2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第3章第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式]

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湖南省师大附中2015届高三数学月考(五)试题文

湖南师大附中2015届高三月考〔五〕数学〔文〕试题〔考试范围：高考全部内容〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题，时量120分钟，总分为150分。

一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.设全集U=R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==<-=x y x B x x x A 11|},|1||{，如此图中阴影局部表示的集合是A ．{x|x≥1}B.{}21|<≤x xC ．{x ｜0<x≤1}D ．{x|1≤1}2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,12)(2x ax x x x f x ，假设a f f 4))0((=，如此实数a 的值为 A. 21 B ．54 C ．2 D ．9 3．命题p ：假设x∈R，如此21≥+x x ，命题q ：假设0)1(1≥-x g ，如此x≥2，如此如下各命题中是假命题的是A ．q p ∨B ． q p ∨⌝)(C ． q p ∧⌝)(D ． )()(q p ⌝∧⌝ 4．平面区域内的点〔x ，y 〕满足约束条件,0520402⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x y x y x 如此目标函数z=2x+y 的最大值是〔C 〕A5 B ．7 C ．23 D ．255．如下推理是归纳推理的是〔B 〕A.A 、B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，如此点P 的轨迹是椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出S 1，S 2，S 3，猜测出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2r π，猜测出椭圆12222=+b y a x 的面积S=πab D ．点O 为直线AB 外一点，由OC OB OA 2=+可知点C 为线段AB 的中点6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，如此该几何体的侧面积是A .6πB ．8π C. l2πD ．24π7．O 为△ABC 外一点，D 为BC 边上一点，且02=-+OD OB OC ，假设AB=3,AC=5．如此=BC AD . A ．－8B ．8C ．－ 2D ．2 8·椭圆)012222>>=+b a by a x （的右焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，M 为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA〔O 为原点〕的面积是△OMB 的面积的2倍，如此椭圆的离心率为A ．21B ．22C ．33D ．55 9．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当x∈[一2，0]时1)22()(-=x x f ，假设茌区间〔一2，6〕内关于x 的方程)0(0)2(1)(>=+-a x og x f a 且a≠1〕恰有4个不同的实数根，如此实数“的取值范围是A ．)1,41( B ．〔1，4〕C ．〔1,8〕D ．〔8，+∞〕10．正项数列{a n }满足0)1(1221=+-+++n n m n a a a a n ，且a 1=1，不等式“a 1．a 2+a 2+a 3+…+a n ·a n+1≥m 对任意n∈N *恒成立．如此实数m 的取值范围是A 〔一∞，21] B·〔一∞，21〕 C ．〔一∞，1] D ．〔一∞，1〕二、填空题：本大题共5个小题，每一小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上。

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第2章第7节对数与对数函数]

2009~2013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第7节对数与对数函数考点一对数与对数运算1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.答案：D2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.答案：D3．(2013陕西，5分)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c b log c a·log c a ＝log c b ，则B 对．4．（2012安徽，5分）(log 29)·(log 34)＝( ) A.14B.12C ．2D ．4解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：D5．（2011安徽，5分）若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1)D ．(a 2,2b )解析：当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 的图像上．答案：D6．（2011天津，5分）已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b .答案：B7．（2010新课标全国，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：由a ，b ，c 互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，不妨设a ∈(0,1)，b ∈(1,10)，c ∈(10,12)，由f (a )＝f (b )得lg a ＋lg b ＝0，即lg ab ＝0，所以ab ＝1，所以abc ∈(10,12)．答案：C8．（2010浙江，5分）已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 答案：B9．（2010辽宁，5分）设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A10．（2010天津，5分）设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：由于b ＝(log 53)2＝log 53·log 53＜log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 答案：D11．（2010湖南，5分）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )解析：从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点，然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D.答案：D12．(2009·山东，5分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (2 009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：∵x ＞0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，又f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，故f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，故函数周期为6.∴f (2 009)＝f (6×334＋5)＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1.故选C.答案：C13（2012北京，5分）已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2.答案：2考点二指数函数、对数函数与幂函数的综合问题1．（2013浙江，5分）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y＝2,2lg(xy )＝2,2lg x ＋2lg y ＝3,2lg(x＋y )＝2lg 11,2lg x ·lg y＝1,2lg x ·2lg y ＝2.答案：D2．（2012新课标全国，5分）当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)解析：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，画出两个函数在(0，12]上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点(12，2)，则a ＝22，所以a 的取值范围为(22，1)．答案：B3．（2012天津，5分）已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：a ＝21.2>2，而b ＝(12)－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .答案：A4．（2012湖南，5分）设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >cb ；幂函数y ＝xc (c <0)是减函数，所以a c <b c ；因为a－c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：D5．（2011新课标全国，5分）已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图像可看出交点有10个．答案：A6．(2009·广东，5分)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．x 2解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .故选C.答案：C7．（2011天津，5分）已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab.∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a＋2b≥2322ab ≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：18。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第三章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数

