2015-2016学年江苏省泰州市民兴中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

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江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题含答案(1)

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域）1.命题“2,80x Q x∃∈-=”的否定是.2。

椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为。

3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 .4.抛物线2y x =的准线方程为。

5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写）6。

已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±,则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24xy =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为。

8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)ay x =+在（0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y xa x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题,则实数a 的取值范围是．10。

已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为____ __。

11。

已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)ypx p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12。

已知椭圆E ：22142x y +=,直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ,且2AB =,动点P 在抛物线22yx =上,则PAB ∆面积的最小值是。

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷(带解析)

一、填空题（题型注释）1、设命题P：，则P为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）2、若圆M的方程为，则圆M的参数方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）3、若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到ｙ轴的距离为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）4、已知是双曲线（）的一个焦点，则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）5、设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）6、已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）7、在极坐标系中，点到直线的距离为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）8、若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）9、若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）10、若P为椭圆上的点，则的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）11、已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线，若点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）12、已知椭圆的左右焦点分别为，Ｃ上一点Ｐ满足，则的内切圆面积为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）13、如图平面直角坐标系中，椭圆，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）14、已知f(x)=m(x-３m)(x+m+3),g(x)=2x-４.若同时满足条件:①∀x∈R, f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0,则m的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、（本题满分14分）已知，命题，命题．（I）若命题为真命题，求实数的取值范围；（II）若命题为假命题，求实数的取值范围．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）16、（本题满分14分）已知直线经过点，且倾斜角为，圆M以为圆心，过极点．（I）求与M的极坐标方程；（II）判断与M的位置关系．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）17、（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程(φ为参数)，直线的参数方程(t为参数) ．（I）求C与的普通方程；（II）求过C的右焦点，且平行的直线方程．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）18、（本题满分16分）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为. （I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）19、（本题满分16分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.（I）求直线FM的斜率；（II）求椭圆的方程；（III）设椭圆上动点P在x轴上方，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）20、（本题满分16分）已知直线为函数的图像，曲线C为二次函数的图像，直线与曲线C交于不同两点A,B（I）当时，求弦AB的长；（II）求线段AB中点的轨迹方程；（III）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）参考答案1、2、3、24、5、必要不充分6、7、18、9、1或210、11、12、13、14、15、（I）;（II）.16、（I）与的极坐标方程分别为;;（II）与相切.17、（I）椭圆的方程:；直线的方程: ;（II）.18、（I）;（II）.19、（I）;（II）;（III）.20、（I）;（II）;（III）详见解析.【解析】1、试题分析：特称命题的否定为全程命题,所以:.考点：特称命题的否定.2、试题分析：由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为: .考点：参数方程与普通方程间的互化.3、试题分析：由抛物线方程可知其准线为.由抛物线的定义可知点到准线的距离为3,所以点到轴的距离为.考点：抛物线的定义.4、试题分析：由题意可知，所以.考点：双曲线方程.5、试题分析：,是成立的必要不充分条件.考点：充分必要条件.6、试题分析：当焦点在轴时设双曲线方程为.依题意可得,此时双曲线方程为;当焦点在轴时设双曲线方程为.依题意可得,此方程无解.综上可得双曲线方程为.考点：双曲线的标准方程,简单几何性质.7、试题分析：将直线化为直角坐标方程为,即.将点化为直角坐标为即.则所求距离为.考点：1极坐标直角坐标间的互化;2点到线的距离公式.8、试题分析：由题意可设椭圆方程为.可知,焦点坐标为.由椭圆定义可得,所以.,所以椭圆方程为.考点：椭圆方程.9、试题分析：等轴双曲线的离心率为.所以椭圆的离心率.或,解得或.考点：椭圆,双曲线的简单几何性质.10、试题分析：依题意可得,,, , .即.考点：1参数方程;2三角函数求最值.11、试题分析：根据椭圆的对称性不妨取,点到直线的距离,,又,.,.考点：1椭圆的简单几何性质;2点到线的距离公式.12、试题分析：由椭圆方程可知,,即.由椭圆的定义可得.,..,.设的内切圆半径为,则,即,解得.所以的内切圆面积为.考点：1椭圆的简单几何性质;2椭圆的定义;3三角形内切圆.13、试题分析：由题意可知,在中,所以,所以直线的斜率.则直线的方程为.消去整理可得,解得或.可得.,在中, ,.考点：1椭圆的简单几何性质;2直线与圆的位置关系.14、试题分析：时;时.依题意可得当时,且存在使.当时显然不合题意舍;当时, 得或要使时,且存在使则有.综上可得.考点：1不等式;2转化思想.15、试题分析：（I）命题为真命题只需即可.（II）命题为假命题，则为假命题或q为假命题.为假命题时的取值集合与为真命题时的取值集合互补,从而由（I）可得为假命题时的范围. 为假命题此方程无根,即判别式小于0.试题解析：解：（I）由命题为真命题，，（II）由命题为假命题，所以为假命题或为假命题。

