湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

湖北省黄冈中学2016届理科数学高二下期中考试题
命题人：尚厚家 审题人：袁晓幼 校对人：谭志 夏泊凌
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1. 观察下列各式：2749=，37343=，472401=，则20157的末两位数字是 A. 01 B. 43 C. 07 D. 49 答案：B
解析：末两位数字从1707=算起，07,49,43 01周期变化，周期为4.
2. 用反证法证明命题“已知,,,a b c d R Î，若1,1a b c d +=+=，且1ac bd +>，则 ,,,a b c d 中至少有一个负数”时，应假设
A . ,,,a b c d 中至少有一个正数
B . ,,,a b c d 全为正数 C. ,,,a b c d 全部都大于等于0 D. ,,,a b c d 中至多有一个负数 答案：C
解析：,,,a b c d 中至少有一个负数的否定为,,,a b c d 都不是负数，即都大于等于0.
3. 满足(1)4z i +=-|=
A. B. C. D.
答案：D
解析：由复数的除法，42131i
z i i
-==-+，z \=4. 已知0a b >>，下列不等式恒成立的是 A. 11a b b a +
>+ B. 11a b a b +>+ C. 11b b a a +>+ D. 11
b a b a ->-
答案：A 解析：检验11()a b b a +
-+Q a b a b ab -=-+
=()(1)
a b ab ab
-+=，故A 成立 5．已知函数cos ()x x
f x e
=，则函数图象在(0,(0))f 处的切线方程为 A. 10x y -+= B. 10x y +-= C. 10x y ++= D. 10x y --= 答案：B
解析：'
2
sin cos ()()
x x
x xe x e f x e -- ='(0)1k f \==-，又(0)1f =，故所求切线方程为 10x y +-=
6. 若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则k 的取值范围是
A. [)1,+
B. 31,2轹÷ê÷÷êø
ë C. [)1,2 D. 3
,22轹÷ê÷÷êø
ë 答案：B
解析：'1()4f x x x =-(21)(21)x x x +-（0x >），易知1
2
为其极值点，故需满足
1011
2k
k ?<
<+，解得3
12
k ? 7. 若0x >，则函数21161x
y x x x =+++的最小值为
A. 16 B 8 C. 10 D. 没有最小值
答案：B
解析：设12t x x =+ ，则16
y t t
=+
8³，取最小值当且仅当4t = 8. 一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所做的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比。

若第一次打击将木桩打入1米深，则第二次打入的深度为（ ）米
A. B. 1 C.
D.
1
答案：B
解析：设F kx =，由101a
kxdx kxdx ? ，得a =
1
9．经过双曲线2
214
x y -=的右焦点的直线与双曲线交于两点,A B ，若4AB =，则这样的
直线有（ ）条 A ．4 B ．3 C ． 2 D ．1 答案：B
解析：双曲线的通径长为2
2b a
1=，故当,A B 都在双曲线右支上，这样的直线有两条
由于24a =，当,A B 位于两支上时，即为实轴，，这样的直线唯一
所以，这样的直线有3条
10. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与到点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线 答案： B
解析： 作PE AD ^于E ，11EF A D ^于F ，则PF 为点P 到直线11A D 的距离。

由已知，221PF PM -=，而221PF PE =+，则PE PM =， 得点P 是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线。

11. 定义在R 上的函数()f x 满足：'()()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+ （其中e 为自然对数的底数）的解集为
A. (0)+ ，
B. (,0)(3)-? U ，
C. (,0)(0)-? U ，
D. (3)+ ，
答案：A
解析：设()()3x x g x e f x e =--原不等式即()0g x >
''()()()x x x g x e f x e f x e =+-='(()()1)x e f x f x +-0>，()g x \在R 上单调递增， 且(0)0g =，故由()0g x >得0x >
12. 已知定义在(0,)+ 上的单调函数()f x ，对(0,)x "? ，都有[]2()log 3f f x x -=， 则方程'()()2f x f x -=的解所在的区间是
A. 1(,1)2
B. (1,2)
C. (2,3)
D. 1(0,)2
答案：B
解析：()f x 在(0,)+ 上单调，故可设2()log f x x c -=（c 为常数）2()log f x x c \=+，
由已知()3f c =即 2log 3c c +=，得2c = 2()l o g 2f x x \=+ 记'21
()()()2log ln 2
g x f x f x x x =--=-，显然()g x 是(0,)+ 上的增函数， 且1(1)0ln 2g =-
<，2ln 21(2)02ln 2
g -=>，∴()g x 的零点在(1,2)上。

