高中数学人教版选修2-1教学设计：3.1.1空间向量及其加减与数乘运算 - 副本

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高二数学选修2-1§3.1.1空间向量及其加减运算导学案

§3.1.1 空间向量及其加减运算10分钟阅读教材84~85页，并完成本学案班级：姓名：一、学法指导结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。

通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。

二、知识要点1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的或 .（2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模。

如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作，其模记为或 . （3）特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做，记为 .其方向 . 单位向量：的向量叫做单位向量. 相反向量：与向量a 长度而方向的向量，记为 .相等向量：长度而方向的向量称为相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算：OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ；三、典型例题例1.下列说法中错误的是．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；⑤若a b =，则a 与b 的长度相等，方向相同或相反；⑥若,a b b c ==，则a c =；⑦若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB CD =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件.例2. 如图所示，在长、宽、高分别为3,2,1AB AD AA '===的长方体ABCD A B C D ''''-且以八个顶点的两个为始点和终点的向量中：①单位向量共有多少个，分别是哪些？②试写出模为5的所有向量；③试写出与AB 相等的所有向量；④试写出AA '的相等向量；⑤化简DA DB B C B B A B A B '''''-+-+-.例3.请完成下面的选填题(1)在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，若z y x ++=1，则z y x ,,的值分别是 . B a =++++-n n A A A A A A A A 1433221(2)直三棱柱111C B A ABC -中，若CC ===1,,，则1A B = ( )A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-(3)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若===,,，则=（） A.c b a 212121+- B.c b a 212121-- C.212321+- D.232121+- (4)已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是BC OA ,边的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量是（） A.OC OB OA OG 313161++= B.OC OB OA OG 323161++= C.3232++= D.323221++= 例4.若点G 是ABC ∆的重心，求证0GA GB GC ++=．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证)(21+=．。

高中数学选修2-1精品教案4-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计

3.1.1 空间向量及其加减运算一、课题：空间向量及其加减运算二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；2．练习：课本28页第2题．（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r ．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业：1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的12条棱对应的向量中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中，正确的有( )①若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件④“AB →＝CD →”的充要条件是“A 与C 重合，B 与D 重合”A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →＝( )A.DB →B.AC →C.AB →D. BA →6. 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____________7．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝________.9．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.答案例题分析：例1．【答案】解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．【说明】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【答案】解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．作业：1．【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．故选C.【答案】C2．【解析】①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又因为A 、B 、C 、D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →.②正确．因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同．因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .③正确．a ＝b ，|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .④不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|且AB →与CD →同向．故选C.【答案】C3．【解析】DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.故选D.【答案】D6. 解析方法一因为AB →－CD →＝ AB →＋DC →，所以(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.【答案】07．【解析】如图，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BO →＝－b ，OC →＝－a ，所以BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .【答案】－b －a9．【证明】如图，作向量AA ′→，AC →，则AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．【答案】(1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．。

