概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】
高考数学概率统计解答题专题
高考数学概率统计解答题专题
一、归类解析
题型一：离散型随机变量的期望与方差
【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．
【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.
(1)求上表中的a，b值；
(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；
(3)求η的分布列及期望E(η)．
【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．
题型二：概率与统计的综合应用
【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
历年高考概率与统计试题有详细答案详解
【答案】B
考点：古典概型．
17.（15年福建文科）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为 ，故应抽取的男生人数为 ．
考点：分层抽样．
T.43
U.41
V.37
W.34
X.42
Y.37
ZZ.44
AA.42
BB.34
CC.39
DD.43
EE.38
FF.42
GG.53
HH.37
II.49
JJ.39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 和方差 ；
设[40,50)内的两人分别为 ；[50,60)内的三人为 ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取2人，基本事件有（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），
（ ）共10种；其中2人评分都在[40,50)内的概率为 .
考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.
13.（15年福建理科）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案
【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1-2π
B ．12-1π
C ．2π
D ．1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=π2
(12)2-12×12×12=π-28．在扇形OAD 中S12为扇形面积减去三角形OAC 面积和S22，S12=18π×12-18-S22=π-216
，S 1+S 2=π-24，扇形OAB 面积S=π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝()
A.126125
B.65
C.168125
D.75 【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125
，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125
，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65
，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()
统计有关经典例题解析、及高考题50道,带答案
【经典例题】
【例1】（2008广东）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽 查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直
方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的 人数是 . 【答案】13
【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.
【例2】（2009山东）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是( ).
A. 90
B.75
C. 60
D.45
【答案】A
【解析】产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n , 则
300.036
=n
,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.
【例3】（2009上海）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用)：概率统计解答题(解析版)
材 积 量 0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9 yi
10
10
10
并计算得 xi2 0.038, yi2 1.6158, xi yi 0.2474 ．
i=1
i=1
i=1
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 [20,70) 的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为 0.1% ，该地区年龄位于区间[40, 50) 的人口占该地区总人口的 16% ．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40, 50) ，求此人患这种疾病的概率．(以样本数
即 X 的分布列为
X
0
10
20
30
P
0．16
0．44
0．34
期望 E X 0 0.16 10 0.44 20 0.34 30 0.06 13 ．
0．06
【题目栏目】概率\相互独立事件\相互独立事件同时发生的概率 【题目来源】2022 年全国甲卷理科·第 19 题
2．(2022 年全国乙卷理科·第 19 题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区
概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案解析
【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1-
2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=
π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12
为扇形面积减去三角形OAC 面积和
S 22
， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A. 126125
B. 65
C. 168125
D. 75 【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27
125＋
1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】
【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1- 2π
B ． 12 - 1π
C ． 2π
D ． 1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=
π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12
为扇形面积减去三角形OAC 面积和
S 22
， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A.
126125 B. 65 C. 168125 D. 75
【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×
27
125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
，选B.
【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案
【篇一：2015年高考数学概率与统计试题汇编】4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该
社区5户家庭，得到如下统计数据表：
??a??0.76,a? ，据此估计，??bx? ，其中b???根据上表可得回归
直线方程y
该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
a．11.4万元 b．11.8万元c．
12.0万元 d．12.2万元
【答案】b
考点：线性回归方程．
13．如图，点
a 的坐标为?1,0? ，点c 的坐标为?2,4? ，函数f?x??x2 ，若在矩
形abcd 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
【答案】5 12
【解析】
试题分析：由已知得阴影部分面积为4??x2dx?4?1275?．所以此
点取自阴影33
5
5部分的概率等于?． 412考点：几何概型．
16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，
该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的
密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束
尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银
行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x，求x的分布列和数学
期望．
15【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为． 22
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a．则银行
3卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为a6?6?5?4，事件a包含
3的基本事件数为a5?5?4?3，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随
2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)含答案
大题概率统计(精选30题)
1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.
(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X
.
2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2
分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为1
3，且各局比赛结果相互独
立.
(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；
(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.
2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)
3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学
生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为1
7
.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球
中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：
高考复习(数学)专项练习：概率、随机变量及其分布【含答案及解析】
专题突破练18 概率、随机变量及其分布
一、单项选择题
1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )
A.0.20
B.0.48
C.0.60
D.0.75
2.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )
A.37
B.512
C.1328
D.1955
3.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、填空题
4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34
专题15 概率与统计专项高考真题(带答案及解析)
专题15概率与统计（解答题）
1．【2021·全国高考真题（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为2
1s 和2
2s ．
（1）求x ，y ，2
1s ，2
2s ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
y x -≥不认为有显著提高）．
【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；
（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.7
1010
x +++++++++=
=，
10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310
y +++++++++==，
22222222
21
0.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，
222222222
22
0.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410
概率经典例题和解析、近年高考题50道带答案解析
【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1-
2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=
π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12
为扇形面积减去三角形OAC 面积和
S 22
， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A. 126125
B. 65
C. 168125
D. 75 【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×
27
125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
，选B.
【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
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【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1-
2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=
π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12
为扇形面积减去三角形OAC 面积和
S 22
， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A.
126125 B. 65 C. 168125 D. 75
【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×
27
125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
，选B.
【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 78
【答案】C
【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，
0≤y≤4，满足条件的关系式
为－2≤x－y≤2.
根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34
.
【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2
【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 【答案】20
63
【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为20
63
.
【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 【答案】13
【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13
.
【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】213；12
13
；3月5日
【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝1
13
，且Ai∩Aj＝ (i≠j)．
（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2
13.
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且
P(X ＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4
13，
P(X ＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4
13，
P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝5
13.
所以X 的分布列为
故X 的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝12
13
.
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2
3，中奖可以
获得2分；方案乙的中奖率为2
5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中
奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】11
15
；方案甲．
【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影响．记“这2
人的累计得分X≤3”的事件为A ，
则事件A 的对立事件为“X＝5”，
因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝11
15，
即这两人的累计得分X≤3的概率为11
15
.
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X2～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝4
5，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝12
5
.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．