高数 (6)
高数 第六章
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高数第六章第一次定积分的计算面积
o
x
A 1 R2
2 21
四、极坐标系下求平面图形的面积
A
1 2
[
2 2
(
)ห้องสมุดไป่ตู้
12
(
)]d
y x A1
r 1( )
o
2 a2 cos 2
r 2( )
x
例 4 求双纽线 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A 4A1
A 4 4 0
o
0 ,0 2
例
点M的极坐标为
(5, ) 3
求其直角坐标.
解：点M的直角坐标： ( x, y) (cos,sin)
(5cos ,5sin )
3
3
2020/6/12
(5,5 3) 22
M (, )
M(x，y）
x
16
三、极坐标系
3、极坐标与直角坐标的互化
(2) 由直角坐标化极坐标
U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
分量之和；
（3）部分量Ui的近似值可表示为 f (i )xi；
就可以考虑用定积分来表达这个量U 。
2020/6/12
5
一、问题的提出
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx；
高数应用数学 第6章 常微分方程
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
高数6导数定义、四算
在物理学中，速度可以看作是位移函数对时间的导数，即切线斜率表示了物体在某一时刻的瞬时速度 。
导数定义及表示方法
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数值的增量与自变量的增量的比值在自 变量增量趋于0时的极限。
导数的表示方法
导数通常用符号f'(x)或y'表示，表示函数f(x)或y=f(x)在x处的导数。同时，导数 也可以通过极限公式、导数表或求导法则来计算和表示。
03
导数运算法则的适用条件
在使用导数四则运算法则时，需要注意其适用条件。只有 当各个函数在相应点处都可导时，才能使用这些法则进行 求导。
拓展延伸：微分概念引入
01
微分的定义
微分是函数改变量的线性部分，即在 一个数集中，当一个数靠近时，函数 在这个数处的极限被称为函数在该处 的微分。微分的中心思想是无穷分割 ，其中微分是函数改变量的线性部分 。
瞬时速度是物体在某一时刻的速度，加速度是速度的 变化率。
瞬时速度和加速度是物理学、工程学等领域中重要的 概念，对于研究物体运动规律具有重要意义。
边际成本和边际收益问题
01
边际成本是增加一单位产量所带来的成本增量，边际
收益是增加一单位销售量所带来的收益增量。
02
利用导数可以求出企业在不同产量或销售量下的边际
高阶导数是指函数对自变量进行多次求导后得到的导数。
高阶导数可以反映函数更细微的变化特征，如凹凸性、拐点等。
对于一些复杂函数，需要利用高阶导数的计算方法来求解其导数。常用的高阶导数 计算方法包括逐次求导法、莱布尼茨公式等。
03 四则运算求导法则
加减运算求导法则
加法运算求导
若函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处可导，则它们的和$u(x) + v(x)$在点$x$处也可 导，且$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$。
大学高数总习题六及课外习题课后参考答案及知识总结
总习题六★★★1．求由曲线32)4(x y -=与纵轴所围图形面积。
思路：曲线23(4),(4)y x x =-≤关于x 轴对称，又曲线的一条分支3/2(4)y x =-是关于x 的减函数，见图6-1可知用y 型或用对称性求图形面积较为简单。
解：曲线表达为3/24yx -=，它和y 轴的交点：（8,0±）∴51285332(2)4(2)4(83/588803/23/2=-=-=-=⎰⎰-y dy y dy y S ★★★2．求介于直线π2,0==x x 之间、由曲线x y sin =和x y cos =所围成的平面图形的面积。
解：⎰-=π20cos sin dx x x S24)sin (cos )cos (sin )sin (cos 24/54/54/4/0=-+-+-=⎰⎰⎰πππππdx x x dx x x dx x x★★★3．直线x y =将椭圆y y x 6322=+分成两块，设小块面积为A ，大块面积为B ，求B A /的值。
思路：由于x y =和y y x 6322=+的交点为)0,0(及)2/3 , 2/3(，12/3>，因此面积较小的一部分用y 型做较简单，见图6-3解：较小部分区域表达为：A D ：⎩⎨⎧-≤≤≤≤2362/30y y x y y则sin 13/2/62093)84x ty t A y dytdt ππ=+-==-=-⎰⎰，3344B =+=+，∴/A B =★★★4．求椭圆13122=+y x 和13122=+y x 公共部分的面积。
思路：由图形的对称性可得所求面积是0=x 和x y =及22113y x +=所围在第一象限内区域1D 面积的8倍，见图6-4解： 1D：02y y x ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩∴1260088)cos 3y t D SS y dy tdt π==-=★★★5．求由曲线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形面积。
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
高数 第六章-重积分-二重积分(第1-2节)
