2.2.1 双曲线及其标准方程(第一课时)

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2.2.1 双曲线及其标准方程(第1课时)教案

2.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）教案一教学目标1.熟练掌握双曲线的定义。

2.熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。

二教学重难点：双曲线的定义及标准方程教学重难点：双曲线的定义及标准方程的推导三教学方法：直观发现四教学手段：采用多媒体辅助教学，用flash 动画演示画双曲线。

引导学生进行思考，调动学生学习的积极性。

五教学过程（一）复习引入1.椭圆的定义：与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点的距离）的点的轨迹是椭圆。

（提出问题）那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？2.演示双曲线的形成。

请同学们观察分析双曲线的特征，给出定义。

（二）双曲线的概念1定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

2这两个定点, F 1,F 2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离21F F 叫做焦距。

3说明，常数小于21F F ，并思考常数等于21F F 是什么轨迹，小于21F F 是什么轨迹，当常数等于零时，是什么轨迹。

（课件展示生活中双曲线）（三）双曲线的标准方程1.（1）建系：以2,F F 所在的直线为X 轴，以2,F F 的中点为坐标原点建立直角坐标系。

（2）设点：设M （x,y ）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是c 2（c>0），则：)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之差的绝对值等于a 2（常数）（3）列式：{}a MF MF P P 221±=-=（4）代坐标：a y c x y c x 2)()(2222=+--++，（5）化简：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22<，022>-∴a c 令222b a c =-代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程。

2.2.1双曲线及其标准方程(1)

F2( c , 0 ) X
问题
我们已经知道，我们已经知道，与两定点的距离的为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？是怎样的曲线呢？
试验
思考? 类比椭圆的定义,你能给出双曲思考? 类比椭圆的定义你能给出双曲
y M
2. 设点设 M （ x,y ）是双 O F2 x F1 曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c(c>0) ，那么，那么，. 焦点F 的坐标分别是(－焦点 1、F2的坐标分别是－ c,0)、(c,0).又设与F1、F2的距离的差的绝又设M与、又设对值等于常数2a.由定义可知由定义可知，对值等于常数由定义可知，双曲线就是集合
线的定义吗? 线的定义吗
双曲线的定义
我们把平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数（距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2 ）的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 的点的轨迹叫做双曲线
M
说明
①常数小于 F1 F2 ； ②这两个定点叫做双曲线的焦点；这两个定点叫做双曲线的焦点；焦点
双曲线及其标准方程 (第一课时)
y
M
F 1
o
F 2
x
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复习
椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣ F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
Y
M (x, y)
F1 (− c , 0 )
O
2.类比椭圆标准方程的建立过程你能建类比椭圆标准方程的建立过程,你能建类比椭圆标准方程的建立过程立双曲线的标准方程吗? 立双曲线的标准方程吗

课件8:2.2.1 双曲线及其标准方程

(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝ 36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|1P0F01－|·1|P00F2|＝0，∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
典型例题
题型一求双曲线的标准方程【例 1】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在 x 轴上．
[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)和ay22－bx22＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)或xm2＋yn2＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为ax22－by22＝1(a>0，
b>0)或λx2 －6－y2 λ＝1(0<λ<6)．
解 (1)法一若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)，由于点 P3，145和 Q－136，5在双曲线上，所以a29925a－62 －12622bb5522＝＝11，，解得ab22＝＝－－196，(舍去)．若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
【变式 2】已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积．解由x92－1y62 ＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2

双曲线及其标准方程第1课时(上课课件)

(2)经过点(3,0)，(－6，－3)，求双曲线的标准方程；
(3)已知方程2＋x2m－m＋y2 1＝1 表示双曲线，求 m 的取值范围．
分析：(1)(2)先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求
解．(3)只需 x2 项与 y2 项的系数异号．
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(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种情
况都有可能．
(2)设方程：根据焦点的位置，设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)或ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)．焦点位置不定时，可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)解方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可得标准方程．
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在双曲线的定义中，注意三个关键点： (1)在平面内； (2)差的绝对值； (3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
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1.已知平面上定点 F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．（设双曲线的一般方程）
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴
9m＋0＝1， 36m＋9n＝1，

双曲线及其标准方程(第一课时)

【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25．所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1．点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号．［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件．解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。

