【精准解析】浙江省临海市、乐清市、新昌县2020届高三下学期选考模拟考试数学试题

2020年高考数学模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B =（ ）A. ()0,2B. ()0,3C. ()2,3D. ()2,3-【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合A 和集合B ，再求交集得到答案. 【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，{}{}23003B x x x x x =-<=<<，则()0,2A B =.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，解不等式，属于简单题.2. 双曲线x 224y -=1的渐近线方程是（ ）A. y =±55x B. y 5C. y =±12x D. y =±2x【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线定义即可求解.【详解】双曲线的方程为2214y x -=，∴ 双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.3. 若实数x 、y 满足约束条件02200y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A.23B.25C. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，设2t x y =-，利用线性目标函数的几何意义求得t 的取值范围，再利用绝对值的性质可求得z 的最大值.【详解】作出不等式组02200y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩所表示的可行域如下图所示：令2t x y =-，联立2200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得23x y ==，可得点22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，同理可得点()2,0B ，平移直线2t x y =-，当直线2t x y =-经过可行域的顶点A 时，直线2t x y =-在x 轴上的截距最小，此时t 取最小值，即min 2222333t =-⨯=-； 当直线2t x y =-经过可行域的顶点B 时，直线2t x y =-在x 轴上截距最大，此时t 取最大值，即max 2202t =-⨯=. 所以，2223x y -≤-≤，则022x y ≤-≤，因此，max 2z =. 故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数绝对值的最值，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 4C. 42D. 12【答案】B 【解析】 【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成， 结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于基础题.5. 已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（ ） A. 66 B. 56C. 46D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求得等差数列的公差，再运用等差数列的前n 项和公式和二次函数的最值可得选项.【详解】由已知57S S =，111a =得，115476++2572d d a a ⨯⨯=，所以2d =-， 所以()121++122n n n d n S na n ⨯-==-， 所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选：D.【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，二次函数的最值，属于基础题. 6. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则“sin sin sin a b cB C A+=+”是“ABC 为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：sin sin sin a b c B C A +=+，得a b cb c a+=+，可得22a ac b bc +=+， 则220a b ac bc -+-=，即()()0a b a b c -++=，0a b c ++>，a b ∴=.所以，ABC 为等腰三角形，即充分性成立；必要性：若ABC 为等腰三角形，则a c =或b c =，那么等式sin sin sin a b cB C A+=+不一定成立，即必要性不成立.综上所述，“sin sin sin a b cB C A+=+”是“ABC 为等腰三角形”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A. ()()E E ηξ>B. ()()E E ηξ<C. ()()D D ηξ>D. ()()D D ηξ<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==- 随机变量|()|E ηξξ=-, 所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp 1p -P1p -p则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8. 已知函数()()20xax bx cf x a e++=≠的部分图象如图所示，则（ ）A. 0a <B. 0a c ->C. 0b c -<D.320a b c -+<【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()()22xax a b x b cf x e-+-+-'=，根据函数()y f x =的单调性可判断A 选项的正误，利用()1f '-、()1f '、()0f '的符号可分别判断D 、B 、C 选项的正误.【详解】()2x ax bx cf x e ++=，()()22xax a b x b c f x e-+-+-'∴=， 令()()22g x ax a b x b c =-+-+-，由图象可知，函数()y f x =先减后增再减，则0a -<，可得0a >，A 选项错误；()10f '-<，则()1320g a b c -=-+-<，则320a b c -+>，D 选项错误；()10f '>，则()10g a c =->，B 选项正确；()00f '>，则()00g b c =->，C 选项错误.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，解答的关键在于利用导数符号与函数单调性之间的关系解题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为（ ）A.3B.13C.2D.12【答案】A 【解析】 【分析】由1PF PA =和12+2PFPF a =，用a 表示出1PF 和PA ，在1APF △中，求出11cos 3PAF ∠=，根据升幂公式可求1sin OAF ∠=，即为椭圆离心率.