江苏省泰州中学高二数学上学期第二次质检试卷文(含解

2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．复数的共轭复数是．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．4．命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．6．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．11．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．13．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？17．椭圆C1： =1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．18．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．（Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论．（Ⅱ）求证：B不可能是钝角．19．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（﹣a，0）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求•的最大值；（3）设P为椭圆Γ上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若﹣=4，求线段PN的最小值．20．已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．复数的共轭复数是2+i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出共轭复数即可．【解答】解：复数===2﹣i．复数的共轭复数为2+i．故答案为：2+i【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）【考点】四种命题．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】写出命题的逆命题，再判断其真假即可．【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．【点评】本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为a，b都不能被3整除．【考点】反证法的应用．【专题】证明题．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：a，b都不能被3整除，从而得到答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”，故答案为 a，b都不能被3整除．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．6．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．【解答】解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．【解答】解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是③．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2．【考点】不等式比较大小．【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式得到x++y++z+≥2+2+2=6，问题得以解决．【解答】解：因为x，y，z都是正数，所以x++y++z+≥2+2+2=6，当且仅当x=y=1时取等号，故至少有一个不小于2，故答案为：③．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x ．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；故答案为：y2=16x．【点评】本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．11．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．13．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2e．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于﹣1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值．【解答】解：设B（），C（），则，，由∠ABC=90°，得k AB•k BC=﹣1，即（y1+1）（y2+y1）=﹣1，∴，，=，，∴|AC|====不妨设y1+1＞0，∵，当且仅当，即y1=0时上式等号成立，此时取最小值1，∴AC的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．【解答】解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的有关概念建立条件关系即可．【解答】解：（1）若复数是实数则，即，即a=6．（2）若复数是虚数，则，即，即a≠±1且a≠6．（3）若复数是纯虚数，则，即，此时无解．【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．17．椭圆C1： =1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．【解答】解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．18．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．（Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论．（Ⅱ）求证：B不可能是钝角．【考点】反证法与放缩法；不等式比较大小．【专题】综合题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由条件可得=+＞2，可得＜．（2）由条件得到b2＜ac，利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．【解答】（Ⅰ）解：∵△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，，，成等差数列，∴=+＞2．∴b2＜ac，∴＜．（Ⅱ）证明：∵b2＜ac，∴cosB=＞，∴B∈[0，]，∴B不可能是钝角．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题．19．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（﹣a，0）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求•的最大值；（3）设P为椭圆Γ上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若﹣=4，求线段PN的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率结合菱形面积求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设l1：y=k1（x+2），代入，利用根与系数关系得到AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线方程，得到M的坐标，利用向量数量积公式得到数量积关于k1的关系，换元后利用基本不等式求得•的最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N的坐标，由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，进一步得到∴=3．说明点N在直线x+y=3上运动，求出和x+y=3平行且与相切的直线方程，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：（1）由e==，得3a2=4c2，再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知×2a×2b=4，即ab=2．解方程组，得a=2，b=1．∴椭圆的方程为；（2）设l1：y=k1（x+2），代入得，．解得：x=﹣2或x=，则B（，），∴AB的中点为（），∵k1≠0，则AB的垂直平分线方程为．设M（0，y0），令x=0，得．则=（﹣2，﹣y0）•（x B，y B﹣y0）==．令，则．故当t=，即时，取最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N（），由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，∴=3．故点N在直线x+y=3上运动，设与x+y=3平行的直线为y=﹣x+b，代入，得5x2﹣8bx+4b2﹣4=0，由△=0，得b=．则PN的最小值为y=﹣x+与x+y=3的距离，等于．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．20．已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），g（x）=，∴．当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．∴．即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．。

2016-2017学年江苏省泰州二中高二上学期期中数学试卷与解析

2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为．5．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1；故答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=2+e．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+e x，则f′（1）=2+e，故答案为：2+e．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【解答】解：∵a与b都是偶数⇒a+b是偶数为真命题，但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，故a+b是偶数⇒a与b都是偶数为假命题故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为 5.5．【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，故f（4）+f'（4）=5.5．故答案为：5.55．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为6x﹣6y+3﹣π=0．【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+，可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1，切点为（，），可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣，即为6x﹣6y+3﹣π=0，故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是2，渐近线方程是y=．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为0≤a≤1．【解答】解：∵对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，∵f（x）=x2﹣8lnx，∴f′（x）=2x﹣∵函数f（x）是单调递减函数，∴f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立∴（0，2]⊇（a，a+1）∴0≤a≤1，故答案为：0≤a≤1．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．【解答】解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f （﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

2015-2016年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷及参考答案

2015-2016 学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．（5 分）设全集 U=R，若集合 A={1， 2， 3， 4}， B={x|2≤x≤3}，则 A∩B= 2．（5 分）sin20°cos10°+cos20°sin10°= ．条件．（填充分不必．
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（φ 为参数），以 O 为极
（1）设 M（x，y）是圆 C 上的动点，求 m=3x+4y 的取值范围；（2）求圆 C 的极坐标方程． 23．班上有四位同学申请 A，B，C 三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有 2 人申请 A 大学或 B 大学的概率；（2）求申请 C 大学的人数 X 的分布列与数学期望 E（X）． 24．已知数列{an}满足 Sn，cn=Sn﹣2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数 n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ| ，记数列{an}的前 n 项和为
11．（5 分）已知方程 x3﹣ax+2=0（a 为实数）有且仅有一个实根，则 a 的取值范围是．
12．（5 分）已知数列{an}满足 an+1=qan+2q﹣2（q 为常数），若 a3，a4，a5∈{﹣5， ﹣2平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点 E，F 分别在线段 BC， DC 上运动，设，则的最小值是．
（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式；（2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数 a 的值；（3）若数列{an}是公比为 a 的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，记 Mn=2Sn+1﹣Tn，求 Mn＜对任意 n∈N*恒成立的 a 的取值范围． 20．（16 分）设 f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数 f（x）的最小值；（2）若存在 x∈（0，+∞），使 f（x）＞g（x），求实数 a 的取值范围；（3）若使方程 f（x）﹣g（x）=0 在 x∈[e ，en]（其中 e=2.7…为自然对数的