人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第1课时)》教案-新版

2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）一、教学目标 1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养. 2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别. 3.学习重点双曲线的定义及其标准方程. 4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较. 二、教学设计（一）课前预习 1.预习任务任务1 预习教材4548P P -,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c 与椭圆的,,a b c 有何区别? 任务2 完成48P 相应练习题 2.预习自测1.已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,则当3a =和5时,P 点的轨迹为（） A.双曲线与一条直线B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线答案:D解析:考查双曲线定义2. 已知点(,)P x y 的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+--+++=±,则动点P 的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对答案:B解析:考查双曲线定义3. 已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,求与两定点1F 、2F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:221916x y -= 解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221x y a b -=,这里26a =,210c =,∴3a =,5c =,由此得4b =.从而求得双曲线的方程为221916x y -=.（二）课堂设计 1.知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的? 2.问题探究问题探究一双曲线的定义●活动一什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点21,F F 距离之差的绝对值等于定值a 2(大于0且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二 12F F 与a 之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件||2021F F a <<不应忽视,若||221F F a =,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2F F a >,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支. 问题探究二双曲线的标准方程●活动一焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>其中a 、b 、c 的关系为222c a b =+●活动二椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 椭圆双曲线定义a MF MF 2||||21=+定义a MF MF 2||||21±=-0a c >>,222(0)a c b b ∴-=>0a c <<Q ,222(0)c a b b ∴-=>2222222211(0)x y y xa b a b a b 或+=+=>> 2222222211x y y x a b a b 或-=-= (a b a ,0,0>>不一定大于b )★▲问题探究三确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线22144x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于,M N 两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-=________. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析: 由双曲线定义及条件知212124MF NF NF NF a -=-==. 详解: 根据双曲线的定义,有22MF NF MN +-2221=()()=2248MF NF NF NF a a a -+-+==例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60-,经过点)6,5(-A , 求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1) 详解一:由已知得,6=c ,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是()0,6.因为点)6,5(-A 在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数a 2,即2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.a abc a =-++--+-=-=∴==-=-=因此,所求的双曲线标准方程是221.1620x y -= 详解二:由焦点坐标知,36,6c 22=+∴=b a∴双曲线方程为22221.36y x a a -=- ∵双曲线过点)6,5(-A ,222236251,16,20.36a b a a∴-=∴==- 双曲线方程为221.1620y x -= （2）已知双曲线通过(1,1)M 、(2,5)N -两点,求双曲线的标准方程. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在x 轴上,则设双曲线的标准方程为22221x y a b-=.∵(1,1)M 、(2,5)N -在双曲线上,∴222222111(2)51a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22787a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 若焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为22221y x a b -=.同理有2222221115(2)1a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22778a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,舍去. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=.详解二:设所求双曲线的方程为()2210Ax By AB +=<. 将点(1,1)M 、(2,5)N -代入上述方程,得14251A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得:8717A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=. 点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式()2210Ax By AB +=<,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线221164x y -=共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164x y k k-=-+. 由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164k k-=-+. 整理得210560k k +-=,∴4k =或14k =-. 又160,40k k ->+>,∴416k -<<.从而仅有4k =.故所求双曲线的方程为221128x y -=. 点拔:与22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+,然后根据条件确定待定系数k 即可. 3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数,即122MF MF a -=当122a F F <时,点M 的轨迹是双曲线; 当122=a F F 时,点M 的轨迹是两条射线; 当122a F F >时,点M 的轨迹不存在（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,()222210,0y x a b a b -=>>的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222c a b =+,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。

双曲线及其标准方程第一课时(教案).docx

双曲线及其标准方程(第一课时) 教学目标噓1.掌握双曲线的定义.2.推导双曲线的标准方程.3.掌握两类标准方程，会求双曲线方程.②二亠=1 2 2取过焦点林竹的直线为X 轴，线段仟厲的垂直平分线为y 轴。

设P(x,y)为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是c(c>0).则：F {(-C ,0)F 2(C ,0),又设M 与耳血距离之差的绝对值等于2。

(常数).•••P = {P||PF 』-1“2 卜 ±2分又・・"用=J(x + c)2 +)d ,J (兀 + c)2 + y ~ - J (兀 _ c)? += ±2d ,化简，得：(工一/)兀2一。

2),2二/(疋一/),由定义2QV 2C・•. c 2 -a 2 > 0令・・,、2—/=庆代入，得：b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2,两边同除/戸得：F v 2 二_— = 1,此即为双曲线的标准方程。