【详解】解：如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a aPF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以13sin 3OAF ∠=， 即13sin 3c OAF e a ∠===， 故选：A.【点睛】考查利用椭圆的性质、解三角形的知识以及三角恒等变换求椭圆的离心率；基础题. 10. 如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（ ）A.33B.23C.53D.63【答案】D【解析】 【分析】连接BE ，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m ，平面VEF 的一个法向量n ，利用cos m n m nθ⋅=即可求解.【详解】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====， 由E 为线段AC 的中点， 则2VE BV ==，由222VE BE VB +=， 所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()2,0C ，)2,0,0B，(2V ，设(),2,0F x x ，(0,2,2VC =-，(2,0,2VB =-，(2EV =，(,2,2VF x x =-，设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111220220z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，则11y =，11z =， 所以()1,1,1m =.设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222200x x x y =⋅+⋅+=⎪⎩，解得20z =，令21y =，则21x x=-， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 平面VEF 与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅==， 将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭， 当x =时，()min 3f x=， 则cos θ3=. 故选：D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.非选择题部分（共110分）二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分.11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．【答案】 (1). 3 (2). 192 【解析】 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列求和公式可求得1a 的值，进而可求得7a 的值，由此可得出结果.【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，设其前n 项和为n S ， 由题意可得()71711212738112a S a-===-，解得13a =，则6732192a =⨯=. 因此，塔顶层有3盏灯，塔底层有192盏灯. 故答案为：3；192.【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，考查等比数列前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.12. 已知复数z 满足(1i)2+i z +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，||z =______．【答案】 (1). 32【解析】 【分析】根据复数z 满足(1i)2+i z +=-，利用复数的除法化简得到1322z i =-+，再根据复数的概念和模的求法求解.【详解】因为复数z 满足(1i)2+i z +=-， 所以()()()()2121311122i i i z i i i i -+--+===-+++-所以z 的虚部是32，||z ==，故答案为：①32；②2【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13. 已知多项式25272701270127(1)(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x b b x b x b x +-=+++++++=++++，则0127a a a a ++++=_____，5b =______．【答案】 (1). 64- (2). 11 【解析】 【分析】第一空，赋值1x =-可得；第二空，利用5(1)x -展开式求3x 的系数与5x 的系数和即可. 【详解】取1x =-，501272(2)64a a a a ++++=⨯-=-5(1)x - 展开式的通项515(1)k k k kT C x ，则2200555(1)+(1)=11b C C =--故答案为：64-；11【点睛】本题主要考查展开式中的特定项系数及项的系数和.(1)利用赋值法求解项的系数和时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．14. 已知圆224O x y +=：，过点)P作两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交该圆于A ，B 两点，2l 交该圆于C ，D 两点，则AB 的最小值是_____，AB CD +的最大值是_____．【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】将AB 用圆心到AB 的距离表示，再利用直角三角形中，直角边小于斜边，即可求得AB 的最小值；将AB CD +用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式，即可求得AB CD +的最大值.【详解】过O 作OE AB ⊥，交AB 于点E ，过O 作OF CD ⊥，交CD 于点F ， 连接OA ，OC ，设圆心O 到AB 的距离为1d ，圆心O 到CD 的距离为2d ， 则22211224AB OA d d =-=- 又OE OP ≤∴圆心O 到AB 的距离1d 的最大值为3OP =， ∴AB 的最小值为min 2432AB =-=，2222221212222424AB CD OA d OC d d d +=--=--又222123d d OP +==，()22221212844831022d d d d -+-+--≤==当且仅当126d d ==时，等号成立， 所以221210242442102AB CD d d +=--≤⨯=， 所以AB 的最小值为2，AB CD +的最大值是10. 故答案为：2；10【点睛】本题主要考查的是圆的弦长的计算，其中涉及到基本不等式的应用，属于中档题.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长.15. 新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答） 【答案】114 【解析】 【分析】先计算出没有限制条件下所有的排法种数，减去甲、乙两人安排在同一个路口时的排法种数，进而得解.