2015高二(上)期中数学试卷答案

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数学学科试题参考答案（第一部分满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去）所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

江苏省泰兴中学2015-2016学年高二12月阶段检测数学试题含答案

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 2．命题“,sin 1R θθ∀∈≤"的否定是 ▲ ．3．已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直,则直线l 的方程为 ▲ ．4．已知平面上定点21,F F 及动点M ．命题甲:“02||||21>=-a MF MF (a 为常数）"；命题乙：“M 点轨迹是以21,F F 为焦点的双曲线”．则甲是乙的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)5．函数y ＝错误!＋2ln x 的单调减区间为 ▲ ．6．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ▲ 。

7．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点()32,3-的双曲线方程为错误!．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上,若PF ＝2，则点P 到抛物线顶点O 的距离是 ▲ ． 9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x'=++，则=)2('f ▲ ．10．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线,则k = ▲ ． 11．设函数)()(2R a e axx f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，则实数a 的取值范围是▲，________．为长12．ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=．若椭圆E 以AB轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是▲ ．点O13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且ππ,,124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ． 14。

2016届江苏省泰州中学上学期高三(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解．故答案为：2．【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是﹣16．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣1））=f（1+3）=f（4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，容易得到结果．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=﹣2或﹣或79．【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为a n+1+2=q（a n+2），从而得到a n+2与a n+1+2的关系，分a n=﹣2和a n≠﹣2讨论，当a n≠﹣2时构造公比为q的等比数列{a n+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，），∴a n+1+2=q（a n+2），n=1，2，…，下面对a n是否为2进行讨论：①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为a n ≠﹣2，所以a n +2≠0，从而a 3+2=1，a 4+2=﹣3，a 5+2=9，q=﹣3或a 3+2=9，a 4+2=﹣3，a 5+2=1，q=﹣代入a n+1=qa n +2q ﹣2，可得到a 1=﹣，或a 1=79；综上所述，a 1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13．已知平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E ，F 分别在线段BC ，DC上运动，设，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值．【解答】解：如图，，．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．当且仅当，即时，上式等号成立．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：x A=，y A=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．x A===．y A==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）=a n+=2n﹣1+（﹣），2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）数列{b=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=（由y＞0可得0＜x＜），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S==（3﹣2t﹣）运用基本不等式，可得最大值及x的值．【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，解得y=（由y＞0可得0＜x＜），可得S=xy=（0＜x＜）；②AF=xtanθ，EF=，由x+xtanθ+=1，可得x=，即有S=xy=（0＜θ＜）；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，S==（3﹣2t﹣）≤（3﹣2）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1﹣时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g （x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得a n=a n，由M n=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于b n+1=，c n+1=．c n+1﹣b n+1=（b n﹣c n）=﹣（c n﹣b n），即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以c n﹣b n=2（﹣）n﹣1；（2）b n+1+c n+1=（b n+c n）+a n，因为b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{a n}是公比为a的等比数列，即有a n=a n，由M n=2S n+1﹣T n=2（b1+b2+…+b n）﹣（c1+c2+…+c n）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，求得h（x）在x∈[e，e n]上的最小值，可得a n=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得S n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x ＞时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）＞g （x ），即为a ＜在（0，+∞）成立，设h （x ）=，h ′（x ）==﹣，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增．即有x=1处取得极大值，也为最大值1，则a ＜1，即a 的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f （x ）﹣g （x ）=0，即为a=在x ∈[e，e n ]上有解，由（2）可得h （x ）=在（e，1）递增，在（1，e n ]递减，由e＜e n ，可得x=e n 处取得最小值，且为（1+n ）e ﹣n ，前n 项和为S n =2e ﹣1+3e ﹣2+4e ﹣3+…+（1+n ）e ﹣n ， eS n =2e 0+3e ﹣1+4e ﹣2+…+（1+n ）e 1﹣n ，相减可得，（e ﹣1）S n =2+e ﹣1+e ﹣2+e ﹣3+…+e 1﹣n ﹣（1+n ）e ﹣n =1+﹣﹣（1+n ）e ﹣n化简可得S n =﹣e ﹣n （+n+1）＜＜3．故S n ＜3成立．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．21．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M ﹣1；（2）求直线4x ﹣9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换．【分析】（1）根据矩阵M ，求出它的逆矩阵M ﹣1；（2）根据题意，求出M 2以及对应M 2[]的表达式，写出对应新曲线方程．【解答】解：（1）∵M=[]， ∴M ﹣1=[]；（2）∵M 2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，cosθ=）．∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．即m的取值范围是[﹣2，8]．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，P （X=4）==，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4PE （X ）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．24．已知数列{a n }满足，记数列{a n }的前n 项和为S n ，c n =S n ﹣2n+2ln （n+1）（1）令，证明：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|（2）证明数列{c n }是递减数列．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得b n+1==1+b n ，利用等差数列的通项公式可得b n =n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，可得c n﹣c n ﹣1=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴b n+1====1+=1+b n ，∴b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，首项b 1==1，公差为1．∴b n =1+（n ﹣1）=n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，（*）．下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，（*）成立． ②假设n=k 时，（*）成立，即|sink θ|≤k|sin θ|，则当n=k+1时，|sin （k+1）θ|=|sink θcos θ+cosk θsin θ|≤|sink θ||cos θ|+|cosk θ||sin θ|≤|sink θ|+|sin θ|≤（k+1）|sin θ|，即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，c n ﹣1=S n ﹣1﹣2（n ﹣1）+2lnn ，∴c n ﹣c n ﹣1=a n ﹣2+2ln =﹣+2ln=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），f ′（x ）=﹣1=＜0，∴f （x ）在上单调递减，∴f （x ）＜f （1）=0，∴ln﹣＜0．∴c n ﹣c n ﹣1＜0，即c n ＜c n ﹣1， ∴数列{c n }是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本题包括14个小题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={x|﹣2＜x＜5，x∈Z}，则集合M∩N=．2．（5分）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是．3．