且 a<b,∴(1-a)a>(1-a)b,又函数 y=xb 为(0,+∞)上的增函数,且 1-a>1-b>0,
∴(1-a)b>(1-b)b,∴(1-a)a>(1-b)b,故 D 正确.故选 D.
规律方法比较指数式大小的方法
考向2解简单的指数方程或不等式
例题(1)(2023·福建福州高三检测)设集合 M={x|-1≤x≤1},N= x

1
3 -2 3
×
5
6
1
6
-2 )2-2=4,x2+x-2=(x+x-1)2-2=14,故
=a2.
规律方法指数幂的运算
考点二
指数函数的图象及应用
例题(1)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过二、三、四象限,则一定有
(
)
A.0<a<1且b<0
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b>0
自变量x出现在幂的指数上,故称指数函数
(2)图象与性质:
y=ax
图象“撇增捺减”
图象
0<a<1
a>1
y=ax
0<a<1
a>1
定义域
R
值域
性质
(0,+∞)
过定点(0,1),即 x=0 时,y=1
当 x>0 时,y>1;当 x<0 时,0<y<1
当 x>0 时,0<y<1;
当 x<0 时,y>1
在定义域 R 上是
点,由图象知m≤-1.
考点三

2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：解答题增分系列讲座(三)

7分 8分
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第六页，编辑于星期五：八点五十分。
Hale Waihona Puke [解题流程]第四步对 n 的取值讨论，确定 n 的值．
解答题增分
系列讲座（三）
“数列” 类题目的审题结束技巧与解题规范
[失分警示] 对 n 的值不讨论，
盲目得出结论.即只写
出 n 为奇数情况忽略 n
为偶数，导致失分.
当n为偶数时，－2n>0，上式不成立；当n为奇数时，－2n＝－2n≤－2 012，
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解答题增分系列讲座（三） “数列” 类题目的审题结束技巧与解题规范
[典例] (2013·湖北高考)(本题满分 12 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3 ＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由．
解答题增分系列讲座（三） “数列” 类题目的审题结束技巧与解题规范
“数列”类题目的审题技巧与解题规范
[技法概述] 有的数学题条件并不明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息，解题时，可避免因忽视隐含条件而出现错误．
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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第1章第1节集合]

2009~2013年高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第1节集合考点一集合的含义与表示1．（2013福建，5分）若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A ∩B ＝{1,3}，故A ∩B 的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4(a ＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l ＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎨⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22≤m ≤0，因此命题③正确．答案：D考点二集合的基本关系1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n ＝1,2,3,4时，x ＝1,4,9,16，∴集合B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C．{3,4} D．∅解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B ＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2, ＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝()A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0}C．{0,1} D. {－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则∁R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A ＝()A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，∁U A＝{3,4,5}，则B∩∁U A＝{3,4}．答案：B12. (2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则() A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B⊆A.答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.答案：C考点三集合的基本运算1．（2012广东，5分）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U解析：因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以2∈∁U M,4∈∁U M,6∈∁U M，所以∁U M ＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝()A．(1,2) B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2]解析：由题可知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，故A∩B＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2} 解析：∁U Q ＝{1,2,6}，故P ∩(∁U Q )＝{1,2}．答案：D4．（2012湖南，5分）设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}解析：N ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U ＝{}x ∈R |x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R ||x ＋1|≤1的补集∁U A为( )A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤2解析：因为U ＝{x ∈R |x 2≤4}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |x ＋1|≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M ＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]解析：集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P ＝[－1,1]，所以∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A＝{x| |x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}解析：由题可知，集合A＝{x|－2≤x≤2}，集合B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A∩B＝{0,1,2}．答案：D10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D考点四抽象集合与新定义集合1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}。