高中数学选修2-1精品教案1：3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．教学重、难点：共线、共面定理及其应用．教学过程：一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义．二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能．三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 2．共线向量如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP u u u r＝OA u u r＋ta ，①其中a 叫做直线l 的方向向量，如图所示. 若在l 上取AB u u u r＝a ，则①式可化为OP u u u r ＝OA u u r ＋tAB u u u r .如图，空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，或对空间任意一点O 来说，有OP u u u r ＝OM u u u r ＋x MA u u u r ＋y MB u u u r . 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b ≠0不可遗漏． 4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP u u u r ＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，且x＋y ＋z ＝1判断P ，A ，B ，C 四点共面．四.例题分析及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AM u u u r ＝12MC u u ur ，1A N u u u r ＝2 ND u u u r .设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u r .[思路点拨] 先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN u u u r表示成其他向量，然后进一步用a ，b ，c 表示MN u u u r.[精解详析] 如图所示，连接AN ，则MN u u u r ＝AN u u u r －AM u u u r ＝1AA u u u r ＋1A N u u u r －13AC u u u r＝1AA u u u r ＋231A D u u u r －13(AB u u u r ＋BC u u ur )＝1AA u u u r ＋23(AD u u u r －1AA u u u r )－13(AB u u u r ＋AD u u u r)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MNu u u r表示为MN u u u r ＝MA u u u r ＋1AA u u ur ＋1A N u u u r .训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r＝b ，1A A u u u r ＝c ，则下列向量中与1B M u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M u u u u r ＝1B B u u u r ＋BM u u u r ＝1B B u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r )＝1B B u u u r ＋12AD u u u r －12AB u u u r ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1) OQ u u u r ＝PQ u u u r ＋x PC u u u r ＋y PA u u r；(2) PA u u r ＝x PO u u u r ＋y PQ u u u r ＋PD u u u r.解：(1)∵OQ u u u r ＝PQ u u u r －PO u u u r ＝PQ u u u r －12(PA u u r ＋PC u u ur )＝PQ u u u r －12PA u u r －12PC u u u r ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA u u r ＋PA u u r ＝2PO u u u r ，∴PA u u r＝2PO u u u r －PC u u u r .又∵PC u u u r ＋PD u u u r ＝2PQ u u u r ，∴PC u u u r ＝2PQ u u u r －PD u u u r .从而有PA u u r ＝2PO u u u r －(2PQ u u u r －PD u u u r )＝2PO u u u r －2PQ u u u r ＋PD u u u r.∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE u u u r 与MN u u u r是否共线．[思路点拨] 分析题意u u u r u u r u u u ru u u r →[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u r ＝MC u u u r ＋CB u u r ＋BN u u u r ＝12AC u u u r ＋CB u u r ＋12BF u u u r ＝12(BC u u u r －BA u u r )＋CB u u r ＋12(BA u u r ＋BE u u u r )＝12BC u u ur ＋CB u u r ＋12BE u u u r ＝12(CB u u r ＋BE u u u r )＝12CE u u u r . ∴CE u u u r ∥MN u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u r共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB u u u r＝a ＋2b ，BC u u u r ＝－5a ＋6b ，CD u u u r ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：BD u u u r ＝BC u u ur ＋CD u u u r ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB u u u r，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF u u u r ＝23CB u u r ，CG u u u r ＝23CD u u u r.求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE u u u r ＝12AB u u u r ，AH u u u r ＝12AD u u u r ，EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r ＝12AD u u u r －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u ur ＝12(CD u u u r －CB u u r )＝12(32CG u u u r －32CF u u u r )＝34(CG u u u r －CF u u u r )＝34FG u u u r ，∴EH u u u r ∥FG u u u r 且|EH u u u r |＝34|FG u u u r |≠|FG u u u r |.又点F 不在EH u u u r上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．试证：EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，则EF u u u r ＝EA u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ，EF u u u r ＝EB u u r ＋BC u u ur ＋CF u u u r .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA u u r ＝－EB u u r ，DF u u u r＝－CF u u u r .②将②代入①中，两式相加得2 EF u u u r ＝AD u u u r ＋BC u u ur .所以EF u u u r ＝12AD u u u r ＋12BC u u u r ，即EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF u u u r ＝x AD u u u r＋y BC u u u r 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD u u u r ，BC u u u r 表示EF u u u r.训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM u u u r ＝3OA u u r －2OB u u u r －OC u u u r B ．OM u u u r ＋OA u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0C ．MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u ur ＝0D ．OM u u u r ＝14OB u u u r －OA u u r ＋12OC u u u r解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u ur ，∴M 与A ，B ，C 必共面．答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB u u u r ＝e 1＋e 2，AC u u u r ＝2e 1＋8e 2，AD u u u r＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB u u u r ＝λAC u u u r ＋μAD u u u r ，即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB u u u r ＝15AC u u u r ＋15AD u u u r.从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面．五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP u u u r ＝αOA u u r ＋βOB u u u r ＋γOC u u u r(α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性．六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1C ．2 D ．3①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D .14a ＋12b ＋14c 解析：OE u u u r ＝OA u u r ＋AE u u u r ＝OA u u r ＋12AD u u u r ＝OA u u r ＋12×12(AB uu u r ＋AC uuur )＝OA u u r ＋14(OB u u u r －OA u u r ＋OC u u u r －OA u u r )＝12OA u u r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确．答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r ＝34OA u u r ＋18(OA u u r ＋AB u u u r )＋18(OA u u r ＋AC u u u r )＝OA u u r ＋18AB u u u r ＋18AC u u u r ， ∴OP u u u r －OA u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r ，∴AP u u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB u u u r ＋12BC u u u r －32BE u u u r －AD u u u r化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB u u u r ＋12BC u u u r ＝AF u u u r ，32DE u u u r ＋AD u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＝AF u u u r ，故AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB u u u r＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD u u u r ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＝AB u u u r －CB u u r ＋CD u u ur ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB u u u r ＝λAD u u u r，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴1AA u u u r ＝1BB u u u r ＝1CC u u u r ＝1DD u u u u r ，∴BE u u u r ＝131AA u u u r ，DF u u u r ＝231AA u u ur ，∴1AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋131AA u u ur ＋231AA u u u r＝(AB u u u r ＋131AA u u u r )＋(AD u u u r ＋231AA u u u r )＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ＝AE u u u r ＋AF u u u r.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E u u u r ＝21ED u u u r，F 在对角线A 1C上，且1A F u u u r ＝23FC u u ur .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c .∵1A E u u u r ＝21AA u u u r ，1A F u u u r ＝23FC u u u r ，∴1A E u u u r ＝2311A D u u u u r ，1A F u u u r ＝251AC u u u r ，∴1A E u u u r ＝23AD u u u r ＝23b ，1A F u u u r ＝25(AC u u u r －1AA u u u r )＝25(AB u u u r ＋AD u u u r －1AA u u ur )＝25a ＋25b －25c .∴EF u u u r ＝1A F u u u r －1A E u u u r ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB u u r ＝1EA u u u r ＋1A A u u u r ＋AB u u u r ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF u u u r ＝25EB u u r.所以E ，F ，B 三点共线．。

