【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第12节 导数的综合应用课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第12节 导数的综合应用课后限时自测 理 苏教版[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2014·南京、盐城模拟)函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x(x ∈R)的单调递减区间为________．[解析] 令f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x<0，解得－2<x <－1. [答案] (－2，－1)2．已知f (x )＝1＋x －sin x ，试比较f (2)，f (3)，f (π)的大小为________． [解析] f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈(0，π]时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，π]上是增函数，∴f (π)＞f (3)＞f (2)． [答案] f (π)＞f (3)＞f (2)3．(2014·镇江模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．[解析] 由f (x )＝ln x ＋2x ，得f ′(x )＝1x＋2xln 2>0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)<f (3x )，得0<x 2＋2<3x ，∴x ∈(1,2)．[答案] (1,2)4．(2013·四川高考改编)设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在x ∈[0,1]，设f (x )＝x 成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意e x＋x －a ＝x 在x ∈[0,1]上有解， ∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]． 令φ(x )＝e x＋x －x 2，x ∈[0,1]， 则φ′(x )＝e x －2x ＋1≥0， ∴φ(x )在x ∈[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以a ∈[1，e]． [答案] [1，e]5．(2014·宿迁调研)设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP 大于1(其中EQ EP ＝－Q ′QP ，Q ′是Q 的导数)，则商品价格P 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝100－5P 得Q ′＝－5，由EQ EP ＝－Q ′QP 知， 5P100－5P>1，解得10<P <20.又由Q >0得P <20，综上知P 的取值范围是(10,20)． [答案] (10,20) 6.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y＝(1－x )f ′(x )的图象如图2­12­3所示，则下列结论中一定成立的是________．①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)； ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)；③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)； 图2­12­3④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．[解析] 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)． [答案] ④7．(2012·福建高考改编)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________．[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y极大值＝f (1)＝4－abc >0，y极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的序号是②③. [答案] ②③8．做一个圆锥漏斗，其母线长为20 cm ，使其体积最大，则其高为________cm. [解析] 设圆锥的体积为V cm 3，高为h cm ， 则V ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，由V ′＝0，得h ＝2033.当0<h <2033时，V ′>0；当2033<h <20时，V ′<0； ∴当h ＝2033 cm 时，V 最大．[答案]2033二、解答题9．(2014·镇江质检)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1＝0，由f ′(1)＝0， 得a ＝1，∴y ＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个根，即有3个零点． 由g (x )′＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.由g ′(x )>0得x <0或x >3，由g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数，要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g 0 >0，g 3 <0，解得：12<m <5.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5. 10．(2014·扬州调研)已知函数f (x )＝2x 2＋12，g (x )＝ln x ＋b .(1)当b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)若b 是正整数，且g (x )≤ax ≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，试求b 的值及a 的取值范围．[解] (1)当b ＝0时，h (x )＝2x 2＋12－ln x ，h ′(x )＝4x －1x＝2x ＋1 2x －1x(x >0)，令h ′(x )＝0得，x ＝12或x ＝－12(舍去)，当0<x <12时，h ′(x )<0，此时函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当x >12时，h ′(x )>0，此时函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，h (x )有极小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2. (2)∵g (x )≤ax ≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴g (x )≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 即b ≤2x 2＋12－ln x ，由(1)知，h (x )＝2x 2＋12－ln x 当x ＝12时有极小值，也是最小值，∴b ≤1＋ln 2，∵b 是正整数，且1＋ln 2∈(1,2)，∴b ＝1. 又g (x )≤ax ≤f (x )，即ln x ＋1x ≤a ≤2x ＋12x ，∵2x ＋12x≥2，∴a ≤2，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2，令φ′(x )＝0，则x ＝1，当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )>0. 当x ＝1时，φ′(x )有极大值，也是最大值1， ∴a ≥1，∴1≤a ≤2，综上所述，b ＝1，a 的取值范围是{a |1≤a ≤2}．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2013·湖北高考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0得ln x ＝2ax －1. ∵f (x )有两个极值点，∴函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．直线y ＝2ax －1过定点(0，－1)，设过(0，－1)的直线与y ＝ln x 的图象相切的切点为(x 0，ln x 0)，由y ′|x ＝x 0＝1x 0，得1x 0＝ln x 0＋1x 0，∴x 0＝1，切点为(1,0)．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，122．(2014·盐城模拟)设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．[解析] 设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数．又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)，∴⎩⎨⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2.[答案] [1,2) 二、解答题3．(2014·常州调研)几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t (x )(件)与销售价格x (元/件)(x ∈N *)之间满足如下关系：①当34≤x ≤60时，t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050；②当60≤x ≤70时，t (x )＝－100x ＋7 600.设该店月利润为M (元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．[解] (1)当x ＝60时，t (60)＝1 600，代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050，解得a ＝2.∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－20x ＋10 000 x －34 －20 000，34≤x <60，x ∈N *， －100x ＋7 600 x －34 －20 000，60≤x ≤70，x ∈N *，即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10 680x －360 000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11 000x －278 400，60≤x ≤70，x ∈N *.(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000,34≤u<60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)．令g′(u)＝0，解得u1＝8－2461(舍去)，u2＝8＋2461∈(50,51)．当34<u<50时，g′(u)>0，g(u)单调递增；当51<u<60时，g′(u)<0，g(u)单调递减．∵x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，∴M(x)的最大值为44 226.当60≤x≤70时，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44 226元．故该打印店店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．。