2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知2(1i)1i z-=+(i 为虚数单位),在复数z = ( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A .3B .4C .5D .6 3.设x ∈R ,则“1x >”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为( )A .1-B .0C .1D .25.执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S =( )A .67B .37C .89D .496.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心率为( )AB .54C .43D .537.若实数a ,b满足12a b+=则ab 的最小值为 ( )AB .2 C.D .48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则||PA PB PC ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .910.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为=⎛⎫ ⎪⎝⎭新工件的体积材料利用率原工件的体积 ( ) A .89π B .827πCD第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上. 11.已知集合{1,2,3,4}U =,{1,3}A =,{1,3,4}B =,则()U A B =ð . 12.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ,B 两点,且120(AOB O ∠=为坐标原点),则r = .14.若函数()22||x f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知0ω>,在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则ω= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球1A ,2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ,2a 和2个白球1b ,2b 的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =. （Ⅰ）证明:sin cos B A =; （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=,且B 为钝角,求A ,B ,C .18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,1CC 的中点.（Ⅰ）证明:平面AEF ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒,求三棱锥F AEC -的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,22a =,且2133n n n a S S ++=-+,*n ∈Ν. （Ⅰ）证明:23n n a a +=;（Ⅱ）求n S .20.（本小题满分13分）已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向.（Ⅰ）求2C 的方程;（Ⅱ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈Ν个极值点.（Ⅰ）证明:数列{()}n f x 是等比数列;（Ⅱ）若对一切*n ∈Ν,|()|n n x f x ≤恒成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷z x y∴=-在点A处取得最小值为.故选A.z x y∴=-22数学试卷第10页（共36页）(22)x x x -≤第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】{123}，，【解析】由题{}2U B =ð，所以(){123}UB A =，，ð. 【提示】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集. 【考点】集合的运算. 12.【答案】22(1)1x y +-=【解析】曲线C 的极坐标方程为22sin 2sin ,ρθρρθ=∴=，它的直角坐标方程为222x y y +=， 22(1)1x y ∴+-=，故答案为22(1)1x y +-=【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可. 【考点】圆的极坐标方程. 13.【答案】2数学试卷第16页（共36页）120，120，则△120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离数y b =的图像有两个交点，结合函数的图像可得，02b <<时符合条件，故答案为02b <<.所以平面AEF⊥平面11B BCC.3322121BC BB B=，推出数学试卷第22页（共36页）（Ⅱ）如图，设11223344()()()()A x yB x yC x yD x y，，，，，，，，uuu r uuu r u u ur u u ur数学试卷第28页（共36页）11 / 12数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）。

2015高考数学真题及答案

2015高考数学真题及答案高三数学（文科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为（A ）(1,2) （B ）(2,1) （C ） (1,2)- （D ）(2,1)-（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =±（B ）y =（C ）2y x =± （D ）y =（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则（A ）0()=2f x ' （B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f（D ）0()=1f x '-（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为（A ）12 （B ）13（C ）14（D ）16（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填（A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤，则下列命题中正确的是（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤ （B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为（A ）111502n n a a +=+ （B ）112003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=+ （D ）121805n n a a +=+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015湖南卷高考数学试题及答案或解析下载_2015高考真题抢先版

开始输入2015年高考将于6月6、7日举行，我们将在第一时间收录真题，现在就请先用这套权威预测解解渴吧市2015届高三四月调研考试数学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 已知集合 A. B.C. D.3. 命题“若，则”的否命题是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是A ． B.C. D.5. 当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为A. 30B.14C. 8D.6 6. 设，则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．B ．C ． D.8. 不等式组围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为 A ．B ．a2aa正视图左视图俯视图C．D．9. 已知函数，若恒成立，则的取值围是A. B. C. D.10. 如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形（含边界），则的取值围是A．B．C. D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11. 在某市2015年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中，考评组从中抽取份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如右图所示，则分数在区间上的人数大约有人.12. 如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为.（第10题图）分数（分）组距40 50 60 70 80频率O0.0313. 在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为.14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象的对称轴重合，则的值为.15. 点在直线上，记，若使取得最小值的点有无数个，则实数的取值是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)等差数列满足：，，其中为数列前n项和．(Ⅰ)求数列通项公式；(Ⅱ)若，且，，成等比数列，求的值．17.(本小题满分12分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。

2015年湖南高考文科数学试题及答案word版

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知()21jz-=1+i（i为虚数单位），则复数z=2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是A.3B.4C.5D.63.设x∈R，则”x>1”是”3x>1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若变量x,y满足约束条件错误!未找到引用源。

则z=2x-y的最小值为A.-1B.0C.1D.25.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6.若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A.73 B.54 C.43 D.537.若实数a,b 满足12a b a b+=ab 的最小值为2 B.2 2 D.4 8.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 9.已知点A ，B ，C 在圆221y χ+=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.910.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）A.89πB.827π C.)32421π D.)3821π二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A ⋃（C B ⋃）=________ 12.在直角坐标系xOyz 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ=3sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为______13.若直线3x-4y+5=0与圆x ²+y ²=r ²（r>0）相交于A ，B 两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则r=___________.14.若函数f （x ）=|2x -2|-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是___________15.已知w>0，在函数y=2sin mx 余y=2 cos wx 的图像的交点，距离最短的两个交点的距离为3w=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第5章三角函数、解三角形第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式