人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。

高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-1 空间向量及其加减运

栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点 O,作 �� =a, �� =b,则�� =a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
3.1 空间向量及其运算
-1-
3.1.1 空间向量及其加减运算
-2-
目标导航
第一章
三角函数
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示. 2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解向量减法的几何意义.
栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
空间向量的加减法剖析:(1)求两个空间向量和的运算,叫做空间向量的加法. (2)空间向量加法的三角形法则.如图所示,若�� =a, �� =b,则 �� = �� + �� =a+b.使用三角形法则要特别注意“首尾相接”.
解析:①(�� + �� ) + ��1 = �� + ��1 = ��1 , ②(��1 + ��1 ��1 ) + ��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 , ③(�� + ��1 ) + ��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 , ④(��1 + ��1 ��1 ) + ��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 .

人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.1.1空间向量及其加减﹑数乘运算

自主解答：(1)原式可变形为(O→B－O→P)＋(O→M－O→P)＋(O→A －O→P)＝0，即P→B＋P→M＋P→A＝0，故向量P→B，P→M，P→A共面，于是点 P 与点 A，B，M 共面．
(2)原式可变形为： O→P＝2O→A＋O→A－O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A. ∵点 P 位于平面 ABM 内的充要条件是O→P可写成O→P＝O→A＋ xB→A＋yM→A，而此题推得O→P＝2O→A＋B→A＋M→A， ∴点 P 与点 A，B，M 不共面．
【变式与拓展】
1．如图 3－1－4，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若 AB＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则向量B→M等于( A )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D．12a－12b＋c
答案：A
【变式与拓展】 2．设 e1，e2 是平面上不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，
C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值．解：∵B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2，A→B＝2e1＋ke2，又 A，B，
D 三点共线，由共线向量定理，得12＝－k4.∴k＝－8.
1．空间向量．在空间，我们把具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向量．向量的___大__小_____叫做向量的长度或模．
3．零向量．长度为__0____的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是_任__意__的___．当有向线段的起点A与终点B重合时，A→B＝0.
4．单位向量．模长为___1_____的向量． 5．相反向量．与向量a的__长__度__相等而____方__向____相反的向量B→M＝12B→A1＋B→C1＝12－a＋b＋2c.

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

设点),(y x P 按向量),(k h a平移后得到点),(y x P ，则OP u u u r ＝OP uuu r +a 或.,k y y h x x ，曲线)(x f y 按向量),(k h a平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y(6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a 余弦定理：A bc c b a cos 2222bca cb A 2cos 222B ac a c b cos 2222cab ac B 2cos 222C ab b a c cos 2222abc b a C 2cos 222 .二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b u u u r u u u r u u u r v rBA OA OB a b u u u r u u u r u u u r r r ()OP a R u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a)(C BAOb b baa aC'B'A'D'DABC。

【人教A版】高中数学选修2-1：3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算

2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念定义表示法相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法加法:三角形法则或减法平行四边形法则数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思Hale Waihona Puke ：空间任意两个向量是否可能异面？数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
OP xOA yOB zOC 0 (x y z 1)
求证：
O DC
⑴四点E、F、G、H共面；A
B
H
G
⑵平面EG//平面AC.
E
F
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；

