2014年广东高考理科数学试卷参考答案与解析

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2014年全国高考广东省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130小学初中高中年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014高考数学(理科)真题-广东

2014高考数学(理科)真题-广东1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1} 【答案】B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+ 【答案】A【解析】2525(34):=34(34)(34)25(34)34,.25i z i i i i i -=++--==-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A.8B.7C.6D.5【答案】C 【解析】:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.C M m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+从而两曲线均为双曲线,又:25故两双曲线的焦距相等,选 D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）【答案】B【解析】01,21,260,.B =∴即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10【答案】A 【解析】(350045002000)2%200,20002%50%20,.A ++⋅=⋅⋅=∴样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定【答案】D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B..90 C.120 D.130 【答案】D【解析】12345112512225513112252541,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选9.不等式521≥++-x x 的解集为. 【答案】（-∞，-3]∪[2，+∞）10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为【答案】035=-+y x【解析】'5'5,5,35,530xx y e y y x x y -==-∴=-∴-=-+-=所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.【答案】61 【解析】3671067,36,136,.6C C =要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a .【答案】2 【解析】2222222:cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,2224,2,2b C c B a aa b bB C C B B B C B A B aa b ba b c a c b b b ab ac a ab aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=.【答案】50 【解析】51011912101112202019151201011,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=设则14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿【答案】（1,1）【解析】221212(sin )cos ,,:1,(1,1)C y x C y C C ρθρθ===∴即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿【答案】9 【解析】22,()()9CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆显然的面积的面积16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 【答案】5523(1)()sin()sin ,121243232(2)(1):()sin(),4()()))44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),2s f A A Af x x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=+-+-===∴=∈∴由得in 33()sin()444)f θπππθθπθθ=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.【答案】121272(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. 【答案】:(1):,,,,A ,,解证明平面平面平面平面平面平面⊥⊂∴⊥=⊂⊥PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,平面平面又平面平面解法一过作交于∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF00,,G GH AF H,EH,,CD 2,30,130,==1,2平面A 平面A 过作于连则为二面角的平面角设从而⊥∴⊥⊥∠--=∠=∴∠=CF DF EG DF EHG D AF E DPC CDF CF CD4,,,12,23,2233EG .4∥还易求得EF=从而=∴=∴==⋅===DE CFCP EF DC DP CPDE DF DE EF DF3,223cos 易得故===⋅∴=====∴∠==AE AF EF AE EF EH AF HG GH EHGEH 19=:,,,,,2,(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则λλ==-DP DC DA x y z DC A CF CP F11,,43,0),222ADF 1CP (3,1,0),2AEF 可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为λ⊥===-DF CF F E n22221212(x,y,z),0,0,||||2利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为=⋅=⋅=⋅==⋅⨯n n AE n AF n n n n n19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =.(1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式; 【答案】211222122331212121233121232112(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,51587,3,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(1)n n n na S a a a a S a S a a a a a a a a a S a a a a a S na n n n S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧⎨=⎩∴=--=-=====--∴≥=-----①②联立①②解得综上③当时11122161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,1,216122211(21)322411322232(1)11,n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k n k k k a a k k k k k k k k k k k n k ++--+=+=+===⨯+==+=+-+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说时,,2 1.n n N a n *∈=+猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】22222:(1)33,954, 1.94解椭圆的标准方程为:====∴==-=-=∴+=c c e a a a b a c x y C00(2),,4(3,2),(3,2).(),若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为-±±-=-x y y y k x x00222200200(),194(94)18()9()40,,0,即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意=-++=++-⎡⎤+--=⎣⎦∆=y k x x y x y k x k y kx xy kx220022002200222000012(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,(9)240,,1,即:即两切线相互垂直-⎡⎤---+=⎣⎦--+=∴--+-=∴=-k y kx y kx k y kx k x k x y k y k k20202200224:1,913,(3,2),(3,2),13.即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为-=--∴+=-±±∴+=y x x y P x y21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.【答案】2222221:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2)解则①或②由①得+++++->++>++<-++->∆=--=-><-x x k x x k x x k x x k x x k k k k22222,21=01210:11230,23044(3)4(2)0(2),方程的解为由得由②得:方程的判别式∴++--±∴++-><->-++++<+++=∆=-+=--><-x x k x x k x x x x k x x k k k k21230:112,11111(,1(121(12).该方程的解为由得∴-±+++<-<<-+<-∴--<-<-<-+-+∴=-∞-----+-++∞x x k x k D23'23222'(2)0,2(2)1()2(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),设则当时当时--=>⎡⎤++=-⋅⋅⎢⎥⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--u x x k f x u x x u x x x k i x x x x k f x ii x 2'2'2'10,21310,()0;()(1,1,10,21310,()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,当时当时综上在上的单调增区间为+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴>∈-++∞+>+++>+>∴<-∞---+x x x k f x iii x x x x k f x iv x x x x k f x f x D ():(11),(1).在上的单调减区间为----++∞f x D2222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,设由知当时又显然当时从而不等式=+++++-∈>=+++-=++<->x x k x x k k k k k g 22222222()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]2[(2)(3)]>⇔<-=+++++--+++-=++-++++-+f x f g x g g x g x x k x x k k x x k x x k k26,1113(3)(1)(225)1111,<-∴--<-<-<-<<-<--+=+-+++k x x k x x2()(3)(1)0,()(1),()(11,11),2250,11当欲使即亦即即<+->∴><++--<<-+∴--<-+<<i x x x f x f g x g x x x x k22(3)(1)0,225(2()(5)3(5)0,()(1),()(1);)13,此时时即--<+->+++=++++<-++<<><-x x x x k x x k k k g x g f x f ii x22(iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(3)(1)0,2253(1,时不合题意--<<+-<+++<-++<∴><<+->+++<-+x x x x x k k g x g x x x x k x25)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,(1,1111)(1),从而综上所述合题意欲使则即的解集为:+<∴<>+->∴<+++-+--<<-+-+<<-+<>k g x g x x x g x g x x x x k f x f11(13)(1(11.(1,---⋃--⋃-⋃-+-。

2014年高考理科数学试题(广东卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014高考广东理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学初中高中年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东高考理科数学真题及答案

