高中数学余弦定理 单元测试
高二数学余弦定理试题答案及解析
高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2) 设函数,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知，又，代入余弦定理即可求的值；（2）由(1)得，，由两角和的正弦即可.（1）因为，所以，又，所以(2)由(1)得，所以.【考点】余弦定理，两角和的正弦3.在中,角所对的边分别为,已知,,,求.【答案】【解析】该题为在中求余弦,而三角形中求边或是求角一般都使用正弦定理以及余弦定理解决；本题中，已知两边以及一角，所以使用余弦定理求第三边 ,再根据三边，利用余弦定理求.试题解析：由余弦定理得：，∴，.【考点】余弦定理.4.在中，，则（）．A．B．C．D．【解析】，因为，所以。
【考点】余弦定理。
5.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。
质点的最短路线为线段，在中，，所以。
故C正确。
【考点】1余弦定理；2转化思想。
6.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)利用两角和与差的余弦公式,得出,从而得出得值,进一步得出的值.(2) 先利用余弦定理求出的值,然后利用三角形面积公式得出的面积.试题解析：(1)2分又6分(2)由余弦定理得 9分即:11分14分【考点】余弦定理及三角形面积公式.7.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．【解析】设中间角为, 则【考点】解斜三角形，余弦定理.8.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成比数列，所以有，且，由余弦定理推论，故正确答案是C.【考点】1.余弦定理；2.等比数列.9.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.一角槽的断面如图，四边形ADEB是矩形，若α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长度等于________ mm．【答案】210【解析】连接AB，则∠BAC＝90°－α＝40°，∠ABC＝90°－β＝20°，∴∠C＝180°－40°－20°＝120°，∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos120°＝902＋1502－2×90×150×(－)＝902＋1502＋90×150＝44100，∴AB＝210，故DE＝210(mm)．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，则b的值为()A．4B．8C．6D．10【答案】A【解析】由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA．∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b2－2bccosA＝2b，即b＝2ccosA＋2．由正弦定理及sinB＝4cosAsinC，得2cosA＝＝．∴b＝＋2，即b＝4．3.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，，则的面积等于________.【答案】.【解析】由余弦定理得，则有，整理得，由于，解得，.【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，又∵△ABC的面积为，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理，得，解得．又b为边长，∴．故选B6.已知△中，，，，则 .【答案】【解析】由题意，由余弦定理知.【考点】1.余弦定理.7.在△中，，，，则 .【答案】【解析】由题意，由余弦定理，得.【考点】1.余弦定理的应用.8.如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点A的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2），．【解析】（1）已知单位圆上点的坐标为，根据三角函数的定义有，这样我们很快可求得，也即求出的值；（2）在中，此三角形的两边长为1，而，因此只要应用余弦定理就能求得的长，，要求其范围，首先求得的范围，根据已知，此时可得，那么必有，的范围随之而得，．试题解析：（1）由已知，（2分）（4分）=. （6分）（2）（8分）（10分），，（12分）（14分）【考点】（1）三角函数的定义与求值；（2）余弦定理与三角函数的范围问题．9.已知面积和三边满足：，则面积的最大值为_______________ .【答案】【解析】（1）由题意得：，根据余弦定理得：，得，代入上式得：即，代入得：，∵，∴，∴，所以，面积的最大值为．【考点】解三角形．10.在中，，，且的面积为，则边的长为_________.【答案】【解析】，所以。
(完整版)正弦定理、余弦定理单元测试卷
高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题班级 姓名 1．在ABC ∆中，︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ，则=c ( )A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 32．在ABC ∆中，︒=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.633．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C.ο30或ο150D.ο60或ο1205.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解6．在ABC ∆中，︒===30,3,1A b a ，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解7.在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A c b a sin sin sin （ ） A.338 B.3392 C.3326 D. 32 8在△ABC 中，已知135cos ,53sin ==B A ，则C cos 等于（ ） （A ）6556 （B ）6516 （C ）6516或6556 （D ）6533 9．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）22 （D ）12-10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π311．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°12.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题13．在ABC ∆中，已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；14．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边．若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝________；15．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，则2sin A －sin B sin C＝________. 16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．三、解答题17、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形.18、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形.19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． （1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．。