B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1
D.tan(α+β)=-1
解析因为 tan
sin-cos
β=
,所以
sin+cos
tan
以 1+tan αtan β=tan α-tan β,所以
tan-1
β=
,所以
tan+1
tan αtan β+tan β=tan α-1,所
tan-tan
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
+
π
2cos(α+ )sin
4
π
2sin(α+ )cos
4
π
2sin[(α+4)+β]=
β.又 sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos
3
sin αcos
1
sin(α-β)=3,cos
αsin
αsin
1
β=6,则
1
β=6,∴sin(α-β)=sin
1
β= . ∵sin(α+β)=sin
2
αcos β-cos αsin β=
αcos β+cos αsin
2 2 1

(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及其线性运算文湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及其线性运算考点平面向量的概念与线性运算1．（2013广东，5分）设a 是已知的平面向量且a≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜，时，不存在符合题意的单位向量c 和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．答案：B2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋12AB ，那么AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AB ·(AD －AB )＝2. 答案：23（2013江苏，5分）．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力． DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．（2010安徽，5分）设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a|＝|b|B ．a ·b＝22 C ．a ∥b D ．a －b 与b 垂直解析：|a|＝12＋02＝1，|b|＝12＋12＝22； a·b＝1×12＋0×12＝12；(a －b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．答案：D5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝(2－π2)弧度，|CQ|＝cos(2－π2)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－π2)＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP 的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)6．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝12|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]．答案：[π6，5π6] 8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：10。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含解析)

几何关系不难得到 PA PB PC 2 PO PB 4 PB ，易知当 B 为（-1，0）时取得最大值.
由题意，AC 为直径，所以 PA PB PC 2 PO PB 4 PB ,已知 B 为（-1，0）时， 4 PB 取得
最大值 7，故选 B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含解析）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1 i)2
1、已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=( )
z
A、1+i
B、1-i
C、-1+i
【答案】D
D、-1-i
“ x2 >1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“ x2 >1”的充要条件，故选 C.
考点：命题与条件
x y 1
4、若变量
x、y
满足约束条件
Hale Waihona Puke yx1，则 z=2x-y 的最小值为(
)
x 1
A、-1
B、0
C、1
D、2
【答案】A
考点：简单的线性规划 5、执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 n=3，中输入的 S=( )
x2
因为双曲线
a2
y2 b2
1的一条渐近线经过点（3，-4），3b 4a，（9 c2 a 2） 16a 2，e
c = 5． a3
故选 D.
考点：双曲线的简单性质
7、若实数 a，b 满足 1 2 ab ，则 ab 的最小值为( ) ab
A、 2

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第5章第4节数列求和

数学
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第二十一页，编辑于星期五：九点四十二分。
第四节数列求和结束
角度二
形如 an＝
1 n＋k＋
型 n
2．(2014·江南十校联考)已知函数 f(x)＝xa 的图像过点(4,2)，令
an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则
S2 013＝ A. 2 012－1
3．一些常见数列的前 n 项和公式
nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ n2 ；

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n2＋n .
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第四节数列求和结束
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
由已知可得35aa11＋＋31d0＝d＝0－，5. 解得ad1＝＝－1，1. 故{an}的通项公式为 an＝2－n.
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第四节数列求和结束
(2)由(1)知a2n－11a2n＋1 ＝3－2n11－2n＝122n1－3－2n1－1，从而数列a2n－11a2n＋1的前 n 项和为 12－11－11＋11－13＋…＋2n1－3－2n1－1＝1－n2n.
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第四节数列求和结束
(2)由 bn＝2an＋21an＝2n＋1＋2n1＋1＝2n＋21n＋2 知，