（5分）已知，则f（8）的函数值为．4．（5分）如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．5．（5分）超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为辆．6．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1减区间为（﹣∞，2），则实数a的值．8．（5分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．9．（5分）设偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．10．（5分）函数y=x+的值域是．11．（5分）已知f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，且f（x+）f（x）=1，若f（﹣1）＞1，f（2016）=，则a的范围．12．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．13．（5分）若关于x的方程（5x+）﹣|4x﹣|=m在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣a+1）ln（x+a+1）的定义域为（﹣a﹣1，+∞），若f（x）≥0恒成立，则a的值为．二、解答题（本题包含6大题，共90分）15．（14分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．17．（15分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．18．（15分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．19．（16分）方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．（2）两根都在（0，1）之间，求k的范围．（3）在（0，1）之间有一个零点，求k的范围．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）当a=3时，方程f（x）=m的解的个数；（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（﹣4，2）上单调递增，求a的范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本题包括14个小题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={x|﹣2＜x＜5，x∈Z}，则集合M∩N={1，2，3，4} ．【解答】解：由集合N中的不等式﹣2＜x＜5，取整数解，得：x可以为﹣1，0，1，2，3，4，所以集合N={﹣1，0，1，2，3，4}，则M∩N={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是∃x∈R，使x2+1＜x．【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥x”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜x．故答案为：∃x∈R，使x2+1＜x．3．（5分）已知，则f（8）的函数值为﹣76．【解答】解：∵已知，则f（8）=f（6）=f（4）=4﹣5×16=﹣76，故答案为﹣76．4．（5分）如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，84，86，87，91，93，其平均值为=（84+84+86+84+87+91+93）=87，方差为s2=[（84﹣87）2+（84﹣87）2+（86﹣87）2+（84﹣87）2+（91﹣87）2+（93﹣87）2+（87﹣87）2]=，故答案为．5．（5分）超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为280辆．【解答】解：由频率分布直方图可得汽车超速的频率为0.020×10+0.008×10=0.28，故违规的汽车大约为1000×0.28=280辆，故答案为280．6．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1减区间为（﹣∞，2），则实数a的值﹣1．【解答】解∵抛物线f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，减区间为（﹣∞，2），∴1﹣a=2，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．8．（5分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．【解答】解：记事件A={△PBC的面积小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）==．故答案为：．9．（5分）设偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，即（2x﹣1）2＜x2，解得x＜1，所以x的取值范围是（）．故答案为：（）．10．（5分）函数y=x+的值域是（﹣∞，] ．【解答】解析：令=t（t≥0），则x=1﹣t2，此时y=1﹣t2+t，（t≥0），所以y=﹣t2+t+1=﹣（t﹣）2+≤，所以原函数的值域为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．11．（5分）已知f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，且f（x+）f（x）=1，若f（﹣1）＞1，f（2016）=，则a的范围0＜a＜3．【解答】解：∵f（x+）f（x）=1，∴f（x+5）=f（x），∴f（x）是周期为5的周期函数，∵f（﹣1）＞1，f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，∴﹣f（1）＞1，∴f（1）＜﹣1，∴f（2016）=f（403×5+1）=f（1）＜﹣1，∴＜﹣1，∴＜0∴0＜a＜3．故答案为：0＜a＜3．12．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．13．（5分）若关于x的方程（5x+）﹣|4x﹣|=m在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣a+1）ln（x+a+1）的定义域为（﹣a﹣1，+∞），若f（x）≥0恒成立，则a的值为．【解答】解：当0＜x+a+1≤1时，﹣a﹣1＜x≤﹣a时，有ln（x+a+1）≤0，∵f（x）≥0，∴2x﹣a+1≤0，x≤欲使∀x，f（x）≥0恒成立，则≥﹣a，∴a≥；当x+a+1＞1时，x＞﹣a时，有ln（x+a+1）＞0，∵f（x）≥0，∴2x﹣a+1＞0，x＞欲使∀x，f（x）≥0恒成立，则≤﹣a，∴a≤；故a=．故答案为：．二、解答题（本题包含6大题，共90分）15．（14分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．【解答】解：（I）家长委员会总数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为，所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3，1，2．（II）设A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有：C62=15种，这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为．16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件；当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件；综上，a的值为﹣1或﹣3；（2）对于集合B，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）．∵A∪B=A，∴B⊆A，①当△＜0，即a＜﹣3时，B=∅满足条件；②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾；综上，a的取值范围是a≤﹣3．17．（15分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0为真，则方程x2+2x﹣m﹣1=0有实根，∴4+4（m+1）≥0，∴m≥﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）2x＞m（x2+1）可化为mx2﹣2x+m＜0．若p：∀x∈R，2x＞m（x2+1）为真．则mx2﹣2x+m＜0对任意的x∈R恒成立．当m=0时，不等式可化为﹣2x＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）¬q：m＜﹣2又p∧¬q为真，故p、¬q均为真命题．∴∴m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）18．（15分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．【解答】解：（Ⅰ）因为a=4，所以y=．（1分）则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．（3分）当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8．（5分）（6综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．分）（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2×（5﹣）+a[]=（14﹣x）+﹣a ﹣4﹣a﹣4（10分）当且仅当14﹣x=4时等号取到．（因为1≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）所以y有最小值8﹣a﹣4．（12分）令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，所以a的最小值为24﹣16≈1.4．（14分）19．（16分）方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．（2）两根都在（0，1）之间，求k的范围．（3）在（0，1）之间有一个零点，求k的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（k﹣2）x+2k﹣1．（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，必有：，即⇒，解得：．（2）两根都在（0，1）之间，必有：⇒解得：（3）法一：在（0，1）之间有一个零点：①当f（0）=0时，，代入检验，x=0，，不满足题意．②当f（1）=0，，代入检验，x=1，或，满足题意．③f（0）f（1）＜0，即：（2k﹣1）（3k﹣2）＜0，解得：④，解得：综上所述：或．法二：由方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，∴，x∈（0，1）令t=x+2，t∈（2，3），那么：=，令g（t）=，时函数单调递增，时函数单调递减，f（x）只有一个零点，即y=k与y=两个函数图象只有一个交点．∴或．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）当a=3时，方程f（x）=m的解的个数；（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（﹣4，2）上单调递增，求a的范围．【解答】解：（1）当a=3时，，当m=6或时，方程有两个解；当m＜6或时，方程一个解；当时，方程有三个解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由题意知f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，即在x∈[1，2]上恒成立，即在x∈[1，2]上恒成立，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）①且，即﹣2≤a≤2时，f（x）在R单调递增，满足题意；②且，即a＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，a）和（，+∞）单调递增，∵f（x）在（﹣4，2）上单调递增，∴a≥2或﹣4，∴a≤﹣6；③且，即a＜﹣2且a＞2时，不存在满足条件的a值；④且，即a＞2时，f（x）在（﹣∞，）和（a，+∞）上单调递增，∵f（x）在（﹣4，2）上单调递增，∴或a≤﹣4，∴a＞2综上：a≤﹣6或a≥﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）。