它所表示的双||||线的焦点在X 轴上，焦点是 a 2 h 2片(一C ,0)F2(C ,0),其中=/+戸.若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程：V 2兀2若焦点在y 轴上，则焦点是F,(O,-C )F 2(O,C ),将兀,y 互换，得到2r-- =1,也是 a~ b~ 双曲线的标准方程.2.椭圆和双曲线比较椭1员【双曲线定义 \PF }\ + \PF 2\= 2a （2a >1 片冷1）\\PF }\-\PF 211= 2a （2a <1 F X F 21）方程 2 2 兀y 1 —r+r二1 a 2b 20 0兀一厂 1 —r+r 二 1 b 2a 20 0 £1-21 = 1a2b 22 2匚亠=1a 2b 2焦点F仕 c,0） F （0,土c ） F仕 c,0） F （0,土c ）注意：如何有方程确定焦点的位置！三、例题分析例1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.④ 4y2_9* =36解：①是双曲线：片(亦,0), F 2(-A /6,0)；②是双曲线：片(2,0),耳(一2,0)； ③是双1111线：片(0,亦),场(0,—亦)；④是双曲线：^(0,713),^(0,-713).总结：对于椭圆來说，注意到a 2>b 2，则可以根据分母的人小，判断其焦点在哪个坐标轴上.而对于双曲线而言，冇c 2=a 2+b 2，其中。

【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程课件1(人教A版选修1-1)

( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解：焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解：焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程

高二数学课件：2.2.1双曲线及其标准方程讲解

x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
定义
图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y 2
cx a2 a (x c)2 y 2
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2

y2 b2
1
F ( ±c, 0)
y2 a2

x2 b2
1
F(0, ± c)
c2 a2 b2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
2.2.1双曲线及其标准方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题：

高中数学2.2.1双曲线及其标准方程优秀课件1

焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
想一想
焦点在 y 轴上的标准方程是
y
M
F1 O F2 x
M
y F2
MM
FF11
OO
FF22x
y y
Fxx1
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y
M
(a 0,b 0) F ( ±c, 0)
F1
O F2 x
y2 a2
x2 b2
1
My F2
(a 0,b 0)
2.2.1 双曲线及其标准方程（1）
〔一〕回忆旧知发现问题：
椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数〔大于︱ F1F2︱〕的点的轨迹叫做椭圆.
y
M
F1
o
F2
x
〔一〕回忆旧知发现问题：
思考：（1）若把椭圆定义中的“与两定点的距离之
和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？
F1
F2
通常 |F1F2| 记为2c(c>0)；常数记为 2a(a >0)；
〔三〕形成定义探索方程
思考：以下各方程表示什么曲线？
(1 ) x32y2x32y24 ;
定值2c
(2 )x 3 2 y 2x 3 2 y 2 4 ;常数2a
这时轨迹又是什么呢？
(3 )x 3 2 y 2x 3 2 y 2 6 ;
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a>0，b>0)
这个方程叫做双曲线的标准方程.
它所表示的双曲线的焦点在 x轴上,
焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
这里 c2 a2 b2

原创1：2.2.1 双曲线及其标准方程

[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2) 由于动点 M 到两定点 C2 ， C1 的距离的差的绝对值为常数．因此，其轨迹是双曲线．
由于双曲线过点 A(4，－ 3)，B－3， 25，
4a22－－b232＝1，
∴
－a32 2－
52
2 b2
＝1.
解得ab22＝＝41，. ∴所求双曲线标准方程是x42－y2＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a32－1b62 ＝1，则
45a2－b92＝1
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上． (2)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上． (3)焦点分别为 F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(3 5，－4)． (4)焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5. 解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4，由 c2＝a2＋b2 得 b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
解析：如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．

数学：2.2.1《双曲线及其标准方程》PPT课件(新人教A-选修1-1)

① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在轴上；如果 y 2的系数是正的，则
焦点在 y轴上。
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 a, b, c及焦点坐标。
1 x2 y2 1
3
2
a2 5
3 b2
2
1 1
3a 2 b 2
令
m 1 ,n 1
a2
b2
则
532mm
3n 2n
1 1
解得
m n
1 1
3
故所求双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1. 3
2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在在轴 x上， a 4, b 3；
x ②焦点在在轴上，经过点 ( 2, 3), ( 15 , 2 ) .
3
答案: ① x 2 y 2 1
16 9
②
设双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
代入点 ( 2, 3), ( 15 , 2) 得
④化简
得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
两边同除以 a2 (c2 a2 ) 得 x2 y2 1 a2 c2 a2
2c 2a c a c2 a2 0
令c2 a2 b2 (b 0) 代入得
x2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
即 2a 680, a 340. 又 AB 800,
y
所以 2c 800, c 400,

2.3.1双曲线及其标准方程(第一课时).doc

2.3.1双曲线及其标准方程（第一课时）教材分析双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识的角度还是从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处。