(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示文湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示考点平面向量的基本定理及坐标表示1．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：选A 本题主要考查向量的坐标表示．由已知，得AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，因此与AB 同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 2．（2013福建，5分）在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，AC ²BD ＝1³(－4)＋2³2＝0.所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为12|AC |²|BD |＝12³5³20＝5. 3．（2013陕西，5分）已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．0解析：选C 本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a ∥b 的充要条件的坐标表示为1³2－m2＝0，∴m ＝± 2.4．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t)，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．AB ＝OB －OA ＝(3,2－t)，由题意知OB ²AB ＝0，所以2³3＋2(2－t)＝0，t ＝5.答案：55．（2013四川，5分）在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：本题主要考查几何最值问题，从几何方法入手，用代数手段解决，意在考查考生对解析几何和平面几何的结合与转化的能力．取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD. 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．答案：(2,4)6．（2012广东，5分）若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)解析：AC ＝AB ＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．答案：A7．（2012辽宁，5分）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x)．若a²b＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x)可得a²b＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：D8．（2012陕西，5分）设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12 C ．0 D ．－1解析：由向量互相垂直得到a²b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.答案：C9．（2011广东，5分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c 则λ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2解析：可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb)∥c 得(1＋λ)³4－3³2＝0，∴λ＝12答案：B10．（2010新课标全国，5分）a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665解析：由题可知，设b ＝(x ，y)，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，由cos 〈a ，b 〉＝a²b |a| |b|＝1665. 答案：C11．（2012安徽，5分）设向量a ＝(1,2m)，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m)．若(a ＋c)⊥b ，则|a|＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m)，由(a ＋c)⊥b ，可得(a ＋c)²b＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a|＝ 2. 答案： 212．（2011北京，5分）已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得方程3k ＝3²3，解得k ＝1. 答案：1。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第3章函数与基本初等函数第5节指数与对数运算

A.-1
B.lg 7
1 1
+ =( C )

C.1
解析 ∵2 =5 =10,∴a=log210,b=log510,∴
a
b
=lg 10=1,故选 C.
D.log710
1
1
+

=
1
1
+ log 10=lg
log2 10
5
2+lg 5
8.(2022·浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=( C )
性质
若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即 xn=a ,则称x是a
的n次方根

当n是奇数时,数a的n次方根记作 ,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个
负数
当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数 ,记

作± (a>0),负数没有偶次方根
0的n次方根是0
2 )

- 3
-2
b 2·
2 · 3
4 2
2x
(3)若 a =4
+lg
-2x
+lg
的值等于
7
3
.
5
2
2x
25-lg ,所以 a =2+lg(25× )=2+lg
2
5
1
3 +-3
= ,所以 -
3
+
2x -1
a =(a )
5
25-lg ,则 x -x
2
a +a
A.25
25
C. 9
B.5
解析由 log83=b,得 8 =3,即 2 =3,则 2

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第2章--第9节--函数模型及其应用]

2009~2013年高考真题备选题库第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用考点一函数模型的实际应用1．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：202．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3．(2009·浙江，4分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：若某家庭家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为a ＋b ＝148.4(元)． 4.(2011山东，12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r 2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2)，0<r <2.由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0.所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.考点二函数与其他知识的交汇1．（2013安徽，12分）设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或 a ＝1＋k 处取得．而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1，故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.2．（2012陕西，14分）设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )． (1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)证明：当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1. ∵f (12)f (1)＝(12n －12)×1<0，∴f (x )在(12，1)内存在零点．又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝nx n －1＋1>0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，即由图象知，b ＋3c 在点(0，－2)处取到最小值－6，在点(0,0)处取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. 法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，②①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.法三由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－b ＋c ，f (1)＝1＋b ＋c ，解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：(ⅰ)当|b2|>1，即|b |>2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |>4，与题设矛盾．(ⅱ)当－1≤－b2<0，即0<b ≤2时，M ＝f (1)－f (－b 2)＝(b2＋1)2≤4恒成立．(ⅲ)当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f (－b 2)＝(b2－1)2≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2.注：(ⅱ)，(ⅲ)也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f (1)，f (－1)}－f (－b2)＝f (－1)＋f (1)2＋|f (－1)－f (1)|2－f (－b 2)＝1＋c ＋|b |－(－b 24＋c )＝(1＋|b |2)2≤4恒成立．。

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：解答题增分系列讲座(二)