人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量及其加减运算》教案-新版

3.1.1 空间向量及其加减运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课学习，使同学们理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的加减运算法则及运算律，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义，并通过空间几何体加深对运算的理解．（二）学习目标 1．理解空间向量的有关概念．2．掌握空间向量的加减运算法则及运算律．3．培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力，培养学生空间想象能力．（三）学习重点 1．空间向量的有关概念．2．空间向量的加减运算的平行四边形法则和三角形法则．3．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用．（四）学习难点 1．对空间向量相关概念的理解及与平面向量的关系．2．熟练掌握加减法的运算法则．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第84页至第85页，填空：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量可以用有向线段来表示．向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r．我们规定，长度为0的向量叫做零向量．模为1的向量称为单位向量．与向量a r为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a r．方向相同且模相等的向量称为相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．（2）写一写：空间向量的加法和减法运算的字母表示是什么？OA AB OB +=uu r uu u r uu u r ，OA OC CA -=uu r uuu r uu r ．空间向量的加法运算满足的交换律和结合律是什么？ a b b a +=+r r r r ，()()a b c a b c ++=++r r r r r r ．2．预习自测（1）以下说法正确的是（）A ．向量AB uu u r 的长度与向量BA uu r的长度相等 B ．零向量没有方向C ．若空间向量a r ，b r 满足||||a b =r r，则a b =r rD ．空间中任意两个单位向量必相等【知识点】空间向量概念的应用．【解题过程】相反向量长度相同，A 正确；零向量的方向为任意方向，B 错误；向量相等既要长度相等，也要方向相同，C 错误；单位向量方向不确定，D 错误．【思路点拨】理解向量的各种概念．【答案】A ．（2）向量AB BC CD ++uu u r uu u r uu u r的化简结果是．【知识点】空间向量加法的字母运算．【解题过程】=C+=AB BC CD A CD AD ++uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r【思路点拨】空间向量加法的字母运算的关键是首尾相接．【答案】AD uuu r．（3）向量AB CB -uu u r uu r的化简结果是（） A ．CA uu rB ．AC uuu rC ．0rD ．BA BC -uu r uu u r【知识点】空间向量减法的字母运算．【解题过程】AB CB -uu u r uu r AB BC =+uu u r uu u r .AC =uuu r【思路点拨】利用相反向量的概念，将空间向量的加法运算转化为减法运算．【答案】B ．（4）在正方体1111D C B A ABCD -中，下列选项中化简后为零向量的是（）A ．1AB AD AA ++uu u r uuu r uuu r B ．1AB AC BB -+uu u r uuu r uuu r C ．1111AB AD C A ++uu u r uuuu r uuu u rD ．1AC CB AB +-uuu r uuu r uu u r【知识点】在空间几何体中进行空间向量的加法运算．【解题过程】1111AB A D C A ++uu u r uuuu r uuu u r AB AD CA =++uuu r uuu r uu r 0AC CA =+=uuu r uu r r ．【思路点拨】利用正方形中的平行四边形的性质进行空间向量的加法运算．【答案】C ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面向量的定义及表示方法；（2）平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念；（3）平面向量中加减法的平行四边形法则和三角形法则． 2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的概念★ ●活动① 类比提炼概念在必修四中，我们学习了平面向量的一些概念，那么在空间中，空间向量的概念和平面向量有什么异同呢？在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．【设计意图】从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程． ●活动② 辨析概念，理解特殊向量在平面向量中，我们是用什么来表示向量的呢？（抢答）与平面向量一样，空间向量可以用有向线段来表示．向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r ，其模记作||a r 或||AB uu u r ．【设计意图】通过深入类比，学生的思维逐步过渡到空间向量上． ●活动③ 辨析概念，理解特殊向量与平面向量一样，空间向量也有一些特殊的向量．我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．【设计意图】通过概念辨析，加深对向量内涵与外延的理解，突破重点．探究二探究空间向量的加减法运算★ ●活动① 平移类比，提炼运算法则空间任意两个向量一定共面吗？（抢答）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．已知空间向量a r ，b r，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r ．【设计意图】通过平移类比，用平面向量引出空间向量的运算法则． ●活动② 巩固理解，深入探究平面向量的加法有哪些运算律呢？空间向量呢？（抢答）交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r，空间向量的加法运算律和平面向量一致．【设计意图】通过抢答，学生在复习平面向量的加法运算律的同时，得到空间向量的加法运算律，理解更加深入．探究三探究空间向量的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，我们知道了空间向量是平面向量在空间的推广，各种概念、运算和平面向量基本一致．那有哪些内容和平面向量是不一样的呢？（抢答）在空间中，三个以上的向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况．【设计意图】通过学生归纳知识点和方法，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 已知a r ，b r为空间向量，以下命题正确的是（）A ．若||||a b =r r，则a b =r rB ．若||||a b <r r，则a b <r r C ．若a b =r r ，则||||a b =r rD ．若a b ≠r r ，则a r 与b r的方向不同【知识点】空间向量大小和方向概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】A 中，向量相等还需要方向相同，故错误；B 中，向量不能比较大小； D 中，与可能为平行关系．【思路点拨】深刻理解向量的定义，既有大小又有方向．【答案】C ．同类训练给出以下命题：①若向量a r 是b r 的相反向量，则||||a b =r r； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体1111D C B A ABCD -中，必有11AC A C =uuu r uuu u r．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中11//C A AC ，符合向量相等的定义，正确．【思路点拨】熟悉、理解各种概念．【答案】C ．【设计意图】通过概念辨析，学生对向量概念理解更加深刻． ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）单位向量共有多少个？（2）模为5的向量有哪些？【知识点】空间向量的表示法，向量的模．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵11111====DD CC BB AA ，∴向量1AA uuu r ，1A A uuu r ，1BB uuu r ，1B B uuu r ，1CC uuu r ，1C C uuu r，1DD uuur ，1D D uuur都是单位向量．（2）∵51111====C B BC D A AD ，∴向量1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r，1CB uuu r都是符合题意．【思路点拨】先找出满足条件的线段．【答案】（1）8个；（2）1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r ，1CB uuu r.同类训练在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）与AB uu u r相等的向量有哪些？（2）试写出向量AB uu u r的相反向量．【知识点】空间向量的表示法，相等向量与相反向量．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵1111//////C D DC B A AB ，∴向量DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r 与AB uu ur 相等．（2）同（1）分析，向量BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r 是AB uu ur 的相反向量．【思路点拨】先找出直线AB 的平行线，再确定方向．【答案】（1）DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r ；（2）BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r．【设计意图】通过向量的列举，使学生对向量的各种概念更加熟悉，巩固基础． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，求证：1112AC AB AD AC ++=uuu r uuu r uuu r uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，11AB AB AA =+uuu r uu u r uuu r ，11AD AD AA =+uuu r uuu r uuu r ，且AD BC =uuu r uu u r ，11AA CC =uuu r uuu r∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1112()2()2AB AD AA AB BC CC AC =++=++=uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】将坐标的向量都用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r表示出来，再根据空间向量的加法法则得到答案．【答案】见解题过程．同类训练在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1A C uuu r．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1111A C AC AA AB BC AA AB AD AA =-=+-=+-uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11A C AB AD AA =+-uuu r uu u r uuu r uuu r．【设计意图】巩固空间向量的加减法运算，培养学生数形结合的能力． 3. 