《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第二章 2.2.2(二)

2.2.2(二)
探究点 问题 1 方程？
直线与二元一次方程的关系 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其
答 点斜式：已知直线上一点 P1(x1，y1)的坐标，和直线的
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斜率 k，则直线的方程是 y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：已知直线的斜率 k，和直线在 y 轴上的截距 b，则 直线方程是 y＝kx＋b；
平行于 y 轴，当 C＝0 时与 y 轴重合．
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3 例 1 已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－ ，求此直线的一 4 般式方程．
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3 解 由直线方程的点斜式，得 y－5＝－4(x＋2)， 整理，得所求直线方程为 3x＋4y－14＝0.
以后求直线方程时会有章可循．
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跟踪训练 2
利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐
标轴围成三角形面积是 6 的直线方程．
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解 设直线为 Ax＋By＋C＝0， ∵直线过点(0,3)代入直线方程 C 得 3B＝－C，B＝－ 3 ， C2 由三角形面积为 6，得AB＝12，
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[问题情境]
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前面我们学习了直线方程的四种表达形式， 它们都含有 x， y 这两个变量，并且 x，y 的次数都是一次的，即它们都是 关于 x， 的二元一次方程， y 那么直线的方程与二元一次方 程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．
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问题 5 直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答 直线方程都是关于 x，y 的二元一次方程；关于 x，y 的
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二元一次方程又都表示一条直线．我们把关于 x，y 的二元一 次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)叫做直线的一般式 方程，简称一般式．
问题 7
在方程 Ax＋By＋C ＝ 0(A，B 不同时为零)中，A，
B，C 为何值时，方程表示的直线(1)平行于 x 轴；(2)平行
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于 y 轴；(3)与 x 轴重合；(4)与 y 轴重合． C 答 当 A＝0 时，方程变为 y＝－B ，当 C≠0 时表示的直
线为平行于 x 轴，当 C＝0 时与 x 轴重合； C 当 B＝0 时，方程变为 x＝－A ，当 C≠0 时表示的直线为
2．直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，若直线 l 过原点和二、 四象限，则
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( D ) B．A>0，B>0，C＝0 D．AB>0，C＝0
A．C＝0，B>0 C．AB<0，C＝0
解析 通过直线的斜率和截距进行判断．
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3．直线 x＋2y－1＝0 在 x 轴上的截距为________． 1
B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？
答
A C 当 B≠0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 可变形为 y＝－Bx－B，它表 C A 示过点(0，－B)，斜率为－B的直线． 当 B＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 变成 Ax＋C＝0， C 即 x＝－A，它表示与 y 轴平行或重合的一条直线． 小结 关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线．
k(x－x1)，可化为 kx＋(－1)y＋y1－kx1＝0；
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斜截式：y＝kx＋b，可化为 kx＋(－1)y＋b＝0；当 k 不 存在时，直线为 y 轴或平行于 y 轴的直线，方程为 x＝ x1，它可化为 x＋0· 1＝0，此方程也是关于 x，y 的二 y－x 元一次方程； y－y1 x－x1 ＝ 可化为(y2 －y1)x＋(x1 －x2)y＋x1(y1 －y2)＋ y2－y1 x2－x1 y1(x2－x1)＝0； x y ＋ ＝1 可化为 bx＋ay－ab＝0. a b 小结 直线的方程都是关于 x，y 的二元一次方程．
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例 2 求直线 l：2x－3y＋6＝0 的斜率及在 y 轴上的截距． 2 解 已知直线方程可化为 y＝3x＋2， 2 所以直线 l 的斜率 k＝3，在 y 轴上的截距是 2. 小结 求直线方程，表面上需求 A、B、C 三个系数，由 B C 于 A、 不同时为零， A≠0， B 若 则方程化为 x＋Ay＋A＝0， B C A C 只需确定A、A的值；若 B≠0，则方程化为Bx＋y＋B＝0， A C 只需确定 、 的值． B B 因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在
两点式：已知直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的 y－y1 x－x1 方程是 ＝ ； y2－y1 x2－x1 截距式：已知直线在 x 轴、y 轴上的截距为 a、b，则直线 x y 的方程是a＋b＝1.
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问题 2 上述四种直线方程，能否写成 Ax＋By＋C＝0 的统 一形式？ 答 都能写成 Ax＋By＋C＝0 的形式，点斜式：y－y1＝
2.2.2(二)
2.2.2
【学习要求】
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直线方程的几种形式(二)
1．理解直线方程的一般式的特点及与方程其它形式的区别与 联系． 2．会进行直线方程的一般式与其它几种形式之间的相互转化， 进一步掌握求直线方程的方法． 【学法指导】 通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般 式；通过直线方程五种形式间的相互转化，学会用分类讨论 的思想方法解决问题， 认识事物之间的普遍联系与相互转化.
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1．如果方程 Ax＋By＋C＝0 表示的直线是 y 轴，则 A、B、
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C 满足 A．B· C＝0 C．B· C＝0 且 A≠0 B．A≠0
( D ) D．A≠0 且 B＝C＝0
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跟踪训练 3 已知直线 mx＋ny＋12＝0 在 x 轴，y 轴上的截 距分别是－3 和 4，求 m，n. 解 方法一 将方程 mx＋ny＋12＝0 化为截距式得：
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x y ＋ ＝1， 12 12 －m － n
－12 ＝－3 m 因此有 －12 n ＝4
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问题 3 关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是什么？
答 关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是 Ax＋By＋C＝0， 其中 A，B 不同时为零．
问题 4
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每一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，
都表示一条直线，原因如下：

C C C ∴A＝± ，∴方程为± x－ y＋C＝0， 4 4 3 所求直线方程为 3x－4y＋12＝0 或 3x＋4y－12＝0.
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例 3 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． 3 1 (1)证明 将直线 l 的方程整理得 y－ ＝a(x－ )， 5 5 1 3 ∴l 的斜率为 a，且过定点 A( ， )， 5 5 1 3 而点 A5，5在第一象限，故直线 l 恒过第一象限． 3 5－0 (2)解 直线 OA 的斜率为 k＝1 ＝3.而直线 l 的方程 5－0
1 3 整理得 y－5＝ax－5， ຫໍສະໝຸດ 本 课 时 栏 目 开 关
∵l 不经过第二象限，∴k＝a≥3.
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小结
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针对这个类型的题目，灵活地把一般式 Ax＋By＋C＝
0 进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时， 巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．
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解析 令 y＝0，得 x＝1.
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1．直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可
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以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By＝ A C －Ax－C；(2)当 B≠0 时，得 y＝－Bx－B. 2．在一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)中，若 A＝0，则 y C ＝－B，它表示一条与 y 轴垂直的直线；若 B＝0，则 x C ＝－A，它表示一条与 x 轴垂直的直线．
小结 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般 按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正； x，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时， 求直线方程的结果写成一般式．
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跟踪训练 1 若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0 表 示一条直线，求实数 m 的取值范围．
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问题 6 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比， 它有什么优点？
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答 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而 点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与 x 轴垂直 的直线．
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填一填· 知识要点、记下疑难点
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直线的方程都是关于 x，y 的二元一次方程；关于 x，y 的二