与椭圆相比，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵活，能力要求更高。

学习双曲线本身就是対椭圆知识和方法的巩固、深化和提高。

自然也为进一步学习抛物线，解决更复杂的解析儿何综合问题奠定良好的基础。

本节课："双曲线及其标准方程〃是双曲线的第 -节课，在这一节我们要准确的理解双曲线的定义，并在此基础上推导双曲线的标准方程，显然学好本节内容又是学习好双曲线的重要前提0教学目标重点：双曲线的定义、标准方程及其简讥应用；难点：双曲线的标准方程的推导；知识点：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；能力点：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究，培养学生类比推理的能力，激发学生的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的探究能力；教育点：学会用辩证的观点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性，并从中发现数学曲线的简洁美和对称美；自主探究点：分单元组探究双曲线的画法、定义、标准方程；考试点：对双曲线的定义及标准方程的考察；易错点：双曲线的标准方程与椭圆标准方程的区别，及a,b、cZ间的关系；教法：启发式、单元组合作讨论式：通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与活动，以独立思考和单元纽•交流的形式，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题.教具准备：多媒体课件，投影仪.课堂模式：学案导学教学过程一、复习回顾1.前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义.（曲一位学生口答，教师利用多媒休投影）椭圆定义：平而内与两定点N、庄的距离的和等于當数（大于FF』）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.【设计意图】：通过对椭圆的定义的冋顾引入新课，这-环节既可以使学生温故而知新，也为下而的学习做好铺垫。

课件3：2.2.1 双曲线及其标准方程

因此所求动点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x＜0).
记不清 a、b、c 的关系致误
双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点为(0,3)，则 k＝( )
A．1
B．－1
7 C.9
D．－79
【错解一】将双曲线化为标准方程为x12－y82＝1，
kk
∵焦点在 y 轴上，且 c＝3，∴a2＝－8k，b2＝－1k，∴－8k
(2)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，
则23aa5222 －－b19826＝1b2＝1，
解得a2＝b21＝69，
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
已知 B(－5,0)，C(5,0)是△ABC 的两个顶点，且 sin B－sin C＝35sin A，求顶点 A 的轨迹方程．
(2)设所求双曲线方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4＜λ＜16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， ∴λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
【规律方法】 1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤： (1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在 x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为 Ax2＋By2＝1(AB ＜0))；
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和 “定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定 a2，b2 的大小．
1．到两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( )

3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(第一课时)课件(人教版)

解：
x2 49
y2 24
1 a12
49, b12
24
c2 a12 b12 25c 5
双曲线焦点坐标为（ 5，0），（5，0)
设双曲线方程为x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
2a | (4 2 5)2 32 (4 2 5)2 32 | 8
a 4,b2 c2 a2 9
0,b 0)
焦点在y轴上：ay22
x2 b2
1(a
0,b
0)
①分母是a2和b2, 但a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b).
②c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ③哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁.
三、例题讲授
例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0），双曲线上一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于4，求双曲线的标准方程。
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简整理 (P119,类比椭圆方程的推导)
x2 a2
y2 c2 a2
1
b2 c2 a2
c2 a2 b2
x2 y2
焦点在x轴上
a 2 b2 1 (a 0,b 0)
c a 0 c b 0
探究：建立双曲线的方程
思考：焦点在y轴上的双曲线方程是什么?
双曲线方程为: x2 y2 1 16 9
四、练习：
2.设
P
是双曲线x2－ y2 ＝1 16 20
上一点，F1，F2
分别是双曲线左、右两个焦点，
若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解：由题意得：|| PF2 | | PF1 || 2a | PF2 | 2a | PF1 |

人教版选修1-1：2.2.1 双曲线的标准方程第一课时(共17张PPT)

PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是以F1, F2 为焦点的双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2

y2 b2

1
(a>0,b>0).
(1)距离之差的绝对值
注意 (2)0<2a<2c
M F1 o F2
二：学习新知
3.双曲线的标准方程求曲线方程的步骤：
建系设点列式
代换
| |MF1|-|MF2| | = 2a
化简
(c,0) F1
M(x, y)
F2 (c, 0)
二：学习新知
同除a2 c2 a2
x2
a2

y2 c2 a2
1
此为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
二：学习新知
y
y
若M焦点在y轴M 上呢?
F2 x
正对焦又对a F1 O F2 x
O
F1
x2 a2

y2 b2
1(a 0，b 0) y2 a2

x2 b2
1
思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
二：学习新知
定义方程
焦点 a.b.c的
关系
椭圆
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 常数（差的绝对值）两支合起来叫做一条双曲线
根据实验并结合椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
二：学习新知 2.双曲线的定义：
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.