课堂总结知识梳理（1）在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．（2）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r ．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．（3）已知空间向量a r ，b r ，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r．空间向量的加法交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r ．重难点归纳（1）空间向量是平面向量在空间中的推广，是既有大小又有方向的量．要注意零向量，单位向量，相反向量，相等向量的规定．（2）两个空间向量的加减法的运算法则和运算律与平面向量类似；三个以上的空间向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况．（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（） A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若||||a b =r r，则a r 与b r 的方向相同或相反D ．若a r 与b r 是相反向量，则||||a b =r r 【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】单位向量方向没有规定，A 错误；零向量的相反向量是本身，B 错误；向量的大小和方向没有必然联系，C 错误．【思路点拨】深刻理解各种概念．【答案】D ．2．在三棱柱111C B A ABC -中，AC uuu r 与11A C uuu u r 是________向量，AB uu u r 与11B A uuu u r是________向量【知识点】相等向量与相反向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵11//C A AC ，且AC uuu r 与11A C uuu u r 方向相同，∴AC uuu r 与11A C uuu u r是相等向量，同理，AB uu u r 与11B A uuu u r是相反向量．【思路点拨】熟记相等向量与相反向量的定义．【答案】相等，相反．3．在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-uu r uu u r uu r等于（） A ．OA uu rB ．AB uu u rC ．OC uuu rD ．AC uuu r【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】OA AB CB +-uu r uu u r uu r ()OA AB BC =++=uu r uu u r uu u r OB BC +uuu r uu u r OC =uuu r ．【思路点拨】利用加法结合律和三角形法则．【答案】C ．4．在三棱柱111C B A ABC -中，若CA a =uu r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，则1A B =uuu r（）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r 【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】 1A B =uuu r 111A C C C CB ++=uuu u r uuu r uu r 1CA CC CB --+=uu r uuu r uu ra b c -+-r r r 【思路点拨】将一个向量通过加法法则拆分成已知向量．【答案】D ．5．在长方体1111D C B A ABCD -中，1BA BC DD ++=uu r uu u r uuur（）A ．11DB uuuu r B ．1D B uuu rC ．1DB uuu rD ．1BD uuu r【知识点】空间向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=++1DD =+1DD 1BD ．【思路点拨】利用图形和加法结合律，依次运算．【答案】D ．6．已知长方体1111D C B A ABCD -，化简下列向量表达式：（1）1AA CB -uuu r uu r ；（2）11111AB B C C D ++uuu r uuu u r uuuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）AA -1AA +=11111AD D A AA =+=．（2）111111AD D C C B AB =++．【思路点拨】熟练掌握加法的三角形法则．【答案】（1）1AD （2）1AD ．能力型师生共研7．在空间四边形ABCD 中，2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r________．【知识点】空间向量的加减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r 2()()AB BC CA BD DA ++++uu u r uu u r uu r uu u r uu u r2220AB BA BA AB BA =++=+=uu u r uu r uu r uu u r uu r r ．【思路点拨】利用加法在正方体1111D C B A ABCD -中的三角形法则．【答案】0r．8．已知正方体1111D C B A ABCD -的中心为O ，则在下列各结论中，正确的共有（）①OA OD +uu r uuu r 与11OB OC +uuu r uuu r是一对相反向量； ②OB OC -uu u r uuu r 与11OA OD -uuu r uuu r是一对相反向量；③OA OB OC OD +++uu r uu u r uuu r uuu r 与1111OA OB OC OD +++uuu r uuu r uuu r uuu r是一对相反向量．④1OA OA -uuu r uu r 与1OC OC -uuu r uuu r是一对相反向量；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】相反向量的定义，向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画图，利用向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．【思路点拨】数形结合，利用图形和平行四边形法则进行运算．【答案】C ．探究型多维突破9．在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式运算结果为向量1AC uuu r的有（）． ①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r ；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r ； ③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r 11AC CC AC =+=uuu r uuu r uuu r；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r 1111AD D C AC =+=uuu r uuuu r uuu r ；③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ．【思路点拨】利用加法三角形法则和结合律．【答案】D ．10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M ，N 分别为BC ，PD 的中点，若AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，AP c =uu u r r ，则MN =uuu r ________（用a r ，b r ，c r 表示）．【知识点】空间几何体中向量的加减运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=MN MC CD DN ++=uuu r uu u r uuu r 1122BC BA DP ++uu u r uu r uu u r 11()22AD AB AP AD =-+-=uuu r uu u r uu u r uuu r 12AB AP -+uu u r uu u r 12a c =-+r r ．【思路点拨】利用中点性质，将向量用已知向量表示．【答案】12a c -+r r ．自助餐1．下列说法正确的是（）A ．向量AB uu u r 与BA uu r 的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量AB uu u r 与BA uu r 的长度都是线段AB 的长度，A 正确；将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个球面，B 错误；有向线段只是用来表示空间向量，两者并不相同，C 错误；不相等的两个空间向量的模可能相等，D 错误．【思路点拨】熟悉空间向量的概念．【答案】A ．2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1BD uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】1111()BD AD AB AB AD AA AB AD AA =-=-++=-++uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11BD AB AD AA =-++uuu r uu u r uuu r uuu r ．3．在长方体1111D C B A ABCD -中，设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuu r r ，则||a b c ++r r r 与||a b c --r r r 的大小关系为（）A ．>B ． <C ．=D ．不能确定【知识点】向量的加减法，向量的模．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1||||a b c AC ++=r r r uuu r ，1||||a b c D B --=r r r uuu r ，由长方体的对角线长度相等，可得||a b c ++r r r =||a b c --r r r ．【思路点拨】画图，合理运算，由长方体的几何性质可得．【答案】C ． 4．已知长方体1111D C B A ABCD -，1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r ________ ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r 1AD AB AA ++=uuu r uu u r uuu r 1AC uuu r ．【思路点拨】掌握加法的三角形法则．【答案】1AC uuu r ．5．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【知识点】相等向量的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由题意，可得EF 是ABC ∆的中位线，∴2EF AC =uu u r uuu r ，同理有2HG AC =uuu r uuu r ，∴EF HG =uu u r uuu r ，即HG EF //，故四边形EFGH 是平行四边形．【思路点拨】利用中位线的性质，得到两个向量相等．【答案】见解题过程．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，下列关于1AC uuu r 的表达式错误的是（）A ．11111AA AB A D ++uuu r uuu u r uuuu rB ．111AB DD DC ++uu u r uuur uuuu r C ．111AD CC D C ++uuu r uuu r uuuu r D ．111AB B C CC ++uu u r uuu u r uuu r【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】111AB DD D C ++uu u r uuur uuuu r 111()AB DD D C =++=uu u r uuur uuuu r 111AB DC AB AB AC +=+≠uu u r uuur uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】考虑加法结合律，结合图形得到答案．【答案】B ．。