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解答题增分系列讲座（二） “三角函数、解三角形”类题目结束的审题技巧与解题规范
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[解题流程]
第二步
三角恒等变换
第三步
求角
故sin A＝sinB＋C＝sin Bcos C＋cos Bsin C.
② 4分
由①②和C∈0，π得sin B＝cos B.
[失分警示]
易忽略说明 B，C 的范围，导致扣分．
又B∈0，π，所以B＝π4.
6分
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(1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值．
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第1问
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第2问
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(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习第5章第4节数列求和文湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第4节数列求和考点一等差数列与等比数列的综合 1．（2013某某，16分）设{an}是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，Sn 是其前n 项的和．记bn ＝nSn n2＋c，n ∈N*，其中 c 为实数．(1)若c ＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk ＝n2Sk(k ，n ∈N*)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c ＝0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n 项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力．由题设，Sn ＝na ＋nn －12d. (1)由c ＝0，得bn ＝Sn n ＝a ＋n －12 d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d2－2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2a.因此，对于所有的m ∈N*，有Sm ＝m2a.从而对于所有的k ，n ∈N*，有Snk ＝(nk)2a ＝n2k2a ＝n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn ＝b1＋(n －1)d1，即nSnn2＋c ＝b1＋(n －1)d1，n ∈N*，代入Sn 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N*，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d1－12d n3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b1－d1－a ＋12d n2＋cd1n ＝c(d1－b1)．令A ＝d1－12d ，B ＝b1－d1－a ＋12d ，D ＝c(d1－b1)，则对于所有的n ∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd1＝8A ＋4B ＋2cd1＝27A ＋9B ＋3cd1＝64A ＋16B ＋4cd1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd1＝0， ①19A ＋5B ＋cd1＝0， ②21A ＋5B ＋cd1＝0， ③由②，③得A ＝0，cd1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd1＝0. 即d1－12d ＝0，b1－d1－a ＋12d ＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由d1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又cd1＝0，所以c ＝0. 2．（2013某某，14分）在公差为d 的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d ，an ；(2) 若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以an ＝－n ＋11，n ∈N*或an ＝4n ＋6，n ∈N*.(2)设数列{an}的前n 项和为Sn.因为d<0，由(1)得d ＝－1，an ＝－n ＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn ＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn ＋2S11＝12n2－212n ＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n2＋212n ，n≤11，12n2－212n ＋110，n≥12.3．（2013某某，14分）已知首项为32的等比数列{an}的前n 项和为Sn(n ∈N*), 且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式； (2)证明Sn ＋1Sn ≤136(n ∈N*)．解：本题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的基本性质等基础知识．考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力． (1)设等比数列{an}的公比为q ，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q ＝a4a3＝－12.又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n.(2)证明：Sn ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，Sn ＋1Sn ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n 2n ＋1，n 为奇数，2＋12n2n －1，n 为偶数.当n 为奇数时，Sn ＋1Sn 随n 的增大而减小，所以Sn ＋1Sn ≤S1＋1S1＝136；当n 为偶数时，Sn ＋1Sn 随n 的增大而减小，所以Sn ＋1Sn ≤S2＋1S2＝2512.故对于n ∈N*，有Sn ＋1Sn ≤136.4. （2013某某，12分）设Sn 表示数列{an}的前n 项和． (1)若{an}为等差数列，推导Sn 的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n ，有Sn ＝1－qn1－q .判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．解：本题主要考查等差数列前n 项和公式推导所用的倒序相加法，考查等比数列的证明方法和一般数列切入点的技巧，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法． (1)法一：设{an}的公差为d ，则Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n －1)d]，又Sn ＝an ＋(an －d)＋…＋[an －(n －1)d]， ∴2Sn ＝n(a1＋an)， ∴Sn ＝n a1＋an2. 法二：设{an}的公差为d ，则Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n －1)d]，又Sn ＝an ＋an －1＋…＋a1＝[a1＋(n －1)d]＋[a1＋(n －2)d]＋…＋a1，∴2Sn ＝[2a1＋(n －1)d]＋[2a1＋(n －1)d]＋…＋[2a1＋(n －1)d]＝2na1＋n(n －1)d ， ∴Sn ＝na1＋nn －12d. (2){an}是等比数列．