图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/ %301050O 小学初中高中年级2014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N = A ． B ． C ． D ．{0,1}{1,0,2}-{1,0,1,2}-{1,0,1}-2．已知复数满足，则z (34)25i z +=z =A ． B ． C ． D ．34i -+34i --34i +34i -3．若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则,x y 11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥2z x y =+m n m n -=A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若实数满足，则曲线与曲线的 k 09k <<221259x y k -=-221259x y k -=-A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是(1,0,1)-a =a 60 A ． B ． C ． D ．(1,1,0)-(1,1,0)-(0,1,1)-(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是1234,,,l l l l 12l l ⊥23l l ⊥34l l ⊥A ． B ． C ．与既不垂直也不平行 D ．与的位置关系不确定14l l ⊥14//l l 1l 4l 1l 4l 8．设集合，那么集合中满足条件 (){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=A “”的元素个数为1234513x x x x x ++++≤≤A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．A F E D C B图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式的解集为．125x x -++≥10．曲线在点处的切线方程为．25+=-x e y )3,0(11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．在中，角所对应的边分别为. 已知，则ABC ∆C B A ,,c b a ,,b B c C b 2cos cos =+ ． =ba 13．若等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 512911102e a a a a =+ ．1220ln ln ln a a a +++= （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和1C 2C 2sin cos ρθθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和sin 1ρθ=x 1C 2C 交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与ABCD E AB 2EB AE =AC DE交于点，则＝． F CDF AEF ∆∆的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，，且． ()sin()4f x A x π=+x ∈R 23)125(=πf （1）求的值；A （2）若，，求． 23)()(=-+θθf f )2,0(πθ∈)43(θπ-f图4P A BC ED F17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率 [25,30] 30.12 (30,35] 50.20(35,40]8 0.32(40,45] 1n 1f (45,50] 2n2f （1）确定样本频率分布表中和的值；121,,n n f 2f （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的(30,35]概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面， ABCD PD ⊥ABCD ，于点，∥，交于点．30DPC ∠= AF PC ⊥F FE CD PD E （1）证明：平面；CF ⊥ADF （2）求二面角的余弦值．D AFE --19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且． {}n a n n S n S 21234n n S na n n +=--*n ∈N 315S =（1）求的值；123,,a a a （2）求数列的通项公式．{}n a20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． 2222:1x y C a b +=(0)a b >>(5,0)53（1）求椭圆的标准方程；C （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方00(,)P x y C P C P 程．21.（本小题满分14分）设函数，其中．2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-2k <-（1）求函数的定义域（用区间表示）；()f x D （2）讨论在区间上的单调性；()f x D （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．6k <-D ()(1)f x f >xx2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 10. 11.12. 2 13.50 (,3][2,)-∞-+∞ 530x y +-=16（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9(1,1)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得. 55233()sin()sin 12124322f A A A ππππ=+===3A =（2）由（1）得， ()3sin()4f x x π=+所以 ()()3sin()3sin()44f f ππθθθθ+-=++- 222233(cos sin )3(cos sin )6cos 22222θθθθθ=++-==所以，又因为，所以， 6cos 4θ=)2,0(πθ∈210sin 1cos 4θθ=-=所以. 331030()3sin()3sin()3sin 344444f ππθπθπθθ-=-+=-==⨯=17.（本小题满分12分）17. 解：（1），，，. 17n =22n =170.2825f ==220.0825f ==（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：频率组距0.0400.0240.0160.0560.064P A B C E D F G H P A B C E DF x yz（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件， (30,35]A ，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.4()1(10.2)0.5904P A =--=(30,35]0.590418．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ⊥因为在正方形中，又，所以平面.ABCD CD AD ⊥CD PD D = AD ⊥PCD 因为平面，所以.CF ⊂PCD AD CF ⊥因为，，所以平面.AF CF ⊥AF AD A = CF ⊥ADF （2）方法一：以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系D DP DC DA x y z 设正方形的边长为1，ABCD 则. 333(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,,0)444D A C P E F 由（1）得是平面的一个法向量.(3,1,0)CP =- BCDE 设平面的法向量为， AEF (,,)x y z =n ，， 3(0,,0)4EF = 3(,0,1)4EA =- 所以. 304304EF y EA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ n n 令，则，，所以是平面的一个法向量. 4x =0y =3z =(4,0,3)=n AEF 设二面角的平面角为，且D AFE --θ(0,)2πθ∈所以， 43257cos 19219CP CP θ⋅===⨯⋅ n n 所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --25719方法二：过点作于，过点作于，连接.D DG AE ⊥G D DH AF ⊥H GH 因为，，，所以平面.CD PD ⊥CD ED ⊥ED AD D = CD ⊥ADE 因为∥，所以平面.FE CD FE ⊥ADE 因为平面，所以.DG ⊂ADE FE DG ⊥因为，所以平面.AE FE E = DG ⊥AEF 根据三垂线定理，有， GH AF ⊥所以为二面角的平面角. DHG ∠D AF E --设正方形的边长为1，ABCD 在△中，，，所以. Rt ADF 1AD =32DF =217DH =在△中，因为，所以，所以. Rt ADE 1124FC CD PC ==1344DE PD ==5719DG =所以， 226133133GH DH DG =-=025 30　35 40 45 50 日加工零件数所以， 257cos 19GH DHG DH ∠==所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --2571919.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，，2n =2123420S a a a =+=-又，所以，解得.312315S a a a =++=3342015a a -+=37a =当时，，又，解得.1n =11227S a a ==-128a a +=123,5a a ==所以.1233,5,7a a a ===（2） ①21234n n S na n n +=--当时， ②2n ≥212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=-----①②得.-12(22)61n n n a na n a n +=----整理得，即. 12(21)61n n na n a n +=-++1216122n n n n a a n n +-+=+猜想，. 以下用数学归纳法证明：21n a n =+*n ∈N 当时，，猜想成立；1n =13a =假设当时，，n k =21k a k =+当时，， 1n k =+21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++猜想也成立，所以数列的通项公式为，. {}n a 21n a n =+*n ∈N20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，， 5c =53c e a ==所以，，3a =2224b a c =-=所以椭圆的标准方程为 C 22194x y +=（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，P 12,l l 设，则 100:()l y y k x x -=-2001:()l y y x x k-=--联立， 2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得，2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=所以，22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=整理得，2200()49y kx k -=+即，2220000(9)240x k x y k y --+-=因为，所以， 12l l ⊥201220419y k k x -==--整理得； 220013x y +=当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 12,l l 为或，均满足. P (3,2)±(3,2)-±220013x y +=综上所述，点的轨迹方程为.P 2213x y +=21.（本小题满分14分）21. 解：（1）， 221()(23)(21)f x x x k x x k =+++++-由，得或，22(23)(21)0x x k x x k +++++->223x x k ++<-221x x k ++>即或，2(1)2x k +<--2(1)2x k +>-+所以或或，其中.1212k x k ----<<-+--12x k <---+12x k >-+-+2k <-所以函数的定义域.()f x (,12)(12,12)(12,)D k k k k =-∞---+⋃-----+--⋃-+-++∞（2）令，则， 222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-1()()f xg x =x D ∈，22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++令，解得，，，其中.()0g x '=11x k =---21x =-31x k =-+-2k <-因为，131********k x k k x k ---+<<----<-<-+--<<-+-+所以随的变化情况如下表：(),()g x g x 'xx (,12)k -∞---+ (12,1)k ----- 1-(1,12)k --+-- (12,)k -+-++∞()g x ' - +0 - + ()g x ↘ ↗ 极大值↘ ↗ 因为函数与在区间上的单调性相反，()y f x =()y g x =D 所以在和上是增函数，()f x (,12)k -∞---+(1,12)k --+-- 在和上是减函数.(12,1)k -----(12,)k -+-++∞（3）因为，所以，(1)(1)g x g x --=-+(1)(1)f x f x --=-+所以函数与的图象关于直线对称，()y f x =()y g x =1x =-所以.(1)(3)f f =-因为，所以.6k <-123112k k ----<-<<-+--①当时，(12,12)x k k ∈-----+--要使，则；()(1)f x f >(12,3)(1,12)x k k ∈-----⋃-+--②当时，(,12)(12,)x k k ∈-∞---+⋃-+-++∞令，即，，()(1)f x f =()(1)g x g =22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++令，则，22t x x k =++(1)t >(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++整理得，即，222(815)0t t k k +-++=[(3)][(5)]0t k t k -+++=因为且，所以，即，1t >6k <-(5)t k =-+225x x k k ++=--所以，解得， 22250x x k +++=124x k =-±--(,12)(12,)k k ∈-∞---+⋃-+-++∞所以.()(1)(124)f x f f k ==-±--要使，则.()(1)f x f >(124,12)(12,124)x k k k k ∈-------+⋃-+-+-+--综上所述，当时，在上满足条件的的集合为 6k <-D ()(1)f x f >x .(124,12)(12,3)(1,12)(12,124)k k k k k k -------+⋃-----⋃-+--⋃-+-+-+--。

