在BC 边上,∠BAC=2∠DAE=2α.
(2)如图②,在(1)的条件下,若α=45°,连接CF,求证: ² = ² + ².
∴ = ⋅ =
∵ =
− ⋅ = − ,
⋅ = × × = ,
∴当 = 时, − = × ,整理得 ² − + = ,解得 ₁
EF 是直角三角形,. ∴ ² = ² + ².
∵D,F关于直线AE 对称,∴易得 DE=EF. ∴ ² = ² + ².
【题型三】和相似有关的动点问题
例 5: 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=11,BC=6,AB⊥BC,
点 P是线段AB 上一动点,如果满足△ADP 和△BCP 相似,求线
点 B以1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C以2cm/s的速度移动
(其中一点到达终点，另一点也停止运动)，设移动时间为 ts.
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，那么几秒时，△PBQ的面
积等于△ABC面积的 ?
解: (1)由题意得 = , = ,则 = − ,
求AB 的长.
解: ∵∠A = ∠A,∠ABD = ∠C,
∴△ABD∽ , ∴
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。
根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。
根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。
我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。
因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。
综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(基础)
相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似 ）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”， ，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质： 有两组角对应相等的两三角形相似； 有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】 首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】 证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】 考查了垂直定义、 三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有 两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不 能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的 一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】 解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'， 则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。
5_相似三角形判定定理的证明_教案2
第四章图形的相似5．相似三角形判定定理的证明一、学生知识状况分析“相似三角形判定定理的证明”是“探讨三角形相似的条件”以后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有必然的熟悉，而且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的进程。
本节要紧进行相似三角形判定定理的证明，证明进程中需添加辅助线，对学生来讲具有挑战性，需要通过已有的知识储蓄，相似三角形的概念和构造三角形全等的方式完成证明进程。
二、教学任务分析本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理一、两角别离相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方式，为后续证明判定定理2,3打下基础。
三、教学进程分析本节课设计了个教学环节：第一环节：温习回忆,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方式选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：温习回忆，导入课题内容：在上节课中，咱们通过类比两个三角形全等的条件，寻觅并探讨判定两个三角形相似的条件，咱们得出的结论是如何的？您能证明它们必然成立吗？目的：通过学生回忆温习已得结论入手，激发学生学习爱好。
成效：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探讨活动的爱好。
第二环节：动手操作，探求新知内容：命题一、两角别离相等的两个三角形相似。
如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回忆证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。
第一步：引导学生依照文字命题画图，第二步：依照图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明进程。
（分析此刻能说明两个三角形相似的方式只有相似三角形的概念，咱们能够利用这一线索进行探讨，已知两角对应相等，依照三角形内角和定理能够推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，咱们只要再证明三边对应成比例即可。
北师大版数学九年级上册《＊5 相似三角形判定定理的证明》教案
北师大版数学九年级上册《＊5 相似三角形判定定理的证明》教案一. 教材分析《相似三角形判定定理的证明》这一节主要让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
在教材中，已有相似三角形的概念和性质，为本节的学习提供了基础。
本节课的内容是整个初中数学的重要知识点，也是中考的热点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备一定的数学基础，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。
但学生在证明过程中，可能对概念的理解不够深入，证明方法的运用不够熟练。
因此，在教学过程中，要注重引导学生深入理解相似三角形的判定定理，并通过大量的练习，提高学生运用定理解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：如何灵活运用判定方法，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例分析法等，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：三角板、量角器、直尺。
3.教案：详细的教学设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生发现相似图形的特征，从而引入本节课的主题——相似三角形判定定理的证明。
2.呈现（10分钟）呈现相似三角形的判定定理，引导学生理解定理的含义，并通过示例演示定理的应用。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用判定定理证明两三角形相似。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）出示一组题目，让学生独立完成，检验学生对相似三角形判定定理的掌握程度。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用相似三角形的判定定理解决问题，提高学生运用知识解决实际问题的能力。
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为两角对应相等两三角形相似）
2、如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）。
9.5 相似三角形判定定理的证明
探究2 知识要点
两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似.
已知:∠B
=∠B1
，
AB A1B1
BC ,
B1C1
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
探究3 知识要点
三边对应成比例，两三角形相似.
已知: AABB
BC BC
AC AC
,
求证:△ABC∽△A′B′C′.
B′
赶紧动手试 试吧!
B
A′
C′
A C
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C'.
的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 相似. 三边对应成比例,两三角形相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
已知：∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
求证：△ABC ∽△ A′B′C′.
A'B' B'C' A'C '
A'C' A'C '
∴ A' E AC. 同理 DE BC.
∴ A' DE ABC. ∴ ABC ∽ A' B'C '.
