优化方案高考总复习数学文科(江苏专用)课件第4章第三节
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【答案】 10
【名师点评】 (1)在数量积的基本运算中， 经常用到数量积的定义、 模、 夹角等公式， 尤其对 |a|＝ a· a 要引起足够重视，它是求 距离常用的公式．
(2) 要注意向量运算律与实数运算律的区别和 联系．在向量的运算中，灵活运用运算律， 达到简化运算的目的． (3)有时可借助图形，如平行四边形、三角形， 再结合解三角形的相关知识解决．
答案：1
→ 2． (2011 年盐城质检 )在△ ABC 中，AB＝ a， → CB＝ b， a· b＜0，则三角形的形状是________．
答案：钝角三角形
3． (2009 年高考江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
第三节
平面向量的数量积
第 三 节 平 面 向 量 的 数 量 积
双基研习·面对高考
考点探究²挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．向量的数量积的概念
(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量，过点
O，作 ，则 ∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫 做 向 量 a 与 b 的 _________________________ 夹角．
思考感悟 2．非零向量a，b的夹角为θ，则a· b>0是θ为 锐角的什么条件？ 提示：a· b>0⇒θ为锐角或a、b的夹角为0°， 而当θ为锐角时，a· b＝|a||b|cosθ一定为正值， 所以a· b>0是θ为锐角的必要不充分条件．
课前热身
a· b b 1． 判断下列说法： ① 2＝ ； ②(a· b)2＝a2· b2； a a ③a· a· a＝a3；④(a· b)· c＝a· (b· c)．其中说法 正确的个数为________．
|α|＝ 1 ， |β|＝ 2 ， α ⊥ (α － 2β) ，则 |2α ＋ β|的值是
________．
【思路分析】 求向量的模，先平方转化为向 量的数量积，再开方求模．
【解析】 |α|＝1，|β|＝2，由 α⊥(α－2β)知， α· (α－2β)＝0,2α· β＝1， 2 2 2 所以|2α＋β| ＝4α ＋4α·β＋β ＝4＋2＋4＝10， 故|2α＋β|＝ 10.
思考感悟
→ → → 1．在△ ABC 中，向量AB， AC的夹角与AB， → → → CA的夹角有什么关系？与 BA ， CA 的夹角有 什么关系？
→ → 提示： 如图△ ABC 中， AB， AC的夹角为∠ A， → → → → AB，CA的夹角为∠ A 的补角，即〈AB， CA〉 → → → → ＝ π－ 〈AB， AC〉 ， 向量BA， CA的夹角为∠ A， → → → → 所以〈AB，AC〉＝〈BA，CA〉 ．
利用向量数量积解决夹角问题 向量的夹角涉及到三角函数问题，因而
是考查的热点之一，重点在角的范围，数
量积公式的应用上，也同时可考查数形结
合思想的应用．
例2
设两个向量 e1、 e2 满足|e1|＝2， |e2|＝1，
π e1 与 e2 的夹角为 ， 若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 3 的夹角为钝角，求实数 t 的范围．
2．向量的数量积的性质
设 a ， b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则 a· e＝|a|· cosθ (1)e· a＝_____________. a· b＝ 0 (2)a⊥b⇔__________.
|a||b| ； (3)当a与b同向时，a· b________ －|a||b|. 当a与b反向时，a· b＝_________ 2. | a | 特别地a· a＝______
→ → OA ＝a， OB ＝b
当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b；
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向． (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则 把 |a|· |b|· cosθ 叫做 a和 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记 a· b＝|a|· |b|· cosθ. 作________________ (3)规定0· a＝0.
(2)若 a＝ (x， y)，则 a· a＝a2＝ |a|2＝x2＋ y2， |a|＝ x2＋ y2. → (3) 若 A(x 1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | AB | ＝ 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 ____________________ ，这就是平面内两点 间的距离公式． (4)若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a⊥ b⇔ x1x2＋y1y2＝0. ____________________ 5．重要不等式 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 则－ |a||b|≤a· b≤ |a||b| 2 2 2 ⇔ － x2 ＋ y · x ＋ y ≤ x1x2 ＋ 1 1 2 2 2 2 2 y1y2≤ x2 ＋ y · x ＋ y 1 1 2 2.
a· b |a||b| (4)cosθ＝_________.