高二数学余弦定理试题答案及解析
高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中，分别是角所对的边，且满足．(1) 求的大小；(2) 设向量，求的最小值．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）利用余弦定理可求得的值，从而求得；（2）利用向量的坐标运算可求得，从而可求得的最小值．(1)∵，∴．又∵，∴．（2），∵，∴．∴当时，取得最小值为．【考点】1、余弦定理；2、平面向量的坐标运算；3、二次函数的值域．3.已知中的对边分别为若且，则( )A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】解三角形问题，已知两边一角，求第三边，可用余弦定理.因为，，所以【考点】余弦定理4.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。
质点的最短路线为线段，在中，，所以。
故C正确。
【考点】1余弦定理；2转化思想。
5.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.6.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。
所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。
所以B正确。
【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。
7.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.8.△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,∠C=, 则边 c 的值等于（）A．5B．13C．D．【答案】C【解析】利用余弦定理可得:故选C【考点】解三角形,余弦定理的应用.9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.10.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理11.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积12.在中，下列关系式不一定成立的是（）。
高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析
，高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π32．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ))A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A. 518 B. 34 C. 32 D. 785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 大小不能确定 二、填空题（6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cosB＝2，则角A 的大小为________．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ________． 三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .、)10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab . （1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝34，判断△ABC 的形状．?#11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．？（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．…~答案及解析1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B＝π6. 【答案】A2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】B 3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形． ~【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为22＋22－122×2×2＝78.【答案】D5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b . 【答案】A6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°. #【答案】30°7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝bsin B，得sin A ＝12，A ＝π6.【答案】π68．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12BC ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.9．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得2R ＝4cos A 2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理 #得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4.法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin Bsin C＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②解①②得b ＝4.10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B＝34， ∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sinA＝3sin(A ＋π6)，∵C ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，3sin(A ＋π6)取最大值 3. ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.。
正弦定理余弦定理单元测试及答案
答案：sinA = a/c 答案：sinB = b/c 答案：sinC = a/b 答案：cosA = b² + c² - a² / 2bc
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。 答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
余弦定理是描 述三角形任意 两边和其夹角 余弦值的关系
余弦定理公式： c^2=a^2+b^2-
2ab*cos(C)
余弦定理的应 用：求解三角 形的边长、角
度等
余弦定理的证 明方法：向量 法、几何法等
解三角形：已知三角形的两边和夹角，求第三边和第三角的大小 解四边形：已知四边形的两边和夹角，求其他边和角的大小 解多边形：已知多边形的边和角，求其他边和角的大小 解立体几何：已知立体几何体的边和角，求其他边和角的大小
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正弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的正弦值成正比 余弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的余弦值成正比 正弦定理的应用：求解三角形的边长和角度 余弦定理的应用：求解三角形的边长和角度
答案：cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。 答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