2014年广东高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,107.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba .13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=:根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠I I Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴⋅======⋅∴==Q Q 为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),,,431(,0),(ADFCP 1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλ==-⊥===-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q u r u u u r u u r 解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅u u r u u u r u u r u u u ru r u u ru u r u r u u u r 利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.2020-2-8。

2014年全国高考理科数学试题及答案-广东卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0 :11,,60,.22BB=∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:C C C80.104080130,D.x x x x xC C AC C++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-xx的解集为.(][)(][) ,32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin ))cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),42f A A Af x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得sin 433()sin()).44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅======⋅∴===为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CFF E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><-->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-±+++<--<-+<-∴--<-<-<-+<-+∴=-∞-------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈---+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-++∞+>+++>+>∴<-∞--------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴----<<-+-+----+<+->∴><+<-++<<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f -+-<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-+⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案

图1 图22014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是A ．(1,1,0)-B ．(1,1,0)-C ．(0,1,1)-D ．(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=　，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为AFED CB图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式125x x -++≥的解集为．10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba． 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x π=+，x ∈R ，且23)125(=πf ．（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．图4PABCED F随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点为，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数()f x =2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (,3][2,)-∞-+∞10. 530x y+-=11.1612. 2 13.50（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1)15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）5523()sin()sin12124322f A A Aππππ=+===，解得A=（2）由（1）得())4f x xπ=+，所以()()sin()sin()44f fππθθθθ+-=++-33()3()22222θθθθθ=+-==所以cos4θ=，又因为)2,0(πθ∈，所以sin4θ==，所以33()sin())44444fππθπθπθθ-=-+=-===PA BC EDFGH18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PD D=，所以AD⊥平面PCD.因为CF⊂平面PCD ，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=，所以CF⊥平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(4D A C PE F由（1）得(3,1,0)CP=-是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF=，(4EA=-，所以3434EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩nn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cosCPCPθ⋅===⋅nn，所以二面角D AF E--.方法二：过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD⊥，CD ED⊥，EDAD D=，所以CD⊥平面ADE.因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE.因为DG⊂平面ADE，所以FE DG⊥.因为AE FE E=，所以DG⊥平面AEF.根据三垂线定理，有GH AF⊥，所以DHG∠为二面角D AF E--的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD=，2DF=，所以7DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以14DE PD==DG=. 所以GH==，所以cos19GHDHGDH∠==，所以二面角D AF E--.19. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-，又312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以1233,5,7a a a ===.（2）21234n n S na n n +=-- ①当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ② ①-②得12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即1216122n n n n a a n n+-+=+. 猜想21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明：当1n =时，13a =，猜想成立；假设当n k =时，21k a k =+，当1n k =+时，21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++，猜想也成立，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得c =c e a ==，所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设100:()l y y k x x -=-，则2001:()l y y x x k-=--联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=，所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得2200()49y kx k -=+，即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=；当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.21. 解：（1）()f x =由22(23)(21)0x x k x x k +++++->，得223x x k ++<-或221x x k ++>，即2(1)2x k +<--或2(1)2x k +>-+，所以11x -<-1x <-1x >-2k <-.所以函数()f x 的定义域(,1(11(1)D =-∞-⋃--⋃-+∞. （2）令222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，则()f x =，x D ∈ 22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++，令()0g x '=，解得11x =-21x =-，31x =-2k <-.因为1311111x x -<--<-<- 所以(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,1-∞-和(1,1--上是增函数，在(11)--和(1)-+∞上是减函数. （3）因为(1)(1)g x g x --=-+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =-对称，所以(1)(3)f f =-.因为6k <-，所以1311-<-<<-①当(11x ∈--时，要使()(1)f x f >，则(13)(1,1x ∈--⋃-；②当(,1(1)x ∈-∞-⋃-+∞时，令()(1)f x f =，即()(1)g x g =，22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++，令22t x x k =++(1)t >，则(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++，整理得222(815)0t t k k +-++=，即[(3)][(5)]0t k t k -+++=，因为1t >且6k <-，所以(5)t k =-+，即225x x k k ++=--，所以22250x x k +++=，解得1x =-(,1(1)∈-∞-⋃-+∞，所以()(1)(1f x f f ==-.要使()(1)f x f >，则(11(11x ∈--⋃--. 综上所述，当6k <-时，在D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合为(11(13)(1,1(11--⋃--⋃-⋃--.。