2021秋高中数学人教A版选修2-1学案3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：____，其模记为__|a|__或__||__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__任意____0____0__单位向量任意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__ 的相反向量：____相等向量相同__相等__a＝b(1)加法：＝__＋__＝a＋b.(2)减法：＝__－__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是任意的λ<0方向__相反__①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__ 平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝x a＋y b__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋t a__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)－＋；(3)＋＋－.结果为零向量的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于(1)，＋＋＝＋＝0；对于(2)，－＋＝＋＝0；对于(3)，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是(A) A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋(－)＝c－a＋b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P 与A、B、C三点共面，则λ＝____.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①②B．②③C．①③D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.『规律总结』处理向量概念问题需注意两点①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解析](1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)||＝|＋＋|∴||2＝2＋2＋2＝9∴||＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.[思路分析](1)分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.[规范解答](1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路分析]由题目可以获取以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？[思路分析]要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2，∴∥，即与共线．『规律总结』 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使＝λ成立．(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，∴a＝4(e1－e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令＝a，＝b，＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c.令＝λ＋μ，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，∴，∴.∴＝2＋，因此向量、、共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』 1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝x a＋y b，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．[解析]如图，连接BG、EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝BD，∴＝＝＋.同理，＝＋.∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得＝(＋＋＋＋＋)＝(＋)＝(a＋b)．所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.易混易错警示典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.[错解]因为M为OA的中点，所以＝，因为＝2，所以＝，所以＝OM＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋(＋)＝＋＋所以x，y，z的值分别为，，.[辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝(＋)．[正解]∵M为OA中点，∴＝，∵＝，∴＝∴＝＋＝＋M＝＋＝·＋·(＋)＝＋＋∴x，y，z的值为，，.。

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。

其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

选修2-1教案 3.1空间向量及其运算

§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0 . 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？表示？（用有向线段表示）记法？ → 零向量？单位向量？相反向量？ → 讨论：相等向量？同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， OP = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1(3)'2AB AD CC ++ ； 1(')3AB AD AA ++ ⑷．师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习：作业：P106 A 组 1、2题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

人教A版高中数学选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算课件 (共13张PPT)