证明如下： ∵Sn ＝1－qn 1－q，∴an ＋1＝Sn ＋1－Sn ＝1－qn ＋11－q －1－qn 1－q ＝qn 1－q1－q ＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有an ＋1an ＝qnqn －1＝q ，因此，{an}是首项为1且公比为q 的等比数列．5．（2013某某，13分）设数列{an} 满足：a1＝1，an ＋1＝3an ，n ∈N ＋. (1)求{an}的通项公式及前n 项和Sn ；(2)已知{bn}是等差数列，Tn 为其前n 项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解：本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n 项和等基础知识，考查逻辑思维能力．(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an ＝3n －1，Sn ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d ，所以数列{bn}的公差d ＝5，故T20＝20×3＋20×192×5＝1 010.6．(2009·某某、某某，5分)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3. ∵{an}是等比数列，∴4a1·q＝4a1＋a1q2，a1＝1. ∴q2－4q ＋4＝0，q ＝2，∴S4＝1×1－241－2＝15.答案：C 7．（2011某某，5分）设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q 的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：设a2＝t ，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33.答案：338．（2012某某，12分）已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m ∈N*，将数列{an}中不大于72m 的项的个数记为bm ，求数列{bm}的前m 项和Sm. 解：(1)设数列{an}的公差为d ，前n 项和为Tn. 由T5＝105，a10＝2a5，得到⎩⎪⎨⎪⎧5a1＋5×5－12d ＝105，a1＋9d ＝2a1＋4d ，解得a1＝7，d ＝7.因此an ＝a1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n(n ∈N*)． (2)对m ∈N*，若an ＝7n≤72m，则n≤72m－1. 因此bm ＝72m －1，所以数列{bm}是首项为7公比为49的等比数列．故Sm ＝b11－qm 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.9．（2012某某，14分）已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2n2＋n ，n ∈N*，数列{bn}满足an ＝4log2bn ＋3，n ∈N*. (1)求an ，bn ；(2)求数列{an·bn}的前n 项和Tn.解：(1)由Sn ＝2n2＋n ，得当n ＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝4n －1，易知当n ＝1时也满足通式an ＝4n －1，所以an ＝4n －1，n ∈N*.由4n －1＝an ＝4log2bn ＋3，得bn ＝2n －1，n ∈N*. (2)由(1)知an·bn＝(4n －1)·2n－1，n ∈N*，所以Tn ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n－1,2Tn ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n－1＋(4n －1)·2n，所以2Tn －Tn ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5. 故Tn ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N*.10．(2010某某，14分)在数列{an}中，a1＝0，且对任意k ∈N*，a2k －1，a2k ，a2k ＋1成等差数列，其公差为2k.(1)证明：a4，a5，a6成等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；(3)记Tn ＝22a2＋32a3＋…＋n2an ，证明：32＜2n －Tn≤2(n≥2)．解：(1)证明：由题设可知，a2＝a1＋2＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋4＝8，a5＝a4＋4＝12，a6＝a5＋6＝18.从而a6a5＝a5a4＝32.所以a4，a5，a6成等比数列．(2)由题设，可得a2k ＋1－a2k －1＝4k ，k ∈N*.所以a2k ＋1－a1＝(a2k ＋1－a2k －1)＋(a2k －1－a2k －3)＋…＋(a3－a1)＝4k ＋4(k －1)＋…＋4×1＝2k(k ＋1)，k ∈N*.由a1＝0，得a2k ＋1＝2k(k ＋1)，从而a2k ＝a2k ＋1－2k ＝2k2. 所以数列{an}的通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧n2－12，n 为奇数，n22，n 为偶数或写为an ＝n22＋－1n －14，n ∈N*. (3)证明：由(2)可知a2k ＋1＝2k(k ＋1)，a2k ＝2k2. 以下分两种情况进行讨论：①当n 为偶数时，设n ＝2m(m ∈N*)．若m ＝1，则2n －∑k ＝2nk2ak ＝2.若m≥2，则∑k ＝2n k2ak ＝∑k ＝1m 2k 2a2k ＋∑k ＝1m －1 2k ＋12a2k ＋1＝ ∑k ＝1m 4k22k2＋∑k ＝1m －1 4k2＋4k ＋12k k ＋1＝2m ＋∑k ＝1m －1[4k2＋4k 2k k ＋1＋12k k ＋1]＝2m ＋∑k ＝1m －1[2＋12(1k －1k ＋1)]＝2m ＋2(m －1)＋12(1－1m )＝2n －32－1n.所以2n －∑k ＝2nk2ak ＝32＋1n ，从而32＜2n －Tn ＜2，n ＝4,6,8，…，②当n 为奇数时，设n ＝2m ＋1(m ∈N*) ∑k ＝2n k2ak ＝∑k ＝22m k2ak ＋2m ＋12a2m ＋1＝4m －32－12m ＋2m ＋122m m ＋1＝4m ＋12－12m ＋1＝2n －32－1n ＋1，所以2n －∑k ＝2nk2ak ＝32＋1n ＋1，从而32＜2n －Tn ＜2，n ＝3,5,7，….综合①和②可知，对任意n≥2，n ∈N*，有32＜2n －Tn≤2.11．(2010，13分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0. (1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n 项和公式．解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a3＝－6，a6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝－6，a1＋5d ＝0.解得a1＝－10，d ＝2.所以an ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{bn}的前n 项和公式为Sn ＝b11－qn1－q＝4(1－3n)．考点二递推数列及其应用 1．（2013某某，13分）设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n ∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n 项和．解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力．(1)令n ＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21. 因为a1≠0，所以a1＝1.令n ＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an －1＝Sn,2an －1－1＝Sn －1两式相减得2an －2an －1＝an ，即an ＝2an －1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an ＝2n －1. 