总正确率：80% 各题型正确率：选择题75%，填空题85%，解答题90% 各知识点正确率：正弦定理70%，余弦定理80% 错误原因分析：知识点掌握不牢固，解题技巧不足
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案
..人教版高中数学必修 5 正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题1．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b，c，若 a＝ 2， b＝3， cosC＝－1 ，则 c 等于 ()4(A)2(B)3(C)4(D)52．在△ ABC 中，若 BC＝2， AC＝ 2， B＝ 45°，则角 A 等于 ()(A)60 °(B)30 °(C)60 °或 120°(D)30 °或 150°3．在△ ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 B＝ 30°，c＝ 150，b＝ 50 3 ，那么这个三角形是 ()(A) 等边三角形(B) 等腰三角形(C) 直角三角形(D) 等腰三角形或直角三角形4．在△ ABC 中，已知cosB 32) ,sin C，AC ＝2，那么边 AB 等于 (53(A) 5(B)5(C)20(D)12 43955．在△ ABC 中，三个内角A，B， C 的对边分别是a， b， c，如果 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶3，那么 a∶b∶ c 等于 ()(A)1 ∶ 2∶3(B)1∶3∶2(C)1 ∶ 4∶ 9(D)1 ∶ 2 ∶ 3二、填空题6．在△ ABC 中，三个内角A，B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝ 2， B＝ 45°， C＝ 75°，则 b＝________.7．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b，c，若 a＝ 2， b＝ 2 3 ，c＝4，则A＝ ________.8．在△ ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 2cosBcosC＝ 1－cosA，则△ABC 形状是 ________三角形 .9．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝3， b＝ 4，B＝ 60°，则c＝ ________.10．在△ ABC 中，若 tanA＝ 2， B＝ 45°， BC ＝ 5 ，则AC＝________.三、解答题11．在△ ABC 中，三个内角A，B， C 的对边分别是 a， b， c，若 a＝2， b＝ 4， C＝60°，试解△ ABC...12．在△ ABC 中，已知AB＝ 3， BC＝ 4，AC＝13 .(1)求角 B 的大小；(2)若 D 是 BC 的中点，求中线AD 的长 .13．如图，△ OAB 的顶点为O(0， 0)，A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，求角 A 的大小 .14．在△ ABC 中，已知BC ＝a， AC＝ b，且 a， b 是方程 x2－ 23 x＋2＝0的两根，2cos(A ＋B)＝1.(1)求角 C 的度数；(2)求 AB 的长；(3)求△ ABC 的面积 ...参考答案一、选择题 1． C 2．B3．D4． B5．B提示：4．由正弦定理，得 sinC ＝3，所以 C ＝60°或 C ＝ 120°，2当 C ＝ 60°时，∵ B ＝30°，∴ A ＝ 90°，△ ABC 是直角三角形；当C ＝ 120°时，∵ B ＝ 30°，∴ A ＝ 30°，△ ABC 是等腰三角形 . 5．因为 A ∶ B ∶C ＝ 1∶2∶ 3，所以 A ＝30°， B ＝ 60°， C ＝ 90°，由正弦定理a b csin A sinB＝ k ，sin C得 a ＝k ·sin30°＝ 1k ， b ＝k · sin60°＝3k ，c ＝ k · sin90°＝ k ，22所以 a ∶ b ∶ c ＝ 1∶ 3 ∶ 2.二、填空题6． 2 67．30°8．等腰三角形9．3 37 10． 5 2324提示：8．∵ A ＋B ＋ C ＝π，∴－ cosA ＝cos(B ＋ C). ∴ 2cosBcosC ＝1－ cosA ＝cos(B ＋ C)＋1，∴ 2cosBcosC ＝ cosBcosC － sinBsinC ＋1，∴ cos(B －C)＝ 1，∴ B － C ＝ 0，即 B ＝ C. 9．利用余弦定理 b 2＝ a 2＋c 2－2accosB.10．由 tanA ＝2，得 sin A2，根据正弦定理，得AC BC，得 AC ＝ 5 2 .5sin Bsin A 4三、解答题11． c ＝2 3 ， A ＝ 30°， B ＝ 90° .12． (1)60°； (2)AD ＝7 .13．如右图，由两点间距离公式，得 OA ＝ (5 0)2 (2 0)229 ，同理得 OB145, AB232 . 由余弦定理，得cosA ＝ OA 2AB 2 OB 2 2 ，2OAAB2..∴ A ＝ 45° .14． (1) 因为 2cos(A ＋B)＝ 1，所以 A ＋B ＝ 60°，故 C ＝ 120° .(2)由题意，得 a ＋ b ＝ 2 3 ， ab ＝ 2，又 AB 2＝ c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcosC ＝ (a ＋b) 2－ 2ab － 2abcosC＝ 12－4－ 4× (1)＝ 10.2所以 AB ＝10 .(3)S △ ABC ＝1absinC ＝1· 2·3 ＝ 3 . 2 222。
高一数学解三角形正余弦定理基础练习题(含答案)
高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高第I卷（选择题）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,求a+2b+csinA+2sinB+sinC=()A. √3B. 4√33C. 2 D. 2√3932.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足c=2acosB，则ΔABC的形状是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若的面积为a2+b2−c24，则C=()A. π2B. π3C. π4D. π64.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形()A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定5.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB−bcosA=c，则△ABC是()A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=√52b，A=2B，则cos B等于()A. √53B. √54C. √55D. √56二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）7.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8，b<4，c=7，且满足(2a−b)cosC=c⋅cosB，则下列结论正确的有()A. C=60∘B. ▵ABC的面积为6√3C. b=2D. ▵ABC为锐角三角形8.已知角A,B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()A. sin(B+C)=sinAB. cos(A+B)=cosCC. 若A>B，则sinA>sinBD. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=．10.在△ABC中，若(a−c)(a+c)=b(b+c)，则A=．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）12.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且2csinC=(2b−a)sinB+(2a−b)sinA．