A C D
B
E C
D E
４.向量的模：a
５.特殊向量：零向量和单位向量
６.向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线
７.共线（平行）向量： a // b
A B C D
规定：零向量与任意向量共线注意：平行向量的基线可能重合
E A
C D
B E
交换a律 b： ba
有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变结合 (a律 b)c： a(bc)
(1)ABAD AA D
(2)DDABBC
A
(3) AB AD
D
1 ( DD BC )
2
A
C B
M C
B
三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量
D
A C
O
B
例2如图M ，，N分别是四A面 B体 C的 D棱 AB，CD的中点，
a
c
bb
a
a+ b
二、空间向量的加法运算 a
b
平行四边形法则
A
a b
O
B
C
三角形法则
多边形法则封口向量
a b
A O
B
ab
A
B
D C
A B
D C
三、空间向量的减法运算
三角形法则
a b
A
a
ab
O
b
B
a
A ab
O
ab B
b C
OCab BAab |a||b| |ab| |a||b| |a||b| |ab| |a||b|
不改变向量a的方向（当>0时），也可以改变向量a的方向（当 <0时）。

高中数学选修2-1学案：3.1.1 空间向量及其加减运算

3．1.1 空间向量及其加减运算[学习目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及运算律，理解向量减法的几何意义．知识点一空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (3)特殊向量知识点二空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b .知识点三空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．题型一空间向量的概念例1 判断下列命题的真假． (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (4)向量AB →与BA →的长度相等．解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同． (2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的． (4)真命题．因为BA →与AB →仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. (3)|AC 1→|＝3.题型二空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →；②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④[答案] A[解析] (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； (2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. 反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号)．①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. [答案] ①②③④[解析] ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 题型三空间向量加减运算的应用例3 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′.求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)．又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.反思与感悟利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．跟踪训练3 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→；(2)AB →＋CC 1→－DD 1→. 解如图．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] a ＝b ⇒|a |＝|b |；|a |＝|b |D ⇒/a ＝b .2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，各条棱所在的向量中，模与向量A ′B ′→的模相等的向量有( )A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个 [答案] A[解析] |D ′C ′→|＝|C ′D ′→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →| ＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|. 3．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →[答案] B[解析] 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故A 不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B 正确；空间向量的减法不满足结合律，故C 不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故D 不正确．故选B.4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c [答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .5．下列命题中正确的个数是________． ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |；②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若a ，b ，c 为任意向量，则(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内． [答案] 3[解析] 由单位向量的定义知|a |＝|b |＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．。

高中数学选修2-1优质学案4：3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．学习重点：空间向量的加减法运算．学习难点：空间向量的基本概念和性质．学习过程知识梳理1．空间向量的概念的图形？2．空间向量的加减法与运算律想一想：已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD＋DA＝0还成立吗？名师点睛1．空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法． 2．几类特殊向量(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0，单位向量e 的模|e |＝1.(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．3．向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b BA →＝OA →－OB →＝a －b注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.题型一空间向量的概念辨析例1 给出以下命题：①若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ； ②在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．变式1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA →与向量AB →的长度相等．题型二空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.变式2 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)题型三空间向量加减运算的应用例3在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.变式3 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.——★ 参考答案 ★——学习过程知识梳理1．空间向量的概念想一想：成立．∵AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CD →＝AD →，AD →＋DA →＝0，∴结论成立．题型一空间向量的概念辨析例1 ②③[解析] 命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错． [答案]变式1 解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． (3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的．题型二空间向量的加减运算例2 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→.(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．变式2解法一 (统一成加法)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用OA →－OB →＝BA →)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝ CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是空间内任意一点，则原式＝[(OB →－OA →)－(OD →－OC →)]－[(OC →－OA →)－(OD →－OB →)] ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 题型三空间向量加减运算的应用例3解：如图．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.变式3 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→， AD ′→＝AD →＋AA ′→，∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)．又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.。

