1-3 等可能概型(古典概型)
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1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
1.3 古典概率模型
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
3 83 333 250 1 。 4 2000 2000 2000
二、几何概型
定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为
t
T
x
解 设 x, y 分别为甲、乙两人到达的
时刻 , 那么 0 x T , 0 y T。
两人会面的充要条件为 x y t ,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为
T
o
y
y xt
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
T 2 (T t )2 2 T t 2 1 (1 ) 。 T
序称为组合，其组合总数为：
r n
A n! C r ! r !( n r )!
r n
A n(n 1)(n r 1) C r !
r n r n
3. 古典概型的基本模型: 摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中 摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。
是样本点，样本空间中包含样本点的总数以及
A所包含的样本点数，当样本点较多时，很难
将它们一一列出，需用排列、组合的知识进行
分析。
① 从n个不同元素中取出r 个元素且考虑其顺 序 称为排列，其排列总数为：
r An n( n 1) ( n r 1)
② 从n个不同元素中取出r 个元素且不考虑其顺
(其中 S 是样本空间的度量, S A 是构成事件 A 的子区域的度量。这样借助于几何上的度量 ) 来合理规定的概率称为几何概型。 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型。
1.3 等可能概型、几何概型
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第26页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
等可能概型概述
P(Ai Aj ) (n 2)!/ n!1/ n(n 1), i !1/ n(n 1), i j, 共Cn2项,
P( Ai Aj Ak ) (n 3)!/ n! 1/ 3!Cn3, i
/ n!PP((1AA/13i..A!.CAj An3,)k ) i1/(nnj!k3,)!/共n!Cn3项1/,3.!.C.n3.,. P( A1...An ) 1/ n!
等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足： •S中样本点有限(有限性) •出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
1
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
2
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
3
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N ,n N )
17
P(没有人取到自己礼物) P( A)
1 P( A1 ... An )
1
n i 1
1 n
Cn2
1 n(n 1)
Cn3
n(n
1 1)(n
2)
...
(1)n
1 n!
11 1 1 ... (1)n 1
2! 3!
n!
P( Ai Aj Ak ) (n 3)!/ n! 1/ 3!Cn3, i
/ n!PP((1AA/13i..A!.CAj An3,)k ) i1/(nnj!k3,)!/共n!Cn3项1/,3.!.C.n3.,. P( A1...An ) 1/ n!
等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足： •S中样本点有限(有限性) •出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
1
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
2
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
3
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N ,n N )
17
P(没有人取到自己礼物) P( A)
1 P( A1 ... An )
1
n i 1
1 n
Cn2
1 n(n 1)
Cn3
n(n
1 1)(n
2)
...
(1)n
1 n!
11 1 1 ... (1)n 1
2! 3!
n!
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
10-1-3古典概型(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修 第二册
2．古典概型的概率计算
知识梳理
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本
点，事件A包含其中的k个样本点，
k
n（A）
则 定 义 事 件 A 的 概 率 P ( A ) ＝ _ _n_ _ _ ＝ _ _n_（_Ω_ _）_ _ ，
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样 本点个数．
2．求基本事件总数的常用方法： (1)列举法：适合于较简单的问题． (2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
配套练习
袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的 黑球，这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次 从中摸出1个球，求基本事件的个数． 解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树 形图表示如下图，共24个基本事件．
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 2
基本事件的总数
21
5
因为(1,1)和(2,1)发生的可能性不相等, 这不符合古典概型
解：将两个红球编号为 1 , 2 ，三个黄球编号为 3 , 4 , 5 ．第一次摸 球时有 5 种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二 次摸球都有4种等可能的结果。将两次摸球的结果配对，组成20种等 可能的结果，如下表：