∫∫ 3．积分 3 1 − x 2 − y 2 dxdy 有怎样的符号, 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4. D
4.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
∫∫ (1) I = (x2 + 4 y2 + 9) dσ , 其中=D {(x, y) x2 + y2 ≤ 4} ； D
闭区域;
(4)
∫∫
D
sin x
x
dxdy
,
其中 D 是由 y =
x,
y= x, 2
x = 2 所围成的闭区域；
(2) ∫∫| y − x2 | dxdy, 其中 D 为 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1； D
3
(5) ∫∫ (x2 + y2 − x)dxdy , 其中 D 是由 y = 2 , y = x , y = 2x 所围成 D
π
dx
0
sin x −sin x
f (x, y)dy ;
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ ∫ (4)
1
dy
y f (x, y)dx ;
0
y
2
2y
∫ ∫ (5) dy f (x, y)dx ;
0
y2
3. 将下列积分表示为极坐标形式下的二次积分:
{ } ∫∫ (1) f (x, y)dσ , 其= 中 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 4x ; D
x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
(3)
∫∫D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
,
高等数学 第6章 第六节 平均值
从而非恒定电流 i(t) 的有效值
I 1 T i 2 (t)dt T0
6
正弦电流 i(t ) I m s的in有效t 值为
I
1
2
2
0
I
2 m
sin2
tdt
I
2 m
2
sin2 td t
2 0
2
I
2 m
4
at
sin 2t
2 0
3、f(x) 在[a，b]上的均方根
Im 2
我们把
1 b f 2 ( x)dx
4．函数 f(x) 在[a，b]上的平均值：
f ( x)
y[a,b]
b
1 a
b
f ( x)dx
a
5．函数f(x) 在[a，b]上的均方根：
1 b f 2 ( x)dx
ba a
8
第六节 平均值
一、函数的平均值
1、n 个数的算术平均值：
设有n个数y1， y2， … yn
称
y1 n
n i 1
yi
为这n个数的算术平均值。
2、函数 y = f (x)在区间[a,b]上的平均值的定义：
把区间[a,b]分成 n 等分，每个小区间的长度为 在每个小区间内取一点xi，其相应的函数值为 f ( xi )
ba a
叫做 f(x) 在[a，b] 上的均方根。
I 1 T i 2 (t)dt T0
所以，上述非恒定电流 i(x)的有效值，就是这电流在一个 周期上的均方根。
7
小结
１．变力F(x)沿直线有a到b所作的功：
2．水压力：
b
P g x f ( x)dx
a
3．引力。（参见例题）
高数第6章 常微分方程
二、微分方程的定义
含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程. 如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方 程称为常微分方程；如果未知函数中含有两个或两个以上 自变量，则此微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微 分方程，简称微分方程.
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为 微 分 方 程 的 阶 . 例 如 ， ysin x xy 是 一 阶 微 分 方 程 ； xy cos x ey 是二阶微分方程； ysin x yex 1 是三阶微分 方程.
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立 的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称为微 分方程的通解.在通解中，若使任意常数取某一定值， 或由附加条件求出任意常数的值后得到的微分方程的 解称为特解.用来确定通解中任意常数的附加条件，称 为初始条件.
例如，引例 1 中，y x2 C 是y 2x 的通解，过点 （1，3）是初始条件， y x 2 是特解；引例 2 中， S (t) 2t2 C1t C2 是 S(t) 4 的通解，S (0) 0, S(0) 5 是初
两边积分，得 ln y ln x C1
化简得 y eC1 x ， 即 y eC1 x 令 C eC1 ， 则 y Cx
另外，可以看出 y 0也是方程的解，因此，原方程的通 解为
y Cx 。
说明：凡遇到积分后有对数的情形，都应做类似于上 述的讨论，因其比较烦琐，而且一般情况下，最后得到的 函数形式确是微分方程的通解。为方便起见，今后遇到这 种情形可做如下简化处理.以例 2 为例，示范如下：
(1
x)dx
即
arctan y 1 (1 x)2 C 2
高数第六章-二重积分(1-2节)(1)
本章起介绍多元函数积分学. 在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的 极限. 这种和的极限的概念推广到定义在平面和空间区域、曲线及曲面上多元函数的情形, 便 得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念. 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概 念、计算方法以及它们的一些应用.