2014年高考理科数学广东卷-答案

(1,0, -1) (-1,1,0) 12 + 02 + (-1)2 (-1)2 +12 + 022 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析一、选择题1. 【答案】C【解析】因为M ={-1,0,1} ， N ={0,1, 2}，所以 M N ={-1,0,1,2} . 【提示】根据集合的基本运算即可求解. 【考点】并集及其运算2. 【答案】D【解析】 z = 25 = 25(3 - 4i) = 25(3 - 4i) = 3 - 4i ，故选 D. 3 + 4i (3 + 4i)(3 - 4i) 25【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得 z 的值. 【考点】复数的四则运算3. 【答案】B【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点(2, -1) 处目标函数分别取得最大值m = 3 ，在点(-1, -1) 处目标函数分别取得最小值n = -3，则 m - n = 6 ，故选B.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【考点】简单的线性规划4. 【答案】A【解析】 0 < k < 9 ，∴9 - k > 0 ，25 - k > 0 ，从而可知两曲线为双曲线. 又25 + (9 - k ) = 34 - k = (25 - k ) + 9 ，故两双曲线的焦距相等，故选A. 【提示】根据 k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论. 【考点】双曲线的简单几何性质5. 【答案】B【解析】A. cos θ == - 1，不满足条件.(1,0, -1) (1, -1,0) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (0, -1,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (-1,0,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 0222 2 2 5B. cos θ == 1，满足条件.C. cos θ == - 1不满足条件.D. cos θ == - 1不满足条件.故选B .【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角6. 【答案】A【解析】由图 1 可得出样本容量为(3500 + 4500 + 2000) 2% = 200 . 抽取的高中生近视人数为2000 2% 50% = 20 ，故选 A.【提示】根据图 1 可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图 2 求得样本中抽取的高中学生近视人数. 【考点】频率分布直方图，分层抽样7. 【答案】D【解析】由l 1 ⊥ l 2 ， l 2 ⊥ l 3 l 3 ⊥ l 4 ，将四条直线放入正方体中，如图所示， A 1B 1 = l 1 ， B 1C 1 = l 2 ， CC 1 = l 3 ， l 4 ∈面 ABCD ，满足已知条件，l 4 为平面 ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论，l 1，l 4 的位置关系不确定.【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得， l 1，l 4 的位置关系不确定.【考点】直线与直线的位置关系8. 【答案】D【解析】 A 中元素为有序数组(x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ，题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为±1、仅 2 个数为±1或仅 3 个数为±1， x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 可取得 1，2，3.和为 1 的元素个数为C 1C 1=10 ；2 5 5 2 5 2 5 4 ⎩ ⎨ ⎩x =0 和为 2 的元素个数为： C 1C 2 + A 2= 40 ；和为 3 的元素个数为： C 1C 3+ C 1C 1C 2= 80 .故满足条件的元素总的个数为10 + 40 + 80 =130 ，故选 D.【提示】从条件1≤ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 3 入手，讨论 x i 所有取值的可能性，分为和为 1，和为 2，和为3 三种情况进行讨论.【考点】集合的元素，排列数与组合数.二、填空题9.【答案】(-∞, -3) 【解析】由不等式| x -1| + | x + 2 |≥ 5 ，可得⎧x < -2⎧-2 ≤ x < 1 ⎧x ≥ 1 ① ，或 ② ，或③ . ⎨-2x -1 ≥ 5 ⎩3 ≥ 5 ⎨2x +1 ≥ 5解①求得x ≤ -3 ，解②求得 x ∈∅ ，解③求得 x ≥ 2 .综上，不等式的解集为(-∞, -3) (2, +∞) . 【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【考点】解绝对值不等式10. 【答案】 y = -5x + 3【解析】因为y ' = -5e -5x，所以y ' | = -5 ，所求切线方程为 y = -5x + 3 .【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程. 【考点】导数的几何意义11. 【答案】 16【解析】要使 6 为取出的 7 个数中的中位数，则取出的数中必有 3 个不大于 6，另外 3 个数不小于 6，故所C 3 1 求概率为6 = .7 10【提示】根据条件确定当中位数为 6 时，对应的条件即可得到结论. 【考点】中位数，简单随机事件的概率12. 【答案】2【解析】由正弦定理知， b cos C + c co s B =sin A = 2sin B ，从而a = 2b ，∴ a= 2 .bsi n Bc o C s +s C i n c B o =s，即s i n B ( + C =) 2 s i B n ，【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理(2, +∞)C 610 1112 ⎝ ⎭ 变形即可得到结果. 【考点】正弦定理13. 【答案】50【解析】由题意得， a a= a a=e 5，又a > 0 ，10 119 12n所以ln a 1 + ln a 2 + = ln(a 1a 2a 20 ) = l n(a 10a 11 )10 =10 ⨯lne 5 = 50 .【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到a a = e 5 ，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【考点】等比数列的性质，数列的前 n 项和，对数的运算 14.【答案】(1,1)【解析】曲线C 即(ρ sin θ )2 = ρ cos θ ，故其直角坐标方程为： y 2= x ，曲线C 为 ρ sin θ =1，则其直角坐标12方程为 y = 1，所以两曲线的交点坐标为(1,1) .【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标. 【考点】极坐标与直角坐标的互化15. 【答案】9【解析】平行四边形 ABCD 中，因为 AB ∥ CD ，又因为 ∠DFC = ∠EF ，所以△CDF ∽△ AE ，△CDF 的面积 ⎛ CD ⎫2 ⎛ EB + AE ⎫2△AEF 的面积 = AE ⎪ = AE ⎪ = 9 .⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】利用△CDF ∽△AEF ，可求△CDF 的面积. △AEF 的面积【考点】相似三角形的判定与性质三、解答题16. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）304【解析】（Ⅰ） f ⎛ 5π ⎫ = A sin ⎛ 5π + π ⎫ = 3 ，所以 A⎪ ⎝ ⎭ = 3 ，212 4 ⎪ 2所以 A = 3 .+ ln a 20 33 212 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x ) =3 sin ⎛ x + π ⎫ ，4 ⎪ ⎝ ⎭所以 f (θ ) + f (-θ ) = 3 sin ⎛θ + π ⎫ + 3 sin ⎛-θ + π ⎫ = 3 ，4 ⎪ 4 ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 3[(sin θ + cos θ ) + (-sin θ + cos θ )] = 3，2∴ 6 cos θ = 3 ， cos θ =6. 2 4 又θ ∈⎛ 0, π ⎫ ，2 ⎪ ⎝ ⎭所以sin θ ==10 ，4f ⎛ 3π -θ ⎫= 3sin (π -θ ) = 3 sin θ = 30 .⎪ ⎝ ⎭【提示】（Ⅰ）由函数 f (x ) 的解析式以及 f ⎛ 5π ⎫ = 3 ，求得 A 的值. ⎪ ⎝ ⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f (x ) =3 s in ⎛ x + π ⎫ ，根据 f (θ ) + f (-θ ) = 3 ，求得cos θ 的值，再由θ ∈⎛ 0, π ⎫，求4 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭得sin θ 的值，从而求得 f ⎛ 3π - θ ⎫ 的值. 4 ⎪ ⎝ ⎭【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系17. 【答案】（Ⅰ）由题意可得n 1 =7， n 2 =2， f 1 =0.28， f 2 =0.08. （Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率 0.2.设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为ξ ，则ξ ~ B (4,0.2) ，1- cos 2 θ 4 2CD = D 3 ⎨ 0, 0 P (ξ ≥1) =1- P (ξ = 0) =1- (1- 0.2)4 =1- 0.4096 = 0.5904 .所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为 0.5904. 【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n 1，n 2，f 1 和 f 2 的值. （Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图. （Ⅲ）利用对立事件可求概率.