所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1. (2)由(1)知，nan ＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n 项和为Bn ，于是 Bn ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得－Bn ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝2n －1－n·2n.从而Bn ＝1＋(n －1)·2n. 2．（2013某某，14分）设各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn ，满足4Sn ＝a2n ＋1－4n －1，n ∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列． (1)证明：a2＝ 4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＜12.解：本题主要考查通过“an 与Sn 法”将递推数列转化为等差数列及裂项求和法，意在考查考生运用化归与转化思想解决问题的能力．(1)证明：∵an ＞0，令n ＝1，有4S1＝a22－4－1，即4a1＝a22－4－1，∴a2＝4a1＋5. (2)当n≥2时，4Sn ＝a2n ＋1－4n －1,4Sn －1＝a2n －4(n －1)－1，两式相减得4an ＝a2n ＋1－a2n －4，有a2n ＋1＝(an ＋2)2，即an ＋1＝an ＋2， ∴{an}从第2项起，是公差为2的等差数列，∴a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24，又a2，a5，a14构成等比数列，有a25＝a2·a14，则(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，由(1)得a1＝1，又an ＋1＝an ＋2(n≥2)． ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)证明：由(2)得1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.3．（2012新课标全国，5分）数列{an}满足an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，则{an}的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n 为奇数时，an ＝1，当n 为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为S60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1 830.答案：D4．(2009·某某，4分)五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．解析：五位同学报数所构成的数列为1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0，…所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96，共5个数．答案：55．(2011某某，14分)设b ＞0，数列{an}满足a1＝b ，an ＝nban －1an －1＋n －1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.(1)由an ＝nban －1an －1＋n －1联想到取倒数得n an ＝1b ＋1b ·n －1an －1，令＝n an ，有＝1b ＋1b －1，当b ＝1时，{}为等差数列，当b≠1时，设＋k ＝1b (－1＋k)，展开对比得k ＝11－b ，构造等比数列{＋11－b }，求得后再求an ；(2)当b ＝1时，易验证，当b≠1时，先用分析法将2an≤bn＋1＋1转化为2n 1－b bn1－bn≤bn＋1＋1，利用公式an －bn ＝(a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋bn －1)，再转化为2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b ＋b2＋…＋bn －1)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可得证．解：(1)∵a1＝b ＞0，an ＝nban －1an －1＋n －1，∴n an ＝1b ＋1b ·n －1an －1，令＝n an ，则＝1b ＋1b－1，①当b ＝1时，＝1＋－1，且c1＝1a1＝1b ＝1∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n －1)×1＝n ，于是＝nan＝n ，这时an ＝1；②当b≠1时，＋11－b ＝1b (－1＋11－b )，且c1＋11－b ＝1b ＋11－b ＝1b 1－b， {＋11－b }是首项为1b1－b ，公比为1b的等比数列， ∴＋11－b ＝1b 1－b ·(1b )n －1，由n an ＋11－b ＝11－b bn 得an ＝n 1－b bn1－bn，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， b ＝1n 1－b bn1－bn，b≠1.(2)证明：由(1)得，当b ＝1时，an ＝1,2an≤bn＋1＋1⇔2≤2成立，当b≠1时，an ＝n1－b bn 1－bn ，2an≤bn＋1＋1⇔2n 1－b bn1－bn≤bn＋1＋1，而1－bn ＝(1－b)(1＋b ＋b2＋…＋bn －1)，又b ＞0，故只需证：2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b ＋b2＋…＋bn －1)，(※)而(bn ＋1＋1)(1＋b ＋b2＋…＋bn －2＋bn －1)＝(b2n ＋b2n －1＋…＋bn ＋1)＋(bn －1＋bn －2＋…b＋1)＝(b2n ＋1)＋(b2n －1＋b)＋…＋(bn ＋1＋bn －1)≥2bn＋2bn ＋…＋2bn ＝2nbn ，∴(※)式成立，原不等式成立．。

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第5章第5节数列的综合应用

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第十页，编辑于星期五：九点四十二分。
第五节数列的综合应用结束
34为公比的等比数列，又 a6＝70，所以 an＝70×34n－6.
130－10n，n≤6，答案：an＝70×34n－6，n≥7
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第十一页，编辑于星期五：九点四十二分。
第五节数列的综合应用结束
第五节
第五节数列的综合应用结束
数列的综合应用
[典例] (2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为
零，a1＝25，且 a1，a11，a13 成等比数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)求 a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由此建立关于公差d的方程.
思考
等差数列{an}中，a1,a4,a7,···,a3n-2成等差数列吗？
即1－12a12＝a114a1＋1，
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第五节数列的综合应用结束
解得 a1＝12， ∴an＝12n. 设{bn}的公差为 d，又TT12＝＝λ2bλ2b，3，即81＝6＋λd8＝＋2dλ，8＋2d，
解得λ＝12， d＝8
或λd＝＝10， (舍)，∴λ＝12.
数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命
题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与
其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有： 1数列与不等式的交汇； 2数列与函数的交汇； 3数列与解析几何的交汇.
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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式]

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