n
f (i ,i ) i . 如果当各小闭区域 i 的直径 i 的最大值 趋于零时, 这和式的极限
i 1
总存在, 则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分, 记作 f (x , y) d , 即
D
n
D
f (x , y) d lim 0 i1
f (i ,i )i .
域, 则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分
的和.
例如闭区域 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 (图 6-4), 则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d ,
图 6-4
D
D1
D2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.
性质 3 如果在 D 上, f (x, y) 1, 为区域 D 的面积, 则
以上思想加以抽象推广, 可引入以下二重积分的概念. 2．二重积分的定义
定义 1 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区
域 1 , 2 , , n , 其中 i 既表示第 i 个小闭区域, 也表示它的面积. 在每个小
闭 区 域 i 中 任 取 一 点 (i ,i ) , 作 乘 积 f (i ,i )i (i 1, 2, , n) , 并 作 和
上的二重积分都是存在的. (3) 直角坐标系下二重积分面积元素的表示
高数例题 第六章 定积分的应用
s
t t dt
例17. 计算摆线
x a sin y a 1 cos
的
一拱
(0 2 ) 的长度。
2、直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程
y f x a x b 给出 f x 在a, b
球体体积的一半,试求该圆孔的直径.
(二)平行截面面积为已知的立体的体积
已知立体在过点 x a, x b且垂直于x 轴的两个平面之间，且垂直于轴的截面 面积为 A x , A x 为连续函数， 则
V A x dx
a
b
例14.一平面经过半径为R的圆柱体 的底圆中心,并与底面交成角
,计
算这平面截圆柱体所得立体的体积.
例15．求以半径为R的圆为底，平行 且等于底圆直径的线段为顶，高为h
的正劈锥体的体积。
例16. 证明由平面图形
0 a x b 0 y f ( x)
绕
y
轴旋转所成的旋转体的体积
b
为
V 2 xf x dx
a
三、平面曲线的弧长 (一)平面曲线弧长的概念 1、定义：设A,B是曲线弧上的两个端 点，在弧 AB 上依次任取分点
把区间 a, b 分成许多部分区间,则所求 量相应地分成许多部分量 ui ,而所求 量等于所有部分量之和，这一性质称为 所求量对于区间 a, b 具有可加性。
三.用定积分来表达的量 u 应具备的条件 1. 是与一个变量 x 的变化区间 a, b 有关的量。 2.量 对于区间 a, b 具有数量的可 加性。 3.部分量 ui 的近似值可表示为
在 , 上 , 围成，
高等数学第六章：极坐标系
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用 表示线段OM的长度，
用 表示从OX到OM 的
M
角度， 叫做点M的极径，
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
y 5sin 2 5 3
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
极坐标和直角坐标的互化 y M(1, 3)
在直角坐标系中, 以原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的 长度单位
高数第六章答案
.习题621 求图621 中各画斜线部分的面积 (1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 (1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A ee e(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A(4)》解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积(1) 221x y =与x 2y28(两部分都要计算)解388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A34238cos 16402+=-=⎰ππtdt346)22(122-=-=ππS A—(2)xy 1=与直线yx 及x 2解所求的面积为 ⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A(3) y e xy ex与直线x 1解所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x\(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为a b e dy e A ba y ba y -===⎰ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积解y 2 x 4~过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6 两切线的交点为)3 ,23( 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A4 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积解2y y 2p在点),2(p p处1),2(=='p p y p y 法线的斜率k 1$法线的方程为)2(px p y --=- 即y p x -=23求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -法线与抛物线所围成的图形的面积为 233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰5 求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)2a cos解所求的面积为 》⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A a 2(2)x a cos 3t , y a sin 3t ;解所求的面积为 ⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰。
高数例题6
高数六例1 设()2=⋅⨯c b a，则()()[]()a c c b b a+⋅+⨯+例2 与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-==都平行且过原点的平面方程为________ 例3过点M (1 , 2 ,－1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程为：__________例4 设有直线3210:21030x y z l x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-= 则直线lA ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交 例5 已知两条直线的方程是12123:10121:211x y z l x y z l ---⎧==⎪⎪-⎨+-⎪==⎪⎩，求过1l 且平行于2l 的平面方程。
例6 设有直线1158:121x y z l --+==- 与26:23x y l y z -=⎧⎨+=⎩ 则1l 与2l 的夹角为：A .6πB .4πC .3πD .2π例7 求直线11:111x y z l --==在平面:210x y z π-+-=上的投影0l 的方程，并求0l 绕Y 轴旋转一周所成曲面方程。
例8设(2)(,)z f x y g x xy =-+其中函数()t f 二阶可导,g(u,v)具有连叙二阶偏导数，求2z x y∂∂∂例1 二元函数()y x f ,在点（00,x x ）处两个偏导数0000'(,),'(,)x y f x y f x y 存在是()y x f ,在该点连续的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 例2 二元函数22(,)0xy x yf x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩(,)0x y x y ≠=在该点(0,0)处（ ）(A)连续，偏导数存在 （B ）连续，偏导数不存在 （C ）不连续，偏导数存在 （D ）不连续，偏导数不存在 例3设1()(),z f xy y x y f xφφ=++，具有二阶连续导数，则2z x y∂=∂∂？