【精品】2015-2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．【分析】直接利用复数的概念，写出结果即可．【解答】解：复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2；故答案为：﹣2．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=2016．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f′（x）=75x2+26x+2016，∴f′（0）=2016，故答案为：2016．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为11．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=11时，不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【分析】集合A，B满足A∩B=B且A≠B，可得：B⊊A，可得x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．即可判断出结论．【解答】解：集合A，B满足A∩B=B且A≠B，∴B⊊A，∴x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是①②．（写出所有不正确命题的序号）【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．【解答】解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．【分析】对两边求导，令x=可得f′（），再令x=即可求得f′（）．【解答】解：由，得f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，则f′（）=f′（）•cos﹣sin，解得f′（）=﹣1，∴=﹣cosx﹣sinx=﹣cos﹣sin=﹣=，故答案为：﹣．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为8x+25y﹣58=0．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是k≥1．【分析】求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而求出满足条件的k的范围即可．【解答】解：令f（x）=sinx﹣kx，x∈[0，π]，f′（x）=cosx﹣k，k≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[0，π]递减，f（x）的最大值是f（0）=0，符合题意，结合y=sinx和y=kx的图象，如图示：，k＜0时，不合题意，故答案为：k≥1．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为2．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d==﹣1，根据抛物线的定义可知d=﹣1，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2（两边之和大于第三边且A，B，F 三点共线时取等号）故答案为：2．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为（﹣3，0）．【分析】直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：直线的方程为y=k（x+4），由，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴x1=4，x2=，…（6分）∴C（，），又∵点P为AC的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，则k OP•k DQ=﹣1，即﹣•=﹣1，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【分析】（1）由题意可知y=2x（1﹣p）﹣px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润．【解答】解：（1）由题意可知，…（4分）（2）考虑函数当1≤x≤9时，，令f'（x）=0，得．…（6分）当时，2B，函数f（x）在上单调增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调减．所以当时，a取得极大值，也是最大值，又x是整数，，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．…（10分）当10≤x≤20时，，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．…（12分）答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．…（14分）18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．（2）利用（1）的结论即可得出．（3）由于，可，利用（1）的结论．【解答】（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=coskθ+isinkθ，则当n=k+1时，（cosx+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ．]（2）解：∵，∴，（3）解：，∵，∴，记，∴z n=r n（cosnθ+isinnθ），∴|z n|=r n=|z|n．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．【分析】（1）桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，即可得出结论；（2）①求出点A，B的坐标均满足方程，即可证明直线l AB恒过一定点；②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，由事实现象（2）知：直线PI⊥l，即可得出结论．【解答】解：（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以S=2（a﹣c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]（2）①设，则…[（5分）]，…[（6分）]代入，得，…[（7分）]则点A，B的坐标均满足方程，…[（9分）]所以，直线AB恒过定点；…[（10分）]②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，…[（11分）]由事实现象（2）知：直线PI⊥l，∴…[（13分）]令y=0，得点N的横坐标为，…[（5分）]∵x0∈（0，2），∴．…[（16分）]20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f'（x）=2ae2ax，∴，…[（2分）]∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；…[（4分）]（2）由（1）知f（x）=e x，g（x）=kx，…[（5分）]因为当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，所以∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，…[（6分）]∵x=0时，k∈R，∴，…[（7分）]记，则，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），∴h（x）在（﹣1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，…[（8分）]∴，∵，∴，…[（9分）]综上，所求实数k的取值范围是；…[（10分）]（3）由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），…[（11分）]∵，∴，…[（12分）]，∴，…[（13分）]要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，，∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ（μ）＜φ（1）=0，所以，x1•x2＜1…[（16分）]。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．2．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是．3．（5分）双曲线﹣x2=1的渐近线方程是．4．（5分）函数f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为．5．（5分）若命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，则实数r的取值范围是．6．（5分）已知函数f（x）=x+2sinx，x∈[0，π]，则函数y=f（x）的最大值为．7．（5分）命题“p：1＜k＜9”是命题“q：方程+=1表示椭圆”的条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”）8．（5分）函数f（x）=的递减区间为．9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON=．10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是．11．（5分）椭圆C：+=1和圆O：x2+y2=5，动点P在椭圆C上动点，当点P落在圆O内部时，点P横坐标的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF=．13．（5分）已知直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m 的值及点N的坐标．17．（14分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=a（x+），（x＞0，a＞0），点P为函数y=f（x）图象上一动点．（1）当a=2时，过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线，垂足分别为点A，B，试计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；（2）作曲线y=f（x）在点P处的切线l，记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M，N，试计算线段PM，PN长度比值．19．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：2．