【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式18. 【答案】（Ⅰ） PD ⊥ 平面ABCD ，∴PD ⊥ AD .又CD ⊥ AD ， PD ， ∴ AD ⊥ 平面PCD ，∴ AD ⊥ PC . 又 AF ⊥ PC ，∴PC ⊥ 平面ADF ，即CF ⊥ 平面ADF .（Ⅱ）设 AB =1 ，则 Rt △PDC 中， CD =1，又∠DPC = 30︒ ，∴PC = 2，PD = .由（Ⅰ）知CF ⊥ DF ，∴ DF = ∴CF = 3 ， AF = 2= 1 . 2= 7 ， 2又 FE ∥CD ， ∴ DE = CF = 1 ， PD PC 4∴ DE =3，同理 EF = 3 ， CD = 3 . 44 4 如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 A (0,0,1)，E ⎛ 3 ,0,0 ⎫ ， F ⎛ 3 , 0 ⎫， P ( 3,0,0) C (0,1,0) . 4 ⎪ , ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 4 4 ⎭⎧⎪m ⊥ AF⎧ ⎛ ⎪ AE =3 ⎫4 , 0, 0 ⎪ 设 m = (x , y , z ) 是平面 AEF 的法向量，则⎨ ⎪⎩m ⊥ EF ，又⎪ ⎝ ⎭，⎪EF = ⎛ 3 ⎫ , ⎪ ⎩⎝ 4 ⎭ AD 2 + DF 2 AC 2 - AF 234 319 ⨯2⎧⎪m AF =所以⎨3x -z = 04 ，令x = 4 ，得z =3 ，m = (4,0, 3) .⎪m EF =3 y = 0⎩⎪ 4由（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量PC = (-3,1,0) ，设二面角D -AF -E 的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=| cos < = = 2 57 .19【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判CF ⊥平面ADF ，即得所求.（Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法19.【答案】（Ⅰ）a1= 3a2=5a3= 7（Ⅱ）an= 2n +1 (n ∈Ν )*【解析】（Ⅰ）又S3= 15 ，S2= 4a3- 20 ，S3=S2+a3= 5a3- 20 ，∴a3= 7 ，S2= 4a3- 20 = 8 .又S2=S1+ a2= (2a2- 7) +a2= 3a2- 7 ，∴a2= 5 ，a1= S1= 2a2- 7 = 3 .综上知a1=3，a2=5，a3=7.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想an= 2n +1 ，下面用数学归纳法证明.①当n = 1 时，结论显然成立；②假设当n =k(k ≥1) 时，a= 2k +1，则S = 3 + 5 + 7 ++ (2k +1) =[3 + (2k +1)]⨯k=k(k + 2) ，k k又S = 2ka -3k 2 - 4k ，∴k(k + 2) = 2ka2- 3k 2 - 4k ，k k +1 k +1解得 2 2ak +1= 4k + 6 ，∴ak +1= 2(k +1) +1 ，m PC >|=m PCm PC5 2 即当n = k +1时，结论成立. 由①②知，当n ∈ Ν* 时， a n = 2n +1 .【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取 n = 2 得一个关系式，再把 S 3 变为 S 2 + a 3 得另一个关系式，进而可求a 3 ，然后把递推式中 n 取 1，再结合 S 3 = 15 可求得a 1，a 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a 1，a 2，a 3 的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明. 【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式2 20.【答案】（Ⅰ） x + y= 9 4（Ⅱ） x 2 + y 2=13【解析】（Ⅰ）可知c = ，又 c = 5，a 3∴a = 3 ， b 2 = a 2 - c 2 = 4，x 2 所以椭圆 C 的标准方程为y 2 + = 1. 9 4（Ⅱ）设两切线为l 1 ， l 2 .①当l 1 ⊥ x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2 ⊥ x 轴，可知 P (±3, ±2) .②当 l 与 x 轴不垂直且不平行时， x ≠ ±3 ，设 l 的斜率为 k ，则 k ≠ 0 ， l 的斜率为- 1， l 的方程为1 0 12 2y - y = k (x - x ) ，联立 x + y = ，2 k 1 0 09 41得(9k 2 + 4)x 2 +18( y - kx )kx + 9( y - kx )2- 36 = 0 .0 0 0 0因为直线与椭圆相切，所以∆= 0 ，得9( y - kx )2 k 2 - (9k 2 + 4)[( y - kx )2- 4] = 0 ，∴-36k 2 +4( y - kx )2- 4 = 0 ，∴(x 2 - 9) k 2 -2x y k + y 2 - 4 = 0 ，0 0所以 k 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的一个根，0 0同理- 1 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的另一个根，k 0∴ ⎛ - 1 ⎫ = y 2- 40 0 0k ⎪ 0 ，得 x 2 + y 2 =13 ，其中 x ≠ ±3 ， ⎝ k ⎭x 2 - 9 0 0 0所以点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13(x ≠ ±3) ，1-2 - k 2 - k 2 - k 2 ⎣ (x + 2x + k ) + 2(x + 2x + k ) - 3⎦-k -k 2 - k 2 - k 因为 P (±3, ±2) 满足上式.综上知：点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13 .【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得 a 和b ，则椭圆的方程可求得.（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用 ∆= 0 ，得出 k 和- 1 是(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0k 0的两个根，再利用韦达定理得出 x 0 和 y 0 的关系式，即 P 点的轨迹方程. 【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系0 0 021.【答案】（Ⅰ） (-∞, -1- 2 - k )（Ⅱ） f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) 和(-1, -1+ 2 - k )f (x ) 的单调递减区间为(-1- -2 - k , -1) 和(-1+ 2 - k , +∞)（Ⅲ） (-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+ 2 - k ,-1+ -2k - 4)【解析】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，[(x 2 + 2x + k ) + 3] [(x 2 + 2x + k ) -1] > 0 ，∴x 2 + 2x + k < -3或 x 2 + 2x + k >1，∴(x +1)2 < -2 - k (-2 - k > 0) 或(x +1)2 > 2 - k (2 - k > 0) ，∴| x +1|< 或| x +1|> ，∴-1- x < -1 或 x < -1- 或 x > -1+ .所以函数f (x ) 的定义域 D 为(-∞, -1- 2 - k ) (-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) .（Ⅱ） f '(x ) =- ⎡=-2(x 2 + 2x + k )(2x + 2) + 2(2x + 2)2 2 2 ⎤3(x 2 + 2x + k +1)(2x + 2) ⎡ (x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3⎤3， ⎣ ⎦由 f '(x ) > 0 得(x 2+ 2x + k +1)(2x + 2) < 0 ，即(x +1+ k )(x +1-k )(x +1) < 0 ，∴ x < -1- 或-1 < x < -1+ ，结合定义域知 x < -1- 或-1< x < -1+ .(-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) -2 - k -2 - k 2 - k2 - k 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) ， (-1, -1+ 2 - k ) ，同理递减区间为(-1- -2 - k , -1) ， (-1+ 2 - k , +∞) .（Ⅲ）由 f (x ) = f (1)得(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3 = (3 + k )2+ 2(3 + k ) - 3 ，∴[(x 2 + 2x + k )2 - (3+k )2 ] +2[(x 2 + 2x + k ) - (3+k )] = 0 ，∴(x 2 + 2x + 2k + 5)(x 2 + 2x - 3) = 0 ，∴(x +1+ -2k - 4)(x +1- -2k - 4)(x + 3)(x -1) = 0 ，∴ x =1- -2k - 4 或 x =1+ -2k - 4 或 x = -3或 x = 1 ，∴k < -6 ， ∴1∈(-1, -1+-2 - k ) ， -3∈(-1- -2 - k , -1) ，-1- -1- -1+ > -1+ ，结合函数 f (x ) 的单调性知 f (x ) = f (1) 的解集为：(-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+2 - k ,-1+ -2k - 4) .【提示】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，又k < -2 ，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用-2k - 4 2 - k -2k - 4。