已知某多项选择题的正确答案是AC.某某同学不会做该题,他只想 得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
补充两个计数原理
分类加法计数原理是指完成一件事有几类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的的方法， 在第2类方案中有m2种不同的的方法…… 在第n类方案中有mn种不同的的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种方法。
第1.3节 等可能概型
定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n
3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n
7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
古典概型本1-3
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
古典概型(等可能概型)
P(C )
=
⎜⎜⎝⎛
n mΒιβλιοθήκη ⎟⎟⎠⎞(N
−1)n−m
Nn
=
⎜⎜⎝⎛
n m
⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛
1 N
⎟⎞m ⎠
⎜⎛1 − ⎝
1 N
⎟⎞ n−m ⎠
4、配对问题 例. 设有带号码1,2,3,4的四件物品，任意的放在标有1,2,3,4的 空格中，问恰好没有一件物品与所占空格号码想一致的概率 是多少？至少有一件物品与它所占的空格号码想一致的概率 又为多少？
例. 从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个
数以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数， 求系列事件的概率：
（1）A1={7个数全部相同} （2）A2={不含10和1} （3）A3={10恰好出现两次} （4）A4={10至少出现两次}
解:
P( A1)
=
P7 10
=
189
≈ 0.06048
§1.3 古典概型（等可能概型）
一、古典概型的概念 1、古典概型的定义 2、古典概型计算公式
二、古典概型举例 1、随机取数问题 2、抽球问题 3、质点入盒问题（分房问题） 4、配对问题
§1.3古典概型（等可能概型）
一、古典概型的概念
1、古典概型的定义
设试验具有下述两特点： 1°试验的样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
A A A 解 : P(A) =
3 + 4×8×
9 4
10
2
8 = 0.4556
A 因为从十个数字中不重复任取四个的取法总数为 4 , 10
A 而0在个位的四位数共有 3 种取法,而个位为2,4,6,8, 9
A 且首位不为0的取法数为4 × 8 × 2 种 D 8
1-3古典概型
任一天
例4 某接待站在某一周曾接待过12次来访者，已知
所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的。
解 假设接待站的接待时间没有规定，而来访者 在一周的任一天去接待站是等可能的，那么， 12次来访都是在周二、周四的概率为
212 P 12 0.0000003 7
这样小概率的事件在一次试验中就发生了， 人们有比较大的把握怀疑假设的正确性.即认为 其接待时间是有规定的。
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
设有 k个不同的球, 每个球等可 例2（分房模型） 能地落入 N 个盒子中（ k） , 设每个盒子容球数无限, N 求下列事件的概率:
（1）A={ k 个球放入k个不同的盒子中}；
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
§1.3 古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
房
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率.
旅客
车站
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
例4 某接待站在某一周曾接待过12次来访者，已知
所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的。
解 假设接待站的接待时间没有规定，而来访者 在一周的任一天去接待站是等可能的，那么， 12次来访都是在周二、周四的概率为
212 P 12 0.0000003 7
这样小概率的事件在一次试验中就发生了， 人们有比较大的把握怀疑假设的正确性.即认为 其接待时间是有规定的。
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
设有 k个不同的球, 每个球等可 例2（分房模型） 能地落入 N 个盒子中（ k） , 设每个盒子容球数无限, N 求下列事件的概率:
（1）A={ k 个球放入k个不同的盒子中}；
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
§1.3 古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
房
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率.
旅客
车站
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
古典概型
以上两个问题的实质是一样的，转变成排列模型，可以解释 抽签(抓阄)的公平性(不管先抽还是后抽，中的概率一样)
抽奖(抽签)问题
5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一 张，求： （1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.
在1000张有奖储蓄的奖券中，设有一个一等奖，三个 二等奖，从中买2张奖券，求： （1）分别获一等奖、二等奖的概率； （2）获得一等奖或二等奖的概率.
变式2:假设有20道单选题,他答对了18道,他是随机
选择的可能性大,还是他掌握了一定的知识的可能
性大?
极大似然法
古典概型基础习题：正确划分基本事件
3.同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
思考：课本127页，为什么要把两个骰子标上记号？如果 不标记号会出现什么情况(课本128页)？你能解释其中的原 因吗？
小军说：“四只小老虎都是雄性或雌性的可能性不 大。”
小强犹豫不决地说：“也许只有一只雄性吧?” 小军不同意小强的意见，他说：“也许只有一只雌性 呢。” 过了一会儿，小强激动地说：“应该这样想，因为每 只老虎是雌是雄的机会是一半对一半，所以很明显，最 有可能的情况是两只雌的、两只雄的。四只小老虎雌性 和雄性的比例最可能是2∶2。”小军也认为小强的话有 道理。 那么，小强的答案真的有道理吗?
袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后放回袋 中，后一人再取一只球)，(2)作不放回抽样(即前一个人 取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球)， 分别在(1)和(2)的情况下求第i(i=1,2,…,k)个人抽到白球 的概率(设k≤a+b)．
抽奖(抽签)问题
5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一 张，求： （1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.
在1000张有奖储蓄的奖券中，设有一个一等奖，三个 二等奖，从中买2张奖券，求： （1）分别获一等奖、二等奖的概率； （2）获得一等奖或二等奖的概率.
变式2:假设有20道单选题,他答对了18道,他是随机
选择的可能性大,还是他掌握了一定的知识的可能
性大?
极大似然法
古典概型基础习题：正确划分基本事件
3.同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
思考：课本127页，为什么要把两个骰子标上记号？如果 不标记号会出现什么情况(课本128页)？你能解释其中的原 因吗？
小军说：“四只小老虎都是雄性或雌性的可能性不 大。”
小强犹豫不决地说：“也许只有一只雄性吧?” 小军不同意小强的意见，他说：“也许只有一只雌性 呢。” 过了一会儿，小强激动地说：“应该这样想，因为每 只老虎是雌是雄的机会是一半对一半，所以很明显，最 有可能的情况是两只雌的、两只雄的。四只小老虎雌性 和雄性的比例最可能是2∶2。”小军也认为小强的话有 道理。 那么，小强的答案真的有道理吗?
袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后放回袋 中，后一人再取一只球)，(2)作不放回抽样(即前一个人 取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球)， 分别在(1)和(2)的情况下求第i(i=1,2,…,k)个人抽到白球 的概率(设k≤a+b)．
等可能概型(古典概型)
概率的取值具有非负性，即对于任何事 件A，都有P(A)>=0。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
1.3 等可能概型
表示“两只都是红球”
若直接考虑： b.无放回 (考虑先后顺序) (乘法原理) S：6×5=30 (1)
(2) (3)
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
10
例4. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解 (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率
接近于1，即 B几乎 总是会出现。
16
二、几何概率
样本空间的基本事件数为无限的几何概率。 其周期 例8 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 求随机到达 为60秒， 其中由南至北方向红灯为 15 秒， （由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。 直观可得 例9 一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。 一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
等可能概型也称为古典概型。
2
2.计算公式：
①
1 P ei i 1, 2, , n n ② 若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
k 则有 P A n
3
例1 投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求 解法一：出现点数之和的可能数值
11 12 21
第三节 等可能概型
一、等可能概型的定义 二、计算公式 三、计算方法
一、等可能概型
例：E1—抛均匀硬币,观察哪面朝上 S1 ={ H,T }
E2—投一均匀骰子,观察点数 S2 ={1,2,3,4,5,6} 1.定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
10-1-3古典概型(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
小组互动合作
先后抛掷两枚质地均匀的骰子．①求点数之和为7的 概率；②求掷出两个4点的概率；③求点数之和能被 3整除的概率．
质疑展示点津
12 3456 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
当堂体验训练
先后抛掷两枚质地均匀的骰子．①求点数之和为7的 概率；②求掷出两个4点的概率；③求点数之和能被 3整除的概率．
①事(②事4③件(6，1记件)件记，，记C3“ A包“B)5(“包，6)包点，含，掷点含(故含数3(的3出，5数的)的之，，P样两4之样(样)和1C(本个，4)和本)，，＝本为点4(能2点点(51点7，2共)2”被共，，”＝只5有为3)有4(为1，有5整)1.事，，62事1(除个个1个件(4件，4)”：：，，，AB6为，(()2(，即61．6)，，事从，，故从(故412件(图6，图P3)))，，，．(CP中A4中，()(()3B．＝ 可52可)，，则)，3＝以66以21事(＝3看))3看1，，，616出..出，，
10.1.3 古典概型
明确学习目标
1.明确古典概型的特征，理解古典概型的概率 公式； 2.会按照古典概型的计算步骤求概率。
自主建构学习
把随机试验E的每一个可能的基本结果称为 样本点。
全体样本点的集合称为试验E的样本空间。 研究随机现象，最重要的是知道随机事
第四节 古典概型
1 PA PB PAB
又 PA 333 , PB 250 , PAB 83 ,
2000
2000
2000
故所求概率为 p 1 333 250 83 3 . 2000 2000 2000 4
概率论
例7 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 , 这 15 名新生中有 3 名是优秀生 . 求
概率论
解 从箱子中任取两件产品,取法总数为 C122 . 即试验的样本空间中所含有的基本事件总数为 C122 .