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是（0，1）．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．3．（5分）双曲线﹣x2=1的渐近线方程是y=±3x．【解答】解：已知双曲线﹣x2=1令：﹣x2=0即得到渐近线方程为：y=±3x；故答案为：y=±3x．4．（5分）函数f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为﹣1．【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1，f′（x）=3x2﹣4x+3，令f′（x）=0，即x2﹣4x+3=0，解得：x=1，x=3，f′（x）＞0，解得：x＞3，x＜1，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，∴f（x）的单调递减区间为（1，3），∴当x=3，函数取极小值，极小值为f（3）=×27﹣2×9+3×3﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．5．（5分）若命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，则实数r的取值范围是0＜r＜2．【解答】解：双曲线﹣=1中a=2，∵命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，∴命题“∀r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1没有公共点”为真命题，∴0＜r＜2，故答案为：0＜r＜2．6．（5分）已知函数f（x）=x+2sinx，x∈[0，π]，则函数y=f（x）的最大值为．【解答】解：函数f（x）=x+2sinx，∴f′（x）=1+2cosx，当f′（x）=1+2cosx＞0，解得cosx＞﹣，即0≤x＜，函数单调递增，当f′（x）=1+2cosx＜0，解得cosx＜﹣，即＜x≤π，函数单调递减，故当x=函数有最大值，最大值为f（）=+，故答案为：．7．（5分）命题“p：1＜k＜9”是命题“q：方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”）【解答】解：方程+=1表示椭圆，则1＜k＜9且k≠5，即命题q：1＜k＜9且k≠5，故命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．8．（5分）函数f（x）=的递减区间为（﹣1，0）和．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0）．∵f（x）=，∴f′（x）=令f′（x）＜0，可得函数f（x）=的递减区间为（﹣1，0）和．故答案为：（﹣1，0）和．9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON=5．【解答】解：由题意，M在双曲线的左支上，∵M到左焦点F1的距离为2，∴M 到右焦点F 的距离为10， ∵N 为MF 1的中点，O 为坐标原点， ∴ON=5．故答案为：5；10．（5分）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 在区间（0，1）上有极值，则实数a 的取值范围是（1，e ）．【解答】解：f （x ）的定义域为R ，且 f′（x ）=e x ﹣a ．①当a ≤0时，f （x ）=e x ，故f （x ）在R 上单调递增，从而f （x ）没有极大值，也没有极小值．②当a ＞0时，令f'（x ）=0，得x=lna ．f （x ）和f′（x ）的情况如下：故f （x ）的单调减区间为（﹣∞，lna ）；单调增区间为（lna ，+∞）．从而f （x ）的极小值为f （lna ）=a ﹣alna ；没有极大值． ∵函数f （x ）=e x ﹣ax 在区间（0，1）上有极值， ∴0＜lna ＜1， ∴a ∈（1，e ）．故答案为：（1，e ）．11．（5分）椭圆C ：+=1和圆O ：x 2+y 2=5，动点P 在椭圆C 上动点，当点P 落在圆O 内部时，点P 横坐标的取值范围是．【解答】解：如图，联立，得5x2=9，即x=．由图可知，当点P落在圆O内部时，点P横坐标的取值范围是．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF=8．【解答】解：由题意，设椭圆的右焦点为F1，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF，F1D．由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1（其中F1是椭圆的左焦点）为平行四边形，所以AF1=FD，同理BF1=CF所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8．故答案为：8．13．（5分）已知直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，2）．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，可得＞，解得﹣2＜a＜2，则双曲线的离心率e=＜=2，由e＞1可得e的范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2017）．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x2，∴2xf（x）+x2f′（x）＜x3＜0，∴[x2f（x）]′＜0，∴函数y=x2f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∵（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0，∴（x+2015）2f（x+2015）＞（﹣2）2f（﹣2），∴x+2015＜﹣2，x＜﹣2017故答案为：（﹣∞，﹣2017）二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p真：﹣2≤x≤4；当m=3时，若q真：﹣1≤x≤5…（3分）∵p且q为真，∴，∴实数x的取值范围为：[﹣1，4]…（7分）（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件…（10分）∵若q真：2﹣m≤x≤2+m∴且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴m≥4．…（14分）16．（14分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m 的值及点N的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，…（1分）由题意得：，解得：，…（4分）∴b2=3，∴椭圆的标准方程：；…（7分）（2）设N（x，y），则，对称轴：x=4m，﹣2≤x≤2…（9分）①当0＜4m≤2即，x=4m时，，解得：，不符合题意，舍去；…（11分）②当4m＞2，即，x=2时，，解得：m=1或m=3；∵，∴m=1；…（13分）综上：m=1，N（2，0）；…（14分）17．（14分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．18．（16分）已知函数f（x）=a（x+），（x＞0，a＞0），点P为函数y=f（x）图象上一动点．（1）当a=2时，过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线，垂足分别为点A，B，试计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；（2）作曲线y=f（x）在点P处的切线l，记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M，N，试计算线段PM，PN长度比值．【解答】解：（1）当a=2时，，设点P的坐标为，则，…（1分）依题意，，…（3分）由，得，…（5分）∴，…（7分）∴…（8分）（2）设点P的坐标为…（9分）∵，∴，…（11分）∴，…（12分）令x=0，得，…（13分）由，得N（2x0，2ax0），…（14分）则点为点和点N（2x0，2ax0）的中点，…（15分）所以…（16分）19．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以，即a2=4b2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①（6分）由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴（8分）又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（9分）（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．（11分）将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．（13分）所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．（14分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f （x ）是增函数；（ii ）当k=±2时，△=0，若k=﹣2，f′（x ）=＞0，f （x ）是增函数若k=2，f′（x ）=，那么x ∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x ）＞0，且f （x ）在x=1处连续，所以f （x ）是增函数；（iii ）当k ＜﹣2或k ＞2时，△＞0，方程x 2﹣kx +1=0有两不等实根 x 1=，x 2=，当k ＜﹣2时，x 1＜x 2＜0，当x ＞0时，x 2﹣kx +1＞0恒成立，即f′（x ）＞0，f （x ）是增函数当k ＞2时，x 2＞x 1＞0，此时f （x ）的单调性如下表：综上：当k ≤2时，f （x ）在（0，+∞）是增函数当k ＞2时，f （x ）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k ＞2时，f （x ）有极值 ∵x 1==＜＜1，∴lnx 1＜0，且f 极大值（x ）=f （x 1 ）=＜0，∵f （x ）在（0，x 1 ）是增函数，在（x 1，x 2）是减函数，∴当x ∈（0，x 2]时，f （x ）≤f （x 1）＜0，即f （x ）在（0，x 2]无零点，当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）是增函数，故f （x ）在（x 2，+∞）至多有一个零点，另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．。