小结
• 通过本节课的学习，您学会了哪些知识 和方法？哪里还有困惑？
布置作业
鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》教学设计
鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》教学设计一. 教材分析鲁教版数学八年级下册9.5《相似三角形判定定理的证明》是本节课的主要内容。
在学习了相似三角形的性质之后，本节课引导学生通过证明来理解和掌握相似三角形的判定定理，进一步深化对相似三角形知识的理解和应用。
教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，让学生体会数学与生活的联系。
同时，教材设计了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，对三角形的相关知识有一定的了解。
但学生对证明过程的理解和运用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，调整教学难度，引导学生逐步掌握相似三角形的判定定理。
三. 教学目标1.理解相似三角形的判定定理，并会运用判定定理进行证明。
2.培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
3.提高学生运用相似三角形知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定定理及其证明。
2.教学难点：相似三角形判定定理的证明过程和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论，探索相似三角形的判定定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示相似三角形的判定过程，帮助学生理解。
3.设计丰富的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT，展示相似三角形的判定定理和实例。
2.准备几何画板等教学软件，用于展示和讲解。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例等，激发学生的学习兴趣，引导学生关注相似三角形的判定。
2.呈现（10分钟）教师展示相似三角形的判定定理，并用几何画板等教学软件进行直观展示，让学生理解和掌握判定定理。
3.操练（10分钟）教师设计一些简单的练习题，让学生运用判定定理进行解答，巩固所学知识。
相似三角形判定定理的证明过程
相似三角形判定定理的证明过程嘿，咱今儿就来聊聊相似三角形判定定理的证明过程哈！你说这相似三角形啊，就像是一群有着特殊关系的小伙伴。
咱先说说那个“两角分别相等的两个三角形相似”。
你想想啊，就好比两个人，都喜欢同一种颜色，都爱吃同一种美食，那他们是不是在某些方面很相似呀？三角形也一样，两个角都相等了，那它们的形状能不相似嘛！再看看“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
这就好比你有两根长短不一样的小木棍，但它们之间的比例是固定的，而且它们中间的夹角也一样，那这两根小木棍组成的形状不也差不多嘛，这三角形也是这个道理呀！还有那个“三边成比例的两个三角形相似”。
这就好像是搭积木，你用同样比例的积木块去搭，搭出来的形状能不像嘛！证明这些定理啊，就像是解开一道道有趣的谜题。
咱得一步一步地来，仔细琢磨。
比如说，为了证明两角分别相等的定理，咱得通过各种角度的计算和推理，就像侦探破案一样，一点点找到线索，最后得出结论。
你说这数学世界多奇妙啊，这些看似简单的定理，背后藏着那么多的智慧和乐趣。
就像走在一条神秘的小路上，每走一步都能发现新的惊喜。
咱在证明过程中，得像个细心的工匠，一点点雕琢，不能有丝毫马虎。
每一个步骤都要稳稳当当的，不然可就得出错误的结果啦。
相似三角形判定定理的证明过程，不只是一堆公式和推理，它更是我们探索数学奥秘的钥匙。
它能让我们看到数学的美，感受到思维的力量。
所以啊，别小看了这些定理和证明过程，它们可是数学大厦的基石呢！好好去理解它们，感受它们的魅力吧！你难道不想去探索一下这个神奇的数学世界吗？难道不想亲手解开这些有趣的谜题吗？相信我，一旦你走进这个世界，你就会被它深深吸引，就像走进了一个充满惊喜的宝藏之地！。
相似三角形判定定理的证明
03 弦切角定理
定义与性质
定义
弦切角是指与圆相切的直线与圆弧所夹的角 。
性质
弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
定理证明方法
要点一
证明方法一
利用三角形内角和定理和圆周角定理的推论进行证明 。
要点二
证明方法二
通过圆心与弦切角顶点的连线平分弦切角，利用平行 线的性质进行证明。
应用实例
在相似三角形判定定理的证明中，弦切角定理可以用 来证明两个三角形相似，通过比较两个三角形中的弦 切角大小来证明它们的对应角相等。
应用二
在物理学中，射影定理可以用于求解光线反 射和折射等问题。例如，在求解一个光线反 射的问题时，可以利用射影定理得到反射光 线与入射光线在法线上的投影的比例中项的 关系式，进而求出反射角的大小。
08 三角形五心定律
Байду номын сангаас
定义与性质
定义
三角形五心定律是指一个三角形中，五个特殊点的集 合，这五个点分别对应于三角形的重心、垂心、外心 、内心和旁心。
。
2. 作AD为BC边的中线 ，并延长AD至E，使
DE=AD。
定理证明方法
3. 连接CE并延长至F，使CF=CE。 4. 连接AF、BF，证明AF平行于BC。 5. 根据平行线性质，AF=BC/2。
定理证明方法
6. 由于AD=DE=AF，所以AD=BC/2。
方法二：利用勾股定理证明
1. 在一个直角三角形ABC中， ∠ACB=90°。
证明相似三角形
利用三角形五心定律，可以通过 证明两个三角形的对应心的连线 相互平行，从而证明两个三角形
相似。
简化几何问题
利用三角形五心定律，可以简化 一些复杂的几何问题，例如，利 用重心将一个复杂图形分解为几 个简单的部分，然后分别解决每
相似三角形判定定理的证明 (2)
相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学情分析】本课时的教学内容是相似三角形的判定定理证明。
而在这之前，学生已对“平行线分线段成比例”这个基本事实熟练掌握，充分了解相似三角形的概念。
因此为即将学习相似三角形判定定理的证明打下基础。
可能会出现的问题有1、证明的思路和方法不清晰2、添加平行线的意图和作用不明确。
【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．【教学过程】情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥B C ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD.证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED.∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠AB D ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE.求证：△DBE ∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BEBD，即：BC BE ＝ABBD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC. 对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE.∴ED ＝DF ＝EF.△E DF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE ＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝ADAB.∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD·AC.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA. 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA.∴△ABD ∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________【教学反思】在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。
相似三角形判定定理的证明课件北师大版数学九年级上册
,
=
,
D
E
.