|a||b| (5)|a· b|≤_______. 3．向量的数量积的运算律 b· a (1)a· b＝_______. λ(a· b) ＝___________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_ a· (λb)(λ∈R) ． (2)(λa)· b＝_________ a· c＋b· c. (3)(a＋b)· c＝____________ 4．平面向量的数量积的坐标表示 (1) 若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) 则 a· b＝ x1x2＋y1y2. ________________
答案：3 4 ．如果 a ＝ (2x － 2 ，－ 3) 与 b ＝ (x ＋ 1 ， x ＋ 4) 互相垂直，则实数x等于________．
7 答案： 或－2 2
考点探究·挑战高考
考点突破
模长问题 向量的模多为求两点间的距离，考查向量的加、 减法，坐标运算和数量积．
例1
(2010年高考浙江卷)已知平面向量α，β，
【名师点评】 (1)在数量积的基本运算中， 经常用到数量积的定义、 模、 夹角等公式， 尤其对 |a|＝ a· a 要引起足够重视，它是求 距离常用的公式．
(2) 要注意向量运算律与实数运算律的区别和 联系．在向量的运算中，灵活运用运算律， 达到简化运算的目的． (3)有时可借助图形，如平行四边形、三角形， 再结合解三角形的相关知识解决．
答案：1
→ 2． (2011 年盐城质检 )在△ ABC 中，AB＝ a， → CB＝ b， a· b＜0，则三角形的形状是________．
答案：钝角三角形
3． (2009 年高考江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
第三节
平面向量的数量积
第 三 节 平 面 向 量 的 数 量 积
双基研习·面对高考
考点探究²挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．向量的数量积的概念
(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量，过点
O，作 ，则 ∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫 做 向 量 a 与 b 的 _________________________ 夹角．
思考感悟 2．非零向量a，b的夹角为θ，则a· b>0是θ为 锐角的什么条件？ 提示：a· b>0⇒θ为锐角或a、b的夹角为0°， 而当θ为锐角时，a· b＝|a||b|cosθ一定为正值， 所以a· b>0是θ为锐角的必要不充分条件．
课前热身
a· b b 1． 判断下列说法： ① 2＝ ； ②(a· b)2＝a2· b2； a a ③a· a· a＝a3；④(a· b)· c＝a· (b· c)．其中说法 正确的个数为________．
|α|＝ 1 ， |β|＝ 2 ， α ⊥ (α － 2β) ，则 |2α ＋ β|的值是
________．
【思路分析】 求向量的模，先平方转化为向 量的数量积，再开方求模．
【解析】 |α|＝1，|β|＝2，由 α⊥(α－2β)知， α· (α－2β)＝0,2α· β＝1， 2 2 2 所以|2α＋β| ＝4α ＋4α·β＋β ＝4＋2＋4＝10， 故|2α＋β|＝ 10.
思考感悟
→ → → 1．在△ ABC 中，向量AB， AC的夹角与AB， → → → CA的夹角有什么关系？与 BA ， CA 的夹角有 什么关系？
→ → 提示： 如图△ ABC 中， AB， AC的夹角为∠ A， → → → → AB，CA的夹角为∠ A 的补角，即〈AB， CA〉 → → → → ＝ π－ 〈AB， AC〉 ， 向量BA， CA的夹角为∠ A， → → → → 所以〈AB，AC〉＝〈BA，CA〉 ．
利用向量数量积解决夹角问题 向量的夹角涉及到三角函数问题，因而
是考查的热点之一，重点在角的范围，数
量积公式的应用上，也同时可考查数形结
合思想的应用．
例2
设两个向量 e1、 e2 满足|e1|＝2， |e2|＝1，
π e1 与 e2 的夹角为 ， 若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 3 的夹角为钝角，求实数 t 的范围．
2．向量的数量积的性质
设 a ， b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则 a· e＝|a|· cosθ (1)e· a＝_____________. a· b＝ 0 (2)a⊥b⇔__________.
|a||b| ； (3)当a与b同向时，a· b________ －|a||b|. 当a与b反向时，a· b＝_________ 2. | a | 特别地a· a＝______
→ → OA ＝a， OB ＝b
当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b；
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向． (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则 把 |a|· |b|· cosθ 叫做 a和 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记 a· b＝|a|· |b|· cosθ. 作________________ (3)规定0· a＝0.
(2)若 a＝ (x， y)，则 a· a＝a2＝ |a|2＝x2＋ y2， |a|＝ x2＋ y2. → (3) 若 A(x 1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | AB | ＝ 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 ____________________ ，这就是平面内两点 间的距离公式． (4)若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a⊥ b⇔ x1x2＋y1y2＝0. ____________________ 5．重要不等式 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 则－ |a||b|≤a· b≤ |a||b| 2 2 2 ⇔ － x2 ＋ y · x ＋ y ≤ x1x2 ＋ 1 1 2 2 2 2 2 y1y2≤ x2 ＋ y · x ＋ y 1 1 2 2.
a· b |a||b| (4)cosθ＝_________.
|a||b| (5)|a· b|≤_______. 3．向量的数量积的运算律 b· a (1)a· b＝_______. λ(a· b) ＝___________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_ a· (λb)(λ∈R) ． (2)(λa)· b＝_________ a· c＋b· c. (3)(a＋b)· c＝____________ 4．平面向量的数量积的坐标表示 (1) 若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) 则 a· b＝ x1x2＋y1y2. ________________
答案：3 4 ．如果 a ＝ (2x － 2 ，－ 3) 与 b ＝ (x ＋ 1 ， x ＋ 4) 互相垂直，则实数x等于________．
7 答案： 或－2 2
考点探究·挑战高考
考点突破
模长问题 向量的模多为求两点间的距离，考查向量的加、 减法，坐标运算和数量积．
例1
(2010年高考浙江卷)已知平面向量α，β，