(1)求角C；(2)若c=2√3，求△ABC的周长l的取值范围．13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足R2+2accos B=a2+c2．(1)求B的大小；(2)若b=2，C=5π，求△ABC的面积．1214.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sinA，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cosA的值；(2)求cos(2A−π3)的值．15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求B的大小；(2)若b=√13,a+c=4，求△ABC的面积．16.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且asinB−√3bcosA=0．(1)求角A；(2)若a=√13，b=3，求△ABC的面积．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图所示，在四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(1)求cos∠CAD 的值；(2)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC−sinBsinC=1．2(1)求A；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．先由三角形面积公式求出c，由余弦定理求出a，再由正弦定理可得．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,∴√3=12bcsinA，即√3=12c×√32，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，∴a2=1+16−4=13，即a=√13，∴由正弦定理得，asinA =bsinB=csinC=2R，∴2R=2√393，∴a+2b+csin A+2sin B+sin C =2R=2√393．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查应用解三角形判定三角形的形状，基础题型．解题关键是将已知的等式进行化简，这里用到了余弦定理，化简后得到a=b，从而得到答案．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a·a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选D.【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．由S△ABC=12absinC=a2+b2−c24得sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦定理解三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正弦定理解三角形的计算，利用正弦定理得sinB=2√23，又a<b，可得三角形解的个数．【解答】解：因为asinA =bsinB，所以sinB=ba ·sinA=2418×sin45°=2√23．又因为a<b，所以B有两解，∴三角形有两解．故选C．【解析】【分析】本题考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，属于基础题．利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，得到A为直角，可得出三角形ABC为直角三角形．【解答】解：利用正弦定理，化简已知的等式得：即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴2cosAsinB=0，∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=0，∵0<A<π，，所以△ABC是直角三角形，故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和二倍角公式的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，通过正弦定理、二倍角公式得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中{a=√52bA=2B，∴根据正弦定理及二倍角公式得{sinA=√52 sinBsinA=sin2B=2sinBcosB，在△ABC中，，∴cosB=√54，故选B．7.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．利用定理逐项验证，即可求出结果．【解答】解：∵(2a−b)cosC=c⋅cosB，∴2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=12，∵C∈(0°,180°)，∴C=60°，故A正确；由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosC，即49=64+b2−8b，且b<4，解得b=3，故C错误；∴S△ABC=12absinC=12×8×3×√32=6√3，故B正确；∵b2+c2−a2=49+9−64=−6<0，∴角C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故D错误．故选AB．8.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，属于基础题也是易错题．由题意利用诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，故A正确；对于B，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴cos(A+B)=−cosC，故B错；对于C，因为A>B，所以a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，C正确；对于D，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，此三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错．故选AC．9.【答案】2936【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6.再利用余弦定理即可得出．【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6．由余弦定理可得：cosB=32+62−422×3×6=2936．故答案为：2936．10.【答案】120°【解析】【分析】本题考查余弦定理，属于基础题．把已知等式整理后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：因为(a−c)(a+c)=b(b+c)，即b2+c2−a2=−bc，所以根据余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，又A为三角形的内角，则A=120°．故答案为120°．11.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc得到a=√7b，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc中，得：a2−b2=6b2，即a=√7b．由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32．∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°．12.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2c2=(2b−a)b+(2a−b)a，即c2=b2+a2−ab，则cos C=b2+a2−c22ab =12，因为0<C<π2，所以C=π3．