2014年广东高考理科数学真题及答案

图1 图22014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}- 2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z = A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等 5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是 A ．(1,1,0)- B ．(1,1,0)- C ．(0,1,1)- D ．(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=　，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为 A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．AFED CB图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式125x x -++≥的解集为． 10．曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba．13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x π=+，x ∈R ，且23)125(=πf ．（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ． 17．（本小题满分12分）图4PABCED F随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f(45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值． 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数()f x =，其中2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (,3][2,)-∞-+∞ 10. 530x y+-= 11.1612. 2 13.50 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1) 15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）5523()sin()sin12124322f A A Aππππ=+===，解得A=（2）由（1）得())4f x xπ=+，所以()()sin()sin()44f fππθθθθ+-=++-33()cos)22222θθθθθ=++-==所以cos4θ=，又因为)2,0(πθ∈，所以sin4θ==所以33()sin())44444fππθπθπθθ-=-+=-===.17.（本小题满分12分）PA BC EDFGH18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PDD=，所以AD⊥平面PCD.因为CF ⊂平面PCD，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=，所以CF⊥平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x 、y、z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),D A C PE F由（1）得(3,1,0)CP=-是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF =，(4EA=-，所以3434EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩nn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cosCPCPθ⋅===⋅nn，所以二面角D AF E--.方法二：过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD⊥，CD ED⊥，ED AD D=，所以CD⊥平面ADE.因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE.因为DG⊂平面ADE，所以FE DG⊥.因为AE FE E=，所以DG⊥平面AEF.根据三垂线定理，有GH AF⊥，所以DHG∠为二面角D AF E--的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD=，2DF=，所以7DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以144DE PD==，所以19DG=.所以133GH==，所以cos19GHDHGDH∠==，所以二面角D AF E--的平面角的余弦值为19.19.（本小题满分14分）19. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-，又312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以1233,5,7a a a ===.（2）21234n n S na n n +=-- ①当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ②①-②得12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即1216122n n n n a a n n+-+=+. 猜想21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明：当1n =时，13a =，猜想成立；假设当n k =时，21k a k =+，当1n k =+时，21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++，猜想也成立，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .20.（本小题满分14分） 20. 解：（1）依题意得c =3c e a ==，所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设100:()l y y k x x -=-，则2001:()l y y x x k-=--联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=，所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得2200()49y kx k -=+，即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=；当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时， P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=. 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.21.（本小题满分14分） 21. 解：（1）()f x =由22(23)(21)0x x k x x k +++++->，得223x x k ++<-或221x x k ++>，即2(1)2x k +<--或2(1)2x k +>-+，所以11x -<<-+或1x <-1x >-+2k <-.所以函数()f x 的定义域(,1(11(1)D =-∞-⋃--+⋃-++∞.（2）令222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，则()f x =，x D ∈ 22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++，令()0g x '=，解得11x =-21x =-，31x =-，其中2k <-.因为1311111x x -<<-<-<-<<- 所以(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,1-∞-和(1,1--上是增函数，在(11)--和(1)-++∞上是减函数. （3）因为(1)(1)g x g x --=-+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =-对称，所以(1)(3)f f =-.因为6k <-，所以1311--<-<<-+①当(11x ∈---+时，要使()(1)f x f >，则(13)(1,1x ∈--⋃-+；②当(,1(1)x ∈-∞-⋃-++∞时，令()(1)f x f =，即()(1)g x g =，22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++，令22t x x k =++(1)t >，则(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++，整理得222(815)0t t k k +-++=，即[(3)][(5)]0t k t k -+++=，因为1t >且6k <-，所以(5)t k =-+，即225x x k k ++=--，所以22250x x k +++=，解得1x =-(,1(1)∈-∞--⋃-++∞，所以()(1)(1f x f f ==-.要使()(1)f x f >，则(11(11x ∈---⋃-+-+. 综上所述，当6k <-时，在D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合为(11(13)(1,1(11---⋃--⋃-⋃-+-+.。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—广东卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z= A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107.若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定小学初中高中年级O8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.z===3 3．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小，解得，，解得，4．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1﹣=1﹣=15．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）解：不妨设向量为．若==，不满足条件．．若==．若=，不满足条件．．若==6．（5分）（2014•广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（），7．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，8．（5分）（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，+二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014•广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．，可得10．（5分）（2014•广东）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．11．（5分）（2014•广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．中任取七个不同的数，有种方法，不同的数即可，有=故答案为：．12．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．=213．（5分）（2014•广东）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=50．=（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9．可得=．∴=∴（三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．），求得sin）﹣x+（+）=A=A=sin）sin+=2sin cos= =）．（=﹣+==．17．（13分）（2014•广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．为事件的概率为=，），的概率为．18．（13分）（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=AF=，，又∴EF=CD=，（，（=，∴，∴=，的一个法向量为（＜＞=19．（14分）（2014•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．，，∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+++21．（14分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．＞x+1＞解得﹣＜，即﹣1+综上函数的定义域为（﹣）x+1+）﹣或﹣1+﹣1+﹣x+1+）1+1+）∈﹣1+1+）﹣1+。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析

2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =；（2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。