【详解】先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1，此时，所有的排法种数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有()12333336C C A +=种排法.综上所述，共有15036114-=种. 故答案为：114. 【点睛】本题考查人员安排问题，采用正难则反的思想求解，考查计算能力，属于中等题.16. 已知a R ∈，若函数()2x x e af x e=-在区间()1,2x ∈上存在最小值，则a 的取值范围是_______．【答案】42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【解析】 【分析】当0a >时，根据2x x e ay e=-的单调性，可知若存在极值点，则两端点处的函数值一正一负；当0a =时，由函数单调性知不合题意；当0a <时，结合对号函数的性质可确定最值点所满足的范围；综合三种情况可得最终结论.【详解】当0a >时，2x x e a y e =-在()1,2上单调递增，2max 22e ay e∴=-，min 2e a y e =-，若()f x 在()1,2上存在最小值，则220202e ae e a e⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，即()min 0f x =，解得：2422e ea <<；当0a =时，()22x xe ef x ==，在()1,2上单调递增，不存在最小值，不合题意； 当0a <时，()22x x x x e a e a f x e e=-=-， ()1,2x ∈，()2,x e e e ∴∈，又2x x e a e -≥2x x e ae -=时，即x e =， ∴若()f x 在()1,2上存在最小值，则2e e <<，解得：4222e e a -<<-；综上所述：a 的取值范围为42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 故答案为：42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 【点睛】本题考查根据函数在区间内有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式，结合函数的单调性确定参数在不同范围内时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此可构造不等式求得结果.17. 已知ABC ∆三边长分别为3P 是平面ABC 内任意一点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是_______．【答案】163- 【解析】 【分析】 由()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅可得()232PA AB AC PA AB AC ++⋅+⋅，即()221333AB AC PA AB AC AB AC ⎛⎫++-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，当03AB ACPA ++=，即P 是ABC 的重心时取等号,根据三角形中的条件可得出答案. 【详解】()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA ⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅()232PA AB AC PA AB AC =++⋅+⋅()()222113333AB AC PA AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫+=+-++⋅≥-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()221133AB AC AB AC =-++⋅ 当03AB ACPA ++=，即P 是ABC 的重心时取等号.ABC ∆三边长分别为3若BC =则1213362AB AC ⋅===，此时原式()11169136333=-++⨯=-若3BC =,则141372AB AC ⋅===，此时原式()111610137333=-++⨯=-若BC =,则6332AB AC ⋅===，此时原式()11161093333=-++⨯=- 所以PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是163- 故答案为: 163-【点睛】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积，考查运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求此时的x 值．【答案】（1）最小正周期为π；（2）最大值为2，此时3x π=.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()33sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出26x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最大值，并可求出对应的x 值. 【详解】（1）()332sin cos cos 2sin cos sin 32f x x x x x x x π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⋅-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭233333sin cos 3sin sin 2cos 23sin 226x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+⎪⎝⎭， 因此，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当226x ππ-=时，即当3x π=时，函数()y f x =取得最大值33. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了正弦型函数最值的求解，解答的关键在于利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19. 如图，已知三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2AB AC BC PA ====，120PAC ∠=，3PM MC =．（1）证明：BM PC ⊥；（2）求直线AB 和平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）39. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点E ，PC 的中点F ，连AF 、ME 、BE ，利用等腰三角形三线合一的性质得出BE AC ⊥，利用面面垂直的性质可得出BE ⊥平面PAC ，进而得出BE PC ⊥，再证明出ME PC ⊥，可得出PC ⊥平面MBE ，由此可得出BM PC ⊥；（2）过点E 作EH MB ⊥垂足为点H ，推导出EH ⊥平面PBC ，计算出EH ，可得出点A 到平面PBC 的距离为2EH ，由此可计算出直线AB 和平面PBC 所成角的正弦值为2EHAB，进而得解.