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线2sin (0)y x x p =＃与直线1y =围成的封闭图形的面积为__________.
答案：23
p 解析：566
(2sin 1)S x dx p p =?
56
(2cos )6
x x p
p =-
-23
p = 14. 已知复数z 满足(34)2z i +-=，则z 的最大值为_______________. 答案：7
解析：复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,4)C -为圆心，半径为2R =的圆。

z 的几何意义是
点Z 到原点的距离，[],z OC
R OC R \?+ []3,7=
15. 若函数2
()ln f x x x a x
=++-有零点，则a 的取值范围是_______________. 答案： 3a ³ 解析：即2
ln a x x x
=++
()g x =有解，下求()g x 的值域。

2'
22
2
122
(2)(
1)
()1x x x x g x x x x x
+-+-=+-==
（0x >）
(0,1)x \ 时，
'()0g x <，(1,)x ? 时，'()0g x >
()(1)3g x g \? ， 即3a ³
16. 计算12323n
n n n n
C C C nC ++++L ，可以采用以下方法： 构造等式：012233(1)n n n n n n n n C C x C x C x C x x +++++=+L
两边对x 求导得：12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+L
令1x =，有1231232n n n n n n C C C nC n -++++=L
类比上述计算方法，计算12233223____________n n n n n C C C n C ++++=L
答案：2(1)2n n n -+
解析：由12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+L ，两边乘以x
得12233123(1)n n n n n n n C x C x C x nC x nx x -++++=+L
两边对x 求导：122232211223(1)(1)(1)n n n n n n n n C C x C x n C x n x x n x ---轾++++=++?+犏臌L 令1x =，有122232223(1)2n n n n n n C C C n C n n -++++=+L .
三．解答题（本大题共6小题，共70分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题共10分） 已知函数()2f x x =+
（1）解关于x 的不等式()341f x x -- ;
（2）若()1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）不等式即2341x x +-- 去绝对值，得
2(2)(34)1x x x í<-ïïìï-++- ïî或423(2)(34)1x x x íïï-＃ïìïï++- ïî或43(2)(34)1x x x íïï³ïì
ïï+-- ïî…………2分 得解集为3
5
42
x x x 禳镲镲３睚镲镲铪
或 ………… 5分 （2） 由绝对值三角不等式21(2)(1)3x x x x ++-?--=
3a \< …………10分
18. （本小题共12分） 已知数列{}n a 的通项公式2
1
(1)
n a n =+ *()n N Î，记12(1)(1)(1).n n b a a a =---L （1）求1234,,,b b b b ；
（2）试猜想数列{}n b 的通项公式，并证明你的结论.
解：（1）12343456
,,,46810
b b b b =
===
………… 4分 （2）猜想2
2(1)n n b n +=+ *()n N Î，用数学归纳法证明 …………6分
①1n =时，13
4
b =
，结论成立。

②假设n k =*(,1)k N k
纬时结论成立，即2
2(1)
k k b k +=
+
则1n k =+时，[]112
21(1)2
(1)12(1)(2)2(1)1k k k k k b b a k k k ++轾+++犏=-=
-=犏++++臌
即1n k =+时结论成立。

有①②可知，2
2(1)
n n b n +=+ …………12分
19. （本小题共12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x
（千米/小时）的函数关系式可以表示为313
812800080
y x x =
-+（0120x < ）.已
知甲乙两地相距100千米.
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了
1005
402
=（小时） 耗油3
1
3
535
(40408)12800080
22
???
（升） …………4分 （2）速度x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
x
小时，设耗油量为()h x 升 依题意得313100()(8)12800080h x x x x =-+ 2180015
12804
x x =+- (0120)x < …………6分
∵ 33
'
22
80080()640640x x h x x x -=-=
(0120)
x < 当(0,80)x Î时，'()0h x <，()h x 是减函数， (80,120)x Î时，'()0h x >，()h x 是增函数
∴当80x =时，min 45()4
h x =
即汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为45
4
升。