2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =U （）（A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2}- （D ）{0,1} 【答案】B【解析】{1,0,1,2}M N =-U ，故选B ．（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数z 满足(34i)25z +=，则z =（）（A ）34i - （B ）34i + （C ）34i -- （D ）34i -+ 【答案】A【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z --===-++-，故选A ．（3）【2014年广东，理3，5分】若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（）（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】C 【解析】画出可行域，易知在点(2,1)与(1,1)--处目标函数分别取得最大值3M =，与最小值3m =-，6M m ∴-=，故选C ．（4）【2014年广东，理4，5分】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（）（A ）离心率相等（B ）虚半轴长相等（C ）实半轴长相等（D ）焦距相等【答案】D【解析】09k <<Q ，90k ∴->，250k ->，从而两曲线均为双曲线，又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，两双曲线的焦距相等，故选D ．（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是（）（A ）()1,1,0- （B ）()1,1,0- （C ）()0,1,1- （D ）()1,0,1- 【答案】B【解析】2222221210(1)1(1)0=++-⋅+-+，即这两向量的夹角余弦值为12，从而夹角为060，故选A ．（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）（A ）200,20 （B ）100,20 （C ）200,10 （D ）100,10 【答案】A【解析】样本容量为(350045002000)2%200++⋅=，抽取的高中生近视人数为：20002%50%20⋅⋅=，故选A ．（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥则下列结论一定正确的是（）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）14,l l 既不垂直也不平行（D ）14,l l 的位置关系不确定【答案】D【解析】平面中的四条直线，14l l ⊥，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D ．（8）【2014年广东，理8，5分】设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）（A ）60 （B ）90 （C ）120 （D ）130 【答案】D【解析】12345x x x x x ++++可取1,2,3，和为1的元素个数为：1125C 10C =；和为2的元素个数为：122255C 40C A +=；和为3的元素个数为：1311225254C C C 80C C +=，故满足条件的元素总的个数为104080130++=，故选D ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13）（9）【2014年广东，理9，5分】不等式125x x -++≥的解集为．【答案】(][),32,-∞-+∞U【解析】数轴上到1与2-距离之和为5的数为3-和2，故该不等式的解集为：(][),32,-∞-+∞U ．（10）【2014年广东，理10，5分】曲线52xy e -=+在点(0,3)处的切线方程为．【答案】530x y +-=【解析】'55xy e -=-，'5x y =∴=-，∴所求切线方程为35y x -=-，即530x y +-=．（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【答案】16【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为3671016C C=．（12）【2014年广东，理12，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则a b = ．【答案】2【解析】解法一：由射影定理知cos cos b C c B a +=，从而2a b =，2ab ∴=．解法二：由上弦定理得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B ∴=，即2a b =，2ab ∴=．解法三：由余弦定理得：222222222a b c a c b b bab ac+-+-⋅+=，即224a ab=，2a b ∴=，即2ab =．（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列{}na 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++=L L ．【答案】50【解析】1011912a a a a =Q ，51011a a e ∴=，设1220ln ln ln S a a a =+++L ，则20191ln ln ln S a a a =+++L ， 51201011220ln 20ln 20ln 100S a a a a e ∴====，50S ∴=．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为．【答案】(1,1)【解析】1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =，2C 的直角坐标系方程为：1y =，1C ∴与2C 的交点的直角坐标为(1,1)．（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点，则CDF AEF ∆=∆的面积的面积．【答案】9【解析】显然CDF AEF ∆∆:，∴22()()9CDF CDEB AE AEF AEAE∆+===∆的面积的面积．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=．（1）求A 的值；（2）若3()()2f f θθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-．解：（1）5523()sin()sin 1212432f A A ππππ=+==，3323A ∴=⋅=．（2）由（1）得：()3sin()4f x x π=+，()()3sin()3sin()44f f ππθθθθ∴+-=++-+33(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )23cos sin 6cos 444442πππππθθθθθθ=++-+-===，6cos θ∴=，(0,)2πθ∈Q ，10sin θ∴=，331030()3sin()3sin()3sin 3444f πππθθπθθ∴-=-+=-==⨯=．（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] 1n 1f (45,50] 2n 2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率．解：（1）17n =，22n =，170.2825f ==，220.0825f ==．（2）频率分布直方图如下所示：（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间(]30,35的概率为0.2，设日加工零件数落在区间(]30,35的人数为随机变量ξ，则(4,0.2)B ξ:，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35 的概率为：0441(0.2)(0.8)10.40960.5904C -=-=．（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠︒＝，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E －－的余弦值．解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，AD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF AD ∴⊥，又AF PC ⊥，CF AF ∴⊥，,AD AF ⊂平面ADF ，AD AF A =I ，CF ∴⊥平面ADF ．（2）解法一：过E 作//EG CF 交DF 于G ，CF ⊥Q 平面ADF ，EG ∴⊥平面ADF ，过G 作GH AF ⊥于H ，连EH则EHG ∠为二面角D AF E --的平面角，设2CD =，030DPC ∠=Q ，30CDF ∴∠=，从而1==12CF CD ， 4CP =，EF DC Q ∥，DE CFDP CP∴=，即12=223，3DE ∴=，还易求得32EF =，3DF =，从而3332243DE EF EG DF ⋅⋅===，易得19AE =，7AF =，32EF =，19331922747AE EF EH AF ⋅⋅∴===，故22319363()()44747HG =-=，6347257cos 47319GH EHG EH ∴∠==⋅=．解法二：分别以DP ，DC ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2DC =，则(0,0,2)A ，(0,2,0)C ，(23,0,0)P ，设CF CP λ=u u u r u u u r ，则(23,22,0)F λλ-，DF CF ⊥u u u r u u u r Q ，可得14λ=，从而33(,0)2F ，易得 3(E ，取面ADF 的一个法向量为11(3,1,0)2n CP ==-u u r u u u r，设面AEF的一个法向量为2(,,)nx y z =u u r，利用20n AE ⋅=u u r u u u r ，且20n AF ⋅=u u r u u u r ，得2n u u r可以是3)，从而二面角的余弦值为121243257||||219n n n n ⋅==⋅⨯u u r u u r u u r u u u r ．（19）【2014年广东，理19，14分】设数列{}na 的前n 和为nS ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}na 的通项公式．解：（1）211222314127a S a a ==-⨯-⨯=- ①2122331212+=432424()204(15)20a a S a S a a a a =-⨯-⨯=---=---，12+8a a ∴= ②联立①②解得1235a a =⎧⎨=⎩，33121587a S a a ∴=--=-=，综上13a =，25a =，37a =．（2）21234nn Sna n n +=-- ③ ∴当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n Sn a n n -=----- ④-③④并整理得：1216122n n n n aa n n+-+=+，由（1）猜想21nan =+，以下用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知，当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立；（ⅱ）假设当n k =时，猜想成立，即21ka k =+，则当1n k =+时，212161211411(21)33232(1)1222222k k k k k k a a k k k k k k k k k+-+--=+=⋅+++=++=+=++，这就是说1n k =+时，猜想也成立，从而对一切n N *∈，21na n =+．（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆2222:1(0)xy C a b ab+=>>的一个焦点为(5,0)5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点0(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）5c =，55c e a ==3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=．（2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们的坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为()y y k x x -=-，即0()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y+=中并整理得：222(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=，即222200(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即224()4(94)0y kx k--+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，Q 两切线相互垂直，121k k∴=-，即2020419y x -=--，220013xy ∴+=，显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．（21）【2014年广东，理21，14分】设函数222()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．解：（1）222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，则221x x k ++> ① 或 223x x k ++<- ②由①得：2210x x k ++->，144(1)4(2)0k k ∆=--=->(2)k <-Q ， ∴方程2210x x k ++-=的解为12k --，∴由2210x x k ++->得12x k <--12x k >--由②得2230x x k +++<，方程2230x x k +++=的判别式244(3)4(2)0k k ∆=-+=-->(2)k <-Q ，∴该方程的解为12k ---，由2230x x k +++<得1212k x k ----<-+--2k <-Q ，121211212k k k k ∴--<-----<-----(,12)(12,12)(12,)D k k k k ∴=-∞--------+---+-+∞U U ．（2）设222(2)2(2)30u x x k x x k +++++->，则3'221()2(2)(22)2(22)2f x u x x k x x -⎡⎤=-⋅⋅++⋅+++⎣⎦ 3222(1)(21)u x x x k -=-+⋅+++，（ⅰ）当(,12)x k ∈-∞--时，10x +<，221110x x k +++>+>，'()0f x ∴>；（ⅱ）当(12,1)x k ∈-----时，10x +<，221310x x k +++<-+<，'()0f x ∴<；（ⅲ）当(1,12)x k ∈--+--时，10x +>，221310x x k +++<-+<，'()0f x ∴>；（ⅳ）当(12,)x k ∈-+-+∞时，10x +>，221110x x k +++>+>，'()0f x ∴<．综上，()f x 在D 上的单调增区间为：(,12),(1,12)k k -∞-----+--，()f x 在D 上的单调减区间为：(12,1),(12,)k k -----+-+∞．（3）设222(x)(2)2(2)3g x x k x x k =+++++-，由（1）知，当x D ∈时，()0g x >；又2(1)(3)2(3)3(6)(2)g k k k k =+++-=++，显然，当6k <-时，(1)0g >，从而不等式()(1)()(1)f x f g x g >⇔<，2222()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3]g x g x x k x x k k -=+++++--+++-22222[(2)(3k)]2[(2)(3)](3)(1)(225)x x k x x k k x x x x k =++-++++-+=+-+++，6k <-， 1421212311212142k k k k k k ∴--------<-<<----+--+--（ⅰ）当12x k <--时，(3)(1)0x x +->，∴欲使()(1)f x f >，即()(1)g x g <，亦即22250x x k +++<，即142142k x k ---<<---14212k x k ∴---<---（ⅱ）123k x ---<-时，(3)(1)0x x +->，22225(2)(5)3(5)0x x k x x k k k +++=++++<-++<，此时()(1)g x g <，即()(1)f x f >；（ⅲ）31x -<<时，(3)(1)0x x +-<，22253(5)0x x k k +++<-++<()(1)g x g ∴>不合题意；（ⅳ）112x k <<-+--时，(3)(1)0x x +->，22253(5)0x x k k +++<-++<，()(1)g x g ∴<，不合题意；（ⅴ）12x k >--时，(3)(1)0x x +->，∴欲使()(1)g x g <，则22250x x k +++<，即142142k x k ---<<---，从而12142k x k --<-+--．综上所述，()(1)f x f >的解集为： (()()(142,1212,31,1212,142k k k k k k ----------+-----+--U U U ．。