【详解】（1）取AC 的中点E ，PC 的中点F ，连AF 、ME 、BE .PA AC =，F 为PC 的中点，AF PC ∴⊥，又3PM MC =，M ∴为CF 的中点，//ME AF ∴，ME PC ∴⊥，又 AB BC =，E 为BC 的中点，BE AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，BE PC ∴⊥，又MEBE E =，PC ∴⊥平面MBE ，BM ⊂平面MBE ，PC BM ∴⊥；（2）由（1）知PC ⊥平面MBE ，PC ⊂平面PBC ，∴平面MBE ⊥平面PBC ，过点E 作EH MB ⊥垂足为点H ， 平面MBE平面PBC MB =，EH ⊂平面MBE ，EH ∴⊥平面PBC ，所以，EH 即是点E 到平面PBC 的距离，BE ⊥平面PAC ，ME ⊂平面PAC ，BE ME ∴⊥，2222213BE AB AE =-=-=cos601AF PA =⋅=，1122ME AF ∴==，MB∴===，113ME BEEHBM⋅∴===，又E是AC的中点，∴点A到面PBC的距离2Ah EH==，AB∴与面PBC所成角的正弦值为12AhAB==.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知数列{}n a满足：11a=，221(21)(21)n nn a n a++=-*()n N∈. 正项数列{}n c满足：对每个*n N∈，21n nc a-=，且21nc-，2nc，21nc+成等比数列．（1）求数列{}n a，{}n c的通项公式；（2）当2n≥时，证明：1235111117314nn c c c c-≤++++<+．【答案】（1）2(21)na n=-，2221,*12nn n kc k Nn n k⎧=-=∈⎨=⎩－；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得212(21)(21)nna na n++=－，由累乘法可得2(21)na n=-;由221(21)－n nc a n==-，得2nc n=（n为奇数），再根据21221,,－n n nc c c+是等比数列，可得到2-1nc n∴=（n是偶数），从而得出答案.（2）先验证2n=时，不等式成立，当3n≥时，不论n为奇数偶数都有()21111111nc n n n n n≥>=-++，2111111211nc n n n⎛⎫≤=-⎪--+⎝⎭，从而利用裂项相消法求和可证明结论.【详解】解：（1）解法一：由已知可得212(21)(21)nna na n++=－2n ∴≥时，13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---∴=⋅⋯⋯⋅⋅ 22222222(21)(23)31(21)(23)(25)1n n n n n =⋅⋯⋯⋅=－－－－－，又21(211)a =⨯-2(21)n a n ∴=-解法二：122(21)(21)n na a n n +=+－，即[]122(21)2(1)1n n a a n n +=+-－ 2(21)n a n ∴－为常数列，122(21)(211)n a a n ∴=⨯－－， 又21(211)a =⨯-2(21)n a n ∴=-又221(21)n n c a n ==-－ 2n c n ∴=（n 为奇数）又21221,,n n n c c c +－是等比数列222221212121n n n c c c n n -+∴=⋅=-⋅+（）（）2(21)(21)n c n n ∴=-⋅+2(1)(1)n c n n n ∴=-⋅+=-1（n 是偶数）综上可得2(21)n a n =-，2221,*12n n n k c k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩－ （2）先证123111174n c c c c ++++<…… 2n =时，12111471334c c +=+=<，显然成立. 3n ≥时，21n c n ≥- 3n ∴≥时，2111111211n c n n n ⎛⎫≤=- ⎪--+⎝⎭123n1111c c c c ∴+++⋯⋯+ 22111111111324354657(1)11n n ≤++++++⋯⋯++⋅⋅⋅⋅⋅---1111111111111123243546211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦－－－－－11117112214n n ⎛⎫=++< ⎪+⎝⎭－－再证12351111131nn c c c c -≤+++++ ①2n =时，左边14133=+=，右边43=，成立；②3n ≥时，不论n 为奇数偶数都有()21111111n c n n n n n ≥>=-++ 222123111111111++334k c c c c n +++⋯⋯+≥+++ 11111++33445(1)n n ≥+++⨯⨯⨯+4111111+334451n n =+-+-+-+ 5131n =-+ 综上所述，当2n ≥时，不等式1235111117314n n c c c c -≤++++<+成立. 【点睛】本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，考查数列不等式的证明，考查放缩法在证明不等式中的应用，考查裂项相消求和，将通项进行适当的放缩是解决本题的关键和难点，属于难题.21. 已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，P 是其准线l 上任意一点，过点P 作直线PA ，PB 与抛物线C 相切，A ，B 为切点，PA ，PB 与x 轴分别交于Q ，R 两点．（1）求焦点F 的坐标，并证明直线AB 过点F ； （2）求四边形ABRQ 面积的最小值． 【答案】（1）(0,1)F ，证明见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）由点斜式设出直线,AP BP 的直线方程，再由P 在,PA PB 上，得出直线AB 的方程，从而证明直线AB 过点F ；（2）将直线AB 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出PAB S ∆，PQR S ∆，再由四边形ABRQ 的面积PAB PQR S S S ∆∆=-，结合导数得出四边形ABRQ 面积的最小值．【详解】（1）由题意可知(0,1)F设2212120,,,,(,1)44x x A x B x P x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则111:()2PA x l y y x x -=-即112x y x y =- 同理22:2PB x l y x y =-. 又P 在,PA PB 上,则1012021212x x y x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,所以0:12AB x l y x =+所以直线AB 过焦点F. （2）由（1）知0:12AB x l y x =+,代入2:4C x y =得20240x x x --= 则1201224x x x x x +=⎧⎨=-⎩则22121212012()2244AB y y x x x x x ⎡⎤=++=+-+=+⎣⎦ P 到AB的距离d =所以201(2PAB S x ∆=+由（1）知12,0,,022x x Q R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212QR x x =-=所以PQR S ∆=令2t t =≥ 则四边形ABRQ 的面积311,(2)22PAB PQR S S S t t t ∆∆=-=-≥设311()22f t t t =-，231()22f t t '=-当2t ≥时，()0f t '>即函数()f t 在[2,)+∞上是增函数 则四边形ABRQ 面积的最小值为3【点睛】本题主要考查了抛物线中直线过定点问题，抛物线中的四边形的面积问题，属于中档题.22. 