高中数学选修2-1优质学案7：3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.1 空间向量及其加减运算教材新知提出问题李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？问题2：如何刻画李老师行驶的位移？导入新知1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有和的量叫做空间向量．(2)长度：向量的叫做向量的长度或．2．几类特殊向量1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 2．单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1.3．方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．4．空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量. 常考题型题型一空间向量的概念辨析例1 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB ―→＋AD ―→＝AC ―→类题通法(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．活学活用给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ―→＝A 1C 1―→；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反．其中正确命题的序号是________．题型二空间向量的加减运算例2 已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB ―→＋BC ―→－C 1C ―→； (2)AB ―→－DA ―→－A 1A ―→. 类题通法在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．活学活用化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)．随堂即时演练1．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由顶点连接的向量中，与向量AD ―→相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( )A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向3．式子(AB ―→－CB ―→)＋CC 1―→运算的结果是________． 4．下列命题中正确的是________(填序号)． ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．5．如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1) AA ′―→－CB ―→； (2) AA ′―→＋AB ―→＋B ′C ―→.——★ 参考答案 ★——教材新知提出问题问题1：提示：不是．问题2：提示：借助于空间向量的运算．导入新知 1．(1)大小方向 (2)大小模常考题型题型一空间向量的概念辨析例1 [答案]B[解析]|a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB ―→＋AD ―→＝AC ―→，只有在平行四边形中才能成立．故选B. 活学活用 [答案]①②[解析]①正确；②正确，因为AC ―→与A 1C 1―→的大小和方向均相同；③不正确，因为|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定．综上可知，正确命题为①②. 题型二空间向量的加减运算例2 解：(1)AB ―→＋BC ―→－C 1C ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→(如图)． (2)AB ―→－DA ―→－A 1A ―→ ＝AA 1―→＋(AB ―→＋AD ―→) ＝AA 1―→＋(A 1B 1―→＋A 1D 1―→) ＝AA 1―→＋A 1C 1―→ ＝AC 1―→(如图)．活学活用解：法一：(统一成加法) 原式＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝AB ―→＋DC ―→＋CA ―→＋BD ―→ ＝AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＋CA ―→＝0. 法二：(利用OA ―→－OB ―→＝BA ―→) 原式＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→ ＝(AB ―→－AC ―→)－CD ―→＋BD ―→ ＝CB ―→－CD ―→＋BD ―→＝DB ―→＋BD ―→＝0. 法三：(利用AB ―→＝OB ―→－OA ―→) 设O 是空间内任意一点，则原式＝[(OB ―→－OA ―→)－(OD ―→－OC ―→)]－[(OC ―→－OA ―→)－(OD ―→－OB ―→)] ＝OB ―→－OA ―→－OD ―→＋OC ―→－OC ―→＋OA ―→＋OD ―→－OB ―→＝0. 随堂即时演练 1．[答案]C[解析]与向量AD ―→相等的向量有BC ―→，A 1D 1―→，B 1C 1―→，共3个． 2．[答案]D[解析]由条件可知，点C 在线段AB 上，故选项D 正确． 3．式子(AB ―→－CB ―→)＋CC 1―→运算的结果是________．[解析](AB ―→－CB ―→)＋CC 1―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→. [答案]AC 1―→ 4．[答案]①③④[解析]对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．5．解：(1) AA ′―→－CB ―→＝AA ′―→－DA ―→＝AA ′―→＋AD ―→＝AA ′―→＋A ′D ′――→＝AD ′―→.(2) AA ′―→＋AB ―→＋B ′C ′――→＝(AA ′―→＋AB ―→)＋B ′C ′――→ ＝AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→. 向量AD ′―→，AC ′―→如图所示．。

高中数学选修2-1优质学案6：3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.1 空间向量及其加减运算预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材中的三个力F1、F2、F3以及三个向量，它们和以前所学的向量有什么不同？(2)在平面向量中，我们是如何计算两个向量的和与差的？对于空间向量是否仍然适用？2．归纳总结，核心必记(1)空间向量的有关概念①定义：在空间，把具有和的量叫做空间向量．②长度：向量的叫做向量的长度或．(2)几类特殊向量|a|＝1或||＝1a＝b或(3)问题思考(1)空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？(2)零向量没有方向吗？(3)在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？课堂互动区知识点1 空间向量的概念[解析]思考1“空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？思考2零向量有方向吗？讲一讲1．下列说法正确的有：________．①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．类题·通法(1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．练一练1．下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|知识点2 空间向量的加减运算讲一讲2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．类题·通法在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．练一练2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是空间向量的有关概念及空间向量的加减运算．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．3．本节课的易错点是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误．如，误写成，应为.——★参考答案★——预习导引区核心必知1．(1)提示：这三个向量不在同一个平面内．(2)提示：三角形法则和平行四边形法则，仍然适用于空间向量．2．(1)①大小方向②大小模问题思考(1)提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．(2)提示：任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．(3)提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有单位向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．课堂互动区知识点1 空间向量的概念[解析]思考1名师指津：正确．思考2名师指津：零向量的方向是任意的．讲一讲1．[答案]③④[解析]①假命题．当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同．②假命题．向量相等必须满足模相等、方向相同两个条件．④真命题．由向量相等的定义可知．⑤假命题．单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．练一练1．[答案]D[解析]单位向量的模都等于1，但方向不一定相同，可以是任意方向，故A错误；0的相反向量还是0，它们是相等的，故B错误；当|a|＝|b|时，a与b的方向是任意的，不一定相同或相反，故C错误；当a与b互为相反向量时，|b|＝|－a|＝|a|，故D正确．知识点2 空间向量的加减运算讲一讲2．练一练2．[答案]D。

高中数学选修2-1精品教案2-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计

3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学过程：一、复习引入1、我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．2、数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，（1）长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.3、关于向量的以上几种运算，有哪些运算律呢？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb4、在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请阅读课本P 84～P 85．二、新课讲授（一）基本概念1、空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．2、空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．3、向量的模：向量的大小叫向量的长度或模。

即表示向量的有向线段的长度。