例4 设u =sin ,xxey-则________1,22=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂πy x u例5 考虑二元函数()y x f ,的下面4条性质：(1) ()y x f ,在点（0,0x y ）处连续 (2) ()y x f ,在点()00,x y 处的两个偏导数连续 (3) ()y x f ,在()00,x y 可微 (4) ()y x f ,在点()00,x y 处的两个偏导数存在 若用“P ⇒Q ”表示可有性质P 推出性质Q,则有（ ）（A ）②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① (D)③⇒①⇒④例6 设⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x yxg y x yf u 其中函数g f ,具有二阶连续导数，求222u u x y x y x ∂∂+∂∂∂ 例7 设3(,),y z x f xy f x=具有连续二阶偏导数，求222,,z z z y x yy∂∂∂∂∂∂∂例8 设函数()y x f ,在点(0,0)附近有定义，且'(0,0)3x f =,'(0,0)1y f == （A ）(0,0)3dz dx dy =+(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}3,1,1 （C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点（0，0，f （0，0））的切向量为{}1,0,3（D ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点（0，0，f(0,0)）的切向量为{}3,0,1例9 设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，求2z x y∂∂∂例10 设变换2u x y v x ay =-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x y x y ∂∂∂+-=∂∂∂∂ 简化为02=∂∂∂v u z,求常数a 例 11 设()()x y z e x z y x f u ysin ,0,, ,,,2===φ其中,f φ都有一阶连续偏导数，且0zφ∂≠∂，求du dx例12 设()t x f y ,=,而t 是由方程()t y x F ,,=0确定的y x ,的函数，求d y d x例13 由方程xyz +=所确定的函数()y x z z ,=在点(1,0,-1)的全微分dz 。
考研数学高数6反常积分
第六讲：广义积分（反常积分）反常积分概念：定积分是有界函数()f x 在有限区间[,]a b 上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，或者是讨论无界函数的积分，这就是广义积分（或称反常积分）： 第一类反常积分（无穷积分）()af x dx +∞⎰或()bf x dx -∞⎰第二类反常积分（瑕积分）()baf x dx ⎰其中：lim ()x af x +→=∞或lim ()x bf x -→=∞ 在上两个定义式中，若积分存在，则称相应的反常积分收敛；若积分不存在，则称其为发散．例： 计算广义积分⎰∞+12d 1x x⎰∞+-02d e x x ⎰∞--0d e 2x x x重要例题：讨论p-积分的敛散性：+111111pp p dx x p ∞⎧>⎪-⎪⎪=⎨⎪+∞≤⎪⎪⎩⎰下面先针对第一类反常积分的敛散性的判断进行讨论 第一类反常积分的敛散性判别法： （仅讨论()af x dx +∞⎰的形式）绝对收敛性：若反常积分|()|af x dx +∞⎰收敛，则称反常积分()af x dx +∞⎰绝对收敛，或称()f x 在区间[,)a +∞上绝对可积；若反常积分|()|af x dx +∞⎰发散，而反常积分()af x dx +∞⎰收敛，则称反常积分()af x dx +∞⎰条件收敛，或称()f x 在区间[,)a +∞上条件可积。
定理： 若()af x dx +∞⎰绝对收敛，则()af x dx +∞⎰必收敛正项反常积分的敛散性判别：（即以下讨论中，被积函数都是非负的） 比较判别法：设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则 （1）当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，⎰∞+a dx x f )(也收敛；（2）当⎰∞+adx x f )(发散时，⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
例：111ln(1)1dx x x +∞⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰比较判别法的极限形式：设在[,)a +∞上恒有0)(≥x f ，0)(≥x g ，且()lim()x f x c g x →+∞=。
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怎样看待职场中的人际关系，上下级关系．悬赏分：0 - 解决时间：2008-1-2 09:34提问者：魔鬼鱼8026 - 试用期一级最佳答案与上司相处的"七大定律"老板、同事、上司、下属这些称谓无不在提醒我们：一旦进入职业生涯，你就要开始一种职业化的生活。
