第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士).

某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60， 则他们的平均成绩为
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
7
7
7
7
7
90 85 2 80 2 75 60 7
79.3
以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。
kxy x [0,1] y [1,3]
f (x, y)
0
其它
(1) 求常数k的值；
(2) 随机变量X与Y的概率分布；
y
(3) 数学期望E( X ), E(Y ).
解：(1)由 f (x, y)dxdy 1
3
1
x

1
3
k xdx ydy 2k 1
概率论
第3章 随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量偏度、峭度 随机变量条件期望与方差 随机变量间的协方差与相关系数 随机变量生成函数与特征函数
随机变量的数学期望
Mathematical Expectation 一、引例
f (x)
X的数学期望为
1
(x )2
e 2 2
2
xR

E( X ) xf (x)dx

1

xe
(
x )2 2 2
dx
2
令t (x )

1

t2
( t )e 2 dt

2

1

t2
e 2 dt
0
2x

2x
e
dx


2
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E(X ,Y ) (E(X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E(X ) xiP{X xi} xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) y j P{Y y j} y j p. j
Def 设连续型随机变量的概率密度为 fX (x)，若广义积分


x fX (x)dx收敛，则广义积分 x fX (x)dx的值称为随机变



量X的数学期望，记为E( X )，即E( X ) x fX (x)dx.

随机变量数学期望所反应的意义
随机变量数学期望E(X )反映了的随机变量X 所以可能 取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。
解: X的概率密度为
f
(
x)


b
1
a
a xb
0 其它
X的数学期望为

b
E(X ) xf (x)dx
x
dx a b

a ba
2
即数学期望是区间[a, b]的中点.
例3.5已知随机变量 X ~ e() 。求数学期望E( X ).
解: X的概率密度为
f
所以k 1
0
1
2
1
(2)随机变量X的概率密度为

2x
f X
(x)


f
(x,
y)dy


0
随机变量X的概率密度为
x [0,1] 其它
fY
( y)


f
(x,
y)dx

y

4

0
x [1,3] 其它
(3)随机变量X ,Y的数学期望为
E(X
)


例3.1已知随机变量X的分布律为
X
4
5
6
pi
1/4
1/2
1/4
求数学期望E(X ).
解：由数学期望的定义
E(X ) 4 1 5 1 6 1 5 424
例3.2已知随机变量X的分布律为 X 0 1
求数学期望E(X ).
pi q p
解：由数学期望的定义 E( X ) p
例3.3已知随机变量 X ~ P() 。求数学期望E( X ).
2
即有 E( X )
例3.7 有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk (k 1, 2)服从同一指数分布,其概率密度为
f
(
x)

1

x
e
x0
0 x 0
0
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小
时计) N 的数学期望.
解：X k (k 1, 2)的分布函数为
解: X的概率函数为
P{X k} k e k 0,1, 2, , 0
k!
X的数学期望为
E(X )

k e
k
e

k1 ee
k0 k !
k1 (k 1)!
即 E(X )
例3.4已知随机变量 X ~ U (a,b) 。求数学期望E( X ).
xf X
( x)dx

1 0
x
2xdx

2 3
E(Y
)


yfY
( y)dy

1 0
y

y 4
dy

13 6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况
设Y g( X )是随机变量 X的函数，
y j pij
j
j
ji
(X,Y)为二维连续型随机变量


E(X )
来自百度文库 x fX (x)dx

x f (x, y)dxdy



E(Y )
y fY ( y)dy

y f (x, y)dxdy

例3.8 设(X,Y)的联合密度为
二、数学期望的定义
离散型随机变量
Def 设离散型随机变量的概率分布为
P(X xi ) pi i 1, 2,


如级数 xi pi收敛，则称级数 xi pi的值为随机变量X的
i 1
i 1

数学期望，记为E( X )，即有E(X ) xi pi.
i 1
连续型随机变量
(
x)

e

0
x
x0 x0
X的数学期望为

0

E(X ) xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx


0
xexdx 1
0

例3.6已知随机变量 X ~ N (, 2 )。求数学期望E( X ).
解: X的概率密度为
F
(
x)

1

x
e
x0
0
x0
N min( X1, X2 )的分布函数为
FN
(x)
1[1
F (x)]2

1
2x
e
0
x0 x0
于是，N的概率密度为
f
N
(
x)

2


e
2x
x0
0
x0
E(N
)


xf N
(x)dx