…………12分 方法二：()h x 2180015
12804
x x =
+- (0120)x < …………6分
∴2140040015
()12804
h x x x x =
++
-154匙=454 …………10分
当且仅当
21400
1280x x
=
即80x =时，等号成立，()h x 取最小值。

…………12分
20. （本小题共12分） 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD , //,AD BC AD CD ⊥,
且2AD CD BC PA ====, 点M 在PD 上. (1) 求证:AB PC ⊥;
(2) 若二面角M AC D --的大小为45,求BM 与平面
PAC 所成角的正弦值.
解：(1)如图,设E 为BC 的中点,连结AE ,
则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形, 故AE BC ⊥,
又AE BE EC === 所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥, 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥,
且PA AC A =,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥…………………………………5分 (2)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP
为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),(0,0,2)A E B C D P -,
设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,
易得,22)M λ-,
设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,
则11220
22(22)
AC AM y z λ
⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n
n ,
令y =得21t x z t ==
-,即12()1
t
t =-n . 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n
,
A
B
C
D
M P
由题知1212122|
|
|||cos ,|cos 45||||λ
⋅<>=
==⨯n n n n n n ,解得12λ=,
即(M BM =-,
而AB =-是平面PAC 的一个法向量, 设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,
则sin |cos ,|BM AB θ=<>=
=
. 故直线BM 与平面PAC
.…………………………………12分 21. （本小题共12分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程
（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:l y kx m =+，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r
成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由。

解：（1）设椭圆C 的方程为22
221x y a b +=(0)a b >>，由121
c a a c íïï=ïìïï-=ïî，
得2,1a c == 23b \=
椭圆C ：22
143
x y += ………… 4分
（2）设存在满足条件的直线l ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r
由22143y kx m x y í=+ïïïìï+=ïïïî
得222(34)84120k x kmx m +++-= 由0>V 得2234k m +> ① ………… 6分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222
8412
,3434km m x x x x k k -+=-=++
22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r
化简得12120x x y y += 221212(1)()0k x x km x x m \++++=
化简得：2271212m k =+ ② ………… 8分
由②227112k m =-代入① 得 23
4m > …………10分
又2271212m k =+12³ 得 212
7
m >
∴212
7m >
，m ³
或m ?
………… 12分
22 （本小题共12分）
已知2()f x x ax =-，()ln g x x =，()()()h x f x g x =+
（1）若()()f x g x ³对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围;
（2）设()h x 有两个极值点12,x x ，且11
(0,)2
x Î，若12()()h x h x m ->恒成立，求m 的最
大值. 解：（1）()()f x g x ³即2ln x ax x - ，分离a ，得ln x
a x
x
? （0x >）恒成立 设ln ()x m x x x =-（0x >），则2'
2ln 1()x x m x x +-= 2()ln 1n x x x =+-Q 在(0,)+ 上是增函数且(1)0n = (0,1)x Î时，'()0m x <，()m x 递减 (1,)x ? 时，'()0m x >，()m x 递增 min ()(1)1m x m \==
1a \ …………6分
（2）2
()ln (0)h x x ax x x =-+>，2'
121
()2x ax h x x a x x -+=-+=
∴12,x x 是方程2210x ax -+=的两根，故12122
12a x x x x íïï+=ïïïì
ïï=ïïïî
且11
(0,)2
x Î 21112x x \=> 12()()h x h x -=22111222ln (ln )x ax x x ax x -+--+221
12122
()ln
x x x a x x x =---+ 221
1212122
2()()ln x x x x x x x x =--+-+ 22222
2
1
ln 24x x x =--（21x >） 设1()ln 24n x x x x =-- (1)x >，则2'
2
(21)()04x n x x -=>
()n x \在(1,)+ 是增函数，3
()(1)ln 24n x n \>=-
则3ln 24m ?
，即m 的最大值为3
ln 24
- …………12分。