A1D=AB ，
=
B1
C1
A
，∴DE=BC,A E=AC.
1
∴ △A1DE≌△ABC, ∵ △A1DE∽△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
B
C
二 类似三角形判定定理的运用
一、会用证明判定定理的方法解决相关问题
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
【思路分析】由图知三条线段分别位于
△BFG和△EFB中，若能让它们类似即可．
二 类似三角形判定定理的运用
二、会用三角形类似探索线段之间的关系
【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′, ∴ ∠A′DE=∠B′,又∵∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴
∵A′D=AB， ′ ′
=
′
′ ′
=
′
.∴ ′ ′
′ ′
′
.
′ ′
=
′
′ ′
C
B
A'
=
.
定理1：两角分别相等的两个三角形类似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C′ 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B′.
求证：△ABC ∽△A'B'C′．
A'
鲁教版八年级下册数学课件第9章9.5相似三角形判定定理的证明
夯实基础
2．【中考·黄石】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 2∠DAE＝2α. (1)如图①，若点D关于直线AE的对称点为F，求证： △ADF∽△ABC.
夯实基础
证明：∵点 D 与点 F 关于直线 AE 对称， ∴AD＝AF，∠DAE＝∠FAE＝α. ∴∠DAF＝2α＝∠BAC. ∵AB＝AC，AD＝AF， ∴AADF＝AABC＝1. ∴△ADF∽△ABC.
夯实基础
证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB. 又∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)． ∴∠DCF＝∠BCE. ∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF.∴∠BCE＝∠H. 又∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.
夯实基础
(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF. 解：∵BE2＝AB·AE，∴BAEB＝ABEE. ∵AG∥BC，∴△AEG∽△BEC. ∴ABEE＝ABGC.∴BAEB＝ABGC. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC.∴BE＝AG. 又∵BE＝DF，∴AG＝DF.
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夯实基础
1．【F 分别 在边 AB，AD 上，BE＝DF，CE 的延长线交 DA 的延长线于 点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H. (1)求证：△ BEC∽△BCH；
夯实基础
(3)应用拓展：如图②，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C ＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕 着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)，得到 Rt△AB′D′(如图③)，当凸四边形AD′BC为等邻角四 边形时，求出它的面积．
相似三角形判定定理的证明
定理三边成比例的两个三角形相似。：
已知：在△ABC和△A’B’C’中，
求证:
课时回顾总结
相似三角形的判定
课
堂
检
测
课本102页知识技能1，2，3题
拓
展
延
伸
课本102问题解决
2.锐角△ABC的高CD和BE相交于点O,求证：BO.EO=CO.DO
我今天
的收获
总结反思：
纠
错
区
课
前
预
习
1.相似三角形的条件
2．在正方形ABCD中，P是BC边上一点，且BP=3CP
点Q是CD的中点，求证：△ADQ～△QCP
合
作
探
究
展
示
合
作
探
究
展
示
定理：两角分别相等的两个三角形相似
已知：在△ABC和△A’B’C’中，
求证:
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
已知：在△ABC和△A’B’C’中，
中学导学方案
2014年10月
年级
科目
九年级数学
课题
相似三角形判定定理的证明
编号
主备人
修订人
班级
姓名
学习
ห้องสมุดไป่ตู้目标
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力
学习
重点
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力
学习
难点
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力
学生自主学习方案
课堂同步导案
导
入
这节课咱们来证明相似三角形的条件
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9、已知：如图，在 中，D是AC上的一点， 的平分线交AC于点E，且AE=AB
求证：AE2=AD·AC
10、课堂小结：本节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获？有哪些疑惑？
1、求证定理：两角分别相等的两个三角形相似。
2、已知：如图，在 和 中， .
求证： ∽
3、求证定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4、已知：如图，在 和 中，
求证： ∽
5、求证定理：三边成比例的两个三角形相似
6、已知：如图，在 和 中， =
7、课堂练习：在等边三角形ABC中，D,E,F分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么 与 相似吗？请证明你的结论
·
课题
5、相似三角形判定定理的证明
学如逆水行舟，不进则退。。
学习目标
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力。
重点难点
重点：相似三角形三个判定理的证明过程
难点：理解相似三角形三个判定定理的证明过程
学习方法
小组合作，共同探究
学习过程：一、上节课中，我们探索了三角形相似的条件。本节我们将对他们进行证明。