江苏省泰州中学2015-2016学年高二上学期第二次质量检测(理)数学试题

江苏省泰州中学高二第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“x R ∀∈，210x x ++≥”的否定是________．2.复数131ii--的共轭复数是________． 3.若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =________．4.命题“若0a =，则0ab =”的逆命题是________命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5.用反证法证明命题：“若,a b N ∈，ab 能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．2y x =在点(1,1)处的切线方程为________．2:2,:4p x q x ==，那么p 是q 的________．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）,,x y z 都是正数，则三个数111,,x y z y z x+++的值说法正确的是________． ①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于29.若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线34120x y --=上，则抛物线方程为_________．P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为3y x =，则2C 的渐近线方程为________．221164x y +=的三个顶点，且圆在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________． ()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是________．(1,1),,A B C 是抛物线2y x =上三点，若090ABC ∠=，则AC 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15.（本小题满分14分）已知:12,:(1)()0p x q x x m +≤+-≤．（1）若4m =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 16.（本小题满分14分）椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2P ，离心率12e =，A 为椭圆1C 上一点，B为抛物线22y =上一点，且A 为线段OB 的中点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求直线AB 的方程． 17.在数列{}n a 中，1131,23n n n a a a a +==+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 18.（本小题满分15分）已知ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等，若111,,a b c成等差数列．（1（2）求证：B 不可能是钝角． 19.（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>连结椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为1k 的直线1l 与椭圆交于不同的两点,A B ，其中A 点坐标为(,0)a -．（1）求椭圆T 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点M ，当10k ≠时，求MA MB 的最大值；（3）设P 为椭圆T 上任意一点，又设过点(,0)C a ，且斜率为2k 的直线2l 与直线1l 相交于点N ，若12154k k -=，求线段PN 的最小值．20.（本小题满分16分）设已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x -在(1,)+∞内有唯一解．参考答案一、填空题（14*5分）二、解答题15. （14分）（1）[]1,1-；（2）[]3,1- 16.（14分）解：（1）据题意得：22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222a b c =+，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）设A 点坐标为00(,)x y ，则B 点坐标为00(2,2)x y ，分别代入椭圆和抛物线方程得2200200143(2))x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去0y 并整理得：2003120x -=，所以00x x ==或，当0x =时，0y =；当0x =时，0y 无解，所以直线AB 的方程为12y x =±，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 17．（15分）解：123413333,,,26789a a a a =====，猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：当1n =时，131152a ==+，猜想成立；假设当(1,)n k k k N +=≥∈时猜想成立，即35k a k =+. 则当1n k =+时，13333533(1)535k k k a k a a k k ++===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立，由①②知，对n N +∈，35n a n =+都成立． 18.（15分）（1<，，只需证b ca b<，由题意知a 、b 、0c >，只需证2b ac <， ∵111,,a b c成等差数列， ∴211b a c =+≥ ∴2b ac ≤，又a 、b 、c 任意两边均不相等，∴2b ac <成立．故所得大小关系正确．（2）证明：假设B 是钝角，则cos 0B <，而222222cos 0222a c b ac b ac b B ac ac ac+---=>>>．这与cos 0B <矛盾，故假设不成立， ∴B 不可能是钝角． 19.（16分）解：（1）由32c a =得2234a c =，又222a b c +=，∴2a b =, 又由题意得12242a b ⨯⨯=，即2ab =，解得2,1a b ==，故椭圆T 的方程为2214x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分解得2x =-或21212814k x k -=+，则2112211284(,)1414k k B k k -++，因而线段AB 中点坐标为211221182(,)1414k k k k -++， ∵10k ≠，则线段AB 的垂直平分线为21122111281()1414k k y x k k k -=-+++，设点M 坐标为0(0,)y ，令0x =得1021614k y k =-+，则00(2,)(,)B B MA MB y x y y =--422211111122222222111116464(16151)722(28)()4114141414(14)(14)k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤+----=++==+⎢⎥++++++⎣⎦， ∵欲求MA MB 的最大值，故可令21720k t -=>，则2122217249492225(14)240225(14)161201207k t t k t t t t-==≤=++++++，故当154t =，即1k =MA MB 取最大值492894(1)24060+=，．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）直线2l 方程为2(2)y k x =-，联立1(2)y k x =+得121221212()4(,)k k k k N k k k k +--，由12154k k -=得122145k k k k =-， ∴12121221212121212()42()53N N k k k k k k k k x y k k k k k k k k ++-+=+=+=---- 故点N 在定直线3x y +=上运动．设与3x y +=平行的直线为y x b =-+，将y x b =-+代入2214x y+=化简整理得2258440x bx b -+-=，由22(8)45(44)0b b ∆=--⨯-=得b =结合图形可知线段PN的最小值即为y x =-+3x y +=之间的距离，故线段PN =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 20．（16分）（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=，当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．（2）由()222ln 2(1)0a f x x a x x '=---+=，解得11ln 1x xa x---=+，令221111ln 1ln 1ln ()2()ln 2()111x x x x x x x x x x x x xϕ---------=-++-++++，则211(2)2(1)10,()2()011e e e e e e ϕϕ----=>=--<++，故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=．令00011ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+，由1()10u x x'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e ----=<=<=<++++，即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==，由（1）知，函数0()f x '在区间(1,)+∞上单调递增，故当0(1,)x x ∈时，有0()0f x '<，从而0()()0f x f x '>=；当0(,)x x ∈+∞时，有0()0f x '>，从而0()()0f x f x '>=；所以，当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x '=在(1,)+∞内有唯一解．。