(2)因为c=2√3，C=π3，所以由正弦定理得asinA =bsinB=csinC=4，则a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π3−A)，△ABC的周长=4sinA+4sin (2π3−A)+2√3=4√3sin (A+π6)+2√3，在锐角三角形ABC中，{0<A<π2,0<2π3−A<π2,得π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3,所以√32<sin(A+π6)≤1，所以6+2√3<4√3sin(A+π6)+2√3≤6√3，所以△ABC的周长l∈(6+2√3,6√3]．【解析】【试题解析】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理的应用及正弦型三角函数的性质，属于中档题．(1)由条件，利用正弦定理，得到c2=b2+a2−ab，结合余弦定理，得到C=π3；(2)利用正弦定理，得到a=4sin A,b=4sin B=4sin (2π3−A)，表示出三角形的周长，利用角的范围，根据正弦型三角函数的性质得到结果．13.【答案】解：，，，，又B为锐角，∴B=π6．(2)∵b=2，C=5π12，∴A=π−(π6+5π12)=5π12，∴a=c，由余弦定理，得，∴a2=4(2+√3)，．【解析】本题主要考查了三角形面积公式、正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由知B=π6．(2)由余弦定理，得求得a2=4(2+√3)，即可求得三角形的面积．14.【答案】解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．【解析】(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】解：(1)由cosBcosC =−b2a+c及正弦定理得，即2sinAcosB+cosBsinC=−sinBcosC，∴2sinAcosB=−(cosBsinC+sinBcosC)=−sin(B+C)=−sinA，∵A为三角形的内角，sinA≠0，，∵B为三角形的内角，；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，得b2=(a+c)2−2ac−2accosB，∵b=√13，a+c=4，B=23π，∴13=16−2ac×(1−12)，∴ac=3，．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由正弦定理得，cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，可得，结合B的范围即可求出结果；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，可得13=16−2ac×(1−12)，解得ac=3，利用三角形面积公式即可求出答案．16.【答案】解：，∴由正弦定理可得：，∵sinB≠0，，即tanA=√3，∵A∈(0,π)，；(2)∵a=√13，b=3，，∴由余弦定理，可得：，，∴解得：，(负值舍去)，．【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的综合运用，三角形面积公式运用，考查了学生对基本公式的运用能力和变形能力，属于基础题．(1)已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出tanA的值，即可确定出角A的大小；(2)由cosA，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．17.【答案】解：(1)∵bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，又sinA≠0，∴tanB=√3．∵B是△ABC的内角，∴B=π．3(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，，得9=a2+4a2−2a⋅2acosπ3解得a=√3(负根舍去)，∴c=2a=2√3．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由bsinA =√3acosB 可得sinBsinA =√3sinAcosB ，化简整理即可得出；(2)由sinC =2sinA ，可得c =2a ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，代入计算即可得出．18.【答案】解：AD =1，CD =2，AC =√7，(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理， 得cos∠CAD =AC 2+AD 2−CD 22AC⋅AD=(√7)2+12−222×√7×1=2√77； (Ⅱ)设∠BAC =α，则α=∠BAD −∠CAD ，，且都为三角形内角， ，∴sinα=sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD =3√2114×2√77+√714×√217=√32， 在△ABC 中，由正弦定理，BCsinα=ACsin∠CBA ， 解得：BC =3． 即BC 的长为3．【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理直接求解可得cos∠CAD 的值．(Ⅱ)由cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC 的长．19.【答案】解：(1)∵cosBcosC−sinBsinC=cos(B+C)=−cosA=12．∴cosA=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)∵a=2√3，A=2π3，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=16−bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×4×√32=√3．【解析】(1)由已知利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知及余弦定理可求bc=4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．。
余弦定理习题(带答案)-人教A版数学高二必修五第一章1.1.2
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∴a＋b 的最大值为 8 4 3 。 【解】在△ABC 中，∵ a cos A b cos B ，由正弦定理， 得 2 R sin A cos A 2 R sin B cos B，∴ sin 2 A sin 2 B 。 16 ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°，∴A＝B 或 A＋B＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角 形。
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
＝2R，
a b c ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a2 b2 c2 ＋ ＜ ，∴a2＋b2＜c2， 4R2 4R2 4R2
a2＋b2－c2 ＜0， 2ab
∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【解】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝ 结合正弦定理得 (b＋c＋a)(b＋c－a)＝ 10 18 8 bc，整理得 b2＋c2－a2＝ bc. 5 5 18 sin B·sin C. 5
6
π 【解析】 ∵a 是最大边，∴A＞ ，又 a2＜b2＋c2，由余弦定理 cos 3 0，∴A＜ π π π ，故 ＜A＜ . 2 3 2
b2＋c2－a2 A＝ ＞ 2bc
7
【答案】 4 【解析】 在△ABC 中，由 b2＝a2＋c2－2accos B 及 b＋c＝7 知，b2＝4＋(7－b)2－2
5．在△ABC 中，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，则 A＝________.