已知a R ∈，设函数2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++，()3g x ax =． （1）试讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x f x g x =+，是否存在实数a ，使得()h x 存在两个极值点1x ，2x ，且满足1212()()3ln 322h x h x x x ->--？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 注：ln3 1.10≈.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）存在，1143，⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及()(23)(-2)x ax f x x-'=，讨论a 的取值范围，即0a ≤，403a <<，43a =或43a >，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）解法一：求出2246()ax x h x x'-+=，根据题意可得2230ax x -+=有两解两解12,x x ，从而可得124430,0,0a x x ∆=-⨯>>>，从而求得103a <<，由11221212126ln()()()4x h x h x x a x x x x x x -=+-+--，令121x t x =>，可得12212()()4ln 21h x h x t tx x t -=-+--，利用导数求出()24ln 21t m t tt -+=-的单调性，且根据(3)0,(1)0m m ==即可求解；解法二：根据函数有两个极值点可得103a <<，然后将不等式化为1212ln ln 304x x x x ->-，由方程2230ax x -+=，得1,21x a±=t =(0,1)t ∈，则213t a -=，将不等式化为关于t 的不等式，利用导数即可证出.【详解】解：（1）2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++的定义域为{|0}x x >6()2(34)f x ax a x '=-++=22(34)6ax a x x-++=(23)(-2)x ax x -，（i ）若0a ≤,则20ax -<，所以()y f x =在3(0,)2递增，3(,)2+∞递减， （ii ）若403a <<，则()y f x =在3(0,)2递增，32(,)2a 递减，在2(,)a+∞递增， （iii ）若43a =,则()y f x =在(0,)+∞递增； （iv ）若43a >，则()y f x =在2(0,)a 递增，在23(,)2a 递减，在3(,)2+∞递增.（2）解法一： 2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++,()3g x ax =2()()()46ln 6h x f x g x ax x x =+=-++26246()24ax x h x ax x x='-+=-+， 若()y h x =有两极值点， 则2230ax x -+=有两解两解12,x x ，121223,x x x x a a+==. 且124430,0,0a x x ∆=-⨯>>> 所以103a <<. 11221212126ln()()()4x h x h x x a x x x x x x -=+-+--令121x t x =>，则121212121221311331()()()()222x x a x x x x x x t x x x x ta+-=-⨯=-+⨯=- 12212()()4ln 21h x h x t tx x t -∴=-+--若1212()()3ln 32,2h x h x x x ->--则24ln 3ln 312t t t >-，28ln 3(1)ln 30t t t -->，令2()8ln 3(1)ln 3m t t t t =--(3)0,(1)0m m ==，()8ln 86ln 3m t t t '=+-(1)86ln30m '=->，(3)810ln30m '=-<46ln 3()886ln 33ln 3()6ln 3t t m t t tt⨯--''=-==所以()y m t '=在4(1,)3ln 3递增，在4(,)3ln 3+∞递减 又(1)86ln30m '=->，(3)810ln30m '=-< 则在区间4(,3)3ln 3内存在0t 使得0()0m t '=. 函数y =m (x )在0(1,)t 单调递增，在0(,3)t 单调递减， 由(3)0,(1)0m m ==，所以当(1,3)t ∈时满足1212()()3ln 32,2h x h x x x ->--2212124()14233x x a t x x ta a +=++==，所以411(,)1433(2)a t t=∈++即实数a 的取值范围为11(,)43解法二： 2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++,()3g x ax =2()()()46ln 6h x f x g x ax x x =+=-++26246()24ax x h x ax x x='-+=-+， 若()y h x =有两极值点，则2230ax x -+=有两解12,x x ，121223,x x x x a a+== 且124430,0,0a x x ∆=-⨯>>>，所以103a <<1212121212()()6(ln ln )()4h x h x x x a x x x x x x --=+-+--1212ln3ln 32622x x x x =-+>-+-即 1212lnln 304x x x x ->-由方程2230ax x -+=，得1,2x =令t =，(0,1)t ∈，则213ta -=，12212213ln2ln ln 3ln 3ln 311012441x t t x t t t x x t +----=-=>--令213()2lnln 311t tG t t t+=---，求导可得 222222222(1)21(2)4(1)3ln 3()3ln 31(1)(1)1(1)t t t t t G t t t t t t ----+'=⋅-⋅=-+---- 22222224(1)3ln 3(1)(43ln 3)(43ln 3)(1)(1)t t t t t --+--+==--.令()0G t '=，得到01t =，所以()y G t =在0(0,)t 上单调递增，在0(,1)t 单调递减.又(0)0G =，312()2ln 3ln 30324G =-=，所以由1()0,(0,)2G t t >∈得，1(0,)2，解得1143a <<. 故实数a 的取值范围是1143（，）.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想，属于难题.。