2012—2013学年第二学期高等数学B期末试卷

∂V ∂z
。
(1,1,0 )
2、设有旋转抛物面方程 z = 2 − x + y
2
(
2
) ，在旋转抛物面位于第一象限部分上求一点，使
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该点处的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
2012—2013 學年第二學期高等數學 B 期末試卷（80 学时）
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、设 z =
∫
G
2 0
dy ∫
2y y2
f ( x, y ) dx 的积分顺序后是 ；
3、为 L 连接 (1, 0 ) 及 ( 0,1) 两点的直线段，则
∫ ( x + y ) ds ；
L
4、设质点 M 在力 F = P ( x, y )i + Q ( x, y ) j 的作用下，在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线段
D
2
I 2 = ∫∫ [ ln( x + y ) ] dσ 的大小关系是 ；
D
（A） I1 = I 2 ； （B） I1 ≥ I 2 ； （C） I1 ≤ I 2 ； （D）大小关系不能确定； 4、已知 Σ 是分片光滑的闭曲面，它所围成的闭区域的体积记为，则 V = ； （A） （C）
∫ ( ) ( x + y ) dx + ( x − y ) dy 在整个 xOy 平面内与路径无关，并计算此积
1,1
( 2,3)
∫∫ zdS ，其中 Σ 为球面 x
Σ
2
+ y 2 + z 2 = a 2 上 z = h ( 0 < h < a ) 的部分。
六、 （每小题 7 分，共 14 分） 1、判别正项级数
三、计算题（每小题 6 分，共 12 分） 1、设 z = u + v , u = x + y, v = x − y ，求
2 2
∂z ∂z , 。 ∂x ∂y ∂z ∂z , 。 ∂x ∂y
2、设 z = z ( x, y ) 由方程 x cos y + y cos z + z cos x = 2 确定，求 四、计算题（每小题 7 分，共 14 分） 1、计算 2、计算
3n 1、用比值审敛法或根值审敛法判定正项级数 ∑ 的敛散性（要有过程） n n =1 1 + e
2、求幂级数
∞
xn 的收敛半径及收敛域。 ∑ n n =1 n ⋅ 2
∞
n
∞
x n +1 七 （ 6 分 ） 已 知 ln (1 + x ) = ∑ ( −1) ( −1 < x ≤ 1) ， 用 间 接 展 开 法 将 函 数 n +1 n =0 f ( x ) = ln ( 2 + x ) 展开成麦克劳林级数，并指出展开式成立的区间
x y + ，则 dz = ； y x
（A）
⎛1 y ⎞ ⎛1 x ⎞ 1 1 dx + dy ； （B） ⎜ − 2 ⎟ dx + ⎜ − 2 ⎟ dy ； x y ⎝y x ⎠ ⎝x y ⎠ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 y ⎞ ⎛1 x ⎞ （D） ⎜ − 2 ⎟ dx + ⎜ − 2 ⎟ dy ； + 2 ⎟ dx + ⎜ + 2 ⎟ dy ； ⎝y x ⎠ ⎝x y ⎠ ⎝y x ⎠ ⎝x y ⎠
x y 则v xdy = ； + = 1 所围成的三角形区域的正向边界， ∫ 2 3 L
（A） 0 ； （B） 2 ； （C） 3 ； （D） −3 ； 5、交错级数
2
(
2
) (1 ≤ z ≤ 5) 部分的上侧，计算曲面积
分I =
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy 。
Σ
3 2 2
九、 （两小题，共 5 分） 1、设 V = ln ( 4 − z ) − 24 ( ln x + ln y ) ，其中 x = x ( y , z ) 由方程 z + x + y = 2 所确定，求
1 x 1 )dx + ( x − 2 )dy ； （D） ( y + )dx ； y y y
z
2、设方程 e − xyz = 0 确定了 z = z ( x, y ) ，则 ； （A）
e z − xy xy − e z yz yz ； （B） ； （C） ； （D） z ； z yz yz xy − e e − xy
∑ sin 2
n =1
∞
π
n
的敛散性（要有过程） 。
2、求幂级数
∑
n =1
∞
xn 的收敛半径及收敛域。 n
x
七、 （6 分）已知 e =
1 n e x − e− x shx = x −∞ < x < +∞ ，用间接展开法将双曲函数 展 ( ) ∑ 2 n =0 n !