6．在不等边三角形中，a 是最大的边，若 a ＜b ＋c ，则角 A 的取值范围是________． 1 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cos B＝－ ，则 b＝________. 4 8．已知△ABC 的顶点为 A(2，3)，B(3，－2)和 C(0，0)，求∠ABC. 知识点：定理变形 9．(2012·上海高考)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不能确定 )
新人教B版高中数学必修5112余弦定理同步测试题
1.1.2余弦定理 测试题一、选择题1. 在ABC ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA,则这个三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形2.设a ，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a 的取值范围是（ ）A. 4<a<6B. 3<a<4C. 1<a<3D. 0<a<33. 在ΔABC 中，已知 222c bc b a ++=，则角A 为（ ） A 3π B 6π C 32π D 3π或32π 4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3,b=1，则c= (A)1 (B)2 () 3－1 (D) 3二、填空题7.已知ABC ∆的三边别离为a ，b ，c ，且ABC S ∆＝2224a b c +-，那么角C ＝ . 8.在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________三、解答题9。
已知ΔABC 的极点为A （2，3），B （3，-2）和C （0，0）。
求（1）∠ACB ；（2）AB ；（3）∠CAB ；（4）∠ABC 。
10． 在ABC ∆中，已知a b a +＝sin sin sin B B A-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C. 试确信ABC ∆的形状11．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且A=2C ，a+c=2b ，求此三角形的三边之比。
(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细
正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。
高中数学(余弦定理)同步测试精选(含答案解析)
高中数学（余弦定理）同步测试精选（含答案解析）一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－193．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13) D ．(13，5)二、填空题8．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于．9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sinB＝3sin C，则cos A的值为．11．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin 2Asin C＝.三、解答题12．在△ABC中，(1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．(2)b＝6，c＝2，B＝60°，求a.13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．参考答案与解析1【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0， ∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2【解析】 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.【答案】 D3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 【答案】 A5【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A6【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得， a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－14<0， 所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A7【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13.【答案】 C8【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 19【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴cos B＝25＋64－492×5×8＝12，∴B＝π3.【答案】π310【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 411【解析】由正弦定理得sin Asin C＝ac，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin 2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.【答案】 112【解】(1)显然角C最大，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C＝120°.(2)法一由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb＝2sin 60°6＝36＝22，∴C＝45°或C＝135°.∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.13【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.14【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。
高二数学正弦、余弦定理训练题
余弦定理训练题1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62 D．219解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为()A.5719B.217C.338 D．－5719解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.∴c＝19.由asin A＝csin C得sin A＝5719.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22•2a•2a＝78.答案：784．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．法二：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC中，符合余弦定理的是()A．c2＝a2＋b2－2abcos CB．c2＝a2－b2－2bccos AC．b2＝a2－c2－2bccos AD．cos C＝a2＋b2＋c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()A.1213B.513C．0 D.23解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.5．在△ABC中，下列关系式①asin B＝bsin A②a＝bcos C＋ccos B③a2＋b2－c2＝2abcos C④b＝csin A＋asin C一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a•2a＝34.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosA，即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，AC2＋5AC－24＝0.∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.答案：219．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．解析：由正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，则cos B＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，∴B＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．解：由题意可知，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，即a2＋b2－c22ab＝12，所以cos C＝12，所以C＝60°.12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，得c＝a•a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又∵b＝asin C，∴b＝a•ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．高二数学正弦定理测试题1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则()A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6 B．2C.3D.2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C⇒sin C＝12，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝2.3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，则根据正弦定理知AB＝BC•sin Csin A＝102.答案：1024．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：BDsin A2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①在△ACD中，CDsin A2＝ACsinπ－θ，∴CDAC＝sinA2sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC.一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是()A.53B.35C.37D.57解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B＝ab＝53.2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C.∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63 D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10•sin 60°15＝10×3215＝33.∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－332＝63.4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B.由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC 是直角三角形．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝()A．1 B．2C.3－1D.3解析：选B.由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B＝12，故B＝30°或150°.由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.故C＝90°，由勾股定理得c＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有() A．两解B．一解C．无解D．无穷多解解析：选B.因csin A＝23＜4，且a＝c，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.解析：AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25.答案：258．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.答案：1∶1∶39．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B，∴sin B＝12.∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，∴∠A＝π6.∴a＝b＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a. 解：∵sin A∶sin B∶sin C＝a2R∶b2R∶c2R＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×415＝8.11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asin B＝5sin 120°＝532，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解．12．在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．解：法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a•a2R＝b•b2R，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形．资料来自：悦考网。