职业化意味着个人思想意识、行为规范诸多方面的再塑，这个过程是个人自我提升与磨练的进程，在工作后的若干年，你可能会发现自己有了许多的蜕变，可以用"成熟、精干、开放、目标明确"等等词语来加以形容，但也许还会遭遇"世故、圆滑、失去锐气"之类的评价。
个人职业化的历程与方向，确实关系到职业成败。
蜕变可能会成为一只美丽的蝴蝶，但也可能会成为一只迷失自我本色的飞鹅。
这使我想起若干年前一位学长告诉我的一句话："做人应该象一个铜板，在适应与迎合世俗的同时，保持自己的个性。
这实质就是完善自我的一个理念。
在从学生到职业人的转变过程中，可能会经历很多的痛苦，痛苦的来源在于现实与本我色彩的诸多不适应与矛盾。
这种不适应如果不能恰如其当的调节，对于个人发展是非常不利的。
如果在保持自我个性的基础上与社会规范吻合，做社会人是职业化的一个重要内容。
确实，一踏上工作岗位，你将会面对很多的情境、各种各样的关系与人，其中学会处理人的关系是非常重要的一课，在职业咨询中，心理学家发现人际关系不协调是个人职业问题的重要方面。
在以下，我将谈谈与上司的相处之道。
与上司的相处为什么对于你上非常重要的呢？原因一：对于刚出校园的你，一个欣赏你的上司会充分地帮助你一步步地成长，培养你的业务能力，传授经验，为你未来的职业发展奠定基石；原因二：你的工资、业绩评估、你的自信心、你的一切一切在很大程度上取决于上司对于你的评价。
总而言之，与上司保持良好的关系是一个非常基本的生存法则。
首先，还是让我们来看一看以下的几个常见的问题吧：1、到了新单位，每天都很忙碌，但不知为什么自己的上司却更加看中另外的一个同事；2、与上司有不同的意见，不知道应该怎么办；3、手头正在做一件事，上司又突然布置了新的任务；4、对于上司是否应该经常"拍马屁"；5、碰到了一个你认为并不出色的上司该怎么办；6、你的上司与你的做事与为人风格完全不同，应该怎么办？毫无疑问，与上司相处首先应当遵守的是在工作中人与人相处的最基本的法则，例如相互尊重、保持适当的距离、增加对于自我的管理等等，此外，还有一些特殊定律。
定律一：在职场生涯中，你一定要学会尊重与服从尊重上司，学会服从。
必须记住，上司是你真正意义上的衣食父母。
受雇与他人，为他人工作的人假如总是与上司的意见相左，他的工作就不可能顺利做好。
上司之所以是上司一定会有他的优势，他必须为他的所有命令承担责任，因此你要相信他的命令有一定的理由。
如果你初出茅庐有出生牛犊不怕虎的精神，如果你桀骜不逊,你现在得赶快补上"服从"这一课。
定律二：理解与顺应企业文化不同的企业有不同的文化，这种文化会决定人与人之间的行为方式，以及基本的概念。
有的崇尚张扬，有的崇尚沉稳；有的要求员工按部就班，有的需要员工更活跃，不仅表现在具体的工作方式、领导思维上，还表现在员工们推崇的服饰文化、人际交往的艺术等方面，这些往往就是企业的生存法则，最终决定了你以什么形象出现在公司、用什么样的方式进行日常工作、怎样与领导和同事们打交道。
如果你是个有心人，就能及早适应新环境，在未来的生活中游刃有余。
定律三：学会展示自己你的上司并没有时间天天观察你、发现并研究你的优势，因此实际上你需要主动地适时展示自己，赢得上司的最佳印象。
具体而言，你应当：A、摆正心态，从小事做起因为上司往往并不了解你的才能，开始不会委以重任，让你做些比较琐碎的杂事、小事。
除了力争在最短的时间内尽善尽美地把它完成你别无选择。
这是取得上司信任的最有效的途径。
不要自视清高，以为大材小用；或者几天没达到自己的目标，就开始怀疑是不是选错了单位。
谁也不能一口就吃出个胖子，想要灿烂辉煌，你先得耐得住寂寞。
一个真正的案例：世界著名管理咨询公司在谈到该公司之所以在半年之内给毕业仅半年的小张加薪三次的原因时说："没有什么，我们就是发现她糊的信封总是要比别人漂亮，公司的人在需要的时候总是想到交给她就行了。
"B、自然地表现自己领导在场时，你竟然缩头缩脑，退到别人的后面，说起话来声音小得坐在旁边的人都听不见，这简直是太糟糕了。
自信一点儿吧！开会时不妨做到能让领导很容易就能看到的地方，如果让大家发言，就勇敢地把自己平时积累的几条合理化建设井井有条地讲隼矗 愕谋硐肿匀换崛每赡芤恢泵惶 谝饽愕牧斓脊文肯嗫础5 ⒁獗鹣猿黾辈豢赡偷难 樱 豢煽淇淦涮福 龆嶂鳎 裨颍 共蝗缱龈鋈险娴奶 凇?/p>C、表明你是一个具备特点的人一个误区：给领导拍马屁你的个性与特殊才能是你与别人不同的标志。
职业化并不意味着磨灭个性，敬重并不表示奴颜。
相反，你的特点正是上司考虑发展你的原因。
你在关键时刻体现的冷静、你的反应灵敏、你的活波幽默，你的责任感都是你的制胜法宝。
毫无疑问，所有的人都喜欢听人赞扬，你的上司也不例外。
但不要认为拍老板马屁需要太大的智慧。
佩服的眼神比说出来的语言要更有价值。
在老板发表言论时，有意无意地露出佩服的样子，微微点头，再加上适当的反应，老板就会知道你很有诚意。
其实，你根本用不着用令人肉麻的话语来表示自己的态度。