∞
开成 x 的幂级数，并指出展开式成立的范围。 八、 （5 分）设曲面 Σ 是旋转抛物面 z = 5 − x + y
（C） lim un = 0 ； （D） S n = u1 + u2 + " + un , {S n } 不一定有界；
n →∞
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、椭圆抛物面 z = 2 x + y 在点 M (1,1,3) 处的切平面方程是 ；
∫(
(1,1)
0,0 )
xy 2 dx + yx 2 dy 在整个 xOy 平面内与路径无关，并计算此积分值。
2、计算对面积的曲面积分 中的部分。
∫∫ ( 2 x + 2 y + z ) dS ，其中 Σ 为平面 2 x + 2 y + z = 6 在第一卦限
Σ
六、计算题（每小题 7 分，共 14 分）
2 2
2、设函数 f ( x, y ) 连续，交换二次积分
2 3
∫
e 1
dx ∫
ln x 0
f ( x, y ) dy 的积分顺序后是 ；
3、曲线 x = t , y = −t , z = t 在点 M (1, −1,1) 处的切线方程是 ；
1 （B） w ( x + y + z )( dydz + dzdx + dxdy ) ； ( x + y + z )( dydz + dzdx + dxdy ) ； ∫∫ ∫∫ 3w Σ Σ
Σ
（D） w ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy ； w ∫∫ ( x + y ) dydz + ( y + z ) ydzdx + ( z + x ) dxdy ；
∫∫ ( x + 6 y ) dσ ，其中 D 是由直线 y = 5x, y = x 及 x = 1 所围成的闭区域。
D
∫∫∫ ( y + z ) dv ，其中 Ω 是由圆锥面 z = 1 −
Ω
x 2 + y 2 及平面 z = 0 所围成的闭区域。
五、计算题（每小题 7 分，共 14 分） 1、证明曲线积分
∑ ( −1)
n =1
∞
n
3
1 是 ； n
（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性不能确定； 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 出可微分是 f ( x, y ) 在该点连续的 条件； 2、设函数 f ( x, y ) 连续，交换
G
G
G L 移动到点 B ，在移动的过程中力 F 所作的功可用积分表示为 W = ；
5、设 f ( x, y ) 是周期为 2π 的周期函数，它在 [ −π , π ) 上的表达式为
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⎧ −1 − π ≤ x < 0 ，则 f ( x, y ) 的傅里叶级数在 x = kπ (k = 0, ±1, ±2,") 收敛于 ； f ( x) = ⎨ 0≤ x <π ⎩1
∫∫ ( 3x + 2 y ) dσ ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x + y = 2 所围成的闭区域。
D
∫∫∫ ( x
Ω
2
+ y 2 ) dv ，其中 Ω 是由曲面 x 2 + y 2 = 2 z 及平面 z = 2 所围成的闭区域。
五、计算题（每小题 7 分，共 14 分） 1、证明曲线积分 分值。 2、计算曲面积分
Σ
5、级数
∑u
n =1
∞
n
收敛，则下列命题正确的是 ；
（A） S n = u1 + u2 + " + un , lim S n = 0 ； （B） S n = u1 + u2 + " + un , lim S n 存在；
n →∞ n →∞
三、计算题（每小题 6 分，共 12 分） 1、 求曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin
t ⎛π ⎞ 在点 ⎜ − 1,1, 2 2 ⎟ 处的切线及法平面方程。 2 ⎝2 ⎠
2、求函数 u = xyz 在点 ( 5,1, 2 ) 处沿从 ( 5,1, 2 ) 点到点 ( 9, 4,14 ) 的方向的方向导数。 四、计算题（每小题 7 分，共 14 分） 1、计算 2、计算
（C） ⎜
2、函数 z = xy 在条件 x + y = 1 下的极大值是 ； （A） 0 ； （B） 1 ； （C） 3、设 D =