2014广东高考理科数学试卷及详细答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab acaa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln l n l n a a a +++= .51011912101112202019151201011:100:,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e =∴==+++=+++∴====答案提示设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()sin()sin()44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),2f A A A fx x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=+-+=+-+-===∴=∈解由得sin 33()sin())444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](]00444(3),30,50:10.120.88,130,503390544:1(0.88)(0.12)1().25390625C -=-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅=====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DPDC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><->-+++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴-<-<-<-+-∴=-∞------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞--+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--+>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------+∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(11,6,113,1),2250,111111x x k k x x x x k i x x x f x f g x g x k x x x k -<------<<-++++-+=+-+++<+->∴><->---++-+<<<当欲使即于则即即而亦由从2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(3)1()13,1(1)0,,2xx x x k xx k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x i x i x --+->+++=++++<-++<<>-<<+-<+++<-++<∴>-<<<--+<+->++时此时即时不合题意21,111111253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)1,11((1x k k g x g x x x g x g x x k x f x x f --<---+-+-+<----⋃-+<-++<∴<>+->∴<+++<>>考虑到又需合题意欲使则即的解集为:从而综上所述3)(1(11,1-⋃-⋃-+--。

2014年全国高考广东理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2. 已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=aA ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3. 若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和学科网最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54. 若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5. 已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东高考理科数学试题及其参考答案word

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)

B.7 C.6 D.5
答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1) (−1, −1)处目标函数最小值m = −3,∴ M − m = 6, 选 C.
4.若实数 k 满足 0 < k < 9, 则曲线 A 离心率相等
别取得最大值M = 3,
x2 y2 x2 y2 − = 1 曲线 − = 1的 25 9 − k 25 − k 9
B.
a 成 60° 夹角的是
C. 0,-1,1 D. -1,0,1
-1,1,0
1,-1,0
答案 : B 提示 : 1 = ,即 12 + 02 + (−1) 2 ⋅ 12 + (−1) 2 + 0 2 2 (1, 0, −1) ⋅ (1, −1, 0) 两向 1 的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,∴ 选 B. 2
6、已知某地区中小学生人数和近视情况别如 1 和用层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查则样本容 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
2 所示为了解该地区中小学生的近视形成原因和抽取的高中生近视人数别为
答案 : A 提示 : 样本容为(3500 + 4500 + 2000) ⋅ 2% = 200,
.
+ 2 在点 (0,3) 处的线方程为答案 : 5 x + y − 3 = 0
提示 : y ' = −5e −5 x ,∴ y '
x =0
= − 5,∴ 所求线方程为y − 3 = −5 x,即5 x + y − 3 = 0 .
.
11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个的数则七个数的中位数是 6 的概率为 1 答案 : 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个大于6,