江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一。

填空题（每题5分,共计70分)1．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g(x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=,=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(﹣)6的展开式中的常数项是．（用数字作答)7．如图，在正四面体ABCD中,点E为BC中点，点F为AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻(有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列｛a n｝为a0，a1，a2，a3，…,a n(n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题(本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL（不含80）之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80)以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点,不包括右端点)（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y｜≤10的概率是多少？16．已知(+2x）n．（1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图:已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．(1)试用，，表示，并求｜|;(2）求证:CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球,白球和红球共n（n∈N＊）个,这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ;（2）当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式,如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1,求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x)k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+［（﹣1)i b i C]且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12,有（2，6)、（3，4）、（4，3)、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是(﹣∞,0)∪{1｝．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点,则由图可得m＜0或m=1，故答案为：(﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点,则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出,，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：,=，则，连接AN，则，那么：===,故答案为：．4．某校现有高一学生210人,高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10,故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟)分别为x,y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组,求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，(x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3,a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4;第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值,取一组空间基底为{｝，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，,从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，;设正四面体的棱长为1，则，=;=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为:．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35,求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,令x=1，可得(1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①,分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵(x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=(﹣m）7．又展开式中x3的系数是35,可得•(﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1,可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时,a0=﹣1,由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ,即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1,由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n(m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则(1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得:2n=32，解得n=5，由(1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32,解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80,解得m=2．则(1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4,3，2，1个，黑球相应个数为0，1,2，3个,得分的随机变量ξ=4，6,8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3,2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个,∴得分的随机变量ξ=4，6，8,10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P(ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来,采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答)【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论:①、前6次取出的全部为白球,②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来,则一共有2种情况:①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个,6只白球中取出2个，安排在前5次取出,第6次取出第4只红球,有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1,5，9，为其中一种颜色时，2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2，6,3,颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9,有3种可能，当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关．当1,5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种,故答案为：10814．已知数列{a n｝为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N),b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N）,则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n(n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式:x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解:∵a n=2n（n∈N)，∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n(n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n(n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导:（x+1）n+nx(x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1)n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx(x+1)n﹣2=1×2×+x+…+n(n+1）x n ﹣1，令x=1可得：（n2+3n)•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：(n2+3n）•2n﹣2．二。