事件 A中所含有的基本事件数为 C92 .
所以
98
PA
C92 C122
21 12 11
6. 11
21
事件 C 中所含有的基本事件数为 C91 C31.
所以
P C
C19C13 C13C19 9 3 3 9 .
所以
PC 9 3 3 9 9 .
12 11 22
例3 从有 9 件正品、3件次品的箱子中任取两件产
品 即一次抽取两件产品 ,求事件 A 取得两件正品, C 取得一件正品一件次品 ,
的概率 .
概率论
第四节 等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法 小结
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
概率论
定义 1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
120 210
4. 7
概率论
10-1-3 古典概型 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
P( A) k n( A) n n()
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中 选择一个正确答案. 如果考生掌握了考察的内容, 他可以选出唯一正确的答 案. 假设考生有一题不会做，他随机选择一个答案， 答对的概率是什么?
(6) 抽到的牌比6大比9小；
(7) 抽到的牌是红花色；
(8) 抽到的牌是红花色或黑花色.
解：(1) 1 ; 13
(2) 12 ; 13
(3) 1 ; 4
(4) 3 ; 13
(5) 0;
(6) 2 ; 13
(7) 1 ; 2
(8)1.
练习
－ － － － － － － － － － 教材238页
3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率:
10
Ω={A,B,C,D, AB,AC,AD,BC,BD,CD, ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD} ∴n(Ω)= 15， 设N=“多选题选中正确答案”，则 P( N ) 1 .
15
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别 可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2) 求出下列事件的概率：
A =“两点之和是5”； B =“两个点数相等”； C =“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别
可能出现的基本结果.
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解: (1) 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与号骰
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中 选择一个正确答案. 如果考生掌握了考察的内容, 他可以选出唯一正确的答 案. 假设考生有一题不会做，他随机选择一个答案， 答对的概率是什么?
(6) 抽到的牌比6大比9小；
(7) 抽到的牌是红花色；
(8) 抽到的牌是红花色或黑花色.
解：(1) 1 ; 13
(2) 12 ; 13
(3) 1 ; 4
(4) 3 ; 13
(5) 0;
(6) 2 ; 13
(7) 1 ; 2
(8)1.
练习
－ － － － － － － － － － 教材238页
3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率:
10
Ω={A,B,C,D, AB,AC,AD,BC,BD,CD, ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD} ∴n(Ω)= 15， 设N=“多选题选中正确答案”，则 P( N ) 1 .
15
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别 可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2) 求出下列事件的概率：
A =“两点之和是5”； B =“两个点数相等”； C =“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别
可能出现的基本结果.
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解: (1) 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与号骰
第二讲(古典概型与概率的定义)
由
(1 x )
m n
m n
(1 x ) (1 x )
m
n
运用二项式展开 有
m n j j x j 0 m j1 n n j2 j x j x j1 0 1 j2 0 2
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k ) （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.
解 nN 设 (1) ~ (6)的各事件分别为
P ( A) A中的样本点数 S中的样本点数
4
古典概率的性质
1 0 P( A) 1 、
非负性
规范性
A , A2 , , An 1
2、P ( ) 1
3、对于互不相容的事件
n
有
P( A k ) P( A k )
k 1 k 1
n
有限可加性
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
的每个基本事件出现一定要是等可能的。
上述古典概型的计算，只适用具有等可能性的 有限样本空间。若试验结果无限，则它显然已经不 适合。为了克服有限的局限性，利用几何方法，可 将古典概型的计算加以推广。
等可能概型古典概型
3
3
3
3
共3 3 3 3 34种
第1、2个杯子中各有两个球的放法
4种 2
2种 2
2个
2个
共
4 2
22种
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 2422
摸球方式
不同结果总数
从n个 可分 辨的 球中 任取m 个球
无放 回
有放 回
计序 不计序
计序 不计序
Anm (排列数)
Cnm (组合数)
nm (排列数)
C
m nm1
组合
数)
复习排列组合的有关公式
许多古典概型问题可以转化为摸 球模型．
２.典型例题
例２ 设袋中有10只球，编号分别为1,2,…,10. 从中任取３只球,求
..