(完整版)余弦定理测试题(小题详解)
同步分层能力测试题（一）A 组一•填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 .在^ ABC 中， 若 a= J 5 ,b= （15 ,A=300,则边 c=1. 2岳或長。
提示：由余弦定理，得 a 2=c 2+b 2-2cb • cosA，代入整理得c 2-3 J 5 c+10=0, •••c=2 J 5 或苗。
2.在^ ABC 中，已知 A=450, B=6O 0, c =1，贝U a=A+B+C=180，得 C=1800-45 0-60 0=750。
由正弦定理，得品1a= 。
24.在^ ABC 中，已知 b=4,c=8,B=30 0.则 a= 。
4. 2。
提示：（1）由正弦定理，得 sin C=csin B=8sin30=1。
所以 C=90 0, b 4A=180 0-90 0-300=600。
又由正弦定理，得a=bsin A =4sin6Q =2^3。
SinB sin 3005. a,b,c 是^ABC 的三边，且 B=1200,则;2 2 25.0.提示：由余弦定理，得 b=a+c-2ac •6. 在△ ABC 中，若 a=50, b=25^/6 , A=45.其中恒成立的等式序号为 sin A sinB sinC知等式不成立；④正弦定理结合等比定理可得。
2. —_1。
提示：由2a = 1 sin450sin 75°3.在^ ABC 中，已知a=5,b=12,c=13.最大内角为度。
b23.90.提示：cosC=一2 2 c a 2bc2 2 251213=04900.2 5 12 a 2+ac+c 2-b 2的值为• cosB= a 2+ac+c 2. B=6. 60。
或 120 提示：由正弦定理得50 sin25 J 6仝6, sinB= a ,故 B=60° 或 120°。
sinB 27. 在 △ ABC， 有 等式： ① asinA=bsinB ； ② asinB=bsinA ；③ acosB=bcosA ；④7.②④。
余弦定理练习题和答案(最新整理)
余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6B ．2C ．3D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC →A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．312．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC →15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．318．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，2216求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．答案1．解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ ＝6.42＋62－2×4×6×132．解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc 2bc32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c6．解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC → ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC → 128．解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ ＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝， AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BC sin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos 2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B c b 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c 2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
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(十二) 余弦定理(建议用时：60分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120° ，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．219D [由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D ．]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17．]3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a －c 2＋ac 2ac＝a －c 22ac＋12≥12，因为0<B <π，所以B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3．] 4．在△ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形B [∵sinC ＝sin(A ＋B )，∴sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2(A ＋B )，又sin(A ＋B )≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴2cos A sin B ＝0，又sin B ≠0，∴cos A ＝0，又A ∈(0，π)，则A ＝π2，故选B ．]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定A [由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＝b 2＋ab ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －1＝0，所以b a ＝5－12<1，所以a >b ，故选A ．] 二、填空题6．△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝ ．π3 [依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝12．又0<B <π，所以B ＝π3．]7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝ ． 217 [由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×12＝7， c ＝7，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝2×327＝217．]8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ ．2π3[利用正弦定理、余弦定理求解． 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ． 又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3．] 三、解答题9．在△ABC 中，3sin 2B ＝2sin 2B ， (1)求角B 的值；(2)若a ＝4，b ＝27，求c 的值． [解] (1)由3sin 2B ＝2sin 2B ，得23sin B cos B ＝2sin 2B ，∴tan B ＝3， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3．(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又a ＝4，b ＝27，B ＝π3，则28＝16＋c 2－4c 即c 2－4c －12＝0解得c ＝6或c ＝－2(舍去)． 故c ＝6．10．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cosC ，试判断三角形的形状． [解] 法一：由asin A＝bsin B＝csin C＝2R ，则条件化为：4R 2sin 2C sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B ＝8R 2sin B sin C cos B ·cos C ．又sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ， 即cos(B ＋C )＝0．又0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°， ∴A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 法二：将已知等式变形为：b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cos C ，即b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 2]24a 2＝4a 44a2＝a 2，∴A ＝90°， ∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C[∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，故选C ．]2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →等于( )A ．－212B ．－83C ．－75D ．－27B [由余弦定理得cos∠BAC＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得BC ＝7，又cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD，解得AD ＝133， 又AD →，BC →的夹角大小为∠ADB ，cos∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1332－222×73×133＝－891，所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos∠ADB ＝－83．]3．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为 ．13 [S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4，∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13．]4．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cosB ＋ab cosC 的值为 ．612 [∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝12(b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 2)＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612．] 5．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1．(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)在△ABC 中，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，∴C ＝120°．(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2． 根据余弦定理，AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10．∴AB ＝10．。