此外，业绩是衡量一个人能力最客观的标准，因此脚踏实地、埋头苦干，把上司安排的每一件事都办得妥妥贴贴，然后再说几句中听的话，比起那些只说不做的人来，上司一定会对你另眼相看。
定律四：遵守基本的做事流程下级与上级的沟通过程中，你一定要"积极、主动"，这是一个基本的做事法则，你不应当因为害羞或胆怯而延误工作，"早请示，晚汇报"适合于任何的企业与时代。
你应当养成非常好的职业习惯：A工作每进行到一个阶段，都需要向上司汇报；B在遇到问题或有不同见解时，都应当主动与领导沟通和探讨，以免延误工作；C反应及时：对于上司交代的任务你应当快速反应、完成；D充分地协助你的上级做各种工作，"眼里有活"，主动找事。
定律五：了解你上司的类型，学会更有效的沟通每个人都有自己的行为风格与个性，这会充分体现在他的工作风格上。
注意上司的类型，你将会更好地预测他的情绪，理解他的价值观，并按他的期望去做事，你应该有针对性的沟通。
例如，面对一个关注细节、重视条理与规范的领导，你应该有充分的思想准备去接受他对于你在汇报方案中的所有细节的质问与探讨；而面对一个思维活跃、重视整体的领导，你也应当有充分的准备，因为你要不停地应付他们各种突如其来的创意，他们也很少会告诉你们该如何具体去做。
此外，不同文化背景的上司的风格差异也非常的大，以下是一些对策：法国老板：唯美和浪漫主义者建议：1、大多数法国人都是唯美主义者，有些以貌取人，所以要给他们留下好印象，一定要让自己成为服饰时尚、仪表迷人的翩翩佳人。
2、法国人大都乐于恭维他人，尤其是异性，对此要保持头脑清醒，因为那些溢美之词一半是出于礼貌、一半是缘于习惯。
3、法国人常是热情有余，缺乏实际行动。
如果老板曾多次表示要请你们吃饭或去玩，千万别真在心里惦记着，老板不提，就当没听过。
4、法国人把工作与休闲分得很清楚，尽量别在下班的时间用公事来打扰他，以免自讨没趣。
美国老板：开放、富有人情味，天生的管理者建议：1、美国老板非常看重一个人的能力并尊重个性。
要获得美国老板的赏识，最佳的捷径不是去巴结他，而是充分展现你的才华，把工作做到最好。
2、美国老板更喜欢积极主动的人，不要等着老板来找你干活，要自己主动干工作。
3、美国人非常看重诚实的本质。
所以千万不要撒谎，有时候主动承认错误或说出事实的效果要比推卸责任或找借口好的多。
4、在美国人眼中，隐私权是神圣不可侵犯的，切忌打探或谈论老板隐私；同事之间也不要说长道短，这只会惹你的上司反感。
5、美国老板在尊重宣扬个性的同时，还很看重团队合作的精神，别让自己成为寂寞的鸵鸟，要学会"好东西大家分享"。
6、美国老板通常都很有人情味，可以好好加以利用噢，就看你够不够聪明了！日本老板：以身作则的拼命三郎建议：1、日本人历来崇尚拼命三郎的工作精神，不但这样要求下属，还以身作则，所以你可得做好心理和生理上的双重准备。
2、日本老板很看重员工的工作责任感，要努力把自己塑造成富有责任心、工作第一的铁人形象，才能博得老板青睐有加哦！3、日本是个注重礼仪的国家，记住礼多人不怪。
4、在日本公司里，上下级及尊卑观念很强，对你的上司应表现出应有的尊重和服从。
在意见相左时也要牢记"服从第一"。
5、日本公司多有"重男轻女"的现象和倾向，所以女性员工在工作中尤其要学会化解压力，认清形势，在恰当的时机，以自己的才干和实力令你的同事和上司对你刮目相看。
避免被当"花瓶"看待。
德国老板：完美主义者建议：1、德国人以近乎苛刻的守时而闻名，作一名好的员工，就要时刻记得遵守时间，不能迟到，也不要提前。
2、德国老板的原则性很强，计划好的事情轻易不会改变，当下属的要学会把灵活性与老板的原则性相结合。
3、德国人大都是完美主义者，这体现在对自身和工作的要求上，而他们也会欣赏完美主义者，所以在工作时要力求做到尽善尽美。
4、德国以其深的哲学思想而文明于世，他们尊敬深刻的思想。
不妨多涉猎一下德国的哲学，武装一下自己的思想，这不但更利于你理解老板的思维，也更易于得到老板赏识。
定律六：千万不要在背后议论你的上司，不要卷入上司的个人生活在职场中，你应当明白的一个道理就"将工作与生活分开"。
在生活中，不喜欢的人你可以不于理睬，但在工作中，即使你的上司真的很糟，你也努力合作与配合。
不要参与议论。
此外，不要知道太多的上司隐私。
定律七：学会理解你的上司作为刚毕业的大学生，你的上司很可能是一个中层主管，一方面他要维护部门的权益，另一方面他要执行上级的命令，很容易陷入两难情境。
学会理解他人是保持好心情、建立和谐人际关系的一个重要砝码。
职场的人际关系法则多多，其实，"做好你的工作"，这是一切法则的基本前提。
坦诚面对你的上司、积极主动的配合，完善自己将会使你在职场中的人际关系畅通无阻。
不同的文化有不同的风格。
总而言之，无论与哪国的老板相处，我们都应记住以下八项注意：1．心态要正，保持以工作为重的思维方式，在乎工作成果而非靠个人关系。
2．主动沟通以解决问题，别指望通过暗示等让他们了解。
但沟通不是抱怨和诉苦，最好能在沟通时写明问题所在和可行的解决方案。