A {只产品中恰有1只是次品},
与(1)类似有：
p(
A0
)
.
p( A) .
于是所求的概率为
p( A) 1 P( A) 1 P( A A1)
k n
A
所包含基本事件的个数 基本事件总数
.
称此为概率的古典定义 . 也可记为P( A) N ( A) N(S)
例 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一次出现正面”, 求 P( A1). (2) 设事件 A2
为“至少有一次出现正面”, 求 P( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
在 100件产品中抽取15件,其中恰有2 件次品的取法
共有 种, 于是所求的概率为
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第三节 古典概型与几何概型
一、等可能概型 二、典型例题 三、几何概率 四、小结
一、等可能概型(古典概型)
1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含 有限个元素 ; ( 2) 试验中每个基本事件发 生的可能性相同. 具有以上两个特点的试 验称为等可能概型或 古典概型 .
2. 古典概型中事件概率的计算公式
次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
而 A 1 { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) 3 8 .
几何概型
古典概率
m A 所包含样本点的个数 P ( A) n 样本点总数
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2) 每个杯子只能放一个球
问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 3 2 1 p4 0
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为“恰有一
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球 }, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
第3次摸到红球 4种
1次摸到黑球 6种 第2
第3 2 1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,
4 种 2
2个
2 种 2
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
4 2 4 2 p 3 . 27 2 2
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有
D N D 种, k n k
D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”, B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为 P ( A B ).
会面问题
例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻
到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵
连.求甲、乙两人能会面的概率.
的 解 设 x , y 分别为甲、乙两人到达 时刻 , 那么 0 x T , 0 y T .
9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少?
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
三、几何概型
定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 SA P ( A) . S (其中 S 是样本空间的度量 , S A 是构成事件 A的子
区域的度量.) 这样借助于几何上的度 量来合理规 定的概率称为几何概型. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A
为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
m A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本点总数
称此为概率的古典定义（古典概率）.
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1
设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无
( 2) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P ( A 2 ) 7 8 .
例 2 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
两人会面的充要条件为 x y t ,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有
故所求的概率为
T
o
y
y xt
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
t
T
x
T (T t ) T2 t 2 1 (1 ) . T
2
2
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
试验结果 连续无穷
一、等可能概型 二、典型例题 三、几何概率 四、小结
一、等可能概型(古典概型)
1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含 有限个元素 ; ( 2) 试验中每个基本事件发 生的可能性相同. 具有以上两个特点的试 验称为等可能概型或 古典概型 .
2. 古典概型中事件概率的计算公式
次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
而 A 1 { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) 3 8 .
几何概型
古典概率
m A 所包含样本点的个数 P ( A) n 样本点总数
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2) 每个杯子只能放一个球
问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 3 2 1 p4 0
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为“恰有一
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球 }, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
第3次摸到红球 4种
1次摸到黑球 6种 第2
第3 2 1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,
4 种 2
2个
2 种 2
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
4 2 4 2 p 3 . 27 2 2
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有
D N D 种, k n k
D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”, B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为 P ( A B ).
会面问题
例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻
到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵
连.求甲、乙两人能会面的概率.
的 解 设 x , y 分别为甲、乙两人到达 时刻 , 那么 0 x T , 0 y T .
9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少?
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
三、几何概型
定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 SA P ( A) . S (其中 S 是样本空间的度量 , S A 是构成事件 A的子
区域的度量.) 这样借助于几何上的度 量来合理规 定的概率称为几何概型. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A
为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
m A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本点总数
称此为概率的古典定义（古典概率）.
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1
设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无
( 2) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P ( A 2 ) 7 8 .
例 2 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
两人会面的充要条件为 x y t ,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有
故所求的概率为
T
o
y
y xt
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
t
T
x
T (T t ) T2 t 2 1 (1 ) . T
2
2
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
试验结果 连续无穷